Energia Potencial e Conservao da EnergiaProf Jusciane da Costa e Silva

Energia Energia potencial a energia associada

com a posio da partcula. Existe energia potencial gravitacional

mesmo no caso de a mergulhadora ficar parada no trampolim. Nenhuma energia adicionada ao

sistema mergulhadora terra. Porm a energia armazenada transformada de uma forma para outra durante sua queda.

Energia Como a transformao pode ser

entendida a partir do teorema trabalho energia. Veremos que a soma da energia

cintica e potencial fornece a energia mecnica total do sistema e essa energia permanece constante durante o movimento do sistema (lei da conservao da energia)

Energia Potencial Gravitacional Em muitas situaes tudo se passa

como se a energia fosse armazenada em um sistema para ser recuperado depois. Garoto em um balano: Nos pontos

mais elevados, a energia armazenada em outra forma, relacionada com a altura do ponto acima do solo, e esta energia convertida em K quanto atinge o ponto inferior do arco.

Esse ex. da idia de que

existe uma energia associada com a posio dos corpos em um sistema. Este tipo de energia fornece o potencial ou a possibilidade de realizar trabalho (W)

Energia Potencial Gravitacional Quando um martelo elevado no ar,

existe um potencial para um trabalho sobre ele ser realizado pela fora da gravidade, porm isso s ocorre quando o martelo liberado. Por esse motivo, a energia associada com a posio denomina-se ENERGIA POTENCIAL. Existe

uma energia potencial associada com o peso do corpo e com a altura acima do solo. Chamamos essa energia de ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL.

Energia Potencial Gravitacional Quando um corpo cai sem resistncia

do ar, a energia potencial diminui medida que a energia cintica aumenta. Vimos

usando o teorema do trabalho-energia para concluir que K do corpo em queda livre aumenta porque a fora gravitacional realiza trabalho sobre ele.

Usaremos o teorema W-K para demonstrar que essas duas

descries de um corpo so equivalentes e para deduzir uma expresso para energia potencial.

Energia Potencial Gravitacional Considere um corpo de massa m que

se move ao longo de um eixo 0y. A fora que atua sobre ele a gravitacional. Qual o Wg realizado pelo peso sobre o corpo qdo cai de uma altura y1 acima da origem at uma altura menor y2?O peso e o deslocamento possui mesmo sentido, de modo Wg realizado sobre o corpo positivo.

W g Fg d Fg ( y1 y2 ) mg ( y1 y2 ) mg ( y1 y2 ) Equao tambm vlida para quando

y2 maior que y1. Neste caso:

Energia Potencial Gravitacional Podemos expressar Wg em termos da quantidade mgy no incio

e no final do deslocamento.U mgyEnergia potencial gravitacional

Seu valor inicial U1 = mgy1 e seu valor final U2 = mgy2;

U U 2 U1 Podemos expressar Wg realizado pela fora gravitacional

durante o deslocamento de y1 a y2 comoW U1 U 2 (U 2 U1 ) U Corpo se move de baixo para cima - y aumenta; Wg (-);

U aumenta (U >0). Corpo se move de cima para baixo - y diminui; Wg (+);

U diminui (U >0).

Foras conservativas e no conservativas As foras que atuam num sistema,

modificando-lhe a configurao, dizem-se conservativas quando, regressando o sistema configurao inicial, readquire tambm a energia cintica inicial. Isto significa que as foras conservativas conservaram a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho, e da o seu nome. Fg realiza de A a B, um trabalho resistente, que se traduz num aumento de energia

potencial do sistema. Segue-se, depois, um trabalho potente, de B para A, que se traduz na restituio forma cintica do incremento de energia potencial que tinha sido armazenada.

Foras conservativas e no conservativas As foras que atuam num sistema dizem-

se no conservativas ou dissipativas quando, ao deixarem de realizar trabalho, o sistema ou no regressa configurao inicial ou regressa a ela com energia cintica diferente da que tinha no princpio.

Isto quer dizer que as foras no conservativas no conservaram a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho. A fora de atrito, realiza sempre trabalho resistente no traduzido em aumento de energia

potencial

Independncia da trajetria para o trabalho de foras conservativas Consideremos uma partcula em movimento em um percurso

fechado, se o W realizado pela fora neste percurso for nulo, ento dizemos que as foras so conservativas. Ou seja, a energia total que se transfere da partcula e para a

partcula durante a viaje de ida e volta ao longo do percurso fechado nula.

Exemplo: O lanamento de um tomate.Wres 0 O WR realizado pela fora conservativa

movendo-se entre dois pontos no depende da trajetria.

Independncia da trajetria para o trabalho de foras conservativas Consideremos

um percurso fechado arbitrrio para uma partcula sujeita a uma ao de uma nica fora. A partcula se move do ponto inicial a para um ponto final b ao longo da trajetria 1 e retorna pela trajetria 2.A fora realiza W sobre a partcula a medida que ela se movimenta ao longo de cada trajetria.

O W realizado de a at b ao longo da trajetria 1 : Wab,1 O W realizado da volta de b at a ; Wba,2

Se F for conservativa; Wres = 0.

Wab,1 Wba , 2 0 Wab,1 Wba , 2 O W realizado ao longo da trajetria de ida igual ao negativo

do W realizado ao longo da volta. Consideremos o Wab,2 realizado pela fora sobre a partcula quando ela se move de a at b ao longo da trajetria 2.Wab , 2 Wba , 2

Substituindo a equao acima na equao anterior.Wab,1 Wab, 2

Portanto o W independe da trajetria quando F for conservativa.

Determinando Valores de Energia Potencial Encontrar a energia potencial dos dois tipos de energia

discutido nesta seo: energia potencial gravitacional e energia potencial elstica. Encontrar uma relao geral entre uma fora conservativa e a energia potencial a ela associada. Considere um objeto que se comporta como uma partcula e que

parte de um sistema no qual atua uma F conservativa. quando esta fora realiza W sobre o objeto, a variao U na energia potencial associada ao sistema o negativo do W.W U

Determinando Valores de Energia Potencial No caso geral onde a fora pode variar com a posio

W F ( x)dxxi

xf

Substituindo W = - U, temos:U F ( x)dxxi xf

Relao geral entre fora e energia potencial.

Energia Potencial Gravitacional Consideremos

uma partcula com massa m movendo-se verticalmente ao longo de y (positivo para cima). A medida que a partcula se move do ponto y1 para y2 a Fg realiza W sobre ela.U F ( x)dy (mg )dy mg | y12 mgy yxi xi xf xf

Podemos usar configuraes de referncia na qual a partcula esta em um ponto de referncia yi que tomamos como U = 0. Portanto:U ( y) mgya energia potencial gravitacional associada ao sistema partcula-terra depende apenas da Posio vertical y da partcula em relao posio de referncia y = 0, e no da posio. Horizontal.

Energia Potencial Elstica Consideremos um sistema massa-mola, com o bloco se

movendo na extremidade de uma mola de constante elstica k. Enquanto o bloco se move do ponto xi para o xf, a fora da mola F = -kx realiza W sobre o bloco.1 U F ( x)dx ( kx)dx kx | kx 2 xi xix2 x1 xf xf

1 2 1 2 U kx f kxi 2 2

Escolhendo um valor de referncia U com o bloco na posio x na qual a mola se encontra relaxado x= 0.U 0 1 1 2 kx 0; U kx2 2 2

Conservao da Energia Mecnica A energia mecnica de um sistema a soma da energia cintica

e potencial dos objetos que compem o sistema:Emec K U

Energia mecnica: Foras conservativas e o sistema isolado (Fext = 0). Quando uma F conservativa realiza W sobre um objeto dentro de um sistema, essa fora transfere energia entre a K do objeto e a U do sistema. Pelo teorema W-K

K W

Conservao da Energia Mecnica Usando a equao da variao na energia potencial

U WCombinando as duas equaes anteriores

K UUma dessas energias aumenta na mesma quantidade que a outra diminui. Podemos reescrever como

K 2 K1 (U 2 U1 ) K 2 U 2 K1 U1

Conservao da energia mecnica.

Conservao da Energia MecnicaEm um sistema isolado onde apenas foras conservativas causam variaes de energia, a energia cintica e a energia potencial podem variar, mas a sua soma, a energia mecnica Emec do sistema, no pode variar

Este resultado chamado de PRINCPIO DE CONSERVAODA ENEGIA MECNICA. Podemos escrever esse princpio de outra formaEmec K UEste princpio nos permite resolver Problemas que seriam difceis usando apenas as Leis de Newton.

Quando a energia se conserva, podemos a soma de K e U em cada instante com aquele novo instante sem considerar o movimento intermedirio e sem determinar o WR das F envolvidas.

Conservao da Energia Mecnica Exemplo do princpio de conservao aplicado: Enquanto um

pndulo oscila, a energia do sistema pndulo-terra transferida entre K e U, com a soma K+U permanecendo constante. Se conhecermos a Ug quando a massa do pndulo esta no seu ponto

mais alto, a equao da conservao da energia nos fornece a K do ponto mais baixo. Vamos escolher o ponto mais baixo como ponto de referncia,

com U2 = 0 e no ponto mais alto U1 = 20 J. Como a massa par momentaneamente no ponto mais alto, K1 = 0. Qual a energia no ponto mais baixo?K 2 0 0 20; K 2 20 J

Interpretando uma curva de energia potencial Consideremos uma partcula que faz parte de um sistema no

qual atuam uma fora conservativa. O movimento da partcula se dar ao longo de um eixo x enquanto a F conservativa realiza W sobre ela. Podemos obter bastante informao sobre o movimento da partcula a partir do grfico energia potencial do sistema U(x). Vimos que se conhecemos a F(x) que atua sobre a partcula

podemos encontrar a energia potencialU F ( x)dxxi xf

Interpretando uma curva de energia potencial Queremos fazer agora o contrrio; isto , conhecemos a energia

potencial U(x) e queremos determinar a fora. Para o movimento em uma dimenso, o W realizado pela fora

que atua sobre a partcula se move atravs de uma distncia x F(x) x. Podemos escrever

U W F ( x)xPassando ao limite diferencial

dU ( x) F ( x) dx

Interpretando uma curva de energia potencial Verificar este resultado U(x) = kx2 que a energia potencial

elstica e U(x) = mgx. A curva de energia potencial

- U versus x : podemos encontrar F

medindo a inclinao da curva de U(x) em vrios pontos.

Interpretando uma curva de energia potencial Pontos de retorno

Na ausncia da fora conservativas, a energia mecnica E de um Sistema possui um valor constante dado porK ( x) U ( x) Emec

K(x) uma funo energia cintica de uma partcula no sistema.K ( x) Emec U ( x)

Como Emec constante, pelo ex. anterior igual a 5 J. Portanto no ponto x5K ( x) 5 4 1J

Interpretando uma curva de energia potencial Pontos de Retorno O valor de K mximo (5J)

no ponto x2 quando U(x)

mnimo. K nunca pode ser negativo (v2), a partcula no pode se mover a para esquerda de x1, Emec U(x) negativo. Quando a partcula se move em direo a x1 a partir de x2, K diminui at K = 0 em x1. Em x1 a fora positiva (inclinao negativa). Significa que a partcula no permanece em x1, mas comea a se mover para direita, em sentido oposto ao seu movimento anterior. Portanto x1 um PONTO DE RETORNO, um lugar onde K = 0 (pois U = E) e a partcula inverte o sentido do movimento.

Interpretando uma curva de energia potencialPontos de Equilbrio 3 valores diferentes de Emec. Se Emec = 4 J, o ponto de retorno

mudar de x1 para um valor entre x1 e x2. Qualquer ponto a direita de x5, a energia mecnica do sistema igual a U(x); portanto, K = 0 e nenhuma fora atua sobre a mesma, de modo que ela precisa est em repouso. Diz-se que a partcula em tal posio est em EQUILBRIO NEUTRO.

Interpretando uma curva de energia potencialPontos de Equilbrio Se Emec = 3 J, existe dois pontos

de retorno: um entre x1 e x2 e outro entre x4 e x5. Alm disso x3 um ponto onde K = 0. Se a partcula estiver neste ponto, a F = 0 e a partcula permanecer em repouso. Se ela for ligeiramente deslocada em qualquer um dos dois sentidos, uma fora no nula a empurra no mesmo sentido e a partcula continua se afastando ainda mais do ponto inicial. Uma partcula em tal posio considerada em EQUILBRIO INSTVEL.

Interpretando uma curva de energia potencialPontos de Equilbrio Se Emec = 1 J. Se colocarmos em

x4 ela permanecer nesta posio. Ela no pode se mover nem para direita nem para esquerda por sua conta prpria, pois seria necessrio uma K negativa. Se empurramos ligeiramente para a esquerda ou para direita, aparece uma fora restauradora que a faz retornar ao ponto x4. Uma partcula em tal posio considerada em EQUILBRIO ESTVEL.

Trabalho Realizado por uma Fora Externa sobre um Sistemavimos: O W a energia transferida PARA um sistema ou DE um sistema devido a atuao de uma fora externa sobre este sistema.Podemos extender esse conceito para uma Fext atuando sobre Um sistema.Quando a transferncia de energia PARA o sistema. Quando a transferncia de energia DO o sistema.

Trabalho Realizado por uma Fora Externa sobre um SistemaNA AUSNCIA DE ATRITO Num boliche quando voc vai arremessar a bola, inicialmente voc se agacha e coloca suas mos em forma de concha por debaixo da bola sobre o peso. Depois voc levanta rapidamente enquanto ao mesmo tempo puxa suas mos bruscamente, lanando a bola para cima no nvel do rosto. Durante o seu movimento para cima, a F que vc aplica realiza W, isto , ela uma fora externa que transfere energia, mas para qual sistema?

Trabalho Realizado por uma Fora Externa sobre um SistemaNA AUSNCIA DE ATRITO Verificar quais energias se modificam: H variao K da bola, e como a bola e a terra ficaram afastada, tambm houve uma variao Ug do sistema bola-terra. Para incluir essas variaes, precisamos considerar o sistema bolaterra. Assim F uma Fext que realiza W sobre o sistema, e o W W K U EmecEnergia equivalente para o W realizado por Fext sobre um sistema sem atrito.

NA PRESENA DE ATRITO

Consideremos um sistema onde uma F horizontal constante puxa o bloco ao longo do eixo x deslocando-o por uma distncia d e aumentando a velocidade do bloco de v0 para v.

O bloco ser nosso sistema. Aplicando a segunda lei de NewtonF f c ma

2 Como as foras so constantes v 2 v0 2ad , temos

Fd K f c d

Numa situao mais geral (uma na qual o bloco esteja subindo uma rampa), pode haver uma variao na energia potencial. Para incluir tal variao, temos Fd Emec f c d Verificamos experimentalmente que o bloco e a poro do piso ao longo do qual ele se desloca ficam aquecidos enquanto o bloco desliza. Portanto foi verificado experimentalmente que essa energia trmica igual ET f c d Portanto Trabalho realizado pelo sistema W Emec ET em presena de atrito.

Conservao da EnergiaTodos os casos discutidos at agora obedecem a LEI DE CONSERVAO, que est relacionada com a energia total de um sistema. Essa energia total a soma da energia mecnica com a trmica ou qualquer outro tipo de energia interna. A energia total E de um sistema pode mudar apenas por quantidades de energias que so transferidas para o sistema ou delas retiradas.

O nico tipo de energia de transferncia de energia que consideramos e o W realizado sobre um sistema. Assim, esta lei estabeleceW E Emec ET Eint

A lei de conservao de energia algo baseado em inmeros experimentos.

Conservao da EnergiaSISTEMA ISOLADO Se um sistema est isolado de uma vizinhana, no podendo haver trocas com a vizinhana. Para este caso a lei de conservao da energia diz:

A energia total E, de um sistema isolado no pode variar.Pode haver muitas transferncias dentro do sistema; energia cintica em energia potencial ou trmica, entretanto a energia total do sistema no pode variar.

Conservao da EnergiaA conservao da energia pode der escrita de duas maneiras:Emec ET Eint 0

W 0

eEmec, 2 Emec,1 ET Eint

Em um sistema isolado, podemos relacionar a energia total em um dado instante com a energia total em outro instante sem ter que considerar as energias em tempos intermedirios.

FORAS EXTERNAS E TRANSFERNCIA DE ENERGIA INTERNA

Uma fora externa pode mudar a K ou U de um objeto sem realizar W, isto , sem transferir energia para o objeto. Em vez disso, a fora responsvel pela transferncia de energia de uma forma para outra dentro do objeto.Patinadora no gelo, inicialmente em repouso, empurra um corrimo e passa a deslizar sobre o gelo. Sua K aumenta porque o corrimo exerceu uma Fext sobre ela. No entanto a F no transfere energia para o corrimo para ela. Assim a fora no realiza W sobre ela. Ao contrrio a K aumenta como resultado de transferncias internas a partir da energia bioquimica contida nos seus musculos.

FORAS EXTERNAS E TRANSFERNCIA DE ENERGIA INTERNA

Nesta situao podemos relacionar a Fext que atua sobre um objeto com a variao da energia mecnica do objeto. Durante seu empurro e deslocamento de uma distncia d, podemos considerar a acelerao constante, com velocidade variando de v0 a v e a patinadora com uma partcula desprezando o esforo de seus msculos.K K 0 Fd cos K Fd cos A situao tambm envolve uma variao na elevao do objeto,

podemos incluir a energia potencialK U Fd cosA fora do lado direito dessa Eq. no realiza W, mais responsvel pelas variaes das energias.

POTNCIAPotncia a taxa com que uma fora transfere energia de uma forma para outra. Se uma certa quantidade de energia E transferida durante um intervalo de tempo t, a potncia mdia devida fora E t

Pmed

E a potencia instantneaP dE . dt