Eng 118 -_modulo_2012_1

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA

DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS (UFBA – EP – DCE)

ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I

× Notas de Aula Ø

Tatiana Bittencourt Dumêt

Salvador, Março/ 2012

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APRESENTAÇÃO

Este material foi elaborado com o objetivo de auxiliar no acompanhamento da disciplina ENG 118 – Estruturas de Concreto Armado I. Ele não é, e nem tem a intenção de ser, um substituto dos livros de concreto armado. Além da bibliografia sugerida para o curso, indicada neste material, no final de cada capítulo estão listadas as referências bibliográficas e a bibliografia complementar de cada um deles. É altamente recomendável que os alunos utilizem um, dois ou mais livros para que obtenham um aprendizado mais completo.

Este trabalho foi dividido em oito capítulos, seguindo o programa do curso. A seqüência adotada visa seguir o caminho de raciocínio que normalmente é utilizado pelos projetistas de concreto.

INFORMAÇÕES IMPORTANTES SOBRE O CURSO

O horário de aula das turmas é o seguinte: T01P01 – 7:00 às 8:40hs, terças e quintas; e T02P02 – 15:00 às 16:40hs, terças e quintas. Nos dias de prova, os horários são T01P01 – 7:00 às 8:45hs e T02P02 – 15:00 às 16:45hs. As provas terão duração de 1:45hs (uma hora e quarenta e cinco minutos).

O curso é divido em quatro unidades: a primeira engloba os Capítulos 1 a 4; a segunda estuda os Capítulos 5 e 6; a terceira o Capítulo 7 e a quarta o Capítulo 8. Ao final de cada unidade será feita uma prova. As datas das provas estão indicadas no cronograma do curso, apresentado a seguir. As provas são e individuais SEM CONSULTA LIVRE. Será entregue aos alunos, junto com as provas, o material de consulta, que constará das tabelas e fórmulas necessárias para a sua realização. No final do material, no Anexo C, encontra-se o formulário entregue para a realização das provas. Nas provas é proibida a utilização de calculadoras programáveis (como as hp´s, por exemplo), de palmtop´s, i-phones, i-pads, telefones celulares e similares. A nota final do curso será a média ponderada das quatro provas, conforme a expressão apresentada a seguir. O aluno que obtiver nota final do curso maior ou igual a 5,0 estará aprovado.

N = (0,2*P1) + (0,2*P2) + (0,2*P3) + (0,4*P4)

A freqüência nesta disciplina é obrigatória e será cobrada. O aluno que ultrapassar o limite de faltas estabelecido pela Universidade estará REPROVADO POR FALTA, independentemente de qualquer nota que já tenha obtido.

O aluno que deixar de fazer alguma das provas, só terá direito à 2ª CHAMADA mediante entrada com o pedido de 2ª chamada, independentemente de ter motivo justificado (atestado), junto ao Departamento de Construção e Estruturas, que se localiza no 5º andar da Escola Politécnica, dentro do prazo de até 48hs após a data da realização da prova. Os alunos que tiverem a falta justificada terão direito a fazer a 2ª chamada do assunto referente, apenas, à prova que faltou, desde que feito o pedido dentro do prazo com a justificativa em anexo. Os alunos que não tiverem a falta justificada, se entrarem com o pedido de 2ª chamada dentro do prazo, terão direito a fazer uma avaliação, com todo o assunto do curso, no final do semestre. A data e horário das provas de 2ª chamada estão indicados no cronograma do curso apresentado a seguir.

Um bom semestre a todos,

Tatiana Dumêt

Nota final do curso

Nota da Prova 1 Nota da Prova 2

Nota da Prova 4

Nota da Prova 3

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ENG118 – CRONOGRAMA DO CURSO – 2012/1 DATA DIA AULA ASSUNTO 06/03 Terça 1 Apresentação do curso; Introdução ao Concreto Estrutural 08/03 Quinta 2 Materiais: Concreto 13/03 T 3 Materiais: Concreto 15/03 Q 4 Materiais: Aço e Concreto Armado 20/03 T 5 Ações e Solicitações 22/03 Q 6 Ações e Solicitações 27/03 T 7 Introdução ao Projeto Estrutural: carregamento 29/03 Q 8 Introdução ao Projeto Estrutural: pré-dimensionamento 03/04 T 9 Revisão para a prova 05/04 Q ----- FERIADO: SEMANA SANTA 10/04 T 10 1a Prova 12/04 Q 11 Bases para o dimensionamento 17/04 T 12 Bases para o dimensionamento 19/04 Q 13 Aderência 24/04 T 14 Revisão para a prova 26/04 Q 15 2a Prova 01/05 T ----- FERIADO: DIA DO TRABALHO 03/05 Q 16 Laje – Introdução, tipos, ocorrência, cálculo de esforços 08/05 T 17 Laje – Determinação de h, carregamento, dimensionamento 10/05 Q 18 Laje – Correções, novo dimensionamento, detalhamento positivo 15/05 T 19 Laje – Detalhamento negativo; Laje corredor 17/05 Q 20 Laje – Verificação do cortante; Exercício 22/05 T 21 Laje – Exercício 24/05 Q 22 Laje – Revisão para a prova 29/05 T 23 3a Prova 31/05 Q 24 Viga – Introdução, cálculo dos esforços, seções simplesmente armadas 05/06 T 25 Viga – Seção duplamente armada 07/06 Q ----- FERIADO: CORPUS CHRISTI 12/06 T 26 Viga – Seção T 14/06 Q 27 Viga – Solicitações Tangenciais: Cortante 19/06 T 28 Viga – Solicitações Tangenciais: Torção 21/06 Q 29 Viga – Detalhamento 26/06 T 30 Viga – Detalhamento 28/06 Q 31 Viga – Exercício 03/07 T 32 Revisão para a prova 05/07 Q 33 4a Prova 10/07 T ----- Provas de 2a Chamada (turma única – das 8:00 às 9:45 horas)

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PROGRAMA DO CURSO - SUMÁRIO -

PARTE I

1. INTRODUÇÃO AO CONCRETO ARMADO .............................................................. 9 1.1. Histórico ..................................................................................................................... 9

1.1.1. Desenvolvimento dos materiais de construção .................................................. 10 1.1.2. Breve história das construções ........................................................................... 10 1.1.3. Histórico do concreto ......................................................................................... 12 1.1.4. O concreto no Brasil .......................................................................................... 15

1.2. Noções Gerais ............................................................................................................. 19 1.2.1. Definição de concreto armado ........................................................................... 19 1.2.2. Viabilidade do concreto armado ........................................................................ 21 1.2.3. Tipos de concreto ............................................................................................... 22 1.2.4. Aplicações do concreto ...................................................................................... 26

1.3. Vantagens e Desvantagens ........................................................................................ 28 1.3.1. Vantagens do concreto armado .......................................................................... 28 1.3.2. Desvantagens do concreto armado .................................................................... 29

2. MATERIAIS ..................................................................................................................... 32 2.1. Concreto ..................................................................................................................... 32

2.1.1. Resistência à compressão ................................................................................... 32 2.1.2. Resistência à tração ............................................................................................ 39 2.1.3. Retração / Expansão ........................................................................................... 41 2.1.4. Variação de temperatura .................................................................................... 41 2.1.5. Fluência (deformação lenta) ............................................................................... 42 2.1.6. Estanqueidade, isolamento térmico e acústico ................................................... 43 2.1.7. O comportamento do concreto ........................................................................... 43

2.2. Aço ............................................................................................................................... 47 2.2.1. Processos de fabricação e diagramas Tensão versus Deformação ..................... 47 2.2.2. Classificação quanto ao limite de escoamento ................................................... 48 2.2.3. Dimensões .......................................................................................................... 49 2.2.4. Classificação quanto à conformação superficial ................................................ 49 2.2.5. Exigências de qualidade ..................................................................................... 51 2.2.6. Fadiga do aço ..................................................................................................... 51

2.3. Concreto Armado ...................................................................................................... 52 2.3.1. Comportamento elétrico ..................................................................................... 52 2.3.2. Defesa contra agentes químicos ......................................................................... 52 2.3.3. Resistência às altas temperaturas ....................................................................... 53

3. AÇÕES E SOLICITAÇÕES ........................................................................................... 55 3.1. Noções Gerais ............................................................................................................. 55 3.2. Ações a Considerar em uma Estrutura ................................................................... 56

3.2.1. Ações diretas ...................................................................................................... 56

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3.2.2. Ações indiretas ................................................................................................... 57 3.2.3. Ações excepcionais ............................................................................................ 57

3.3. Teoria da Segurança .................................................................................................. 57 3.3.1. Requisitos para garantir a economia .................................................................. 57 3.3.2. Conceitos de segurança ...................................................................................... 57

3.4. Introdução ao Método dos Estados Limites ............................................................ 59 3.4.1. Estados Limites Últimos .................................................................................... 59 3.4.2. Estados Limites de Serviço ................................................................................ 60 3.4.3. Processo de dimensionamento ........................................................................... 62 3.4.4. Vantagens principais do dimensionamento pelo Método dos Estados Limites . 62

3.5. Princípios para a Verificação da Segurança ........................................................... 62 3.5.1. Estado Limite Último ......................................................................................... 64 3.5.2. Estado Limite de Serviço ................................................................................... 66 3.5.3. Segurança dos cálculos ...................................................................................... 67

3.6. Carregamento das Estruturas .................................................................................. 67 3.6.1. Determinação dos carregamentos ...................................................................... 67 3.6.2. Carregamento das lajes ...................................................................................... 68 3.6.3. Carregamento das vigas ..................................................................................... 69 3.6.4. Carregamento dos pilares ................................................................................... 70

3.7. Composição de Carregamento ................................................................................. 70 4. INTRODUÇÃO AO PROJETO ESTRUTURAL ......................................................... 74

4.1. Elementos Estruturais ............................................................................................... 74 4.2. Seqüência de um Projeto Estrutural ........................................................................ 76 4.3. Elementos que Interferem no Projeto Estrutural ................................................... 77

4.3.1. Projeto Arquitetônico ......................................................................................... 77 4.3.2. Projeto Estrutural ............................................................................................... 77 4.3.3. Projeto de Fôrmas .............................................................................................. 78 4.3.4. Projetos de Instalações ....................................................................................... 78 4.3.5. Projeto de Revestimento de Fachada ................................................................. 78 4.3.6. Projeto de Impermeabilização ............................................................................ 78 4.3.7. Projeto de Paginação de Alvenaria .................................................................... 78

4.4. Informações do Projeto Estrutural .......................................................................... 90 4.5. Prescrições Normativas ............................................................................................. 91 4.6. Apresentação do Projeto do Curso .......................................................................... 93 4.7. Pré-dimensionamento das Estruturas ..................................................................... 100

4.7.1. Pilares ................................................................................................................. 101 4.7.2. Vigas .................................................................................................................. 104 4.7.3. Lajes ................................................................................................................... 106

5. BASES PARA O DIMENSIONAMENTO ..................................................................... 110 5.1. Hipóteses de Cálculo .................................................................................................. 113 5.2. Domínios da Flexão ................................................................................................... 115 5.3. Problemas de Análise ................................................................................................ 120 5.4. Problemas de Dimensionamento .............................................................................. 124

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6. ADERÊNCIA .................................................................................................................... 129 6.1. Tipos de Aderência .................................................................................................... 132 6.2. O Estudo da Tensão de Aderência ........................................................................... 133

6.2.1. Viga à flexão ...................................................................................................... 133 6.2.2. Prisma tracionado axialmente ............................................................................ 134 6.2.3. Ensaio de arrancamento padrão ......................................................................... 135

6.3. Representação da Aderência .................................................................................... 136 6.4. Modos de Ruptura por Perda de Aderência ........................................................... 136 6.5. Os Comprimentos de Ancoragem ............................................................................ 141 6.6. Cálculo dos Comprimentos de Ancoragem pela NBR 6118 (2007) ....................... 142

PARTE II

7. LAJES ................................................................................................................................ 148 7.1. Tipos de Laje .............................................................................................................. 148 7.2. Análise de Esforços nas Lajes ................................................................................... 152 7.3. Determinação da Altura das Lajes ........................................................................... 158 7.4. Carregamento das Lajes Para o Projeto em Estudo .............................................. 161 7.5. Dimensionamento e Detalhamento de Lajes Armadas em Cruz ........................... 162

7.5.1. Cálculo das reações e momentos atuantes ......................................................... 162 7.5.2. Cálculo dos momentos finais ............................................................................. 168 7.5.3. Dimensionamento e detalhamento das armaduras ............................................. 170

7.6. Dimensionamento e Detalhamento de Lajes Corredor .......................................... 185 7.7. Verificação ao Esforço Cortante .............................................................................. 186

PARTE III

8. VIGAS ................................................................................................................................ 190 8.1. Nomenclatura ............................................................................................................. 204 8.2. Solicitações Normais .................................................................................................. 205

8.2.1. Seções simplesmente armadas ........................................................................... 205 8.2.2. Seções duplamente armadas ............................................................................... 208 8.2.3. Vigas de seção T ................................................................................................ 214

8.3. Solicitações Tangenciais ............................................................................................ 220 8.3.1. Esforço Cortante ................................................................................................. 221 8.3.2. Momento Torçor ................................................................................................ 233

8.4. Detalhamento ............................................................................................................. 249 ANEXO A (Tabelas) .......................................................................................................... 260 ANEXO B (Exercícios) ...................................................................................................... 273 ANEXO C (Formulário das Provas) .................................................................................. 310

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BIBLIOGRAFIA

ARAÚJO, J. M. (2003) – Curso de concreto armado. Rio Grande: Dunas, 2003. Vols. 1 a 4, 2.ed.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. (2004) – Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2003. São Carlos: EdUFSCar, 2001, 2004. 374p. (www.ufscar.br/~editora) ([email protected])

GIONGO, J.S. (1993). – Concreto armado: ancoragem por aderência. São Carlos, EESC-USP;

GIONGO, J. S.; TOTTI Jr., F. – Concreto Armado: Resistência de Elementos Fletidos Submetidos à Força Cortante. São Carlos, EESC-USP, 1994;

FERGUSON, P. M; BREEN, J. E; JIRSA, J. O. (1988) – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 5th edition, 1988;

FUSCO, P. B. - Estruturas de concreto: solicitações normais. Ed. Guanabara Dois S.A., Rio de Janeiro, 1981;

FUSCO, P. B. - Estruturas de Concreto: solicitações tangenciais. São Paulo, EPUSP, 1981;

FUSCO, P. B. (1995) – Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: PINI;

MACGREGOR, J. G. (1988) – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall;

MEHTA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais. São Paulo: PINI;

LEONHARDT, F.; MONNING, E. (1977/78) - Construções de concreto. Rio de Janeiro, Interciência. v. 1 a 6;

PFEIL, W. (1978) – Concreto Armado. São Paulo, 3a edição;

PINHEIRO, L. M. (1986). Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos: EESC-USP. 66p.;

ROCHA, A. M. (1987/88) – Concreto armado. São Paulo, v. 1 a 4;

SÜSSEKIND, J. C. (1980) - Curso de concreto: concreto armado. Porto Alegre: Globo. v.1 e 2.

NORMAS TÉCNICAS

Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) - NBR 6118 (2007) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Março, 2007;

ABNT - NBR 6120 (1980) – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações – Procedimento. Rio de Janeiro, Novembro, 1980;

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ABNT - NBR 7480 (2007) – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – Especificação;

ABNT - NBR 8681 (2004) – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro, Março, 2004;

ABNT - NBR 12655 (2006) – Concreto de Cimento Portland – Preparo, controle e recebimento – Procedimento. Rio de Janeiro, Março, 2006.

ABNT - NBR 14931 (2004) – Execução de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Março, 2004.

SITES RELACIONADOS AO CONCRETO

• ABECE – www.abece.com.br – Associação Brasileira de Engenharia e Consultoria Estrutural;

• ABCP – www.abcp.org.br – Associação Brasileira de Cimento Portland; • ABESC – www.abesc.org.br - Associação Brasileira das Empresas de

Serviço de Concretagem; • ACI – www.concrete.org – American Concrete Institute; • CREA – www.creaba.org.br – Conselho Regional de Engenharia,

Arquitetura e Agronomia da Bahia; • Comunidade da Construção – www.comunidadedaconstrucao.com.br –

Reunião de entidades voltadas para a melhoria da qualidade da construção de obras com cimento;

• IBRACON – www.ibracon.org.br – Instituto Brasileiro do Concreto; • Livros de Engenharia – www.livrosdeengenharia.com.br – site de venda de

livros de engenharia; • PINI – www.piniweb.com – Editora de livros técnicos; • Vídeos – www.youtube.com – busca por concrete forms; concrete pour;

concreto; lançamento de concreto; vibração de concreto; etc...

SITES RELACIONADOS AO CURSO

• DCE – www.dptoce.ufba.br – Departamento de Construção e Estruturas da EPUFBA;

• EPUFBA – www.eng.ufba.br – Escola Politécnica da Universidade Federal da Bahia;

• LMC – www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/tecedu – Laboratório de Mecânica Computacional da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – Tecnologia Educacional / Engenharia Civil

• UFBA – www.ufba.br – Universidade Federal da Bahia.

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PARTE I

× Introdução e Conceitos Fundamentais Ø

ENG 118 – Estruturas de Concreto Armado I

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1. INTRODUÇÃO AO CONCRETO ARMADO

O concreto simples é um material de construção constituído pela mistura convenientemente proporcionada de materiais inertes (agregados graúdo e miúdo) com um aglomerante hidráulico (cimento) e água.

O consumo de concreto em 1920 era de aproximadamente 700 milhões de toneladas por ano. Segundo Brunauer e Copeland (1964)1, apud Mehta & Monteiro (1994): “O consumo mundial total de concreto, no ano passado (1963), foi estimado em 3 bilhões de toneladas, ou seja, uma tonelada por ser humano vivo. O homem não consome nenhum outro material em tal quantidade, a não ser a água”. Agora, entrando no século XXI, o consumo anual de concreto é próximo de 6 bilhões de toneladas, ou seja, continua da ordem de uma tonelada por ser humano.

O grande consumo de concreto deve-se a vários fatores, entre os quais pode-se destacar: a facilidade e a disponibilidade de encontrar os materiais que o compõem (água, cimento e agregados) e a um custo relativamente baixo; a sua facilidade de execução; a sua adaptação a praticamente todo tipo de forma e tamanho; a sua excelente resistência à água e a diversas ações; e ainda, o fato de que o concreto se apresenta como um material “ecologicamente correto”, não só por requerer, na sua produção, um consumo relativamente baixo de energia, como também por ser um material que pode reciclar grande quantidade de resíduos industriais. Entretanto, no que se refere às etapas de extração e fabricação dos materiais componentes do concreto, ainda tem-se um longo caminho a seguir na busca de uma situação mais sustentável.

Segundo Pinheiro & Giongo (1986), o concreto surgiu com o desejo de se criar uma pedra artificial, resistente, econômica e durável como a pedra natural e que apresentasse como vantagem a possibilidade de ser moldada nas dimensões e nas formas desejadas.

1.1. HISTÓRICO

Desde o seu aparecimento, em meados do século XIX, até hoje o concreto vem se desenvolvendo, seja com o surgimento de novas tecnologias, como o surgimento de novas técnicas de concretagem, ou com o surgimento de novos materiais, tais como os aditivos, as fibras, etc.

É de fundamental importância o conhecimento da nossa história, para uma melhor compreensão do nosso tempo presente, seja ela referente a qualquer assunto. Segundo Nápoles Neto & Vargas (1996): “A História, não como simples descrição, mas como registro, o quanto possível completo, dos fatos analisados, tem sido chamada de “’Mestra da Vida’... Tanto que os chamados ‘históricos de casos’ têm sido apresentados em reuniões técnicas gerais, como já foram objeto de congressos só a eles dedicados”.

Seja a história das construções ou a história da medicina, elas fazem parte da nossa história. Elas contam a história do Homem.

1 Brunauer, S.; Copeland, L. E. (1964) – artigo publicado na “Scientific American”, apud MEHTA & MONTEIRO (1994).


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1.1.1. Desenvolvimento dos materiais de construção

Desde os primórdios da humanidade, uma das principais preocupações do homem tem sido onde e como se abrigar. Os materiais de construção que têm sido usados desde então vêm sofrendo mudanças. A Figura 1.1 apresenta um esquema do desenvolvimento dos materiais de construção mais utilizados, e mostra apenas uma sequência cronológica, e não uma ordem de importância ou de qualidade dos materiais.

Figura 1.1 – Desenvolvimento dos materiais de construção (LIN & BURNS,1981).

1.1.2. Breve história das construções

Quando surgiu a primeira construção? Essa é uma pergunta que se tem tentado responder há bastante tempo. Antes de respondê-la, porém, precisa-se definir o que é uma construção. Na literatura corrente acham-se várias definições, entre elas pode-se destacar a seguinte, segundo Grimshaw (1998), uma construção é qualquer estrutura feita pelo homem que inclua parte do espaço em redor e proporcione proteção contra os elementos do ambiente. Essa definição deixa de fora as estruturas como as pontes, os canais, as barragens, etc, porém responde a uma segunda pergunta: por que as pessoas começaram a fazer construções?

Há cerca de 2,5 milhões de anos os homens primitivos viviam em cavernas, ou em outros abrigos naturais, que os protegiam do tempo e dos animais selvagens. Essa condição de vida tinha um inconveniente: os homens ficavam restritos às áreas próximas de seus abrigos. Quando eles começaram a sair em busca de alimentos ou locais mais seguros, nem sempre era possível proteger-se em outros abrigos naturais, e então começaram a improvisar novos abrigos. Começaram a elaborar as primeiras construções. Essas construções eram bem primitivas, feitas com os materiais disponíveis: madeira, cipós, peles e ossos de animais, galhos de árvores, etc. Apesar de rústicas, essas construções forneciam ao homem o que ele


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precisava: proteção contra o clima e os animais, e um lugar para guardar os seus pertences. Como essas construções eram feitas com materiais perecíveis, a grande maioria foi destruída ao longo do tempo. A construção mais antiga de que se tem notícia, segundo Grimshaw (1998), tem cerca de 400 mil anos. Ela foi descoberta em 1965 em Nice, na França, e era composta de 21 cabanas muito perto umas das outras, indicando que seus moradores deviam ter vivido em comunidade.

O uso da pedra nas construções surgiu como uma alternativa quando não se tinham disponíveis a madeira, o cipó, etc. Ou ainda, era usada em conjunto com estes materiais. O exemplo mais conhecido do uso da pedra nas construções é o conjunto das Pirâmides do Egito.

Depois das pirâmides, o uso das pedras foi muito freqüente na construção de torres, templos, castelos, domos e arcos. Entre eles destacam-se: o pagode de Suzhou, em forma de torre (China, 960 a.C.), o Coliseu de Roma (70-82 d.C.), o Panteão de Roma (110-125 d.C.), o templo budista de Borobodur (Java, c. 800 d.C.) e a famosa Torre de Pisa, construída entre 1174 e 1350.

Veio então a Idade Média, também conhecida como a Idade das Trevas, e muito do desenvolvimento da engenharia foi perdido ou destruído durante esse período. Porém, algumas construções dessa época eram grandiosas, como os castelos dos senhores feudais, por exemplo, e algum progresso ocorreu.

Com a chegada do Renascimento, como o próprio nome já diz, novos impulsos foram dados não só às artes como também à ciência e ao desenvolvimento tecnológico. Nomes como Galileo e Leonardo Da Vinci foram de extrema importância nessas áreas. Segundo Nápoles Neto & Vargas (1996): “Leonardo da Vinci, na arquitetura, na construção e até na engenharia, apresentou projetos de bate-estacas e ensecadeiras. Galileo Galilei, não só reuniu tudo que a ciência do século XVI tinha trazido para a arte da construção, mas também pelos seus estudos sobre a flexão de vigas acabou por fundar a Resistência dos Materiais”.

Os séculos XVII e XVIII marcam o crescimento da França, e nesse período destaca-se Vauban, engenheiro militar, cuja grande experiência foi adquirida na construção de cerca de 300 fortificações e no trabalho dos grandes canais mandados fazer por Luís XIV. Nesse período, são formados os primeiros engenheiros civis, assim reconhecidos, pela Escola de Pontes e Pavimentos (École des Ponts et Chaussées).

No século XVIII, a partir de 1760, tem início a Revolução Industrial, que começou na Inglaterra e logo se espalhou por toda a Europa e Estados Unidos. Com a Revolução Industrial, vieram as máquinas e a produção em larga escala de mercadorias e novos materiais, entre eles o ferro.

A partir daí a construção de estruturas em ferro teve uma expansão quase meteórica. O novo material permitia vãos maiores com seções menores. A primeira ponte em ferro foi construída em 1779 sobre o rio Severn em Coalbrookdale (Shiropshire), Inglaterra. Em 1803, R. Trevithick construiu a primeira estrada de ferro. A fabricação do aço, de maneira barata, veio em 1856 com H. Bessemer, e praticamente substituiu o ferro nas construções, devido a sua maior durabilidade. O grande marco dessa época, a Torre Eiffel, foi construída para a Exposição Internacional de 1889, e até hoje é um dos cartões postais mais visitados do mundo.


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Com o surgimento do cimento portland em 1824 com J. Aspdin, e daí o concreto como o conhecemos hoje, a junção dos dois materiais, aço e concreto, formando o concreto armado, foi uma conseqüência natural do desenvolvimento deles. O século XX foi testemunha, primeiro do desenvolvimento do concreto armado, em seguida do concreto protendido, e posteriormente dos concretos de alto desempenho.

No século XX, surgiram os computadores, os arranha-céus, as grandes barragens e as pontes com vãos de mais de 1 km, como a Ponte Akashi-Kaikyo, no Japão, cujo vão central possui 1,99 km de comprimento. O século XX foi palco de um avanço tecnológico nunca antes imaginado, maior, talvez, que todo o avanço até então.

Hoje existem inúmeros materiais e técnicas de construção diferentes, que podem ser usados independentemente ou em conjunto, como as estruturas mistas, por exemplo. Todos têm sua importância, basta que se saiba como e quando utilizá-los, para que se consiga tirar o melhor proveito possível de cada um.

1.1.3. Histórico do concreto

O surgimento oficial do concreto é datado de 1849, com o famoso barco de Lambot, na França, tanto que esta comemorou os cem anos do concreto armado (Cent Ans de Béton Armé) em 1949. Porém, a história do concreto começou bem antes.

Segundo Aïtcin (1999), alguns pesquisadores, como o francês Davidovits, dizem que os egípcios foram os inventores do concreto, já que acreditam que o concreto foi usado na construção das partes internas das pirâmides. Acredita-se que no seu interior foram usados blocos de concreto feitos de um tipo de cimento denominado “geopolímero”, que era composto de pedra britada, silte do Nilo e resíduos das minas de cobre da área do Monte Sinai. Apenas os blocos externos das pirâmides seriam de pedra natural. Há pesquisadores que contestam essa idéia.

Alguns arqueólogos acreditam que o concreto veio do Oriente Médio, ou dos fenícios, ou ainda dos gregos, todos antes dos romanos. Caso os romanos não tenham sido os inventores do concreto, no que acredita a maioria dos pesquisadores, eles foram sem dúvida nenhuma os primeiros que o usaram de forma eficaz e em larga escala.

Os romanos já usavam uma mistura de pedra com as cinzas vulcânicas do Vesúvio, encontradas na cidade de Puzzoli, daí a origem do nome pozolana, que endurecia em contato com a água. Eles também já usavam aditivos em suas misturas, como o sangue, que funcionava como um incorporador de ar nas argamassas, fato que ocorre devido à propriedade de dispersão da hemoglobina. Na construção do Pantheon da Roma, uma das obras mais impressionantes do Império Romano, foram utilizados sete tipos diferentes de concreto, do mais pesado ao mais leve, à medida que se chegava ao topo da cúpula, o que se constituiu no uso de concreto com agregados leves, há praticamente nove séculos. Os romanos também já utilizavam o princípio do concreto armado, pois foram encontradas construções dessa época com barras de bronze dentro de argamassas de pozolanas.

Com a chegada dos Bárbaros e a queda do Império Romano, o uso do concreto se perdeu até quase o final do século XVIII. Até então, como já foi citado anteriormente, a pedra era o material de construção mais utilizado, seguida pela madeira.


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Após esse período, a primeira notícia que se tem do concreto é em 1770 com Rondelet, na construção da Igreja de Santa Genoveva, hoje Pantheon de Paris. Essa construção foi feita em alvenaria armada, com a associação de ferro e pedra natural, com os espaços vazios sendo preenchidos com uma argamassa de cal. A Figura 1.2 apresenta um esboço de parte da construção.

Figura 1.2 – Alvenaria de pedra armada (Pantheon de Paris, 1770)(VASCONCELOS, 1992).

Em seguida, ainda no século XVIII, os ingleses Smeaton e Parker desenvolveram pesquisas sobre o cimento, e em 1791 Smeaton usou uma mistura de pedra e argila como base da construção do Farol de Eddistone, em Cornwall. Com o desenvolvimento das pesquisas na área do cimento, chega-se a um outro inglês, Aspdin, que em 1824 desenvolveu o cimento portland. Quase que paralelamente a Aspdin, Vicat, na França, também chega ao cimento portland, e a partir daí o cimento passa a ser produzido em escala industrial. Em 1845, Johnson desenvolve o cimento como nós o utilizamos hoje.

Chega-se então a 1849, data oficial do surgimento do concreto. Nesta data o francês Lambot desenvolveu um barco em argamassa armada, chamada na época de cimento armado. O objetivo de Lambot era fazer um barco com um material que não se deteriorasse com o tempo, em contato com a água. Ele costumava sair para pescar com seus filhos, e os barcos de madeira acabavam apodrecendo de tempos em tempos, sendo necessário fazer outros. O experimento deu certo e Lambot o apresentou na Exposição de Paris de 1855. Também nesse ano (1855) é montada a primeira fábrica de cimento na Alemanha.

Em 1854, W. B. Wilkinson registrou uma patente de um sistema de piso usando domos em argamassa oca como fôrma, preenchidos com concreto armado com cabos de aço expurgados de guindastes de minas.

O grande responsável pela difusão do concreto armado na Europa, e em seguida na América, foi o horticultor e paisagista francês Monier. Ele esteve na Exposição de Paris e viu o barco de Lambot. Monier também tinha problemas com o apodrecimento de vasos de madeira, onde ele cultivava suas plantas, e começou então a fazer vasos de argamassa armada, mesmo material do barco, que não se deteriorava em contato com a água. A partir de 1861, Monier começou a fazer outros objetos e obter patentes para eles, à medida que viajava pela Europa, vendendo suas peças e difundindo o concreto armado. Nesse mesmo ano (1861), Coignet, também francês, obtém uma patente para execução de peças de concreto armado. Em 1867, Monier tira a patente para os vasos, em 1868 para tubos e reservatórios, em 1869 para placas e


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em 1873 para pontes. Nesse mesmo ano (1873), Ward, nos estados Unidos, constrói uma casa em concreto armado.

Dentre os americanos, o advogado Hyatt é um dos grandes nomes dessa época, deixando grandes contribuições para as construções de concreto armado. Em 1877 ele tira a patente de um sistema de execução em vigas de concreto e aço, onde a posição das barras previa os efeitos de tração e cisalhamento, e já sugeria o uso de estribos e barras dobradas.

Até esta época, a armadura era disposta no concreto empiricamente, de forma a adequar-se com a forma da estrutura desenvolvida, sem levar em conta os esforços envolvidos. Em 1880 Monier vendeu suas patentes a uma empresa alemã, que contratou o professor Mörsch, da Universidade de Stuttgart, para realizar estudos sobre o concreto armado, estudos estes que resultaram na formulação da Teoria Clássica de Mörch, em 1902. A partir desta teoria, as primeiras normas para o cálculo e a construção em concreto armado foram redigidas, propiciando o desenvolvimento deste material na construção.

Desde então, vários pesquisadores vêm dando suas contribuições ao desenvolvimento do concreto, entre eles destacam-se, segundo Pinheiro & Giongo (1986), os listados a seguir:

1880 Hennebique, na França, constrói a primeira laje armada com barras de aço de seção circular;

1884 e 1885

Firmas alemãs, entre elas Wayss e Freytag, adquirem as patentes de Monier, para emprego na Alemanha e na Áustria;

1886 Könen, na Alemanha, escreve a primeira publicação sobre cálculo de concreto armado;

1888 Döhring, também na Alemanha, registra a primeira patente sobre aplicação de protensão em placas e em pequenas vigas;

1892 Hennebique registra patente da primeira viga como as atuais, com estribos;

1897 Rabut, na França, inicia o primeiro curso sobre concreto armado, na École des Ponts et Chaussées;

1902 Mörsch, engenheiro da firma Wayss e Freytag, publica a primeira edição de seu livro, apresentando resultados de numerosas experiências e tornando-se um dos maiores contribuintes para o progresso do concreto armado;

1904 Surge na Alemanha a primeira norma sobre concreto armado;

1912 Mörsch e Könen desenvolvem os princípios do concreto protendido com a introdução de tensão prévia nas armaduras para eliminar os esforços de tração. A idéia porém foi abandonada devido às altas perdas de tensão registradas ao longo do tempo;

1928 Freyssinet (considerado o pai do concreto protendido) utiliza os aços de baixa relaxação, obtendo, assim, o concreto protendido como o conhecemos hoje;

1945 A partir desse ano, após a 2a Guerra Mundial, o concreto protendido passa a


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ser usado em escala comercial.

Desde o final da década de 50 vem sendo produzidos os concretos de alta resistência (CAR). Inicialmente considerava-se nesta categoria concretos com resistência à compressão acima de 35 MPa. Atualmente tais concretos são usados cotidianamente em vários países, não sendo mais considerados de alta resistência. Hoje, concretos com resistência à compressão acima de 100 MPa são obtidos com relativa facilidade. O limite de resistência para considerá-lo de alta resistência, ou não, ainda não está totalmente definido, varia de país para país, e às vezes até mesmo dentro de um único país há divergências. Porém, pode-se dizer que o uso do concreto de alta resistência, seja ela acima de 40, 50 ou 60 MPa, é uma constante em quase todo o mundo.

Com o desenvolvimento dos concretos de alta resistência, chegou-se, nos dias atuais, a um novo tipo de concreto: o concreto de alto desempenho (CAD). Na realidade, um novo conceito para os diferentes tipos de concreto já existentes. Quando se diz CAD, deve-se estabelecer a que se refere o desempenho desejado, seja ele a alta resistência ou a durabilidade, por exemplo. Na maioria dos casos essas duas propriedades ocorrem juntas.

Não se pode falar no desenvolvimento do concreto, ou de qualquer material de construção, sem citar o desenvolvimento da arquitetura. Engenharia e arquitetura são duas ciências que vêm caminhando juntas, apesar de nem sempre de forma amigável. São ciências que interagem e se complementam. O que seria da engenharia, ou do concreto, se não tivessem existido nomes como Peter Behrens, Walter Gropius, Frank Lloyd Wrigth, Le Corbusier, Gaudi, Lina Bo Bardi, sem falar nos brasileiros Lúcio Costa e Oscar Niemeyer, que imaginaram as obras de arte que a engenharia ergueu? E o que seria da arquitetura se não fosse a engenharia para realizar o que estava no papel?

No momento atual de globalização, tem-se que cada vez mais procurar trabalhar em grupo, para assim obter um resultado final de sucesso, seja ele na atividade que for.

1.1.4. O concreto no Brasil

O uso do concreto no Brasil começou no limiar do século XX e não parou mais. Apesar do Brasil não ter participado na descoberta do concreto, já que as pesquisas tecnológicas na Europa e Estados Unidos eram bem mais avançadas que as nossas na época, soube muito bem usá-lo de forma criativa, ousada e eficiente, como comprovam o nosso acervo de obras por todo o país. Hoje, além das contribuições construtivas, o Brasil participa efetivamente no desenvolvimento tecnológico do concreto, e da ciência da engenharia como um todo.

Segundo Vasconcelos (1992), a primeira obra em concreto do Brasil de que se tem notícia é de 1892. Consistia da construção de casas de habitação sob a responsabilidade do engenheiro Carlos Poma, que utilizou o sistema de Monier. Em 1901, foi feita a substituição de uma galeria provisória de madeira por uma de concreto armado, da Estrada de Ferro Central, na Serra da Mantiqueira. Em seguida, em 1904, estava sendo construída a Companhia Açucareira da Praia da Saudade, segundo nota do Prof. Antonio de Paula Freitas. Em 1907, aproximadamente, foram realizadas várias obras de saneamento em Santos, a cargo do engenheiro Saturnino de Brito, onde se destaca a ponte da rua Senador Feijó com 5,4 m de vão e laje de 15 cm de espessura, como mostra a Figura 1.3.


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Figura 1.3 – Ponte na rua Senador Feijó em Santos (VASCONCELOS, 1992).

Ainda segundo Vasconcelos (1992), em 1908 foi executada uma ponte de 9 m de vão no Rio de Janeiro sobre a responsabilidade do empreiteiro Echeverria, do qual não se sabe quase nada, com cálculo e projeto de Hennebique. Acredita-se que Hennebique tenha feito vários cálculos e projetos para o Brasil e outros países da América do Sul. Segundo Milton Vargas2, apud Vasconcelos (1992), o primeiro edifício em concreto armado do Brasil (na época cimento armado) foi em São Paulo à rua Direita no 7, construído pelo arquiteto Francesco Notaroberto, provavelmente entre 1907 e 1908.

Apesar das contradições quanto a qual foi realmente a primeira obra no Brasil, desde o início do século XX têm sido produzidas inúmeras obras em concreto armado no país. A seguir são transcritos trechos de Vasconcelos (1992), enumerando as principais obras que contam a história do nosso país:

1911 Ponte sobre o Rio Camanducaia, na Fazenda Modelo, em Amparo, São Paulo;

1912 Ponte sobre o Rio Tamanduateí, na Moóca, São Paulo. Trata-se de uma ponte em arco de 29 m de vão, construída como parte das obras de retificação e canalização do rio;

1912 Paredes laterais e lajes do fundo e do teto das obras de reconstrução de dois grandes reservatórios do sistema de abastecimento de água de Belo Horizonte;

1914 Diversas obras de arte (pontes, viadutos, muros de arrimo) na duplicação da linha da Serra do Mar da EFCB. Nessas obras foram usados trilhos velhos como armadura de concreto, não se tratando, portanto, de concreto armado com o significado que hoje se lhe dá;

1914 Muros de arrimo laterais em dois trechos das obras de retificação e canalização do Rio Tamanduateí, São Paulo;

2 Vargas, M. (1979) – A tecnologia no Brasil. In: FERRI, M. G. & MOTOYAMA, S., coord. História das Ciências no Brasil. São Paulo, EDUSP, 1979. cap. 13, p. 331-73, apud VASCONCELOS (1992).


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1924 Jockey Club do Rio de Janeiro, fundações em estacas de concreto armado cravadas até uma profundidade máxima de 24 m, perfazendo um total de 8 km, um recorde sul-americano na época;

1926 Jockey Club do Rio de Janeiro, marquise da tribuna de sócios com balanço de 22,4 m, recorde mundial na época (projeto e construção de Christiani & Nielsen);

1926 Ponte Presidente Sodré (antiga Itajurú) em Cabo Frio, arco de 67 m de vão e flecha de 10,5 m, recorde sul-americano na época (projeto e construção de Christiani & Nielsen)

1925 a 1929

Edifício Martinelli, construído em São Paulo com área de 40.000 m2, o maior do mundo, na época, com 106,5 m de altura e 30 pavimentos;

1930 Elevador Lacerda, na cidade de Salvador, construído pela filial brasileira da firma dinamarquesa Christiani & Nielsen. É o maior elevador de passageiros para fins comerciais no mundo, com elevação de 59 m, e altura total de 73 m;

1930 Ponte de Herval (ou Ponte Emílio Baumgart, destruída pelas enchentes de 1983) em Santa Catarina, sobre o Rio do Peixe, com o maior vão do mundo, na época, de 68 m em viga reta. Primeira ponte do mundo em concreto construída em balanços;

1930 Estátua do Cristo Redentor no Corcovado, mais alta estátua (30 m) de concreto armado do mundo, na época; empreendimento e realização do engenheiro Heitor da Silva Costa, escultura de Paul Landowski e cálculos do Bureau d’Études L. Pelnard, Considère & A. Caquot – Paris;

1928 a 1931

Edifício “A Noite”, construído no Rio com 22 pavimentos: o mais alto edifício do mundo em concreto armado, na época, com 102,8 m de altura a partir do rés-do-chão e 3,6 m enterrados; projeto de Emílio Baumgart e construção de Gusmão, Dourado & Baldassini;

1937 Ponte ferroviária na estrada de ferro Mayrink-Santos, em viga contínua de 3 tramos (24,33 + 30 + 24,33 m), conhecida como Viaduto 19; a maior ponte ferroviária do mundo na época, projeto de Humberto da Fonseca;

1937 O maior conjunto de obras-de-arte em volume de concreto do mundo, em estradas de ferro (na época de sua conclusão), na Estrada de Ferro Mayrink-Santos; projeto de Humberto da Fonseca;

1939 Ponte ferroviária sobre o Rio Mucuri com 39,3 m, recorde mundial, na época, para este tipo de ponte, em viga reta (projeto de Baumgart);

1939 Jockey Club de São Paulo, marquise da tribuna dos sócios com 25,2 m, recorde mundial na época;

1943 Cúpula do Salão de Jogos do Hotel Quitandinha em Petrópolis; recorde sul-americano em casca elíptica, na época, com diâmetro de 46,4 m e flecha


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de 12,6 m; projeto de Antonio Alves Noronha;

1949 Ponte do Galeão, a mais longa ponte (e a de maior área de tabuleiro) do mundo, na época, em concreto protendido, com 380 m de extensão e 7.600 m2, construída pela Civilhidro;

1952 Ponte de Joazeiro sobre o Rio São Francisco, a mais longa do mundo (801 m), na época, em seu gênero: ponte rodo-ferroviária em viga reta contínua; o comprimento da viga contínua é de 561 m (L. máx. de 44,8 m);

1952 Ponte sobre o Rio das Antas, o maior arco de concreto armado do mundo, na época, com 186 m de vão (com tabuleiro intermediário), no Rio Grande do Sul; projeto de Antonio Alves Noronha;

1960 Ponte de Estreito, sobre o Rio Tocantins, com o maior vão do mundo (140 m), na época, em viga reta, construída pelo processo de balanços sucessivos, em concreto protendido, pela primeira vez no Brasil; construção e projeto de Sergio Marques de Souza;

1962 Ponte da Amizade (ponte internacional de Foz do Iguaçu ou Ponte Presidente Stroessner como a denominam os paraguaios) com o maior arco de concreto armado do mundo, na época, com 290 m de vão;

1962 Edifício Itália, o mais alto edifício em concreto armado do mundo, durante alguns meses, antes da conclusão dos acabamentos, perdendo, logo em seguida, para o Marina City (Chicago);

1969 Garagem San Siro, em São Paulo: o mais alto edifício –garagem do mundo, com altura de 90,3 m acima da calçada, esbeltez 10:1, 36 andares; interessante solução estrutural de Mario Franco; projeto arquitetônico e construção de A. Danilovic;

1969 Museu de Arte de São Paulo (MASP), com laje de 30 x 70 m livres, recorde mundial de vão, na época, projeto estrutural da equipe técnica do Prof. Figueiredo Ferraz, projeto arquitetônico de Lina Bo Bardi, construção de Heleno & Fonseca;

1975 Ponte Colombo Salles em Florianópolis, a maior viga contínua protendida do mundo (1.227 m), projeto da equipe técnica do Prof. Figueiredo Ferraz, construída pela Construtora Norberto Odebrecht;

1982 Usina Hidrelétrica de Itaipu é a maior do mundo na modalidade de barragem de gravidade aliviada, com 190 m de altura e mais do que 10 milhões de metros cúbicos de concreto; foi projetada por quatro consórcios de firmas brasileiras e paraguaias e construída do mesmo modo com coordenação americano-italiana.

19?? Edifício World Trade Center, em São Paulo, projeto de Aflalo & Gasperini Arquitetos e construído pela Construtora OAS; possui 177.000 m2 de área construída, que engloba: duas torres, uma de 26 e outra de 17 andares; estrutura em laje lisa protendida com 25 cm de altura e vãos de 10 m, com vigas de bordo.


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19?? Edifício Suarez Trade, em Salvador, projeto da Leite & Miranda, com 33 andares e 40.000m2, com concreto de 60MPa nas colunas da torre, andares-tipo com 600m2 totalmente livres, sem pilares intermediários, estrutura protendida nervurada no tipo, com 15m de vão e espessura total de somente 400mm, laje plana (sem vigas) em concreto armado nos andares de garagem.

19?? Edifício Manhattan Tower, no Rio de Janeiro, projeto da Leite & Miranda, é um recorde mundial em esbeltez para edifícios, para 114m de altura, são somente 8m de largura, uma relação de 14 para 1, com a torre principal com 33 andares.

1.2. NOÇÕES GERAIS

A característica mais importante que se pode ressaltar em relação ao concreto armado é que ele se constitui na combinação de um material que resiste muito bem à compressão, o concreto, com um material que resiste muito bem à tração, o aço. De maneira geral, pode-se dizer que, nas peças de concreto armado, o concreto é o responsável por resistir aos esforços de compressão e o aço aos de tração. Nas peças essencialmente comprimidas, o aço aumenta a capacidade resistente do elemento.

Separadamente, o aço resiste tanto à tração como à compressão, porém o concreto possui uma baixa resistência à tração, da ordem de 10% da sua resistência à compressão, para os concretos de baixa resistência. Para resistências à compressão mais altas, essa porcentagem diminui.

A junção desses dois materiais – aço e concreto - forma um terceiro, o concreto armado, que se apresenta como uma excelente opção para quase todo tipo de estrutura, para vãos de até 8,0 a 10,0 metros.

1.2.1. Definição de concreto armado

Como já foi dito, o concreto armado é o material de construção resultante da ação conjunta de dois outros materiais: o concreto e o aço.

O concreto por sua vez é um material composto da mistura de um aglomerante hidráulico (o cimento), da água, de agregados miúdo (em geral a areia) e graúdo (em geral a brita), e ainda, quando for o caso, de aditivos e de adições. Estes últimos servem para melhorar ou fornecer alguma propriedade específica ao concreto, como por exemplo, os incorporadores de ar, que servem para melhorar a trabalhabilidade do mesmo.

Em função dos materiais utilizados na mistura, é importante conhecer a seguinte terminologia:

• Pasta: mistura do cimento e da água;

• Argamassa: mistura da pasta com o agregado miúdo;

• Concreto: mistura da argamassa com o agregado graúdo;

• Concreto armado: junção do concreto com a armadura (aço).


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Para a caracterização do concreto armado é importante a definição de dois valores básicos: a resistência do concreto à compressão e a resistência do aço à tração. Para as peças comumente em utilização no mercado, a resistência característica do concreto à compressão (fck) varia de 20 MPa a 50 MPa. Já a resistência do aço à tração (fyk) é de 500 MPa e 600 MPa. Esse assunto será tratado mais detalhadamente nos capítulos referentes às propriedades dos materiais concreto e aço.

O grande problema que as peças de concreto armado apresentam é a fissuração. Uma fissuração elevada do concreto pode levar a uma série de problemas, onde se destacam os seguintes:

• Comprometimento da estética da estrutura;

• Sensação de desconforto e insegurança dos usuários;

• Redução da inércia da peça (Figura 1.4), podendo levá-la a grandes deformações, ou até mesmo à ruína;

Figura 1.4 – Redução de inércia devido à fissuração.

• Corrosão das armaduras (Figura 1.5), que num estágio avançado também pode comprometer a estabilidade e segurança da estrutura.

Figura 1.5 – Exemplos de corrosão de armadura.

Algumas providências podem ser tomadas para minimizar o problema da fissuração, como o uso de fibras no concreto, ou ainda, a utilização do concreto protendido. Para garantir uma


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maior durabilidade às peças de concreto, a NBR6118 (2007) aumentou os cobrimentos mínimos e definiu resistências à compressão mínimas e fatores água/cimento máximos em função das condições ambientais às quais as peças estarão submetidas Tabelas V a VII do Anexo A).

1.2.2. Viabilidade do concreto armado

De acordo com Süssekind (1981), a existência do material concreto armado só é possível devido a três fatores básicos. São eles:

a) Aderência entre o concreto e o aço.

Para que o concreto armado trabalhe como um material único, é fundamental garantir que haja uma perfeita aderência entre o aço e o concreto, o que significa que os dois materiais possuam a mesma deformação em todos os pontos (εs=εc). Caso contrário, estaria havendo um escorregamento de um material em relação ao outro (εs≠εc). A aderência entre os dois materiais também garante que haja a transferência de esforços de um para o outro, fazendo com que o aço ajude o concreto e vice-versa.

b) Coeficientes de dilatação térmica (α) do concreto e do aço praticamente iguais, à temperatura ambiente.

O coeficiente de dilatação térmica do aço é de α=1,2x10-5/oC, e o do concreto varia de α=0,9x10-5/oC à α=1,4x10-5/oC, com valor mais freqüente em torno de α=10-5/oC. Para as temperaturas usuais das estruturas de concreto armado, essa diferença não é significativa. Adota-se, portanto, para o concreto armado um coeficiente de dilatação térmica de α=10-5/oC. Essa diferença passa a ter importância quando as estruturas atingem temperaturas elevadas, como no caso de incêndios, o que não é uma situação corriqueira para a grande maioria das obras. Nas estruturas onde o risco de incêndio é significativo, pode-se tomar algumas providências para minimizar o problema, tais como: a utilização de cimentos mais resistentes ao fogo e o aumento do cobrimento das peças. As peças de concreto armado quando submetidas a grandes diferenças de temperatura (∆T) sofrem deformações (ε), que são calculadas da seguinte maneira:

ε = α . ∆T ε = ∆L / L ∆L = α . ∆T . L

Em que: ∆L = deslocamento da peça; L = comprimento inicial da peça.

c) Proteção contra a corrosão, que o concreto fornece à armadura.

O concreto fornece dois tipos de proteção contra a corrosão às armaduras de concreto:

• Proteção física: devido ao cobrimento; as armaduras não ficam expostas ao meio ambiente, o que as levaria à oxidação; por isso, atenção especial deve ser dada ao cobrimento das peças, que deve ser o mais uniforme e homogêneo possível.

• Proteção química: o concreto, por ser um meio alcalino, inibe a oxidação das armaduras.


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A proteção das armaduras quanto à corrosão é um fator determinante na durabilidade da peça, ou seja, na garantia da sua vida útil. Para que seja garantida esta proteção das armaduras, deve-se atentar a dois aspectos:

• Deve-se fixar um valor mínimo para o cobrimento da armadura, e mante-lo o mais uniforme possível, a fim de não ocorrer maior perigo de corrosão numa região.

• Os cimentos, agregados, água de amassamento e aditivos não devem conter uma quantidade de materiais passíveis de favorecer a corrosão, em percentuais superiores a limites estabelecidos em norma.

1.2.3. Tipos de concreto

Atualmente, quando se fala em concreto, deve-se definir a qual se refere, pois existe uma enorme variedade de tipos de concreto, tais como: concreto armado, concreto protendido, concreto compactado com rolo, concreto projetado, concreto massa, concreto leve, concreto pesado, concreto com fibras, etc. Cada um deles tem características e aplicações próprias. Nos parágrafos seguintes, será feita uma breve descrição de alguns dos tipos mais usados, citando suas principais características e aplicações.

• Concreto simples: concreto utilizado sem armadura, ou com armadura menor que a mínima, que resiste basicamente às tensões de compressão e possui um peso específico da ordem de 24 kN/m3; utilizado principalmente nas fundações, como os blocos de concreto ciclópico, os tubulões e as estacas de concreto;

• Concreto armado: é o material resultante da ação conjunta do concreto e do aço (Figura 1.6), que trabalha como armadura passiva, onde o primeiro resiste às tensões de compressão e o último às de tração; possui um peso específico da ordem de 25 kN/m3; a existência do concreto armado se dá, principalmente, pela aderência entre os dois materiais; é utilizado em praticamente todo tipo de estrutura, até onde o binômio Eficiência x Economia é satisfeito;

Figura 1.6 – Concreto armado

• Concreto protendido: é a ação conjunta do concreto e do aço, como armadura ativa (com a introdução de tensões prévias na armadura, Figura 1.7); o concreto protendido é utilizado, entre outras aplicações, nas estruturas com grandes vãos e cargas elevadas, onde o concreto armado passa a não ser economicamente viável; o concreto protendido, também, tem a vantagem de apresentar uma durabilidade maior, já que sua fissuração é bem menor;


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• Argamassa armada: possui basicamente a mesma composição do concreto (Figura 1.8), porém sem a utilização do agregado graúdo (pedra), e possui uma armadura difusa, de pequeno diâmetro, normalmente em tela soldada; é muito utilizada em peças pré-moldadas leves;

Figura 1.7 – Concreto protendido

Figura 1.8 – Argamassa armada

• Concreto leve: é um concreto mais leve que o convencional, feito, na maioria das vezes, com agregados leves celulares, podendo seu peso específico seco ao ar ser da ordem de dois terços do peso do concreto convencional, e não ultrapassando o valor de 18,50 kN/m3; é muito utilizado nas peças de pré-moldados leves, e em estruturas onde se pretende reduzir o peso próprio;

• Concreto moldado in loco: é o concreto que é confeccionado no local aonde a peça vai permanecer (Figura 1.9);

Figura 1.9 – Concreto moldado in loco.

• Concreto pré-moldado: é o concreto que é produzido fora do local onde vai trabalhar (Figuras 1.10 e 1.11); pode ser no próprio canteiro da obra ou em fábricas de pré-


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moldagem; a grande vantagem é a possibilidade de reutilização das fôrmas quando há grande repetição das peças e a rapidez na montagem; porém, deve-se tomar cuidado especial com o seu transporte e o seu içamento das peças;

Figura 1.10 – Canteiro de pré-moldados.

Figura 1.11 – Estocagem de vigas pré-fabricadas.

• Concreto pesado: é um concreto feito com minerais de alta massa específica, e é cerca de 50% mais pesado que o concreto convencional; é usado para blindagem em usinas nucleares, ou outros tipos de radiação;

• Concreto massa: é a denominação dada ao concreto utilizado em estruturas que apresentam um grande volume de concreto, como as barragens, onde atenção especial deve ser dada às elevadas temperaturas que ocorrem no seu interior, durante a concretagem;

• Concreto bombeado: é o concreto que é transportado por pressão através de tubos rígidos ou mangueiras flexíveis e descarregado diretamente nos pontos onde deve ser aplicado; muito utilizado nas obras de grandes edificações, onde o concreto, normalmente, chega em caminhões betoneiras, e é então bombeado (Figura 1.12);


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Figura 1.12 – Concreto sendo bombeado durante concretagem de laje.

• Concreto projetado: é o concreto que é projetado em alta velocidade, por uma bomba pneumática, sobre uma superfície; é muito utilizado em obras de reparo, túneis, canais, paredes finas, etc.;

• Concreto de alta resistência (CAR): segundo o CEB-FIP CM 90 (1993), é o concreto com resistência à compressão acima de 60 MPa; esse limite pode variar de país para país; uma classificação que é utilizada no Brasil é a seguinte:

è baixa resistência: até 25 MPa;

è média resistência: de 25 à 50 MPa;

è alta resistência: de 50 à 90 MPa;

è ultra-alta resistência: acima de 90 MPa;

Esse tipo de concreto é muito utilizado atualmente em praticamente todo tipo de estruturas, especialmente em obras de vulto e em pilares dos edifícios;

• Concreto de alto desempenho (CAD): segundo o CEB-FIP CM 90 (1993), é o concreto com fator A/C inferior a 0,40, ou seja com baixa permeabilidade; é um concreto que tem um desempenho diferenciado, em relação ao convencional, para determinadas propriedades, como a resistência e a durabilidade; é um concreto que possui na sua composição, além dos materiais usados no concreto comum, algum material com propriedades pozolânicas, como por exemplo a sílica ativa ou a cinza volante, e aditivos superplastificantes para melhorar a sua trabalhabilidade, que fica prejudicada com a adição dos finos; é utilizado em estruturas sujeitas à compressão elevada (como os pilares), em peças protendidas, em estruturas submetidas a desgastes mecânicos e erosão, como rodovias, pisos industriais, pistas de aeroportos, obras marítimas, etc.;

• Concreto compactado com rolo: é um concreto seco, de consistência dura e trabalhabilidade tal que lhe permite receber compactação por rolo compressores, vibratórios ou não; empregado como base e revestimento de pavimentos sujeitos a tráfego pesado e em obras hidráulicas;


26

• Concreto com fibras: concreto contendo fibras de aço (concreto 2%, argamassa 10%), vidro (5%), polipropileno, cimento amianto (10%), vegetais, etc, que aumentam a rigidez, ductilidade e durabilidade; diminuem a permeabilidade e as tensões nos estribos; e controlam melhor a fissuração; muito utilizado em estruturas pré-moldadas e em concreto projetado, lajes e pisos, túneis, etc.;

• Concreto com polímeros: concreto contendo polímeros resulta num material com permeabilidade muito baixa e excelente resistência química; utilizado como revestimento de proteção de armaduras, contra corrosão, em pisos industriais e tabuleiros de pontes.

Os tipos de concretos citados anteriormente podem ser encontrados separadamente ou em conjunto, por exemplo, uma estrutura em concreto armado pode ser com concreto de alto-desempenho, que normalmente é também um concreto de alta-resistência. Ou ainda, uma estrutura em concreto protendido pode utilizar concreto reforçado com fibras, e assim por diante.

Existem ainda outros tipos de concretos especiais, como por exemplo: concreto de alta densidade, concreto com alta trabalhabilidade, concreto auto-adensável, concreto com baixa retração, etc. Cada um deles com uma característica própria, visando atender melhor a um determinado tipo de estrutura.

1.2.4. Aplicações do concreto

O concreto pode ser utilizado praticamente em todo tipo de construção, desde as obras de arte, como pontes (Figura 1.13) e estruturas em concreto aparente (Figuras 1.14 e 1.15), até as estruturas de serviço, que ficam escondidas, como os reservatórios enterrados e as estações de tratamento de água (Figura 1.16).

O concreto é, sem dúvida, o material mais usado nas obras de pontes, cais, túneis, barragens, muros de arrimo, torres, reservatórios, galerias, edifícios e outros.

Atualmente, o concreto vem sendo usado, também, nos pavimentos, pisos industriais, dormentes e outras aplicações, onde há a tendência do uso das fibras, para ajudar na resistência à fadiga.

Figura 1.13 – Ponte Salginatobel na Suíça, com 13,94 m de vão em concreto armado, projetada por Robert

Maillart e construída entre 1929 e 1930. FONTE: http://nisee.berkeley.edu/elibrary/


27

Figura 1.14 – Edifícios residenciais em Salvador.

Figura 1.15 – Teatro Castro Alves, Salvador.


28

Figura 1.16 – Tanque de tratamento de água em concreto armado (FERGUSON et al, 1988).

1.3. VANTAGENS E DESVANTAGENS

Assim como todo e qualquer outro material de construção, o concreto armado apresenta vantagens e desvantagens. Algumas das principais vantagens e desvantagens estão listadas a seguir. Para as desvantagens são discutidas algumas das providências que podem ser tomadas para minimizar, ou em alguns casos até mesmo eliminar, essas deficiências.

1.3.1. Vantagens do concreto armado

As principais vantagens do concreto armado são as seguintes:

a) Economia, devido principalmente à facilidade e à disponibilidade de se encontrar os materiais que o compõem (água, cimento e agregados), e a um custo relativamente baixo;

b) Facilidade de execução. Não é preciso uma tecnologia avançada nem para produzir o concreto, nem para construir utilizando-o;

c) Adaptação a praticamente todo tipo de forma e tamanho, e de maneira relativamente fácil;

d) Excelente resistência à água e a diversas ações;

e) É um material “ecologicamente correto”, não só por requerer, na sua produção, um consumo relativamente baixo de energia, como também por ser um material que pode reciclar grande quantidade de restos industriais;

f) Apresenta um baixo custo de manutenção para as estruturas, desde que estas sejam bem construídas e utilizadas de maneira apropriada;

g) Resistência a efeitos térmicos, atmosféricos e a desgastes mecânicos;

h) Obtenção de uma estrutura monolítica e hiperestática; garante, desta forma, diretamente e sem necessidade de ligações posteriores, uma maior redistribuição de esforços, gerando uma maior integridade estrutural.


29

1.3.2. Desvantagens do concreto armado

As principais desvantagens do concreto armado são as seguintes:

a) Peso próprio elevado, da ordem de 25 kN/m3. Nas estruturas onde o peso próprio é a carga predominante, o custo pode ser elevado. Esse fato ocorre, principalmente, em estruturas que apresentam vãos grandes e carregamento elevado. Nestes casos é preferível usar o concreto protendido, ou ainda as estruturas metálicas. Outras opções para diminuir o peso próprio das estruturas são: a utilização de concreto leve (uso de agregados leves), argamassa armada, ou ainda, os concretos de alta resistência que resultam em seções menores;

b) Dificuldade de reformas, demolições e desmontes. O uso de concreto pré-moldado pode minimizar um pouco o problema, mas se se pretende construir estruturas de caráter temporário não se deve usar o concreto armado;

c) Não é completamente impermeável à água e outros líquidos. Esse problema pode ser resolvido com a utilização de aditivos impermeabilizantes, o uso de mantas impermeabilizantes, ou a redução do fator A/C visando a diminuição da permeabilidade do concreto e tornando-o mais compacto;

d) Não é um bom isolante térmico nem acústico, o que pode ser corrigido com o uso de isolamentos térmicos e acústicos, tais como o isopor e a cortiça.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993.

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BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

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ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (2007) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2007.

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ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002.

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Fib – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.

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TRAMONTANO, M. – Habitação moderna: a construção de um conceito. EESC-USP, 1993.


32

2. MATERIAIS

O concreto armado é um material formado por dois outros materiais: o concreto e o aço. A seguir serão vistas algumas das propriedades de cada um dos materiais componentes e, também, do material resultante.

2.1. CONCRETO

O concreto consiste em agregados inertes envolvidos por uma pasta feita com cimento portland e água, que preenche os vazios entre os agregados, unindo-os. Após o endurecimento desta pasta através da reação química resultante da união do cimento com a água, forma-se o concreto. As propriedades mais importantes do concreto para as estruturas são: resistência à compressão, deformabilidade e durabilidade.

2.1.1. Resistência à compressão:

Segundo Mehta & Monteiro (1994), “A resistência de um material é definida como a capacidade de este resistir à tensão sem ruptura”. A resistência do concreto à compressão, sua característica mais importante, é medida através de ensaios de compressão axial em corpos-de-prova, sendo esses ensaios utilizados para o controle de qualidade e a aceitação do concreto utilizado na estrutura. As Figuras 2.1a e 2.1b apresentam detalhes do ensaio de compressão axial em corpos-de-prova cilíndricos.

(a)

(b) Figura 2.1 – Detalhes de ensaio de compressão axial em corpos-de-prova cilíndricos de concreto.

Fatores que interferem na resistência à compressão do concreto:

Os principais fatores que interferem na resistência do concreto à compressão estão descritos a seguir.


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a) Fator água/cimento - porosidade: Principal responsável pela resistência do concreto à compressão, o fator água/cimento mede a relação entre o peso da água e o do cimento utilizado no traço do concreto. Ele determina a porosidade do concreto endurecido, que por sua vez afeta na resistência do mesmo, visto que uma menor porosidade, ocasionada por uma menor relação água/cimento, proporcionará uma maior área de contato entre os elementos, proporcionando assim uma maior resistência.

b) Tipo de Cimento: O tipo de cimento utilizado no concreto em geral influi pouco na resistência à compressão definitiva do concreto, sendo mais utilizado para ajustar outras características do mesmo. Segundo Mehta & Monteiro (1994), “..., a influência da composição do cimento sobre a porosidade da matriz e a resistência do concreto fica limitada às baixas idades”. A Tabela 2.1 mostra esse efeito do tipo de cimento portland sobre a resistência relativa do concreto a 1, 7, 28 e 90 dias.

Tabela 2.1 – Resistência relativa aproximada do concreto segundo a influência do tipo de cimento (MEHTA & MONTEIRO, 1994).

Tipo de cimento Resistência à compressão (porcentagem

em relação ao Tipo I ou concreto de cimento Portland comum)

Portland ASTM1

Natureza

1 dia 7 dias 28 dias 90 dias

I Normal ou uso comum 100 100 100 100

II Calor de hidratação moderado e moderada resistência a sulfatos 75 85 90 100

III Alta resistência inicial 190 120 110 100

IV Baixo calor de hidratação 55 65 75 100

V Resistente a sulfatos 65 75 85 100

c) Cura: As condições de cura do concreto são especialmente importantes para a resistência à compressão do mesmo. A cura inadequada ou a alta temperatura pode ocasionar uma perda de água prematura do concreto, deixando espaços vazios, reduzindo assim a sua resistência.

d) Idade do Concreto: A resistência do concreto à compressão cresce em função do tempo decorrido da concretagem, mais rapidamente nas primeiras idades e mais lentamente a partir do nonagésimo dia, vindo a se estabilizar, aproximadamente, após o primeiro ano de vida da estrutura. Os ensaios feitos no concreto levam em consideração a idade de 28 dias. A Tabela 2.2, apresentada pelo CEB-FIP CM 90 (1993) apud Süssekind (1981), fornece uma relação entre as resistências para várias idades e tipos de cimento.

1 ASTM – Americam Society for Testing and Materials: O cimento ASTM I corresponde aos cimentos brasileiros CP I e CP I-S; os ASTM II e ASTM V correspondem aos CP I-RS, CP I-S RS, CP II-E RS, CP II-Z RS, CP II-F RS, CP III RS e CP IV-RS; o ASTM III ao CP V-ARI; o ASTM IV não tem similar no Brasil.


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Tabela 2.2 - Variação da resistência do concreto à compressão (temperatura ambiente entre 15o e 20o C) (SÜSSEKIND, 1981).

Idade do concreto (dias) 3 7 28 90 360

Cimento Portland Comum 0,40 0,65 1,00 1,20 1,35

Cimento Portland de Alta Resistência Inicial 0,55 0,75 1,00 1,15 1,20

Segundo a NBR 6118 (2004), para idades inferiores a 28 dias, pode-se utilizar a seguinte expressão:

( ) ck])t/28(1[s

ck1cj f.ef.f2/1−=β=

0,38 para concreto de cimento CP III e IV;

onde: s = 0,25 para concreto de cimento CP I e II;

0,20 para concreto de cimento CP V – ARI.

t é a idade efetiva do concreto em dias.

e) Adensamento: O adensamento, feito imediatamente após o lançamento do concreto, tem a função de eliminar os vazios existentes no mesmo. Nos concretos estruturais, o adensamento é feito principalmente através de vibração, que deve ser feita tomando-se os devidos cuidados para evitar: pontos sem vibração (que provocarão surgimentos de vazios), segregação do material por meio de vibração exagerada, ou perda de aderência com a armadura. O adensamento do concreto no corpo-de-prova é feito de forma manual, por procedimentos definidos em norma. O adensamento feito fora destes padrões pode conduzir a resultados errôneos da resistência do concreto à compressão.

f) Forma e dimensões do corpo-de-prova: A medida da resistência do concreto através de corpos-de-prova apresenta certas dificuldades de compatibilização com o comportamento da estrutura real. Uma destas dificuldades é o dimensionamento do corpo-de-prova, que deve ser tal que o diâmetro permita uma concretagem fácil, e a altura não pode ser excessivamente baixa para evitar um impedimento da deformação transversal, devido ao atrito das faces extremas com os pratos da prensa de ensaio. Baseado neste princípio, a norma brasileira e a maioria das normas internacionais recomendam a adoção de corpos-de-prova cilíndricos de 15 cm de diâmetro de base por 30 cm de altura. Existem ainda alguns países, como a Alemanha, que adotam corpos-de-prova cúbicos com 20 cm de aresta, encontrando resultados superiores aos dos cilíndricos, devido, sobretudo, ao atrito mencionado anteriormente.

Correção da resistência à compressão

Como foi citado, há diferenças entre o valor encontrado nos ensaios de compressão axial do corpo-de-prova e o valor de resistência que estará atuando nas estruturas. Essas diferenças são decorrentes de três fatores: o tamanho do corpo-de-prova; a velocidade de carregamento; e a idade do concreto.

Para levar em conta a diferença de tamanho entre o corpo-de-prova cilíndrico de 15x30 cm e as estruturas, admite-se um coeficiente de correção de 0,95, ou seja, a resistência da estrutura


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é 0,95 da resistência do corpo-de-prova. Para outras dimensões e formas de corpos-de-prova (cilíndrico 10x20 cm; cilíndrico 5x10 cm; prismático; cúbico, etc.) tem-se outros coeficientes.

A resistência do concreto aumenta com o tempo, como indicado na Tabela 2.2. Para levar em conta a idade do concreto, admite-se que a resistência à compressão aumenta 20%, em um ano, em relação à resistência aos 28 dias, ou seja, fc,1ano=1,2 fck.

A velocidade de carregamento de uma estrutura influi na sua resistência. Quanto mais rápido o carregamento maior a carga máxima, porém, mais acentuada é a queda. Segundo Rush2 apud Mehta & Monteiro (1994), “A resistência final do concreto é também afetada pela velocidade de carregamento. Devido à progressiva microfissuração sob cargas mantidas constantes, o concreto sofrerá ruptura a uma tensão menor do que a induzida por carregamento instantâneo ou rápido, normalmente utilizado em laboratório”. A Figura 2.2 apresenta esse efeito.

Figura 2.2 – Relação entre as resistências sob carregamento rápido e lento (Rüsh apud MEHTA & MONTEIRO,

1994).

Para levar em conta a velocidade de carregamento, admite-se que, a favor da segurança, a resistência obtida com um carregamento lento é 75% da resistência obtida em ensaios com carregamento rápido.

Levando-se em conta os três fatores, tem-se que:

fck,estrutura = 0,95 * 1,2 * 0,75 * fck,corpo-de-prova = 0,85 fck,corpo-de-prova

2 Rüsh, H – J. ACI, Proc., Vol. 57, No. 1, 1960.

Fator de correção


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Determinação do fck do concreto

A determinação da resistência do concreto é feita através de tratamento estatístico dos resultados dos ensaios realizados em um número suficiente de corpos de prova (CP), definido através de normas. Os resultados dos ensaios obedecem aproximadamente a uma curva normal de distribuição de freqüências ou Curva de Gauss, com as abcissas representando os valores da resistência do corpo-de-prova correspondentes a uma freqüência, marcada nas ordenadas, como pode ser visualizado na Figura 2.3.

==

=(CP) ensaios de número n

absuluta frequência F onde ,

nFf r

i ordem de CP do aresistênci

concreto do média resisência

=

== ∑

ci

cicm

fnf

f

Figura 2.3 - Curva de Gauss.

Através dessa curva, encontramos a resistência característica do concreto à compressão (fck), considerada como sendo o valor que tem 95% de probabilidade de ser igualado ou superado. Matematicamente, por meio da curva de Gauss, tem-se que:

1

)(

concreto do qualidade indica amostra; da dispersão da Medida Padrão Desvio 65.1

1

2

−

−=

→=−=

∑=

n

ff

ff

n

icmci

cmck

δ

δδ

EXERCÍCIO 2.1:

Foram ensaiados dez corpos-de-prova de concreto à compressão axial, cujos resultados são apresentados a seguir. Determinar o fck (MPa) do concreto analisado.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fci 28 30 26 30 29 35 30 31 30 31

Quando não possuímos os dados dos ensaios, apenas o valor de fcm, o desvio padrão pode ser arbitrado através de recomendações da NBR 12655 (2006), variando de 4 MPa até 7 MPa, como segue:

• 4 MPa: Utilizado quando houver um tecnologista a serviço da obra, e todos os materiais forem medidos em peso;


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• 5,5 MPa: Utilizado quando houver um tecnologista a serviço da obra, o cimento for medido em peso, e os demais agregados em volume. Este volume deve ser corrigido em função da umidade, previamente determinada, assim como a quantidade de água;

• 7 MPa: Utilizado quando o cimento for medido em peso e os demais agregados em volume, sendo apenas a quantidade de água corrigida em função de um valor de umidade estimado.

Por exemplo, para um concreto com fcm = 30 MPa, os valores para as resistências características (fck) utilizando os valores de desvio padrão citados anteriormente são:

fck,δ=4 = 23,4 MPa; fck2,δ=5,5 = 20,9 MPa; fck3,δ=7 = 18,4 MPa

Analisando o problema sob outra ótica, pode-se dizer que, para que se obtenha um concreto com resistência característica à compressão (fck) de 30 MPa, a depender do tipo de execução que se tenha, os valores das resistências de dosagem (fcm) teriam que ser os seguintes:

fcm,δ=4 = 36,6 MPa; fcm2,δ=5,5 = 39,1 MPa; fcm3,δ=7 = 41,6 MPa

Logo, conclui-se que um concreto de mais qualidade é também mais barato, uma vez que a sua resistência de dosagem é menor.

Módulo de Elasticidade

O Módulo de Elasticidade (Ec) é a relação entre a tensão atuante e a deformação longitudinal resultante desta tensão. Por esta definição, temos que seu valor em um determinado ponto M (Figura 2.4), deve ser dado por:

McM tgE ϕ=

Figura 2.4 – Diagrama Tensão versus Deformação do concreto.

Levando em consideração que a adoção de coeficientes de segurança impostos ao cálculo das estruturas faz com que, em serviço, o concreto trabalhe com uma tensão fs não superior a 40%


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da sua tensão de ruptura e que da origem até o ponto de tensão fs, a inclinação não varia significativamente, podemos tomar como Módulo de Elasticidade Tangente para este trecho, o valor em sua origem:

00c tgE ϕ=

Segundo a NBR 6118 (2007), “quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do Módulo de Elasticidade usando a expressão:

Eci = 5600 fck½ (MPa)

O Módulo de Elasticidade Secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de Estados Limites de Serviço, deve ser calculado pela expressão:

Ecs = 0,85 Eci

Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um Módulo de Elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao Módulo de Elasticidade Secante (Ecs)”.

Coeficiente de Poisson

O coeficiente de deformação transversal, ou Coeficiente de Poisson (ν) representa a relação entre as deformações transversais e longitudinais na peça (Figura 2.5). Ele varia entre 0,15 e 0,25, sendo sugerido pela NBR 6118 (2007) o valor constante de 0,20, devido à pequena variação que estes valores representam nos cálculos. Esse valor, entretanto, é válido para tensões de compressão menores que 0,5fc e tensões de tração menores que fct.

Figura 2.5 – Coeficiente de Poisson.

ν = tgα

para

=ν⇒=

=ν⇒=

25,0MPa26f

15,0MPa11f

ck

ck

Valor aproximado ð ν = 0,20

Diagrama Tensão versus Deformação simplificado

De forma a estabelecer um critério de dimensionamento comum aos concretos com diferentes resistências à compressão com que se trabalha na prática, havia a necessidade de um diagrama ideal, mesmo que simplificado, para possibilitar a sua aplicação numérica. A partir dos ensaios realizados por E. Grasser, com diferentes resistências de concreto (fr entre 17 e 34 MPa), feitos para cargas de curta duração, comprovou-se que a tensão máxima ocorre com uma deformação específica da ordem de 0,2%, atingindo a ruptura com uma deformação média em torno de 0,35%.


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Com esses dados, a maioria das normas, inclusive a NBR 6118 (2007) e o CEB-FIP CM 90 (1993), recomenda a utilização do diagrama simplificado parábola-retângulo (Figura 2.6) no dimensionamento do concreto usual para carregamentos de curta duração. Porém, para tensões de compressão menores que 0,5.fc, admite-se uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para o Módulo de Elasticidade o valor do módulo secante (Ecs).

Figura 2.6 – Diagrama Tensão versus Deformação idealizado (NBR 6118, 2007).

2.1.2. Resistência à tração

A resistência à tração do concreto é relativamente baixa, girando em torno de 8 a 15% da sua resistência à compressão. Além disso, é muito mais difícil mensurar o seu valor, pois esse varia muito, a depender do ensaio realizado, além das variações pelo tipo do agregado, pela resistência à compressão e pela presença de uma tensão de compressão transversal à tensão de tração. Os ensaios para a determinação da resistência à tração do concreto são:

Ensaio de tração direta

Consiste em tracionar um corpo-de-prova (CP) cilíndrico de concreto, como mostrado na Figura 2.7. Este tipo de ensaio possui grandes dificuldades de realização pela forma de colocação do corpo-de-prova na prensa. Quando da aplicação da carga, pode ocorrer um esmagamento nas extremidades do CP, comprometendo o ensaio.

AFt

t =σ

Figura 2.7 - Ensaio de tração direta

A NBR 6118 (2007) intitula essa variável de fct.

Ensaio de tração na flexão

Esse ensaio é feito com a utilização de um corpo-de-prova prismático, com seção transversal de 15 cm x 15 cm e comprimento de 75 cm, que é submetido à aplicação de carga transversal


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nos terços médios entre os apoios, conforme Figura 2.8. A NBR 6118 (2007) intitula essa variável de fct,f, e estabelece a seguinte relação: fct = 0,7 fct,f.

Figura 2.8 - Ensaio de tração indireta.

IyM

3LPM

máxrr

r

⋅=σ

⋅=

Ensaio de compressão diametral

Ensaio mais utilizado para a determinação da resistência à tração do concreto, é também chamado na literatura internacional de Ensaio Brasileiro, por ter sido idealizado pelo pesquisador brasileiro F. L. Lobo Carneiro. Este ensaio consiste na aplicação de um carregamento em duas arestas diametralmente opostas de um corpo de prova cilíndrico de 15 cm de diâmetro por 30 cm de altura, conforme mostrado na Figura 2.9a. Devido à aplicação dessa carga de compressão, surgem tensões de tração praticamente constantes na direção perpendicular ao carregamento (Figura 2.9b).

Figura 2.9 - Ensaio de tração por compressão diametral.

Caso as tensões de tração fossem constantes, a tensão de tração (σt) na peça seria de:

dhF2

t π=σ

Levando-se em conta a correção devido a existência da compressão, tem-se que:

dhF55,0

t =σ

A NBR 6118 (2007) intitula essa variável de fct,sp, e estabelece que: fct= 0,9 fct,sp.


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Fórmulas empíricas

Como os projetos de estruturas são desenvolvidos apenas a partir do fck do concreto, torna-se necessária a utilização de expressões confiáveis para a determinação da resistência característica do concreto à tração (fctk), sendo essas expressões sugeridas pela NBR 6118 (2007), a partir de dados experimentais para concretos usuais. São elas:

3/2ckm,ct

m,ctsup,ctkm,ctinf,ctk

f3,0f

f3,1ff7,0f

=

==

A unidade das expressões é MPa, em que: fct,m = resistência média do concreto à tração;

fctk,inf = resistência à tração inferior do concreto; fctk,suo = resistência à tração superior do concreto.

2.1.3. Retração / Expansão

A retração e a expansão são deformações volumétricas do concreto, independentes de carregamento e direção. Essas variações ocorrem devido à perda (retração) ou a absorção (expansão) de água por parte do concreto. A intensidade do fenômeno varia de acordo com a umidade do ambiente, a espessura da peça e o fator água/cimento da mesma.

No processo de retração, a água é inicialmente expulsa das fibras externas do concreto, criando deformações diferenciais que, por sua vez, geram tensões capazes de provocar fissuração em peças de concreto armado, e perda de tensão em cabos de peças em concreto protendido.

Para minimizarem-se os efeitos da retração, deve ser efetuado um processo de cura no concreto, por pelo menos sete dias, ou até o concreto alcançar uma resistência à compressão de, no mínimo, 15 MPa (NBR 14931, 2004) de forma que a umidade existente ao seu redor impeça a perda de água do interior do mesmo.

No caso de estruturas com comprimento muito elevado, somente a cura não é suficiente para se evitar a retração, devendo então esse comprimento ser reduzido, por meio de juntas de concretagem, que pode ser definitiva (gerando estruturas distintas), ou provisórias, que serão preenchidas após o processamento da parcela principal de retração.

2.1.4. Variação de temperatura

Uma peça submetida a uma variação uniforme de temperatura ∆T terá uma deformação axial, conforme já citado, dada pela expressão: Tct ∆= .αε , onde α é o coeficiente de dilatação térmica do material. Para o caso do concreto, a NBR 6118 (2007) recomenda a adoção do valor de 10-5/ºC para o coeficiente de dilatação térmica, α. A variação de temperatura pode ser ocasionada por dois fatores:

• Meio ambiente;

• Calor de hidratação, em estruturas com grande volume de concreto, como o caso das barragens.


42

Por exemplo, uma estrutura com 30,0 m de vão (L = 30 m), que sofra uma variação de temperatura de 20º C (∆T = 20oC), estará sujeita a um deslocamento (∆L) dado por:

mmxxxLLxxT oo

o

6100010230.2,01022010.

4

45

===∆

===∆=−

−−

εαε

Para uma estrutura com, por exemplo, 100,0 m de vão, o deslocamento seria de:

mmxxxLL 201000102100. 4 ===∆ −ε

Para minimizarem-se os efeitos da temperatura, deve-se:

• Prever juntas de dilatação na estrutura, de tal forma que as dimensões da estrutura entre as juntas seja sempre inferior a 30 m;

• Considerar os efeitos de temperatura nos cálculos da estrutura.

2.1.5. Fluência (deformação lenta)

A fluência é o aumento da deformação, sem que haja uma mudança no carregamento da peça. Considerando-se, segundo Süssekind (1981), que a peça de concreto representada na Figura 2.10, carregada axialmente com uma tensão de compressão constante ao longo do tempo, de valor σc, no instante de aplicação do carregamento, ela sofrerá uma deformação imediata ∆lci, gerando uma redução no volume da peça. Esta redução provocará o deslocamento da água quimicamente inerte existente no interior do concreto para regiões onde a mesma já tenha evaporado, desencadeando um processo análogo ao da retração, aumentando a deformação até um máximo de ∆lct no tempo infinito.

Figura 2.10 - Deformações em uma peça de concreto (SÜSSEKIND, 1981).

Os principais fatores que interferem na fluência são:

• Umidade do Ambiente ð Quanto mais seco o ambiente, maior a fluência do concreto;


43

• Espessura da peça ð Maior fluência em peças menos espessas, com mais área exposta;

• Prazo de desforma ð Quanto mais jovem o concreto no momento do carregamento, maior a deformação lenta;

• Composição do concreto ð A fluência aumenta com o aumento do fator água/cimento e do consumo de cimento na peça.

Como efeitos favoráveis da fluência no concreto, temos o alívio das concentrações de tensões e dos esforços de deformações impostas à estrutura, como a retração. São efeitos desfavoráveis o aumento da flecha e da curvatura dos pilares com cargas excêntricas, provocando um acréscimo na excentricidade inicial e a perda de tensão em cabos de peças em concreto protendido.

2.1.6. Estanqueidade, isolamento térmico e acústico

Segundo Süssekind (1981), a estanqueidade do concreto só pode ser considerada razoável quando a peça tem um baixo fator água/cimento, granulometria bem determinada e espessura superior a 20 cm, além do procedimento de uma vibração cuidadosa. Em geral, principalmente no concreto fissurado, a estanqueidade só é conseguida com a utilização de impermeabilizantes.

Geralmente, o produto impermeabilizante é ao mesmo tempo um isolante térmico, devido ao fato de o concreto proporcionar um isolamento térmico muito deficiente, em comparação com outros materiais de construção.

Ainda segundo Süssekind (1981), quanto ao isolamento acústico, temos duas situações distintas:

• Os ruídos que são trazidos pelo ar, em ondas sonoras de baixa energia, não produzem vibração no concreto, comportando-se este como um excelente isolante acústico;

• Quando o ruído é provocado pelo contato com o concreto (um móvel arrastado, por exemplo), o concreto vibra com grande intensidade, sendo aconselhável a utilização de revestimentos acústicos em pisos e paredes.

2.1.7. O comportamento do concreto

Antes de discutir-se o comportamento do concreto, far-se-á uma revisão sobre o comportamento dos materiais. Entre os diversos tipos de comportamento, destacam-se os comportamentos elástico e plástico, que são descritos a seguir.

a) Comportamento elástico (Figura 2.11) ð Tem a capacidade de recuperar integralmente a deformação introduzida.

b) Elasticamente perfeito ou elástico-linear (Figura 2.12) ð Material que segue a Lei de Hooke.

c) Comportamento Plástico (Figura 2.13) ð Quando os efeitos da deformação introduzida são permanentes.


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Figura 2.11 - Comportamento elástico.

LL∆

=ε

Figura 2.12 - Comportamento elasticamente perfeito.

σ = ε.E

Figura 2.13 - Comportamento plástico.

Para o concreto, tem-se um comportamento intermediário, com uma fase elástica e outra plástica, intitulado de comportamento elasto-plástico (Figura 2.14).


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Figura 2.14 - Comportamento elasto-plástico do concreto.

Tipos de deformação

As peças de concreto estão sujeitas a dois tipos de deformações. São eles:

• Que dependem do carregamento

= fluência plástica Lentaelástica Lenta

plástica Imediataelástica Imediata

• Que independem do carregamento

ra temperatude ãopor variaç Causadas

xpansãoretração/epor Causadas

Ensaio de deformação do concreto:

O ensaio representado pelos gráficos a seguir (Figura 2.15) demonstra o comportamento do concreto ao longo do tempo, sofrendo carregamentos e descarregamentos em sequência, em que:

OA ð Deformação imediata

O’A ð Deformação elástica imediata

OO’ð Deformação plástica imediata

BC ð Deformação imediata

CD ð Deformação lenta (alguns materiais não a apresentam)

DE ð Deformação elástica imediata

EF ð Deformação elástica lenta

BF = ∆ε ð Deformação plástica lenta


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φ

φ

Figura 2.15 - Ensaio para estudo do comportamento do concreto.

EXERCÍCIO 2.2:

Determinar o histórico de deformações para o ensaio indicado na Figura 2.16, sabendo-se que:

• Para F0 a recuperação elástica é de 50%;

• Não há deformação lenta nos intervalos (t1-t2) e (t3-t4);

• Há deformação lenta plástica nos intervalos (t2-t3) e além de t4.

Figura 2.16 – Histórico do carregamento para o corpo-de-prova de concreto.


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2.2. AÇO

O aço empregado em barras nas peças de concreto armado é uma liga constituída principalmente de ferro e carbono, à qual são incorporados outros elementos para melhoria das propriedades. O aço é usado em conjunto com o concreto com a finalidade principal de resistir aos esforços de tração, que não são suportados pelo concreto.

Segundo a NBR 6118 (2007), a massa específica dos aços para concreto armado pode ser tomada como γ = 78,50 kN/m3. O valor do coeficiente de dilatação térmica do aço, para intervalos de temperatura entre –20oC e 150oC, pode ser considerado de α=10-5/oC.

2.2.1. Processos de fabricação e diagramas Tensão versus Deformação

Os aços para concreto armado podem ser divididos em dois tipos: aços tipo A e tipo B, conforme descritos a seguir.

a) Aço tipo A

É o aço de dureza natural, no qual a mistura de ferro com carbono é laminada à quente, sem qualquer tratamento posterior. Os aços desta categoria apresentam um patamar de escoamento bem caracterizado, tendo seu diagrama Tensão versus Deformação real representado na Figura 2.17a. Na Figura 2.17b é representado o diagrama simplificado ou padronizado, a ser considerado no dimensionamento, tendo como limite uma deformação de εs=10 00

0 para o alongamento, a fim de se evitar a deformação e a fissuração excessivas da peça.

(a) Diagrama Real (b) Diagrama Simplificado

Figura 2.17 - Diagramas Tensão versus Deformação para o aço tipo A.

Para as variáveis apresentadas nos gráficos da Figura 2.17 tem-se:

fyk ð Limite de escoamento característico; aquele que tem 95% de chance de ser ultrapassado;

εyk = s

yk

Ef

ð Deformação unitária limite de escoamento;

Es = tg α ð Módulo de deformação longitudinal do aço.


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b) Aço tipo B

Os aços desta categoria são, após a laminação à quente, encruados por deformação a frio (torção, tração, trefilação, etc.). Esses aços não têm patamar de escoamento definido, sendo adotado um “limite convencional de escoamento”, fyk, como a tensão sob a qual, sendo descarregada a peça, reste uma deformação de 2 00

0 . Os ensaios mostram ainda que até o valor de 0,7fyk o diagrama se mantém retilíneo, sendo caracterizado um regime elástico nessa fase. Na Figura 2.18b, tem-se o diagrama Tensão versus Deformação simplificado proposto para o dimensionamento, no qual se fez uma concordância parabólica para as tensões no intervalo entre a fase elástica e o limite convencional de escoamento.

(a) Diagrama Real

(b) Diagrama Padronizado

Figura 2.18 – Diagramas Tensão versus Deformação para o aço classe B.

Para as variáveis apresentadas nos gráficos da Figura 2.18 tem-se:

fyk ð Limite de escoamento convencional; tensão correspondente a uma deformação residual de 2 00

0 ;

εyk = s

yk

Ef

+2 000 ð Deformação unitária limite de escoamento;

0,7fyk ð Limite de proporcionalidade; ponto até onde é válida a Lei de Hooke (comportamento perfeitamente elástico).

Para todos os aços utilizados em concreto armado, seja ele classe A ou B, o ângulo α é sempre constante (Figura 2.19), sendo então constante o valor do Módulo de Elasticidade do aço (Es), que é dado por:

Es = 210.000 MPa (2.100.000 kgf/cm2)

2.2.2. Classificação quanto ao limite de escoamento

O limite de escoamento dos aços empregados em concreto armado varia entre 250 MPa (2.500 kgf/cm2) e 600 MPa (6000 kgf/cm2), sendo sua nomenclatura baseada nesse limite de escoamento, seja ele real ou convencional, sendo feita a notação da forma: CA–50 A, em que:


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• CA ð Tipo de concreto no qual será aplicado, sendo CA correspondente a concreto armado;

• 50 ðLimite de escoamento (fyk) em Kgf/mm2;

• A ð Classe do aço.

Figura 2.19 - Diagrama Tensão versus Deformação para aços de diferentes tipos

Comercialmente, até há alguns anos atrás, os aços fabricados no Brasil eram os seguintes:

CA – 25 A CA – 32 A CA – 40 A CA – 40 B

CA – 50 A CA – 50 B CA – 60 B

Segundo a nova NBR 7480 (2007), a classificação se reduz às três categorias abaixo, sendo, porém, permitido que se utilize categorias diferentes.

CA – 25 A CA – 50 A CA – 60 B

2.2.3. Dimensões

O aço é vendido em forma de barras (para aços com φ ≥ 5mm) e fios (φ ≤10mm). Os fios são vendidos em rolos e as barras possuem comprimento variando entre 10 e 12 m, sendo limitado por norma ao valor de 11,00 m ± 9%. A Tabela 2.3 apresenta as características dos fios e barras mais utilizados no mercado brasileiro.

2.2.4. Classificação quanto à conformação superficial

Quanto à conformação superficial, as barras de aço são classificadas em lisas e nervuradas. As barras lisas foram as primeiras a serem fabricadas, mas, com o intuito de melhorar as condições de aderência entre o aço e o concreto e limitar as fissurações, surgiram as barras com nervuras longitudinais, transversais e inclinadas.

O coeficiente de conformação superficial (ηb) indica a maior ou menor aderência entre o concreto e o aço, de acordo com as nervuras existentes no último. A NBR 6118 (2007) fornece a Tabela 2.4 com os valores do coeficiente de conformação superficial (ηb) para os aços usuais.


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Tabela 2.3 - Bitolas padronizadas de fios e barras, segundo a NBR 7480 (2007).

Bitolas Padronizadas de fios e barras (NBR 7480, 2007)

Bitola φ Valor nominal para cálculo

Fios Barras Área da seção (cm2) Massa linear (kg/m) Perímetro (cm)

3,2 - 0,080 0,063 1,00

4,0 - 0,125 0,100 1,25

5,0 5,0 0,200 0,160 1,60

6,3 6,3 0,315 0,250 2,00

8,0 8,0 0,500 0,400 2,50

10,0 10,0 0,800 0,630 3,15

12,5 12,5 1,250 1,000 4,00

- 16,0 2,000 1,600 5,00

- 20,0 3,150 2,500 6,30

- 25,0 5,000 4,000 8,00

- 32,0 8,000 6,300 10,00

Não é aconselhável o uso de diâmetros inferiores a 5 mm, pois por serem muito finos, o seu manuseio na obra pode gerar deformações que comprometam o seu funcionamento.

Tabela 2.4 – Coeficiente de conformação superficial (NBR 6118, 2007).

Tipo de barra Coeficiente de conformação superficial (ηb)

Lisa (CA-25) 1,0

Entalhada (CA-60) 1,2

Alta aderência (CA-50) ≥ 1,5

De acordo com a NBR 7480 (2007), permite-se admitir o coeficiente de conformação superficial ηb=1,5, desde que a configuração geométrica das barras (Figura 2.20) atenda às seguintes exigências:

1. Os eixos das nervuras transversais ou cristas devem formar com a direção do eixo da barra um ângulo igual ou superior a 45º;

2. As barras devem ter pelo menos duas nervuras longitudinais contínuas e diametralmente opostas, exceto no caso em que as nervuras transversais estejam dispostas de forma a se oporem ao giro da barra dentro do concreto;

3. A altura média das nervuras ou cristas, ou a profundidade das mossas, deve ser igual ou superior a 0,04 do diâmetro nominal;

4. espaçamento médio das nervuras transversais, cristas ou mossas, medido ao longo da mesma geratriz, deve estar entre 0,5 e 0,8 do diâmetro nominal;

5. As saliências devem abranger pelo menos 85% do perímetro nominal da seção transversal da barra ou do fio.


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Figura 2.20 - Exigências atuais da NBR 7480 (2007), para barras de alta aderência.

A Figura 2.21 apresenta alguns tipos de nervuras encontradas nas barras de aço.

Figura 2.21 – Tipos de conformação superficial de barras de aço (FERGUSON et al, 1988).

2.2.5. Exigências de qualidade

Segundo Süssekind (1981), para recebimento de um lote de barras de aço na obra, deve-se certificar de sua qualidade, que deve ser verificada por meio de ensaios normalizados. No ensaio de tração, deve ser verificado o limite de escoamento fyk, além do alongamento mínimo de ruptura. No ensaio de dobramento é verificada a trabalhabilidade das barras de aço, que serão dobradas para a execução de ganchos na obra. Existe ainda o ensaio de aderência, para verificar o coeficiente de conformação superficial (ηb).

A Tabela 2.5 apresenta as características mecânicas exigidas para as barras de aço empregadas nas peças em concreto armado.

2.2.6. Fadiga do aço

Segundo Süssekind (1981), os estudos realizados sobre o comportamento do aço empregado em peças de concreto armado submetidas a solicitações alternadas, como no caso de pontes, chegou aos seguintes resultados:

• Para aços CA – 25 e CA – 32, não há qualquer problema de diminuição de resistência;

• As barras de aços CA – 40, CA – 50 e CA – 60 registram problemas de diminuição de resistência para cargas alternadas. Esse problema pode ser minorado com a utilização de nervuras inclinadas nas barras, no lugar de nervuras perpendiculares ao eixo, além


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do uso de nervuras transversais não ligadas com as longitudinais ao longo de toda a seção. Por conta disso, essas barras de aço devem ter nervuras que, ao mesmo tempo que assegurem o grau de aderência, minimizem os problemas de fadiga do material.

Tabela 2.5 – Exigências de qualidade para barras de armaduras (SÜSSEKIND, 1981).

Ensaio de tração Ensaio de dobramento à 180º Aderência

Diâmetro do pino ou cutelo Categoria

Tensão de escoamento mínima (fyk)

Tensão de ruptura

mínima (fr)

Alongamento mínimo de ruptura (εr) φ < 20 mm φ ≥ 20 mm

Coeficiente ηb mínimo

CA – 25 2.500 kg/cm2 1,2 fyk 18% 2 φ 4 φ 1,0

CA – 32 3.200 kg/cm2 1,2 fyk 14% 2 φ 4 φ 1,0

CA – 40 A 4.000 kg/cm2 1,1 fyk 10% 3 φ 5 φ 1,2

CA – 40 B 4.000 kg/cm2 1,1 fyk 8% 3 φ 5 φ 1,2

CA – 50 A 5.000 kg/cm2 1,1 fyk 8% 4 φ 6 φ 1,5

CA – 50 B 5.000 kg/cm2 1,1 fyk 6% 4 φ 6 φ 1,5

CA - 60 6.000 kg/cm2 1,05 fyk 5% 5 φ ≥ 6 φ ≥ 1,5

EXERCÍCIO 2.3:

Para os aços CA 40 A e B, determine:

a) fyk b) εyk c) σs para εs=0,5 000 d) σs para εs=3 00

0 e) σs para εs=6 000

2.3. CONCRETO ARMADO

O uso do concreto e do aço em conjunto, formando o concreto armado, deve acontecer de tal forma que as melhores qualidades de cada um dos materiais isoladamente sejam aproveitadas, e um possa suprir as deficiências do outro. Dessa forma, segundo Süssekind (1981), devem ser verificados os tópicos descritos a seguir.

2.3.1. Comportamento elétrico

O concreto seco é um bom isolante elétrico, porém, quando úmido e sob a ação contínua de corrente elétrica pode ser atacado pela eletrólise. Esse ataque não tem grandes repercussões no concreto, porém, a ação da eletrólise favorece a corrosão das armaduras. Por essas razões, em estruturas que ficarão em contato com correntes elétricas, como o caso de ferrovias e metrôs, deve haver um isolamento elétrico entre as linhas elétricas e a estrutura.

2.3.2. Defesa contra agentes químicos

O perigo dos agentes químicos na estrutura é a corrosão das armaduras. Esse fato é contornado no concreto armado com a utilização de cobrimentos mínimos de concreto, de forma a impedir o contato desses agentes com a armadura, além da proteção química da cal livre formada durante a pega do cimento.


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Deve-se evitar, no entanto, a presença de certos materiais que causam oxidação no aço (halogenetos e sulfatos), além de certos limites previstos em norma, nos agregados e água de amassamento do concreto, pois eles eliminam a proteção química proporcionada pela cal.

2.3.3. Resistência às altas temperaturas

O aço, quando elevado a altas temperaturas (acima de 550oC), começa a sofrer uma diminuição na sua resistência, devendo dessa forma ser protegido conforme segue.

Adoção de maiores espessuras de cobrimento

Quando houver a necessidade de uma estrutura resistente a altas temperaturas, deve ser utilizado um cobrimento maior, de forma a haver uma maior dissipação do calor no concreto, evitando que a armadura atinja sua temperatura crítica.

Formas geométricas e dimensões do elemento estrutural

Está provado por ensaios, que as estruturas mais esbeltas são menos resistentes ao fogo, pelo fato de as mesmas possuírem mais área de contato, proporcionando um aquecimento mais rápido. Desta forma, são definidos limites mínimos de dimensão para os elementos em concreto armado.

Tipo de concreto

Os concretos com agregados calcários proporcionam um maior isolamento térmico que aqueles com agregados silícicos, devendo ser adotados quando se for obrigado a enfrentar altas temperaturas.

Tipo de armadura

Como já foi relatado anteriormente, a armadura perde resistência mecânica quando sua temperatura crítica é ultrapassada. A resistência dos aços da classe B é a mais afetada quando da exposição a altas temperaturas, sendo esse material desaconselhável nessa situação.

Tipo de construção e estaticidade da estrutura

As estruturas hiperestáticas são mais aconselháveis para o caso de contato com altas temperaturas, pois, nesse caso, a ação das deformações impostas pelo aumento da temperatura tende a provocar redistribuições de esforços, utilizando reservas de resistência capazes de aumentar a segurança da estrutura ao incêndio.



ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 7480 (2007) – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – Especificação. Rio de Janeiro, 1996.


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ABNT - NBR 12655 (2006) – Concreto de Cimento Portland – Preparo, controle e recebimento – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2006.

ABNT - NBR 14931 (2004) – Execução de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2004.



MEHTA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. – Concreto: estrutura, propriedades e materiais. São Paulo: PINI, 1994.










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3. AÇÕES E SOLICITAÇÕES

O tema de ações e solicitações é tratado na NBR 8681:2004 – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento, que “fixa os requisitos exigíveis na verificação da segurança das estruturas usuais da construção civil e estabelece as definições e os critérios de quantificação das ações e das resistências a serem consideradas no projeto das estruturas de edificações, quaisquer que sejam sua classe e destino, salvo os casos previstos em Normas Brasileiras específicas”.

Este capítulo aborda os seguintes assuntos: carregamento das estruturas, combinações de carregamentos, esforços solicitantes e Teoria da Segurança. A Teoria da Segurança deve garantir a seguinte equação: Resistência (R) ≥ Solicitação (S). Para tanto, no projeto das estruturas, de maneira geral, são seguidas as seguintes etapas:

1. Estudo do projeto arquitetônico (formas e utilização)

2. Verificação e compatibilização das cotas e dimensões

3. Lançamento das fôrmas (prática e bom senso)

4. Compatibilização com os projetos de instalações

5. Carregamento da estrutura

6. Cálculo dos esforços

7. Dimensionamento dos elementos e/ ou da estrutura

8. Detalhamento dos elementos e/ ou da estrutura

Os temas abordados neste capítulo se referem, principalmente, aos itens 5, 6 e 7. Para um bom entendimento desses tópicos, são necessários conhecimentos sobre a vinculação e a estaticidade das estruturas.

3.1. NOÇÕES GERAIS

Segundo a NBR 8681 (2004), ações são as causas que provocam aparecimento de esforços ou deformações nas estruturas, devendo ser consideradas no dimensionamento das mesmas. Como resultado da aplicação dessas cargas externas, surgem nas estruturas, os esforços solicitantes, que são os esforços causados pelas ações, como os esforços normais e cortantes, e os momentos fletores e torsores, como está representado na Figura 3.1.

Para resistir aos esforços solicitantes (S), que são provocados pelas forças ou deformações, são utilizados os esforços resistentes (R), que dependem do dimensionamento da estrutura,que é função das características dos elementos e dos materiais empregados. Para garantir a segurança das estruturas, os esforços resistentes devem ser sempre maiores ou, em último caso, iguais aos esforços solicitantes, ou seja, deve-se garantir, sempre, que: R ≥ S.


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F = Forças ativas

R = Forças reativas

Figura 3.1 – Forças ativas e reativas em uma estrutura qualquer.

3.2. AÇÕES A CONSIDERAR EM UMA ESTRUTURA

As ações podem ser classificadas de acordo com o tempo de duração e a intensidade do carregamento (permanente, acidental ou excepcional), ou ainda de acordo com a forma como elas atuam nas estruturas (direta ou indireta). Essas definições são apresentadas a seguir.

3.2.1. Ações diretas

São as forças efetivamente aplicadas à estrutura ao longo do tempo, seja pela aplicação direta da carga (forças ativas), ou pelas reações de apoio das peças (forças reativas). As ações diretas podem ser classificadas de acordo com a sua atuação ao longo do tempo, em permanentes e variáveis.

a) Ações permanentes (g): são aquelas que ocorrem nas estruturas com valores constantes ou de pequena variação em torno de sua média, durante praticamente toda a vida da construção, resultante do peso próprio dos elementos da construção, do peso dos equipamentos fixos e dos empuxos devidos ao peso próprio de terras não removíveis e de outras ações permanentes sobre elas aplicadas. Na Tabela I (Anexo A), encontramos os pesos específicos dos materiais mais comumente utilizados em construção e na Tabela II as ações permanentes de alguns elementos construtivos;

b) Ações variáveis (q): são as ações de uso da construção, bem como os efeitos, tais como forças de frenagem, de impacto e centrífugas, os efeitos do vento, do atrito nos aparelhos de apoio e, em geral, as pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas. Elas ocorrem nas estruturas com valores que apresentam variações significativas em torno de sua média, durante a vida da construção. Na Tabela III (Anexo A), encontram-se os valores mínimos estipulados na NBR 6120 (1980) para as ações variáveis normais. Segundo a NBR 8681 (2004), as ações variáveis que atuam nas construções em função do seu uso (pessoas, mobiliário, veículos, materiais diversos, etc.) são chamadas de cargas acidentais. Na literatura encontram-se, também, os termos cargas de utilização e sobrecargas.


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3.2.2. Ações indiretas

São aquelas que resultam em deformações impostas à estrutura. Tais ações só introduzirão esforços solicitantes no caso de estruturas hiperestáticas, uma vez que nas estruturas isostáticas não existem restrições às deformações. As ações indiretas podem ser:

a) Próprias: dependem do material, como a fluência e a retração;

b) Impostas: quando são induzidas por fatores externos, como variação de temperatura e recalque diferencial de apoios.

Em relação à sua duração, elas também podem ser:

a) Permanentes (g): a protensão, os recalques de apoio e a retração dos materiais;

b) Acidentais (q): variação de temperatura.

3.2.3. Ações excepcionais

São aquelas que têm duração muito curta e probabilidade de ocorrência muito baixa durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas nos projetos de determinadas estruturas. São decorrentes de causas como explosões, incêndios, sismos excepcionais, enchentes, furacões, choques de veículos, etc.

3.3. TEORIA DA SEGURANÇA

Segundo Sales et al (1993), no projeto de uma estrutura, deve existir sempre uma preocupação de que a mesma desempenhe as funções a que se destina, com o máximo de economia e eficiência. Ou seja, deve-se buscar um projeto econômico, que permita que a estrutura tenha condições de segurança, que significa apresentar-se resistente, estável e duradoura, além de poder proporcionar um adequado conforto aos usuários.

3.3.1. Requisitos para garantir a economia

a) Análise dos materiais;

b) Análise das tecnologias possíveis de serem utilizadas;

c) Comparação de custos de matéria-prima, distâncias de transporte, consumo de material e mão-de-obra, tempo de execução, etc.;

d) Otimização do sistema estrutural: equilíbrio entre consumo de material e mão-de-obra.

3.3.2. Conceitos de segurança

Segundo Sales et al (1993), a segurança pode ser associada a dois conceitos distintos. São eles:

• Conceito Qualitativo;

• Conceito Quantitativo.


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Conceito qualitativo

Uma estrutura é considerada segura quando ela é capaz de suportar, incólume, todas as ações que vierem a solicitá-la, desde a fase da construção até o final de sua vida útil. Durante este tempo, as estruturas não devem apresentar falhas que impeçam ou mesmo prejudiquem a utilização para a qual foram concebidas. A vida útil de algumas estruturas, por exemplo, são:

• Catedrais medievais: 1000 anos;

• Usinas Hidrelétricas: 100 anos;

• Construções industriais, comerciais, residenciais e agrícolas: 50 anos.

Segundo a NBR 6118 (2007), “Por vida útil de projeto, entende-se o período de tempo durante o qual se mantêm as características das estruturas de concreto, desde que atendidos os requisitos de uso e manutenção prescritos pelo projetista e pelo consumidor, bem como de execução dos reparos necessários decorrentes de danos acidentais”. E ainda, “O conceito de vida útil aplica-se à estrutura como um todo ou às suas partes. Dessa forma, determinadas partes das estruturas podem merecer consideração especial com valor de vida útil diferente do todo. A durabilidade das estruturas de concreto requer cooperação e esforços coordenados de todos os envolvidos nos processos de projeto, construção e utilização,...”.

Conceito quantitativo

Desde a antiguidade, se busca uma forma de quantificar a segurança, estabelecendo um número que sirva como medida da segurança empregada.

Na Figura 3.2, temos a distribuição dos esforços solicitantes e dos esforços resistentes. A maior ou menor segurança de uma estrutura está ligada à distância entre as médias dos dois gráficos. Porém, além do aumento dos custos para este afastamento, por mais que se afastem os dois, sempre haverá uma área de sobreposição entre eles. O estudo da segurança consiste em se determinar o ponto ótimo em que, através de quantificação dos prejuízos, inclusive com vidas humanas, causados com uma eventual ruína da estrutura, possa se conseguir uma estrutura segura, com o menor custo possível.

Para se fazer esta quantificação, vários processos foram desenvolvidos e aperfeiçoados ao longo dos anos:

a) Método intuitivo (antiguidade);

b) Método do coeficiente de segurança interno (γi);

c) Método do coeficiente de segurança externo (γe);

d) Método das tensões admissíveis:

d.1) Solicitações estabilizantes (tração): γi

d.2) Flambagem: γe

e) Método dos Estados Limites.


59

Figura 3.2 - Diagramas de solicitações atuantes e resistência do material (SALES et al, 1993).

Atualmente, a grande maioria dos códigos e normas adota o Método dos Estados Limites para a verificação da segurança de suas estruturas.

3.4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES

Diz-se que uma estrutura atinge um estado limite quando ela apresenta desempenho inadequado às finalidades da construção, não mais preenchendo os requisitos necessários de estabilidade, conforto e durabilidade para o seu funcionamento. Assim sendo, segundo Sales el al (1993), pode-se dizer que a segurança de uma estrutura é a capacidade que ela apresenta de suportar as diversas ações que vierem a solicitá-la durante a sua vida útil, sem atingir qualquer estado limite.

Os estados limites podem ser classificados em duas categorias: Estados Limites Últimos (ELU) e Estados Limites de Serviço (ELS), ou de Utilização.

3.4.1. Estados Limites Últimos

Segundo a NBR 8681 (2004), são aqueles que pela sua simples ocorrência, determinam a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção, e correspondem ao esgotamento da capacidade portante da estrutura, estando relacionado com o seu colapso, em parte ou no todo. Deve-se haver uma probabilidade muito pequena de sua ocorrência, pois essa terá como conseqüência a perda de vidas humanas ou grandes prejuízos financeiros. Devido a estes fatores, a sua verificação é obrigatória, mesmo que não explicitamente listada em normas.

Segundo a NBR 8681 (2004), no projeto, usualmente devem ser considerados os estados limites últimos caracterizados por:

a) Perda de equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo rígido;

b) Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais Figura 3.3);

c) Instabilidade por deformação excessiva (pilares);


60

d) Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático (mecanismo);

e) Instabilidade dinâmica;

f) Colapso por causas excepcionais (catástrofes), quando for o caso (Figura 3.4).

As Figuras 3.3 e 3.4 apresentam exemplos de estados limites últimos.

Figura 3.3 – Exemplo de um estado limite último por ruptura da laje.

Figura 3.4 – Exemplo de um estado limite último decorrente de enchente.

3.4.2. Estados Limites de Serviço

Segundo a NBR 8681 (2004), são estados que, por sua ocorrência, repetição ou duração, causam efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura. Quando


61

não representar situação de risco a vidas humanas, como no caso dos estados limites últimos, uma maior probabilidade de ocorrência desses estados limites é tolerada.

Segundo a NBR 8681 (2004), no período de vida da estrutura, usualmente são considerados estados limites de serviço caracterizados por:

a) Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da construção ou a durabilidade da estrutura (fissuração);

b) Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou seu aspecto estético (flechas em lajes);

c) Vibração excessiva ou desconfortável (estádios de futebol).

As Figuras 3.5 e 3.6 apresentam exemplos de estados limites de serviço.

Figura 3.5 – Exemplo de um estado limite de serviço decorrente do descolamento da pintura (prejuízo à estética

e ao conforto do usuário).

Figura 3.6 – Exemplo de um estado limite de serviço decorrente de deformação excessiva da estrutura (expulsão

do revestimento cerâmico).


62

3.4.3. Processo de dimensionamento

Segundo Sales et al (1993), o dimensionamento pelo método dos estados limites é um processo que envolve:

a) A identificação de todos os modos de colapso ou maneira pelas quais a estrutura poderia deixar de preencher os requisitos para os quais foi projetada (estados limites);

b) Determinação de níveis aceitáveis de segurança contra a ocorrência de cada estado limite;

c) A consideração, pelo calculista da estrutura, dos estados limites significativos.

Para as estruturas usuais, as normas de segurança já trazem as combinações de coeficientes para garantir a segurança quanto aos estados limites, devendo haver uma adequação destes valores, pelo calculista, quando se tratar de obras que fujam aos padrões estabelecidos.

3.4.4. Vantagens principais do dimensionamento pelo Método dos Estados Limites

Segundo Sales et al (1993), as principais vantagens do dimensionamento utilizando o Método dos Estados Limites são:

a) Maior confiabilidade entre as várias situações de projeto, porque a variabilidade das resistências e das ações é representada de forma explícita e independente para resistências e ações;

b) Nível de segurança pode ser escolhido de tal forma que possa refletir as conseqüências do colapso;

c) Permite que o calculista compreenda melhor os requisitos que uma estrutura deve atender, e o comportamento necessário ao preenchimento desses requisitos;

d) Simplifica o processo de dimensionamento;

e) É uma ferramenta que ajuda o calculista a avaliar situações de projeto fora das rotineiras;

f) É uma ferramenta que permite a atualização de normas de maneira mais racional;

g) Trabalha-se com variáveis probabilísticas.

3.5. PRINCÍPIOS PARA A VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

Para garantir-se a segurança das estruturas é preciso identificar as ações atuantes, que causam as solicitações (S), e determinar a resistência (R) dos elementos estruturais, para que se possa analisar a desigualdade: S ≤ R.

Portanto, o primeiro passo é identificar as ações atuantes na estrutura. Segunda a NBR 8681 (2004), “As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser valores característicos, valores característicos nominais, valores reduzidos de combinação, valores convencionais excepcionais, valores reduzidos de utilização e valores raros de utilização”.


63

Valores característicos

Segundo a NBR 8681 (2004), os valores característicos (Fk) das ações são definidos em função da variabilidade de suas intensidades. Para as ações permanentes admite-se o valor que tenha 95% de chance de não ser ultrapassado em 50 anos, como mostra a Figura 3.7. Para as ações variáveis admite-se o valor que tenha de 65% a 75% de chance de não ser ultrapassado em 50 anos.

Figura 3.7 – Distribuição normal para as cargas permanentes.

Valores reduzidos de combinação

Segundo a NBR 8681 (2004), os valores reduzidos de combinação são determinados a partir dos valores característicos multiplicados por um coeficiente de redução: ψ0 Fk. Eles são empregados quando existem ações variáveis de diferentes naturezas, para levar em conta a baixa probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos dessas ações. A Tabela IV, no Anexo A, apresenta os coeficientes de redução das ações.

Valores convencionais excepcionais

Segundo a NBR 8681 (2004), os valores convencionais excepcionais são valores arbitrados para as ações excepcionais. Eles devem ser estabelecidos por consenso entre o proprietário da construção e as autoridades governamentais que nela tenham interesse.

Combinações para o Estado Limite de Serviço

As combinações para o ELS são as seguintes: quase-permanentes, frequentes e raras, conforme as equações a seguir.

∑ ∑= =

+=m

1i

n

1jkQj,2jkGi,utid, F.ΨFF

∑ ∑= =

++=m

1i

n

2jkQj,2jkQ1,1jkGi,utid, F.ΨF.ΨFF

Quase-permanente

Frequente


64

∑ ∑= =

++=m

1i

n

2jkQj,1jkQ1,kGi,utid, F.ΨFFF

Notação

A notação utilizada para as ações e as solicitações é:

gk: Ação permanente característica;

qk: Ação variável característica;

Mgk: Momento fletor produzido por uma carga permanente característica;

Nqk: Esforço normal produzido por uma carga variável característica;

Vk: Esforço cortante produzido pela ação conjunta das cargas características.

Generalizando, tem-se:

Fk: Ação característica;

Sgk: Solicitação produzida por carga permanente característica;

Sqk: Solicitação produzida por carga variável característica;

Sk: Solicitação produzida pela ação conjunta das cargas características;

Sεk: Solicitação produzida por deformação característica introduzida.

O caráter probabilístico da verificação da segurança, através dos estados limites e das boas condições de serviço é introduzido com a definição dos valores característicos tanto no que se refere às solicitações atuantes (Sk) como às resistências dos materiais (Rk). Como já definidos anteriormente, os valores encontrados na prática devem ter a probabilidade muito baixa de serem superiores (no caso das solicitações) ou inferiores (no caso das resistências) aos respectivos valores característicos.

Os fatores de incerteza quanto aos valores característicos são cobertos com a transformação destes em valores de cálculo obtidos pela sua multiplicação por coeficientes de segurança, que são determinados por considerações probabilísticas para cada tipo de estado limite.

3.5.1. Estado Limite Último

A seguir são apresentadas as considerações sobre os coeficientes de segurança para os estados limites últimos.

a) Coeficientes de majoração das ações (γf)

No dimensionamento para os estados limites últimos trabalharemos com os valores de cálculo das solicitações Sd, obtidos pela multiplicação de Sk (valor característico) por um coeficiente de majoração das ações γf, resultando:

Rara


65

Sd = Σ(γf . Sk)

Segundo a NBR 6118 (2007), os valores de γf a serem adotados, para as combinações normais de ações, são os seguintes:

Para cargas permanentes ð γf = 1,4 ð Situação desfavorável;

γf = 1,0 ð Situação favorável;

Para cargas acidentais ð γf = 1,4, acrescentando-se o impacto, quando for o caso;

Para deformações impostas ð γf = 1,2.

A NBR 6118 (2007) apresenta os coeficientes para todos os tipos de combinações. Aqui, serão apresentadas apenas as combinações normais para as edificações usuais, na forma de suas solicitações resultantes, e não em função das ações. Isso pode ser feito desde que o cálculo do esforço (solicitação) atuante seja no regime elástico linear (elástico ou pseudoelástico). Sendo assim:

a.1) Combinação geral:

Sd = 1,4 Sgk + 1,4 Sqk + 1,2 Sεk

a.2) Para carga permanente favorável (Figura 3.8):

Sd = 1,0 Sgk + 1,4 Sqk + 1,2 Sεk

Figura 3.8 - Exemplo de carga permanente favorável.

a.3) Quando a solicitação acidental tem várias origens, com pouca probabilidade de ocorrência simultânea:

Sqk = Sqk1 + Ψ0 ΣSqki

A Tabela IV, no Anexo A, apresenta os valores de Ψ0, para vários tipos de cargas e estruturas.


66

b) Coeficientes de minoração das resistências

Os valores de cálculo das resistências dos materiais Rd (fd) são obtidos pela divisão de Rk (fk) pelo coeficiente de minoração da resistência do material γm. Sendo assim:

Rd = m

k

γR

Segundo a NBR 6118 (2007), os valores de γm a serem adotados são os seguintes:

Para o aço (γm = γs) ð γs = 1,15.

γc = 1,4 ð nos casos gerais;

Para o concreto (γm = γc) ð γc = 1,2 ð peças pré-moldadas, executadas em usina, sob rigoroso controle;

γc = 1,5 ð condições desfavoráveis na concretagem.

Logo, tem-se que:

c

ckcd

s

ykyd γ

ffγf

f == e

Notamos através da Figura 3.9, que a dispersão do aço é bem menor que a do concreto, pelo fato do mesmo passar por um processo de fabricação mais rigoroso e homogêneo, gerando menos incertezas quanto ao seu funcionamento real. Por este motivo, o seu coeficiente minorador de resistência é menor que o do concreto.

Figura 3.9 - Curva de Gauss para o aço (fs) e o concreto (fc).

3.5.2. Estado Limite de Serviço

Sendo os estados limites de serviço (ou de utilização) situações referentes à peça em serviço e como o fato da estrutura atingir este limite não provocar risco iminente às vidas humanas, torna-se dispensável a aplicação de coeficientes nos valores característicos. Desta forma:

γf = 1,0 e γm = 1,0


67

3.5.3. Segurança dos cálculos

O dimensionamento se fará de tal forma que a pior situação dos valores de cálculo das solicitações em cada seção seja sempre menor ou igual a resistência de cálculo do material nesta seção. Logo:

Rd ≥ Sd ∴ kfm

k S γ γR

⋅≥

EXERCÍCIO 3.1:

a) Dimensionar, pelo Método dos Estados Limites, um elemento tracionado, confeccionado em aço com resistência à tração de fs=50 kN/cm2, com seção quadrada e constante, submetido às seguintes ações: P1=60 kN (peso próprio); P2=130 kN (carga variável); P3=40 kN (vento). Adotando-se γf = γm = 1,0 (valores característicos):

cma

cmfPA

sk

ks

145,26,4

6,450230

50)4013060( 2

==

==++

==

Adotando-se γf e γm ≥ 1,0 (valores de projeto):

cma

cmfPA

sd

ds

721,21,7

1,748,43

322

15,150

)4013060(.4,1 2

==

==

++==

b) Dimensionar, pelo Método dos Estados Limites, um elemento comprimido, confeccionado em concreto com fck=30 MPa, com seção circular e constante, submetido às seguintes ações: P1=200 kN (peso próprio); P2=350 kN (carga variável); P3=100 kN (vento). Adotando-se γf = γm = 1,0 (valores característicos):

cmxa

cmxA

xfPA

c

ck

kc

61,162174

2171030000

650

1030000

)100350200(

24

4

==

==

=++

==

π

Adotando-se γf e γm ≥ 1,0 (valores de projeto):

cmxa

cmxA

xfPA

c

cd

dc

25,234254

4251021429910

10

4,130000

)100350200(4,1

24

4

==

==

=

++==

π

3.6. CARREGAMENTO DAS ESTRUTURAS

A seguir estão listados, de maneira geral, os carregamentos mais usuais das lajes, das vigas e dos pilares, nas nossas edificações.

3.6.1. Determinação dos carregamentos

A sequência convencional do caminho das cargas em uma estrutura é a seguinte:


68

Laje → Viga → Pilar → Fundação → Solo

3.6.2. Carregamento das lajes

Nas lajes são lançadas as seguintes cargas por unidade de área:

• Peso próprio (pp = espessura da laje [h] x peso específico do concreto [γ=25kN/m3]);

• Revestimento (piso, forro);

• Enchimento de piso (quando houver);

• Paredes (quando não estiverem sobre as vigas);

• Todas as ações verticais decorrentes da utilização do edifício (NBR 6120,1980).

A distribuição do carregamento nas lajes pode ser visualizada por meio de áreas de influência, que são definidas de acordo com a geometria das lajes e as suas condições de contorno. Essas áreas definem as parcelas de carga que serão lançadas em cada viga de bordo. A indicação dos tipos de apoio, ou condições de contorno, de cada um dos lados das lajes segue a simbologia indicada na Figura 3.10.

Lado simplesmenteapoiadoLado engastado Bordo livre

Figura 3.10 - Representação gráfica para os tipos de apoio das lajes.

A Figura 3.11 apresenta alguns esquemas de áreas de influência de tipos diferentes de lajes.

Observando-se as distribuições de carga da Figura 3.11, apresenta-se a seguinte questão: “Porque vai mais carga para a menor direção?” A menor direção, por ser mais rígida, suporta um quinhão maior de carga.

Esquema estático para a distribuição do carregamento nas lajes

A Figura 3.12 apresenta um exemplo de distribuição por área de influência de laje com os respectivos valores para o cálculo das reações das lajes nas vigas de bordo. A geometria das linhas de influência depende do tamanho dos vãos e das suas condições de contorno. Por exemplo, para lajes retangulares, se os dois lados consecutivos têm a mesma condição de contorno eles serão divididos por um ângulo de 45º.

No curso de ENG118-Estruturas de Concreto Armado I, serão calculadas lajes retangulares.


69

Figura 3.11 – Esquemas de áreas de influência de lajes.

Figura 3.12 – Esquema estático de laje.

y

4

y

3

x

2

x

1

2

lA.p

Li4R

lA.p

Li3R

lA.p

Li2R

lA.p

Li1R

)m/kN(aargcp

=

=

=

=

=

3.6.3. Carregamento das vigas

Nas vigas são lançadas as seguintes cargas por unidade de comprimento:

• Peso próprio (pp = [bw * h] * 25kN/m3);

• Paredes;


70

• Reações das lajes;

• Reação de outras vigas ou de pilares.

Esquema estático para carregamento das vigas

A Figura 3.13 apresenta um exemplo de esquema estático de viga.

Figura 3.13 – Esquema estático de viga contínua.

3.6.4. Carregamento dos pilares

Nos pilares são lançadas as seguintes cargas:

• Peso próprio (pp = [b * h * L] * 25kN/m3);

• Reações das vigas que nele se apoiam, calculados a partir da equação dos três momentos, ou de algum processo hiperestático;

• Reações das lajes que neles se apoiam diretamente (sistema sem vigas).

3.7. COMPOSIÇÃO DE CARREGAMENTO

A seguir são apresentados alguns exemplos de composição de carregamentos para as estruturas.

Revestimento de piso

Argamassa de regularização: e = 3 cm ⇒ rev1 = 0,03 x 19,00 = 0,57 kN/m2

rev2 = 0,03 x 21,00 = 0,63 kN/m2

Piso de lajota cerâmica: rev = (0,02 x 21,00) + (0,01 x 18,00) = 0,60 kN/m2

Piso em granito: rev = (0,03 x 21,00) + (0,015 x 28,00) = 1,05 kN/m2


71

Paredes

Tipo 1: Bloco (13,0 kN/m3) + Argamassa (19,0 kN/m3) (Figura 3.14)

17cm

14cm

9cm

Figura 3.14 – Exemplo de bloco.

3/40,1519.15613.

159 mkNparede =+=γ

Tipo 2: para 1,0 m2 de parede ⇒ volume ⇒ Bloco (13,0 kN/m3) + Argamassa (19,0 kN/m3) (Figura 3.15)

3

3,

3arg,

3,arg

3int,arg

3cos

/18,1619.15,008,013.

15,007,0

15,007,008,0

08,006,002,0

06,006,0.1.1

02,009,0.)]17,0.14,0.33(1[

07,009,0.17,0.14,0.33cos3316,0.19,0

1

mkN

mV

mV

mV

mV

mVblon

par

totalparede

total

torevestimenamassa

ernaamassa

blocoblo

=+=

=+=

=+=

==

≅−=

====

γ

EXERCÍCIO 3.2:

Indique o esquema estático dos elementos do pavimento indicado na Figura 3.16.

Figura 3.16 – Fôrma do pavimento a ser carregado.

21719

1614

2

Figura 3.15 – Conjunto bloco + argamassa (junta)


72

EXERCÍCIO 3.3:

Determine o carregamento e apresente os esquemas estáticos das estruturas das Figuras 3.17 e 3.18.

ESPERA EXAME 1

BANHEIRO EXAME 2

200

V1 (12/40)

57612 12

10015 15 240 1515

1257

612

V2 (12/40)

V3

(12/

50)

V4

(12/

50)

h=12cm

1525

515

1530

0

PROJ. ARQUITETÔNICO FÔRMAP3(20/20)

P1(20/20)

P2(20/20)

P4(20/20)

Pavimento de Hospital Pé-direito (piso a piso) = 2,72m Rev. = 1,0 kN/m2 Medidas em centímetros

Figura 3.17 – Estrutura 1.

P1(20/20) P2(30/30) P3(20/20)

P4(25/25)

P5(40/40) P6(25/25)

P7(20/20) P8(30/30) P9(20/20)

V1(14/65)

V2(18/65)

V3(14/65)

V4(

13/5

5)V

5(13

/55)

V6(

17/6

0)

V7(

17/6

5)

V8(

17/6

0)

V10

(13/

55)

V9(

13/5

5)

1454

218

542

14

1317

13 372 17 213 17 213 17 37213

17

13

h=10cmh=9cm

h=13cm

h=13cm h=9cm h=10cm

L =11mpar

L =13mpar

Pavimento de Laboratórios Pé-direito (piso a piso) = 2,8m Medidas em centímetros

Há paredes sobre todas as vigas Rev. = 1,0 kN/m2 epar = 15cm Figura 3.18 – Estrutura 2.


73



ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6120 (1980) – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações – Procedimento. Rio de Janeiro, 1980.

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 8681 (2004) – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

SALES, J. J.; GONÇALVES, R. M.; MALITE, M. – SET – 403 – Sistemas estruturais; Segurança nas estruturas. Notas de aulas, EESC-USP, 1993.



ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 7480 (2007) – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – Especificação. Rio de Janeiro, 1996.









74

4. INTRODUÇÃO AO PROJETO ESTRUTURAL

Segundo a NBR 6118 (2007), que se refere ao concreto estrutural (concreto simples, concreto armado e concreto protendido), “o produto final do projeto estrutural é constituído por desenhos, especificações e critérios de projeto. As especificações e os critérios de projeto podem constar nos próprios desenhos ou constituir documento separado. A memória de cálculo é o documento fundamental para o controle da qualidade. Esses documentos devem conter informações claras, corretas, consistentes entre si e com as exigências estabelecidas nesta Norma. O projeto estrutural deve proporcionar as informações necessárias para a execução da estrutura. Com o objetivo de garantir a qualidade da execução de uma obra, com base em um determinado projeto, medidas preventivas devem ser tomadas desde o início dos trabalhos. Essas medidas devem englobar a discussão e aprovação das decisões tomadas, a distribuição dessas e outras informações pelos elementos pertinentes da equipe multidisciplinar e a programação coerente das atividades, respeitando as regras lógicas de precedência”.

O projeto estrutural deve atender e garantir à estrutura as exigências mínimas de qualidade, no que se refere a:

• Capacidade resistente (segurança). Ex.: Mint ≥ Mext;

• Desempenho em serviço (utilização). Ex.: f ≤ flim (l/200; l/350; l/500, etc.);

• Durabilidade (vida útil). Ex.: cobrimentos e resistências à compressão mínimos.

As Tabelas V, VI e VII, que se encontram no Anexo A, apresentam as recomendações da NBR 6118 (2007) e a Tabela VIII (Anexo A) apresenta recomendações da NBR 12655 (2006).

4.1. ELEMENTOS ESTRUTURAIS

O primeiro passo na elaboração de um projeto estrutural de qualidade é o conhecimento dos elementos estruturais que fazem parte das estruturas. Segundo MacGregor (1988), uma estrutura de concreto armado consiste de uma série de “elementos” individuais que interagem para resistir às cargas impostas à estrutura. Esses elementos, na maioria das vezes, por simplificação, são considerados separadamente no cálculo, mas a interação entre eles deve ser verificada através de uma análise global da estrutura. Os principais elementos utilizados nas estruturas de concreto armado podem ser divididos em três tipos:

• Elementos lineares (1D): vigas e pilares (elementos de barra);

• Elementos laminares ou de superfície (2D): lajes (elementos de placa), vigas-parede (elementos de chapa) e cascas;

• Elementos de bloco ou volumétricos (3D): blocos de fundação, sapatas flexíveis e consolos.

As Figuras 4.1 a 4.3 apresentam alguns exemplos desses elementos estruturais em concreto armado.


75

Figura 4.1 – Alguns elementos estruturais em concreto armado (MACGREGOR, 1988).

Figura 4.2 – Outros elementos estruturais em concreto armado (MACGREGOR, 1988).

Os elementos estruturais podem ser avaliados separadamente ou em conjunto, através de discretização real e/ ou virtual. De maneira geral, e simplificada, pode-se dizer que na estrutura de sustentação de uma edificação, o caminho que as cargas seguem é o seguinte:

Laje ⇒ Viga ⇒ Pilar ⇒ Fundação ⇒ Solo


76

Figura 4.3 – Foto de estrutura com sistema convencional: laje, viga e pilar.

Na sequência apresentada tem-se a presença dos três tipos de elementos estruturais (1D, 2D e 3D) citados anteriormente. A discretização acima, como já comentado, pode ser virtual ou real. Para a primeira, dimensionam-se os elementos separadamente, apesar de serem construídos de forma monolítica. Por exemplo, dimensionam-se as lajes e as vigas individualmente, mas a concretagem é feita de uma só vez, sem interrupções. A discretização real ocorre quando se trabalha, por exemplo, com peças pré-moldadas, que não só são calculadas separadamente, mas também, construídas uma a uma, e depois montadas na estruturas. A Figura 4.4 apresenta um esquema do caminho que as cargas percorrem numa edificação.

Figura 4.4 – Esquema da ordem de sustentação de uma edificação.

4.2. SEQÜÊNCIA DE UM PROJETO ESTRUTURAL

Para se obter um bom projeto estrutural, deve-se seguir as seguintes etapas:

a) Estudo do projeto arquitetônico (formas e utilização);

b) Verificação e compatibilização das cotas e dimensões;

c) Lançamento da fôrma;

d) Compatibilização com os projetos de instalações;


77

e) Carregamento da estrutura;

f) Cálculo dos esforços;

g) Dimensionamento dos elementos e/ ou da estrutura;

h) Detalhamento.

As atividades entre os itens c) e g) representam um processo iterativo, onde se busca a otimização da estrutura, garantindo segurança e funcionalidade. Um dos grandes problemas dos projetistas é que a ordem de cálculo de uma estrutura é inversa à da sua construção, ou seja, ela é calculada de cima para baixo, e é construída de baixo para cima. Por isso, muitas vezes as fundações e pilares apresentam desperdício de material, pois são determinados a partir de um pré-dimensionamento que deve ser sempre a favor da segurança.

Uma construção bem planejada é meio caminho andado para o sucesso do empreendimento.

4.3. ELEMENTOS QUE INTERFEREM NO PROJETO ESTRUTURAL

Para que uma edificação seja construída com sucesso, são necessários, pelo menos, a análise e integração dos projetos apresentados a seguir.

4.3.1. Projeto Arquitetônico

• Planta de Localização (Figura 4.5 – Largo do Paraíso, Porto Alegre);

• Planta de Situação (Figura 4.6 – Museu de Arte Contemporânea de Niterói);

• Plantas Baixas (Figura 4.7 – Museu de Arte Contemporânea de Niterói);

• Cortes (Figura 4.8 – Museu de Arte Contemporânea de Niterói);

• Fachadas (Figura 4.9 – Museu de Arte Contemporânea de Niterói);

• Detalhes Arquitetônicos (Figura 4.10 – Museu de Arte Contemporânea de Niterói).

4.3.2. Projeto Estrutural

• Locação e Carga dos Pilares (Figura 4.11);

• Fundações: - Blocos de estaca;

- Sapatas (Figura 4.12);

- Vigas baldrames (Figura 4.13), etc.;

• Plantas de Fôrma (Figura 4.13);

• Cortes Estruturais;

• Plantas de Armaduras: - Pilares (Figura 4.12);


78

- Lajes (Figura 4.14);

- Vigas (Figura 4.15);

- Reservatórios;

- Escadas (Figura 4.12), etc.

• Detalhes Estruturais.

4.3.3. Projeto de Fôrmas (Figura 4.16)

4.3.4. Projetos de Instalações

• Hidráulicas (água e esgoto) (Figura 4.17);

• Elétricas (Figura 4.18);

• Telefônicas;

• Ar condicionado (Figura 4.19);

• Incêndio;

• Especiais (hospitais, fábricas, bancos, etc.).

4.3.5. Projeto de Revestimento de Fachada (Figura 4.20)

4.3.6. Projeto de Impermeabilização

4.3.7. Projeto de Paginação de Alvenaria (Figura 4.21)

Figura 4.5 – Exemplo de planta de localização. Figura 4.6 – Exemplo de planta de situação.


79

Figura 4.7a – Exemplos de planta baixa de arquitetura.


80

Figura 4.7b – Exemplo de planta baixa de arquitetura.


81

Figura 4.8 – Exemplo de planta de cortes arquitetônicos.


82

Figura 4.9 – Exemplo de planta de fachada.

Figura 4.10 – Exemplo de planta de detalhes arquitetônicos.


83

Figura 4.11a – Exemplo de planta de locação de pilares, cortinas e paredes de rampa (1a parte).


84

Figura 4.11b – Exemplo de planta de locação de pilares, cortinas e paredes de rampa (2a parte).


85

Figura 4.12 – Exemplo de planta de fundações e pilares - detalhamento.


86

Figura 4.13 – Exemplo de planta de forma de baldrames e lajes.


87

Figura 4.14 – Exemplo de planta de armadura de lajes.


88

Figura 4.15 – Exemplo de planta de armaduras de vigas.


89

Figura 4.16 – Exemplo de instalações hidráulicas.

Figura 4.17 – Exemplo de instalações elétricas.

Figura 4.18 – Exemplo de instalação de ar condicionado.


90

Figura 4.19 – Detalhe de junta de revestimento de fachada.

Figura 4.20 – Exemplo da marcação da 1ª fiada do levante de alvenaria.

4.4. INFORMAÇÕES DO PROJETO ESTRUTURAL

As informações que devem constar em um projeto estrutural são:

• Memória de cálculo;

• Desenhos (plantas): - Legendas; - Escalas, cotas e dimensões; - Quadros de armadura, etc.

• Especificações: - Cobrimentos; - Aço; - Concreto; - Cargas; - Fator A/C; - Módulo de Elasticidade, etc.


91

4.5. PRESCRIÇÕES NORMATIVAS

As prescrições normativas, de maneira geral, estabelecem as condições mínimas exigíveis para garantir segurança e “construtibilidade” às estruturas.

O CEB-FIP MC 90 (1993), por exemplo, é um documento que, segundo ele próprio, sintetiza o progresso técnico e científico desde sua publicação anterior (cerca de uma década) no que diz respeito à segurança, a análise e o projeto de estruturas de concreto. Ele foi desenvolvido para servir como base de cálculo para as edificações e obras que utilizam concreto de peso normal.

Ainda segundo o CEB-FIP MC 90 (1993), os critérios de aquiescência com os requisitos mínimos compreendem duas categorias de medidas:

• Procedimentos de cálculo apropriados, incluindo medidas que facilitem a inspeção e a manutenção de elementos vitais da estrutura, durante toda a sua vida útil;

• Medidas que garantam a qualidade, para prevenir ou eliminar erros humanos.

No Brasil, para as estruturas de concreto, pode-se citar, entre outras, as seguintes normas técnicas:

• Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) - NBR 6118 (2007) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2007;

• ABNT - NBR 6120 (1980) – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações – Procedimento. Rio de Janeiro, Novembro/ 1980;

• ABNT - NBR 6123 (1988) – Forças devidas ao vento em edificações – Procedimento. Rio de Janeiro, 1988;

• ABNT - NBR 8681 (2004) – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2004;

• ABNT - NBR 14931 (2004) – Execução de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2004.

Além dessas, outras normas também contêm disposições que constituem prescrições relacionadas aos projetos em concreto. Entre elas, pode-se citar:

• ABNT - NBR 5738 (1994) – Moldagem e cura de corpos-de-prova cilíndricos ou prismáticos de concreto – Procedimento;

• ABNT - NBR 5739 (1994) – Concreto – Ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos – Método de ensaio;

• ABNT - NBR 7187 (2004) – Projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido – Procedimento;


92

• ABNT - NBR 7222 (1994) – Argamassa e concreto – Determinação da resistência à tração por compressão diametral de corpos-de-prova cilíndricos – Método de ensaio;

• ABNT - NBR 7480 (2007) – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – Especificação;

• ABNT - NBR 7481 (2007) – Tela de aço soldada – Armadura para concreto – Especificação;

• ABNT - NBR 8522 (1984) – Concreto – Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensão-deformação – Método de ensaio;

• ABNT - NBR 8953 (1992) – Concreto para fins estruturais – Classificação por grupos de resistência – Classificação;

• ABNT - NBR 9062 (2001) – Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado – Procedimento;

• ABNT - NBR 10839 (1989) – Execução de obras de arte especiais em concreto armado e concreto protendido – Procedimento;

• ABNT - NBR 12142 (1991) – Concreto – Determinação da resistência à tração na flexão em corpos-de-prova prismáticos – Método de ensaio;

• ABNT - NBR 12654 (1992) – Controle tecnológico de materiais componentes do concreto – Procedimento;

• ABNT - NBR 12655 (2006) – Concreto de cimento Portland – Preparo, controle e recebimento;

• ABNT - NBR 15575 (2010) – Edifícios habitacionais de até cinco pavimentos – Desempenho.

Entre as prescrições internacionais, as mais consultadas no Brasil são:

• ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-08 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2008;

• CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993;

• DIN – Deutsches Institut für Normung;

• EC – European Standards. Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1: General rules and rules for buildings. December, 1999;

• FIB – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.


93

Vale notar que o Código Modelo CEB-FIP MC 90 (1993) e a FIB (1999), que é um complemento do CEB-FIP MC 90 (1993), são consideradas “normas mães”, ou seja, elas podem ou não ter valor normativo em alguns países, mas, seu maior objetivo é servir de referências para as normas e códigos de diversos países, dentro e fora da Europa, entre eles o Brasil.

Segundo a NBR 14931 (2004), no que se refere às informações e documentos constantes no projeto, tem-se que:

“5.2.1 Documentação do Projeto

... As especificações de projeto devem considerar e fazer referência a normas nacionais e requisitos específicos do local da obra, com respeito a todos os aspectos inerentes à construção, como: instalações contra incêndios, impermeabilizações (ABNT NBR 12190), ações sobre a estrutura (como o vento, ABNT NBR 6123), segurança, condição ambiental, e outros.

Antes do início da execução de qualquer parte da estrutura de concreto, as especificações de projeto relativas a essa parte devem estar completas e disponíveis”.

Atualmente, o meio técnico e o mercado têm discutido bastante sobre a implementação da NBR 15575 (2010), que é uma norma de desempenho, que, segunda consta no seu próprio corpo, é um “Conjunto de requisitos e critérios estabelecidos para um edifício habitacional e seus sistemas, com base em exigências do usuário, independentemente da sua forma ou dos materiais constituintes”. Um dos temas abordados nessa norma é a necessidade de se fazer inovações tecnológicas no setor da construção civil, visando mais qualidade e mais produtividade. A NBR 15575 define inovação tecnológica como:

“Aperfeiçoamento tecnológico, resultado de atividades de pesquisa, aplicado ao processo de produção do edifício objetivando a melhoria de desempenho, qualidade e custo do edifício ou de um sistema”.

Para se realizar um bom projeto estrutural em concreto, deve-se consultar, no mínimo, as seguintes normas:

• NBR 6118 (2007)

• NBR 6120 (1980)

• NBR 6123:1988 (1990)

• NBR 7480 (2007)

• NBR 8681 (2004)

• NBR 14931 (2004)

• NBR 15575 (2010)

4.6. APRESENTAÇÃO DO PROJETO DO CURSO

O projeto arquitetônico apresentado nas plantas das Figuras 4.21 a 4.26 será usado para os exemplos de carregamento, dimensionamento e detalhamento dos elementos estruturais de interesse no decorrer deste curso.


94

Figura 4.21 – Planta baixa do pavimento térreo.


95

Figura 4.22 – Planta baixa do pavimento tipo.


96

Figura 4.23 – Planta baixa da cobertura.


97

Figura 4.24 – Detalhes da casa de máquina e reservatório elevado.


98

Figura 4.25 – Corte longitudinal 1-1.


99

Figura 4.26 – Corte transversal 2-2.


100

4.7. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS ESTRUTURAS

Como já citado no capítulo anterior, no projeto das estruturas, de maneira geral, são seguidas as seguintes etapas:

1. Estudo do projeto arquitetônico (formas e utilização)

2. Verificação e compatibilização das cotas e dimensões

3. Lançamento das fôrmas (prática e bom senso)

4. Compatibilização com os projetos de instalações

5. Carregamento da estrutura

6. Cálculo dos esforços

7. Dimensionamento dos elementos e/ ou da estrutura

8. Detalhamento dos elementos e/ ou da estrutura

Este item trata do 3. Lançamento da fôrma, não só no que diz respeito ao posicionamento dos elementos estruturais (pilares, vigas e lajes), como também da definição de suas dimensões iniciais, que se intitula pré-dimensionamento das estruturas.

O sistema estrutural que será estudado no curso de ENG118-Estruturas de Concreto Armado I é o sistema estrutural convencional em concreto armado, que é aquele que possui lajes que se apoiam em vigas, que por sua vez se apoiam nos pilares. Para o lançamento da posição dos elementos que compõem esse tipo de sistema estrutural são apresentadas a seguir algumas sugestões de critérios para basear as escolhas.

1. Pilares:

• Quinas externas da edificação;

• Cruzamento de paredes (principais);

• Distância entre eixos de 4,00 a 6,00m;

• Pavimento Tipo x Cobertura/Reservatório;

• Pavimento Tipo x Garagem;

• Pavimento Tipo x Play-Ground;

• Elementos de contraventamento.

2. Vigas:

• Vãos de 4,00 a 6,00m;

• Sob as paredes principais;


101

• Apoiadas sobre os pilares;

• Compatibilização com o Projeto Arquitetônico;

• Formação dos pórticos de contraventamento.

3. Lajes:

• Vãos de 4,00 a 6,00m;

• Definidas pelas posições das vigas.

Nos projetos, as estruturas são carregadas de cima para baixo, na ordem apresentada a seguir.

Laje ⇒ Viga ⇒ Pilar ⇒ Fundação ⇒ Solo

Porém, elas são construídas de baixo para cima, na ordem apresentada a seguir.

Fundação ⇒ Pilar ⇒ Viga ⇒ Laje

Para “dimensionar-se” uma estrutura, é necessário ter as suas dimensões, pois o peso próprio, por exemplo, faz parte das cargas permanentes aplicadas nela. Portanto, é necessário, ter uma idéia das dimensões das peças, ou seja, sua ordem de grandeza, para que se possa começar a dimensionar as estruturas. Essas seções iniciais, ou preliminares, são chamadas de seções de pré-dimensionamento. As seções de pré-dimensionamento, podem, ou não, se transformarem nas seções definitivas das estruturas. Para o sistema convencional em concreto armado, vai-se pré-dimensionar os elementos de pilar, viga e laje, na ordem indicada abaixo, uma vez que as dimensões da laje dependem das dimensões das vigas e as das vigas dependem das dimensões dos pilares.

1. Pilar;

2. Viga;

3. Laje.

4.7.1. Pilares

Para o pré-dimensionamento de pilares, um dos procedimentos mais comuns é o Método das Áreas de Influência. Como o próprio nome já diz, o método consiste em dividir o pavimento em áreas que serão apoiadas pelos pilares. Esse método tem a intenção de, apenas, dar uma idéia da carga nos pilares, ou da sua ordem de grandeza, para que possa ser feita uma estimativa das suas dimensões e das cargas nas fundações. O dimensionamento final dos pilares deve ser feito de acordo com os carregamentos reais calculados, levando-se em conta, também, as considerações da estabilidade global da estrutura.

Para a estrutura da Figura 4.27, pode-se dizer que cada pilar recebe a carga equivalente a ¼ da área total do pavimento. Ou seja, as áreas de influência para os pilares são determinadas a partir das linhas médias entre eles, nas duas direções.


102

Figura 4.27 – Distribuição das áreas de influência dos pilares.

Esse método é bastante eficaz e simples quando se têm estruturas com distribuição uniforme de pilares.

Uma vez determinadas as áreas, essas são multiplicadas pelas cargas médias de pré-dimensionamento, fornecendo, então, as cargas nos pilares. Para as edificações usuais, costuma-se utilizar as seguintes cargas médias:

• Carga média do pavimento tipo (PT) ⇒ Ppt = 10 a 15 kN/m2

• Carga média da cobertura (cob.) ⇒ Pcob = 0,75 * Ppt

• Carga média de garagem (gar.) ⇒ Pgar = 1,50 * Ppt

Para o exemplo da Figura 4.27, tem-se:

Nk,P1 = Nk,P2 = Nk,P3 = Nk,P4 = (l/2 * l/2) * Ppt

Admitindo l= 4m e Ppt=10kN/m2, tem-se:

Nk = 2 * 2 * 10 = 40 kN

Cada pilar terá uma carga de, aproximadamente, Nk = 40 kN, por pavimento. Se a estrutura tiver 5 pavimentos-tipo, 1 pavimento de cobertura (último teto) e 1 pavimento de garagem, a carga total na fundação seria de:

kN290)]40*5,1(*1[)]40*75,0(*1[)40*5(NN fundação,ktotal,k =++==

De posse da carga no pilar (Nk) e da resistência do concreto à compressão (σc), pode-se fazer o pré-dimensionamento da seção de concreto do pilar. A área de concreto do pilar será de:

c

kpilar σ

NA =


103

Admitindo uma taxa de armadura (ρ) no pilar da ordem de 3%, tem-se que:

βfσ ck

c =

Em que: β = 1,4 ⇒ para pilares solicitados praticamente à compressão simples;

1,5 ⇒ para pilares submetidos à flexo-compressão normal;

1,6 ⇒ para pilares submetidos à flexo-compressão oblíqua.

Para o exemplo da Figura 4.27, admitindo-se fck = 30 MPa e β = 1,5, tem-se que:

2234321 1450145,0

5,110.30290 cmmAAAA PPPP ==

====

Para um pilar quadrado: l = (145)1/2 = 12,04 cm = 13 cm de lado. Porém, a NBR 6118 (2007) estabelece dimensões mínimas para os pilares de 19 cm de lado, portanto, adotar-se-ão pilares de 20/ 20 cm.

Para a 2a opção de fôrma do projeto em estudo (Figura 4.32), adotando-se um fck = 25 MPa, β=15 (simplificadamente, considerar-se-ão todos os pilares submetidos à flexo-compressão normal), Ppt=12 kN/m2 e dimensões mínimas para os pilares de 20 cm de lado, tem-se:

MPa7,165,1

25MPa25f cck ==σ=

A Figura 2.28 apresenta o esquema das áreas de influência para o pavimento tipo, determinadas considerando-se os eixos das paredes. A Tabela 4.1 apresenta os cálculos para os pilares.

Tabela 4.1 – Cálculo da seção dos pilares para a 2a opção de forma.

Pilar Npt (kN)

Ncob (kN)

Ntotal = 9*Npt + Ncob (kN)

Anecess (cm2)

2a dimensão

Seção (cm)

P01=P04=P20=P23 71,16 53,37 693,81 415,46 20,77 20 x 25

P02=P03=P21=P22 71,16 53,37 693,81 415,46 20,77 20 x 25

P05=P08=P16=P19 129,96 97,47 1267,11 758,75 37,90 20 x 40

P06=P07=P17=P18 213,84 160,38 2084,94 1248,47 62,42 20 x 65

P09=P13 78,00 58,5 760,50 455,39 22,77 20 x 25

P10=P14 164,64 123,48 1605,24 961,22 48,06 20 x 50

P11=P15 39,36 29,52 383,76 229,80 11,49 20 x 20

P12 175,68 131,76 1712,88 ----- ----- -----

O cálculo apresentado na Tabela 4.1 não está considerando o carregamento do reservatório superior e o da casa de máquinas do elevador. Para uma análise mais completa, esses carregamentos devem ser computados e distribuídos nos pilares P9, P10, P12, P13 e P14, que


104

continuam até o nível ⊕34,10 (tampa do reservatório superior). Os demais pilares terminam no nível ⊕27,00 (teto do 9o pavimento). Esses níveis podem ser observados no corte apresentado na Figura 4.25.

As Figuras 4.31 e 4.32 apresentam duas opções de fôrma para o pavimento tipo em estudo.

Figura 4.28 – Áreas de influência dos pilares do projeto em estudo.

4.7.2. Vigas

Da mesma forma que para os pilares, pode-se fazer um pré-dimensionamento para as vigas a fim de obter-se seções iniciais de cálculo. Para vigas de seção retangular (Figura 4.29) ou T, e com vãos até 6m, tem-se que:


105

Figura 4.29 – Seção transversal retangular.

prática)da(valor30cmβ.αh

2007)6118,(NBR12cmbCAAdadepende

te)(antigamen3cmeb

x

w

paredew

≥≥

≥ −

=

l

Em que: lx = vão téorico ou balanço;

2,4 ⇒ para vão em balanço;

α = 1,0 ⇒ para vão biapoiado;

0,8 ⇒ para vão mono-engastado;

0,7 ⇒ para vão bi-engastado.

8 ⇒ para, nos casos correntes, não precisar mudar a altura nos cálculos;

β = 10 ⇒ pode dispensar o redimensionamento devido às flechas;

12 ⇒ necessita a verificação da flecha; sugere-se o cálculo conjunto com a laje.

A Tabela 4.2 apresenta os cálculos das vigas para a 2a opção de fôrma (Figura 4.32) do projeto em estudo.

Tabela 4.2 – Pré-dimensionamento das vigas da 2a opção de fôrma.

Altura (cm) Viga Vão lx (cm) Condições de apoio

α β

Calc. Adot.

V101=V102=V110=V111 Único 419,0 Biapoiada 1,00 12 34,92 35

V103=V109 Único 276,0 Biapoiada 1,00 12 23,00 30

V104=V108 1o 454,5 Mono-engastada 0,80 12 30,30 35

V105=V107 3o 377,0 Mono-engastada 0,80 12 25,13 30

V106 Único 180,0 Biapoiada 1,00 12 15,00 30

V112=V114=V123=V124 1o 542,0 Mono-engastada 0,80 12 36,13 40


V116=V117=V121=V122 Único 552,0 Biapoiada 1,00 12 46,00 50


V120 Único 336,0 Biapoiada 1,00 12 28,00 30


106

4.7.3. Lajes

Para as lajes maciças armadas em cruz (Figura 4.30) com vãos menores que 6m, tem-se:

Figura 4.30 – Seção transversal da laje.

mínx h

β.αh ≥≥l

Em que: lx = menor vão téorico ou balanço;

2,4 ⇒ para vão em balanço;

α = 1,0 ⇒ para vão biapoiado;

0,8 ⇒ para vão mono-engastado;

0,7 ⇒ para vão bi-engastado.

β = 30 ⇒ pode dispensar o redimensionamento devido às flechas, principalmente, se não houver parede sobre a laje;

35 ⇒ necessita a verificação da flecha.

5cm ⇒ para cobertura;

hmín ≥ 7cm ⇒ para piso e balanço;

12cm ⇒ para passagem de veículos;

A Tabela 4.3 apresenta os cálculos das lajes para a 2a opção de fôrma (Figura 4.32) do projeto em estudo.

Tabela 4.3 – Pré-dimensionamento das lajes da 2a opção de fôrma.

Altura (cm) Laje lx (cm) Condições de apoio

α β

Calc. Adot.

L101=L102=L109=L111 432 Biapoiada 1,00 35 12,31 13

L103=L110 275 Mono-engastada 0,80 35 6,29 7

L104=L105=L107=L108 460 Mono-engastada 0,80 35 10,51 11

L106 350 Biapoiada 1,00 35 10,00 10


107

Figura 4.31 – 1a opção de fôrma para o pavimento tipo em estudo.


108

Figura 4.32 – 2a opção de fôrma para o pavimento tipo em estudo.


109

EXERCÍCIO 4.1:

Para a 1a opção de fôrma do projeto em estudo, determine as seções de pré-dimensionamento das vigas e lajes.



______ NBR 12655 (2006) – Concreto de Cimento Portland – Preparo, controle e recebimento – Procedimento. Rio de Janeiro, Março, 2006.






______ NBR 1265 (2006) – Concreto de Cimento Portland – Preparo, controle e recebimento – Procedimento. Rio de Janeiro, 2006.





110

5. BASES PARA O DIMENSIONAMENTO

O dimensionamento das estruturas se baseia no resultado da análise estrutural das mesmas. Segundo a NBR 6118 (2007), “O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura”.

Para a análise estrutural, deve-se utilizar modelos estruturais que sejam capazes de representar de forma clara e realista a estrutura, e/ ou o elemento estrutural, em estudo. Ainda segundo a NBR 6118 (2007), “As estruturas podem ser idealizadas como a composição de elementos estruturais básicos, classificados e definidos de acordo com a sua forma geométrica e a sua função estrutural”.

Como já foi dito, os elementos podem ser lineares, de superfície e de volume. Entre os lineares, destacam-se: as vigas, que funcionam basicamente à flexão (apresentam tensões de tração e de compressão); os pilares, que trabalham basicamente à compressão; os tirantes, que trabalham basicamente à tração; e os arcos, em que predominam as forças de compressão, mas podem, também, serem solicitados à flexão. Entre os elementos de superfície, tem-se: as placas, que são elementos planos sujeitos principalmente a ações normais a seu plano; as chapas, também planas sujeitas principalmente a ações contidas em seu plano; e as cascas, que são elementos de superfície não planos.

Assim como existem vários tipos de elementos estruturais, existem, também, diferentes tipos de análises estruturais, que, segundo a NBR 6118 (2007), “se diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da estrutura, não perdendo de vista em cada caso as limitações correspondentes”. Para as análises listadas na NBR 6118 (2007), todos os modelos admitem deslocamentos pequenos para a estrutura. Os tipos de análise estrutural adotados pela NBR 6118 (2007) são:

• Análise linear;

• Análise linear com redistribuição;

• Análise plástica;

• Análise não-linear;

• Análise através de modelos físicos.

Uma vez feita a análise estrutural, e se determinado os efeitos das ações em uma estrutura, parte-se para o seu dimensionamento.

Segundo o Fib Bulletin 2 (1999), uma seqüência de atividades para um bom projeto estrutural, é a apresentada na Figura 5.1. Ela engloba desde o pré-projeto (ou projeto conceitual) até o completo detalhamento da estrutura. Cada uma dessas etapas reúne uma série de atividades. Por exemplo, no pré-projeto define-se o tipo de estrutura a ser adotado, e o arranjo estrutural dos elementos que a compõem, ou seja, a posição das lajes, das vigas, dos pilares, e etc. Esse arranjo, ou fôrma, inicial pode ser mudado numa etapa posterior. Depois, determinam-se as dimensões das peças. Para isso, o projetista tanto pode se basear na sua experiência como utilizar regras práticas de pré-dimensionamento.


111

Pré-projeto

Determinação das Dimensões dos Elementos

Idealização da Estrutura para a Análise Estrutural

Análise Estrutural

Dimensionamento para o Estado Limite Último

Dimensionamento para o Estado Limite de Serviço

Detalhamento das Armaduras

(tipo da estrutura, posicionamento dos elementos)

(por experiência, relação vão/ altura, etc...)

(determinação dos esforços: momentos, cortantes e forças axiais)

(cálculo das armaduras, verificação das seções de concreto)

(verificação das flechas e vibrações, e detalhes para controle da fissuração)

(definição do arranjo estrutural, do sistema estático)

Figura 5.1 – Sequência para um bom projeto (Fib Bulletin 2, 1999).

De maneira geral, uma vez determinado o arranjo estrutural, ou idealizada a estrutura, parte-se para o cálculo dos esforços que irão solicitá-la. Para isso, como já foi dito, existem vários modelos de cálculo que podem ser adotados, como os apresentados na NBR 6118 (2007). A partir desse ponto, faz-se o dimensionamento para o estado limite último, ou seja, verifica-se se as seções de concreto adotadas são suficientes para resistirem às tensões de compressão, e se forem, calcula-se a quantidade de armadura necessária para resistir às tensões de tração. Em seguida, verifica-se se a estrutura atende ao dimensionamento para o estado limite de serviço. Caso a estrutura ou seus elementos não passem em alguma das verificações, altera-se a dimensão com problema e refaz-se todo o caminho. Uma vez que a estrutura passe em todas as verificações, pode-se, então, detalhar as armaduras.

Para o nosso curso, admitindo que os esforços nos elementos já foram calculados, iremos nos concentrar no dimensionamento para o Estado Limite Último (ELU) de elementos submetidos à flexão simples (momento fletor e esforço cortante): as lajes e as vigas.

Antes de partir para o dimensionamento desses elementos, é importante conhecer a nomenclatura utilizada. A Figura 5.2 apresenta o esquema de uma peça submetida à flexão simples e parte da nomenclatura e da simbologia adotadas.


112

Vale notar que tanto a nomenclatura como a simbologia adotadas seguem a NBR 6118 (2007), apresentando algumas diferenças em relação a outras prescrições normativas e a alguns livros de concreto armado.

D.M.F. (M)

+

-

D.E.C. (V)

+

p (kN/m)

b w

h

l

Mmáx.

p = carga linear uniformemente

distribuída

l = vão da viga (de eixo a eixo dos apoios)

h = altura da seção transversal

bw = largura da seção transversal

Mmáx. = momento máximo do vão

D.M.F. = diagrama de momentos fletores

D.E.C. = diagrama de esforços cortantes

Figura 5.2 – Viga submetida à flexão simples.

Quando uma peça é submetida à flexão simples, estão atuando os momentos fletores e os esforços cortantes, que por sua vez, impõem ao elemento tensões de tração e de compressão, como mostra a Figura 5.3. A NBR 6118 (2007), assim como várias outras prescrições, admite que se dimensione separadamente para os momentos fletores e para os esforços cortantes.

compressão

tração

compressão

tração

M MV

V

V

V

Figura 5.3 – Tensões de tração e compressão devidas aos momentos fletores e aos esforços cortantes.

No nosso curso, inicialmente neste capítulo, serão apresentadas as bases para o dimensionamento para o momento fletor. O dimensionamento para o esforço cortante será visto no Capítulo 8, no que se refere às vigas, pois, para as lajes aqui estudadas, pode-se desprezar o seu cálculo. Esse assunto será comentado em mais detalhes no Capítulo 7.

Na análise da seção transversal da viga submetida ao momento fletor, deve-se conhecer os seguintes elementos, mostrados na Figura 5.4, em que:

LN = linha neutra (linha de tensão nula);

As = área de aço da seção;


113

εc = deformação de compressão (no concreto) (encurtamento);

εbwDeformações

t

L

sA

N

εc

Tensões

x

d'

d h

σ

σ

c

s

Figura 5.4 – Elementos e nomenclatura para a análise da seção transversal.

εt = deformação de tração (no aço)(alongamento);

σc = tensão no concreto (compressão);

σs = tensão no aço (tração);

x = altura da linha neutra (diagrama parábola-retângulo); d = altura útil da seção – distância do centro de gravidade da armadura à borda mais

comprimida;

d’= distância do centro de gravidade da armadura à borda mais tracionada;

Uma boa maneira de se entender o que acontece com as peças submetidas à flexão simples, é acompanhar um ensaio de flexão numa viga. Para o elemento da Figura 5.2, à medida que vai se aumentando a carga p, vai se aumentando o momento, o que aumenta as tensões de tração e de compressão, e a deformação da viga (Figura 5.5a). Nesse estágio, tanto o aço como o concreto resistem às tensões de tração, e o diagrama de tensões é linear. Com o contínuo aumento da carga, atinge-se o ponto em que as tensões de tração atuantes ultrapassam a resistência à tração do concreto e a viga começa a fissurar (Figura 5.5b), e o digrama de tensão deixa de ser linear. A partir desse ponto, apenas o aço passa a resistir à tração. A carga vai sendo aumentada até a ruptura da peça, que acontece ou quando o concreto atinge uma deformação de compressão de 3,5‰ ou quando o aço atinge uma deformação de tração de 10‰ (Figura 5.5c). O que ocorrer primeiro.

Com base nas observações anteriores, pode-se dividir o comportamento da viga em duas etapas distintas, antes e depois da fissuração. Quando as peças se encontram não-fissuradas são ditas no Estádio I, e após a fissuração no Estádio II.

O dimensionamento para o Estado Limite Último no concreto armado ocorre no Estádio III, após a fissuração das peças. A seguir são apresentadas as hipóteses de cálculo para o dimensionamento, que admitem algumas simplificações em relação ao comportamento real das estruturas.

5.1. HIPÓTESES DE CÁLCULO

Tanto para os elementos lineares como para os de superfície, a NBR 6118 (2007) estabelece que, na análise dos esforços resistentes de uma seção, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas:


114

a) As seções transversais se mantêm planas após a deformação;

p (kN/m)

l

0

p (kN/m)1

3p (kN/m)

(a) Estádio I - peça não fissurada

(b) Início do Estádio II - peça fissurada

(c) Ruptura da peça - estágio avançado de fissuração e esmagamento do concreto na zona comprimida

fissuras de flexão

fissuras de cisalhamentoesmagamento do concreto

Diagramas detensão

Diagramas dedeformação

armadura

tração

compressão

Figura 5.5 – Viga submetida ao ensaio de flexão.

b) A deformação das barras, em tração ou compressão, deve ser a mesma do concreto em seu entorno;

c) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas, obrigatoriamente no ELU;

d) A distribuição de tensões no concreto segue o diagrama simplificado parábola-retângulo (tensão variável), apresentado na Figura 5.6. Esse diagrama pode ser substituído por um retângulo de altura 80% da altura do anterior, como mostra a Figura 5.6, e tensão do concreto constante de:

x

y =

0,8

x

0,85 fcd

cd0,80 f ou

cd0,85 f

Tensões(parábola-retângulo)

Tensões(retangular)

Figura 5.6 – Diagrama simplificado retangular para o concreto.

• 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida;

• 0,80 fcd no caso contrário. Em que: y = altura do diagrama retangular

simplificado; 0,85 0,85 fcd e/ ou 0,80 fcd = resistência de

cálculo do concreto à compressão.


115

e) A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação do aço;

f) O estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios da flexão, definidos a seguir.

5.2. DOMÍNIOS DA FLEXÃO

Como foi visto, quando uma peça é submetida à flexão, ela fica sujeita a esforços de tração e de compressão. Nas peças de concreto armado, o concreto é o responsável por resistir aos esforços de compressão e o aço aos de tração. A depender do valor do momento fletor aplicado, da quantidade de armadura e das dimensões da peça, essa pode estar com mais área comprimida, mais área tracionada ou em parcelas iguais. A região da seção transversal onde as tensões são nulas é chamada de linha neutra (LN), e ela é a linha divisora entre a zona comprimida e a zona tracionada da peça. À medida que o valor do momento fletor aplicado aumenta ou diminui, a altura da LN vai variando, e o comportamento da peça em relação ao modo de ruptura também.

No dimensionamento para ELU, como já foi citado, quando uma viga é submetida à flexão, considera-se que ela atingiu um estado limite último ou quando o concreto atinge um encurtamento máximo (εcu) de 3,5‰ ou quando o aço atinge um alongamento máximo (εsu) de 10‰. Portanto, pode-se ter uma ruptura devido à falha no concreto ou no aço, ou ainda, nos dois simultaneamente. Para entender melhor de que maneira a peça está se comportando, é necessário analisar-se os chamados domínios da flexão, ou domínios de deformação, que estão representados na Figuras 5.7.

3

5

4a

1

4

2

d

d'

h

ε

ε = 3,5

ε = 10 ydsu

cu

ooo

ooo

A

Seçãotoda

comprimida

Seçãotoda

tracionada

x

Figuras 5.7 – Domínios da flexão.

Pelo diagrama dos domínios, que representa o diagrama de deformação da seção transversal para várias alturas da LN, percebe-se que eles são divididos em cinco: D.1, D.2, D.3, D.4 (e D.4a) e D.5. Cada um deles representa um determinado intervalo de deformação a que a seção transversal da peça está sujeita. A altura da LN, denominada de x, cresce da borda mais comprimida em direção a mais tracionada. A seguir são analisadas as características principais de cada um dos domínios.


116

Domínio 1

Nesse domínio, a seção transversal se encontra toda tracionada, como mostra a Figura 5.8.

Fu

-

sdε = 10 ooo

< x < 0

+

Figura 5.8 – Seção transversal no Domínio 1.

Fu = força aplicada εsd = deformação máxima de cálculo do aço

Segundo Fusco (1981), “O estado limite último é caracterizado pela deformação εsd=10‰. Nesse domínio estão incluídos os casos de tração axial e de tração axial excêntrica com pequena excentricidade”.

Domínio 2

Nesse domínio, a seção transversal se encontra parte tracionada e parte comprimida, como mostra a Figura 5.9.

ε = 10

xuM

sdooo

0 < ε < 3,5cd

ooo

+

-


Mu = momento aplicado εcd = deformação máxima de

cálculo do concreto εsd = deformação máxima de

cálculo do aço

Segundo Fusco (1981), “O estado limite último é caracterizado pela deformação εsd=10‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo comprimido. Nesse domínio estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade”.

Domínio 3


osd10 > ε > εoo

ε = 3,5

xMu

cdooo

yd

+

-


Mu = momento aplicado εcd = deformação máxima de cálculo do

concreto εsd = deformação máxima de cálculo do

aço


117

Segundo Fusco (1981), “O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd=3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. Nesse domínio também estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade”.

Domínio 4 (e 4a)


oε = 3,5

uM x

cd

-oo

ε < εsd yd


Mu = momento aplicado εcd = deformação máxima de cálculo do

concreto εsd = deformação máxima de cálculo do aço

Segundo Fusco (1981), “O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd=3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. No Domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com grande excentricidade”.

Domínio 5

Nesse domínio, a seção transversal se encontra toda comprimida, como mostra a Figura 5.12.

u

h < x <

F-

ε = 3,5cd ooo


Fu = força aplicada εcd = deformação máxima de cálculo do

concreto

Segundo Fusco (1981), “No Domínio 5 estão incluídos os casos de flexo-compressão com pequena excentricidade e o caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção transversal, a qual está inteiramente comprimida”.

Domínios da flexão simples

Pelos diagramas apresentados, percebe-se que os domínios dependem, ou indicam, a posição da linha neutra (LN) da seção. A Tabela 5.1 apresenta um resumo com as principais características de cada um dos domínios.


118

Tabela 5.1 – Características dos domínios da flexão.

Tipo de flexão Domínio Característica e modo de ruptura

Flexão composta Domínio 1 Flexo-tração - ruptura do aço

Domínio 2 Ruptura pelo escoamento do aço (dúctil)

Domínio 3 Ruptura pelo escoamento do aço (dúctil) e/ ou esmagamento do concreto (frágil)

Flexão simples ou flexão composta com grande excentricidade

Domínio 4 Ruptura pelo esmagamento do concreto (frágil)

Flexão composta Domínio 5 Flexo-compressão – esmagamento do concreto

As peças podem romper por esmagamento do concreto ou deformação excessiva da armadura. O primeiro tipo é uma ruptura frágil, ou seja, ocorre sem aviso prévio. A ruptura do concreto à compressão, principalmente para os CAR, é explosiva, o concreto não dá sinais que está com problemas. Logo, é um tipo de ruptura que deve ser evitado. O segundo tipo é uma ruptura dúctil, ela dá muitos sinais de que está preste a ocorrer. Quando a armadura começa a escoar, a peça deforma mais e apresenta um padrão crescente de fissuração. Portanto, deve-se garantir que no caso de uma peça chegar a ruptura, que esta seja pelo aço, dúctil, pois, ter-se-á tempo para os devidos reparos. Em resumo, pode-se dizer que:

a) A ruptura do concreto é frágil;

b) A ruptura do aço é dúctil;

c) Em caso de ruptura, o aço deve entrar em escoamento antes da ruína da peça.

Logo, para os casos de flexão simples, deve-se dimensionar as peças nos Domínios 2 e/ ou 3, onde as rupturas são dúcteis. O ponto limite de dimensionamento é o ponto A (Figura 5.7), que é o limite entre os Domínios 3 e 4. A depender do domínio em que a peça se encontra, ele se classifica da seguinte maneira:

a) Seção sub-armada (atinge o escoamento na ruptura): εsd > εyd ⇒ D. 2 e 3;

b) Seção normalmente armada: εsd = εyd ⇒ ponto A;

c) Seção super-armada (não atinge o escoamento na ruptura): εsd < εyd ⇒ D. 4.

Com base nessas análises, pode-se concluir que, deve-se projetar as seções para trabalharem como sub-armadas ou normalmente armadas, e nunca como super-armadas, pois correriam o risco de sofrer ruptura frágil. O ponto A é o máximo no qual se alia a segurança à eficiência, pois utiliza o máximo que os dois materiais podem oferecer, antes de se atingir uma ruptura frágil. Entretanto, a NBR 6118 (2007) determina um limite máximo para a posição da Linha Neutra um pouco antes do ponto A. Esse assunto será discutido mais detalhadamente um pouco mais a frente.

Para a análise e o dimensionamento das seções, utilizam-se as equações de equilíbrio de esforços e a de compatibilidade de deformação, que são baseadas nos diagramas de tensão e de deformação, respectivamente.


119

Equações de equilíbrio

Tem-se, basicamente, três equações de equilíbrio: de forças horizontais (Fh); de forças verticais (Fv); e de momentos fletores (M). Para a seção da Figura 5.13, tem-se:

L

b w

A s

N

sdσd'

y

d

cd0,85 f

z

C

T

Figura 5.13 – Seção transversal sob flexão. )II()2yd(A.)

2yd(y.b.f.85,0M

MMz.Tz.CMMM0M

000F

)I(A.y.b.f.85,0TC0F

ssdwcdd

dextint

extint

v

ssdwcd

h

−σ=−=

===

=∴=

=∴=

σ=

=∴=

∑

∑

∑

Em que: C = resultante de compressão (área comprimida * tensão resistente de compressão)

T = resultante de tração (área de aço * tensão resistente de tração)

z = braço de alavanca (distância entre as resultantes de compressão e de tração)

σsd = tensão de cálculo do aço

Mint = momento resistente

Mext = momento atuante

Equação de compatibilidade

Tem-se uma equação de compatibilidade, que é proveniente da Lei de Bernouille-Navier, que é apresentada a seguir, a partir do diagrama de deformação da Figura 5.14.

L

b w

As

sdε

N

cdε

d'

x

d

Figura 5.14 – Diagrama de deformação da seção transversal sob

flexão.

)III(1

8,0dy

)8,0yd(8,0y

)xd(x

cd

sd

sdcd

sdcd

εε

+=

ε−

=ε

ε−

=ε


120

Limites entre os domínios da flexão simples

Temos quatro pontos limites para definir: o ponto entre o D. 1 e o D.2; o ponto entre o D. 2 e o D.3; o ponto entre o D. 3 e o D.4; e o ponto entre o D. 4 e o D.5. A Figura 5.15 apresenta o esquema com os pontos limites, em função do parâmetro (y/d).

503,0

5,307,21

8,050207,0

5,3101

8,0

8,0

5,301

8,00

=+

=→→=→=+

=→

=+

=→=→

dyACAaçododepende

dyA

dyB

dyC

dyO

oε = 10su oo

3

εyd

4

2

x

4ad'

A

cuε = 3,5

d

ooo

h

O

B

C

Figura 5.15 – Pontos limites entre os domínios.

A NBR 6118 (2007), admitindo o aço CA 50 A, estabelece como limites os seguintes valores:

• Para fck ≤ 35MPa (y/d)lim ≤ 0,40;

• Para fck > 35MPa (y/d)lim ≤ 0,32. No dimensionamento das estruturas, podem-se apresentar dois tipos de problemas: os de análise e os de dimensionamento. No primeiro, as seções são conhecidas e o que se quer determinar são os esforços. No segundo, os esforços são conhecidos e se quer determinar as seções. Esses dois tipos estão apresentados a seguir.

5.3. PROBLEMAS DE ANÁLISE

Como o próprio nome já diz, para os problemas de análise o que se quer é verificar a capacidade resistente de uma dada seção, na qual são conhecidos os seguintes dados: dimensões da peça (vão – l –, largura – bw –, e altura – h); resistência do concreto à compressão (fck); resistência do aço à tração (fyk); e área de aço (As). Os valores que se quer obter são: a altura da linha neutra (y); o momento fletor máximo (Md) para a seção; a tensão (σsd) e a deformação (εsd) na armadura; e a deformação no concreto (εcd).


121

Esse tipo de problema é muito importante, especialmente, nas situações nas quais se necessita fazer uma verificação estrutural. Segundo Beckmann & Bowles (1995), é sempre recomendado, e até mesmo necessário, independentemente da correta manutenção das edificações, que se proceda a verificação de uma estrutura existente quando ocorrer uma das seguintes situações:

• Suspeitas de erros de projeto, devido ao surgimento de, por exemplo, grandes deformações;

• Grande deterioração dos elementos estruturais ou há a consideração de um risco à estabilidade da edificação (Figura 5.16);

• Acidentes ou danos à estrutura (Figura 5.17);

• Reparos na estrutura para adaptação a novas utilizações;

• Alteração de utilização da edificação;

• Mudança de proprietário da edificação (mudança de gestão, especialmente nas obras públicas).

Figura 5.16 – Exemplo de deterioração de viga. Figura 5.17 – Exemplo de acidente – Fonte Nova.

Problema 1

Para a seção transversal da Figura 5.18, determine o momento fletor máximo que ela suporta.

Asd' = 6cm

d = 54cm

b = 20cmw

h =

60cm

Figura 5.18 – Seção transversal em análise.

Aço CA 50 A

fck = 20 MPa

d’ = 6 cm

d = h – d’ = 60 – 6 = 54 cm

As = 3,81 cm2

Hipótese inicial: LN no Domínio 3 ⇒ εcd = 3,5‰ e σsd = fyd.


122

cm82,6m0682,0y15,110.500

.10.81,3y.2,0.4,110.20

.85,03

43

==∴= −

Verificando a hipótese inicial:

>

=>==∴

+=

ooo

ooo

ydoo

osd

sd 102,07ε

18,70,0187ε

0,0035ε1

0,80,54

0,0682

O aço ultrapassou o limite de 10‰, portanto, a peça não se encontra no Domínio 3. Testa-se para o Domínio 2, no qual εsd = 10‰ e σsd = fyd.

kN.m59,91,4

83,79MkN.m83,792

0,06820,54.0,0682.0,20.1,4

10.20.0,85M

esmagounãoconcretoo3,5ε1,90,0019ε

ε0,0101

0,80,54

0,0682

k

3

d

ooo

cdooo

cd

cd

===

−=

⇒=<==∴+

=

Como εcd = 1,9‰ < 3,5‰, a peça se encontra no Domínio 2, e a hipótese inicial de que σsd = fyd ainda é válida para esse domínio.

Problema 2



cm32,14m1432,0y15,110.500

.10.8y.2,0.4,110.20

.85,03

43

==∴= −

A sd' = 6cm

d = 54cm

b = 20cmw

h =

60cm


Aço CA 50 A

fck = 20 MPa

d’ = 4 cm

d = h – d’ = 60 – 6 = 54 cm

As = 8 cm2


escoouaçoo2,077,060,00706ε

0,0035ε

1

0,80,54

0,1432oo

ooo

osd

sd⇒>==∴

+=


123

kN.m116,41,4

162,90MkN.m162,902

0,14320,54.0,1432.0,20.1,4

10.20.0,85M k

3

d ===

−=

Como (εyd = 2,07‰) < (εsd = 7,06‰) < 10‰, a peça se encontra no Domínio 3. Logo, a hipótese inicial é válida.

Problema 3


Asd' = 6cm

d = 54cm

b = 20cmw

h =

60cm


Aço CA 50 A

fck = 20 MPa

d’ = 4 cm

d = h – d’ = 60 – 6 = 54 cm

As = 20 cm2


cm81,35m3581,0y15,110.500

.10.20y.2,0.4,110.20

.85,03

43

==∴= −


escoounãoaçooε0,720,00072ε

0,0035ε

1

0,80,54

0,3581ydoo

osd

sd⇒<==∴

+=

Como εsd < εyd, a peça se encontra no Domínio 4. Logo, a hipótese de que a LN está no Domínio 3 não é válida. Quando isso ocorre, o problema cai num sistema de 4 equações, apresentado a seguir, que é um pouco mais complexo de ser resolvido para se obter o valor do momento fletor máximo.

Sistema de equações

−ε=σεε

+=

−=

σ=

AtipoAço)IV(.E

)III(1

8,0dy

)II(2ydy.b.f.85,0M

)I(.Ay.b.f.85,0

sdssd

cd

sd

wcdd

sdswcd

Incógnitas


124

Não é recomendável se trabalhar com peças no Domínio 4, pois elas poderiam sofrer ruptura frágil. Em todo caso, se fosse calculado o valor para o momento fletor máximo, ele seria maior que os dois valores anteriores.

5.4. PROBLEMAS DE DIMENSIONAMENTO

Nos problemas de dimensionamento, procura-se sempre trabalhar no Domínio 3, ou no máximo, no Domínio 2. Levando-se em conta que estamos em um desses domínios, algumas das variáveis das equações de equilíbrio e de compatibilidade já têm seus valores definidos, são elas:

εcd = 3,5‰ (Domínio 3) e σsd = fyd (Domínios 2 e 3)

Modificando-se as Equações (I) e (II), apresentadas anteriormente, para ficarem em função do parâmetro (y/d), e levando-se em conta as constantes, tem-se:

)I(f.85,0

fdy

)armaduradegeométricataxa(d.b

Ad.b

f.Ad.b

y.b.f.85,0

)d.b(f.Ay.b.f.85,0TC)I(

cd

yd

w

s

w

yds

w

wcd

wydswcd

ρ=

ρ==

÷==

)II()dy5,01(

dy

d.b.f.85,0M

)d()2yd(y

b.f.85,0M

)2yd(A.)

2yd(y.b.f.85,0M

MM)II(

2wcd

d

2

wcd

d

ssdwcdd

extint

−=

÷−=

−σ=−=

=

A equação de compatibilidade (Equação (III)), não sofre mudanças, e continua como apresentada a seguir:

)III(1

8,0dy

cd

sd

εε

+=

Utilizando as equações para o dimensionamento, vejamos alguns exemplos.

Problema 1

Para a seção transversal da Figura 5.21, determine a área de aço necessária. Resolva para o limite do aço e para o limite da NBR 6118 (2007).


125

h =

70cm

sA

d = 64cm

d' = 6cmb = 12cmw

Figura 5.21 – Seção transversal para dimensionamento.

Aço CA 50 A

fck = 25 MPa

d’ = 6 cm

d = h – d’ = 70 – 6 = 64 cm

Mk = 6 tf.m

Verificando o limite do aço para o Domínio 3 (ponto A), pela equação de compatibilidade:

0,503

0,00350,002071

0,8dy

3,5ε2,07210000

1,15500

εε

εε

1

0,8dy

CA50Alim,

ooo

cdooo

ydsd

cd

sd

=+

=

=→===→+

=

Voltando ao problema:

503,0dyMPa78,434

15,1500fMPa86,17

4,125f

limydcd =

====

Pode-se acompanhar o seguinte roteiro para o dimensionamento:

1) Determina-se (y/d) pela Equação (II):

=+

−

−=

00,225dy2

dy

)dy0,5(1

dy

0,64.0,12.10.17,86.0,8560.1,4

2

23

=

→=

=−±

=

0,120dy

falsaraiz1,880dy

20,225.442

dy

2

1

2) Compara-se o (y/d) encontrado com o (y/d)lim:

2.1) Limite do aço:


126

OK503,0dy120,0

dy

!mudarsedeve4Domíniody

dy

OKApontody

dy

OK3Domínioou2Domíniody

dy

lim

lim

lim

lim

⇒=

<=

−⇒⇒

>

⇒⇒

=

⇒⇒

<

2.2) Limite da NBR 6118 (2007):

OK0,400dy0,120

dy

!mudarsedeve4Domínioou3Domíniody

dy

OK3Domínioou2Domíniody

dy

lim

lim

lim

⇒=

<=

−⇒⇒

>

⇒⇒

<

Neste problema, o (y/d) encontrado atende a qualquer das verificações.

3) Calcula-se a área de aço necessária (As):

0,419%0,0041910.434,78

10.17,86.0,850,120ρ 3

3

===

22s

min

3,22cm0,0003218m0,64.0,12.0,00419AOK(2007))6118NBRda(valorρρ

===

>

Problema 2

Para a peça da Figura 5.22, determine a menor altura h para que a seção não apresente ruptura brusca, e a área de aço necessária para resistir ao momento fletor. Considere o limite do aço e o da NBR 6118 (2007).

s

b = 15cmwd' = 6cm

A

dh

Figura 5.22 – Seção para dimensionamento.

Aço CA 50 A

fck = 30 MPa

Mk = 10 tf.m

d = h – 6


127

( )

434,78MPaf21,43MPa1,430f

0,06h0,503y0,5030,06hy0,503

dy

ydcd

lim

===

−=∴=

−

∴=

45cmh42,9cm636,9h9m36,0d0,1361(d)

20,50310,503

(d).0,15.10.21,43.0,85100.1,4

2

23

=∴=+≥∴=∴=

−=

22s

min

cm33,12m001233,039,0.15,0.0211,0A

OK%11,20211,078,434

43,21.85,0503,0

===

ρ>===ρ

Adotando-se o limite da NBR 6118 (2007), tem-se:

cm05h46,01cm640,01h0,4001md0,1601(d)

20,40010,400

(d).0,15.10.21,43.0,85100.1,40,400

dy

2

23lim

=∴=+≥∴=∴=

−=∴=

22s

min

11,09cm0,001109m0,44.0,15.0,0168A

OKρ1,68%0,0168434,78

21,43.0,850,400ρ

===

>===

A Figura 5.23 apresenta uma comparação entre as duas situações analisadas anteriormente.

Figura 5.23 – Análise comparativa das seções finais para (y/d)=0,503 e (y/d)=0,400.


128



BECKMANN, P.; BOWLES, R. (1995) – Structural Aspects of Building Conservation. McGraw-Hill Intenational series in civil engineering. Londres, 1995;











129

6. ADERÊNCIA

O concreto armado é o material resultante da ação conjunta de dois outros materiais: o concreto e o aço. Para que estes dois materiais trabalhem junto é fundamental que haja uma solidariedade entre eles, que não permita o escorregamento de um em relação ao outro. Essa solidariedade é garantida pela aderência que existe entre o aço e o concreto.

O princípio básico do concreto armado é que o aço resista à tração enquanto o concreto resiste à compressão. Para isso, é necessário que haja uma transferência de esforços de um para o outro, o que é possível devido à aderência.

Segundo a NBR 6118 (2007), no seu item 9.4.1., tem-se que:

“9.4.1 Condições gerais

Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que os esforços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto, seja por meio de aderência ou de dispositivos mecânicos ou combinação de ambos.

9.4.1.1 Ancoragem por aderência

Dá-se quando os esforços são ancorados por meio de um comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho.

9.4.1.2 Ancoragem por meio de dispositivos mecânicos

Acontece quando os esforços a ancorar são transmitidos ao concreto por meio de dispositivos mecânicos acoplados à barra.”

Já no seu item 9.4.2., a NBR 6118 (2007) estabelece que:

“Prolongamento retilíneo da barra ou grande raio de curvatura

• Obrigatoriamente com gancho para barras lisas;

• Sem gancho nas que tenham alternância de solicitação, de tração e compressão;

• Com ou sem gancho nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de φ > 32 mm ou para feixes de barras”.

O enfoque deste curso é o estudo da ancoragem por aderência através de prolongamento retilíneo de barras tracionadas.

Nas peças de concreto armado, as armaduras sofrem variação de tensão ao longo do comprimento, especialmente nas zonas de ancoragem e de variação do momento fletor. Para que não haja o escorregamento da armadura e a peça permaneça em equilíbrio, é necessário que surjam as tensões de aderência. A Figura 6.1 ilustra esse comportamento.


130

b) Forças na armadurab

s1T = f . Az 1

T

Cs2T > T f > f12

sτb

s1

φss22T = f . A

a) Forças internas devidas à flexão

Figura 6.1 – Surgimento da tensão de aderência.

Para que a armadura da Figura 6.1 não escorregue é necessário que apareça uma força de aderência (Fader) que equilibre a diferença (T2 – T1). Montando-se a equação de equilíbrio para as forças horizontais, tem-se que:

4.A...A.fA.f

..AA.FFTT2

sbbS1SS2S

blatlatbaderader12

φπ=φπτ+=

φπ=τ=+=

l

l

b

Sb

bb2

bb1S2SS .4

.fou,

..4.

....4fff

lll φ∆

=τφ

τ=

φπτφπ

=−=∆

em que: T = forças de tração;

C = forças de compressão;

z = braço de alavanca interno;

fs = tensão na armadura;

As = área da seção transversal da armadura;

τb = tensão de aderência;

Alat = área de atuação de τb;

φ = diâmetro da barra (armadura).

Se o elemento for de comprimento infinitesimal dx, pode-se reescrever a equação da seguinte forma:

φτ

=∆ bS .4dxf

Logo, se a armadura estiver sob tensão constante (∆fs = 0), a peça já se encontra em equilíbrio, não havendo necessidade da atuação da força de aderência. Porém, sempre que haja a variação de tensão (∆fs ≠ 0), precisa-se da força de aderência para que a armadura não

Eq. (6.1)


131

escorregue em relação ao concreto, o equilíbrio seja mantido, e possa ser feita a transferência dos esforços.

Pela expressão da Equação (6.1), percebe-se que é necessário um certo comprimento para que as forças de aderência possam se desenvolver, esse comprimento é chamado de comprimento de aderência, ou de ancoragem, ou ainda de zona de transferência de tensão. As Figuras 6.2, 6.3 e 6.4 apresentam um esquema desse fenômeno, que pode ser visualizado durante um ensaio de viga à flexão.

Figura 6.2 – Viga à flexão antes do início da fissuração.

Percebe-se que nos pontos de fissura a tensão do concreto cai para zero, e, depois, vai aumentando à medida que a tensão na armadura vai diminuindo. Isso ocorre devido à transferência de tensão do aço para o concreto, e vice-versa.

Figura 6.3 – Viga à flexão após o início da fissuração.


132

Figura 6.4 – Viga à flexão bastante fissurada.

6.1. TIPOS DE ADERÊNCIA

A aderência entre o concreto e o aço, nas peças de concreto armado e protendido, é composta de três parcelas distintas: a aderência química (adesão), a aderência por atrito, e a aderência mecânica.

a) Aderência química

A aderência química, ou adesão, é proveniente das ligações físico-químicas que ocorrem na interface do aço com o concreto, durante a pega do cimento. Essa parcela tem um valor muito pequeno. Segundo Tassios1 apud Eligehausen et al (1983), para as peças de concreto armado, é da ordem de 0,5MPa a 1MPa.

b) Aderência por atrito

A aderência por atrito é função do coeficiente de atrito (µ) entre o aço e o concreto (aproximadamente µ=0,3), que depende da rugosidade superficial da armadura, e é proveniente de pressões transversais que a barra sofre devido à retração do concreto (FUSCO, 1995), ou às forças externas de compressão, para o caso do concreto armado. A aderência por atrito tem valores maiores que a adesão. Segundo Eligehausen et al (1983), para concretos com fck = 30MPa em peças de concreto armado, a tensão de aderência por atrito pode variar de 0,4MPa a 10MPa. Esse intervalo grande se explica pelo fato de não se ter muita pesquisa nessa área.

c) Aderência mecânica para barras lisas ou nervuradas

A aderência mecânica é função da irregularidade da superfície da armadura, ou seja, da conformação superficial da barra. Quanto mais irregular for a superfície da armadura, maior

1 TASSIOS, T. P. (1979) – Properties of bond between concrete and steel under load cycles idealizing seismic action. Comité Euro-International du Béton, Bulletin no 131, Paris, apud ELIGEHAUSEN et al (1983).


133

será a aderência mecânica, pois as saliências na superfície da barra funcionam como pontos de apoio que mobilizam as tensões de compressão no concreto (FUSCO, 1995), o chamado efeito de cunha, como ilustra a Figura 6.5.

Figura 6.5 – Aderência mecânica (FUSCO, 1995).

As barras podem apresentar superfícies lisas ou nervuradas. Mesmo nas barras ditas lisas, existe uma certa irregularidade na sua superfície devida ao processo produtivo (Figura 6.5), porém o valor da aderência mecânica não é muito grande. Já nas barras nervuradas, ou barras de alta aderência, a aderência mecânica é a grande responsável pela ancoragem da armadura. O estudo da aderência em barras nervuradas tem sido objeto de várias pesquisas em todo o mundo.

6.2. O ESTUDO DA TENSÃO DE ADERÊNCIA

A tensão de aderência tem sido objeto de vários estudos em todo o mundo, inclusive com simpósios e congressos totalmente dedicados a esse tema. Isso se justifica pela sua importância nas peças de concreto armado e protendido, já que, para se garantir um bom comportamento dessas peças, é fundamental que se tenha uma excelente compreensão do fenômeno da aderência, para que elas sejam dimensionadas de modo a garantir a ancoragem das armaduras.

Nas peças de concreto armado, costuma-se estudar a tensão de aderência por meio de três modelos distintos: o de viga à flexão, o de prisma carregado axialmente, e o de arrancamento. As Figuras 6.6, 6.7 e 6.8, respectivamente, mostram uma representação esquemática dos três modelos citados.

6.2.1. Viga à flexão

Numa viga de concreto armado submetida à flexão (Figura 6.6), a força que atua na armadura numa fissura vale:

zMT =

Fazendo-se o equilíbrio das forças horizontais na barra, como foi visto no início do capítulo, tem-se que:

dx...T bmτφπ=∆


134

Figura 6.6 – Tensões numa viga fissurada submetida à flexão (MACGREGOR, 1988).

onde τbm é o valor médio da tensão de aderência. Porém,

VdxMe

zMT =

∆∆=∆

Logo:

z..V

z...dxM

..dxT

bm φπ=

φπ∆

=φπ

∆=τ

O valor calculado da tensão de aderência é um valor médio, pois há a variação de tensão, no concreto e na armadura, ao longo da viga. A tensão no concreto é sempre nula onde há fissura, e entre as fissuras há a transferência de esforços do aço para o concreto, e vice-versa. Porém, devido à variação do momento fletor, o valor da tensão na armadura nos pontos de fissura não é constante. Há também uma variação da tensão na armadura ao longo de toda a viga, e não apenas entre as fissuras.

Os ensaios em vigas para o estudo da aderência podem ter formas variadas. Para as peças de concreto armado, o estudo de vigas biapoiadas é o mais comum, tanto se analisando as barras tracionadas, como se analisando as barras traspassadas em zonas de momento constante. Pode-se estudar também meias-vigas e/ou vigas contínuas, como bem descreve Ferguson et al (1988).

6.2.2. Prisma tracionado axialmente

Já para os prismas tracionados axialmente (Figura 6.7), a tensão média de aderência é nula, pois não há variação de tensão na armadura (∆fs = 0) de um ponto de fissura em relação a outro; há variação da tensão apenas entre as fissuras. O valor da tensão de aderência pode ser calculado ponto a ponto pela Equação (6.1). Este modelo não é muito usado no estudo da

dx

τb

z

fc

τb τbm

fs

Eq. (6.2)


135

tensão de aderência, porém, foi utilizado por Goto (1971), um dos estudos mais importantes e conhecidos sobre a formação de fissuras ao redor de barras tracionadas.

Figura 6.7 – Tensões num prisma fissurado carregado axialmente (MACGREGOR, 1988).

6.2.3. Ensaio de arrancamento padrão

O ensaio de arrancamento padrão (Figura 6.8) tem sido o mais usado no estudo da aderência, e antes da década de 50 era praticamente o único utilizado (MACGREGOR, 1988).

Figura 6.8 – Tensões num ensaio de arrancamento (MACGREGOR, 1988).

Esse ensaio é muito simples de ser executado e fornece uma leitura direta da tensão de aderência. Porém, há o inconveniente do concreto ficar comprimido, não havendo fissuração, o que faz com que os resultados obtidos não sejam muito representativos para outras peças,

τb

τb

Forças de atrito


136

como as vigas, por exemplo. Além disso, há um confinamento da armadura devido ao cobrimento exagerado de concreto e há um impedimento da expansão transversal do corpo-de-prova, devido ao atrito com a placa de apoio da máquina de ensaio. Mesmo com esses problemas, os ensaios de arrancamento fornecem resultados satisfatórios. Mais do que resultados quantitativos, esses ensaios fornecem resultados qualitativos do comportamento das peças em relação à aderência, principalmente quando se quer avaliar parâmetros distintos que influenciam na aderência. E por isso, apesar de todos os inconvenientes, esse tipo de ensaio ainda é bastante utilizado.

Ao longo do tempo algumas medidas vêm sendo tomadas para minimizar esses problemas, fazendo com que o modelo seja mais representativo das peças de concreto armado e protendido. Uma dessas modificações é a redução do cobrimento de concreto. Alguns pesquisadores sugerem que este valor fique em torno de 2φ, para diminuir o efeito de confinamento da armadura. Outra modificação é no número de barras utilizadas no ensaio. Ao invés de se ter apenas uma barra, pode-se utilizar quatro ou duas barras.

6.3. REPRESENTAÇÃO DA ADERÊNCIA

Independentemente do tipo de ensaio, o que se pretende obter é a representação do comportamento da aderência. Segundo Ducatti (1993), “O modelo do comportamento da aderência é representado pela relação entre a tensão de aderência e o escorregamento. A primeira é identificada idealizadamente pela tensão de cisalhamento na interface barra-concreto, e o segundo pelo deslocamento relativo entre a armadura e o concreto, deslocamento este provocado pela diferença entre as deformações específicas do aço e do concreto”.

Existem alguns modelos representativos do comportamento Tensão de aderência local versus Escorregamento local, como a curva típica para peças de concreto armado com fc = 30 MPa, apresentada por Eligehausen et al (1983), a partir de ensaios de arrancamento com deformação controlada, e mostrada na Figura 6.9.

Figura 6.9 – Tensão de aderência local (τ) versus Escorregamento local (S), para concretos com fc=30MPa (ELIGEHAUSEN et al, 1983).

6.4. MODOS DE RUPTURA POR PERDA DE ADERÊNCIA

Existem, basicamente, dois modos de ruptura relacionados à perda da aderência: a ruptura por arrancamento, e a ruptura por fendilhamento. A Figura 6.10 apresenta o gráfico característico para os dois tipos de ruptura, em que a letra (a) corresponde a arrancamento e a letra (b), a fendilhamento.


137

Figura 6.10 – Representação gráfica para as rupturas por arrancamento (a) e por fendilhamento (b).

Pelo gráfico, percebe-se que a ruptura por arrancamento é mais dúctil que a por fendilhamento, e mobiliza uma tensão de aderência maior, para peças semelhantes.

Existe, porém, uma grande variedade de modos de ruptura associados a esses dois, especialmente quando a peça é posta em serviço e passam a atuar as solicitações normais e tangenciais. O tipo de ruptura que uma peça irá sofrer é influenciado por vários fatores: o tipo da armadura (barra, fio, cordoalha), o tipo de conformação superficial da armadura (lisa ou nervurada), o diâmetro da barra, a existência ou não de armaduras de confinamento, a distância entre barras de uma mesma camada, o cobrimento, a tensão na armadura, a qualidade do concreto, e a condição superficial da barra, entre outros. Esses são fatores que, obviamente, influenciam na aderência das peças de concreto armado e protendido. Na literatura técnica, porém, existem várias discordâncias sobre a maior ou menor influência desses fatores na aderência, chegando mesmo, em alguns casos, a conclusões contrárias. Isso se deve, principalmente, ao fato de que os parâmetros de ensaio, os materiais utilizados e as condições ambientes apresentam variações muito grandes de uma pesquisa para a outra, o que dificulta a generalização dos resultados.

De maneira geral, quando uma barra começa a ser solicitada, inicialmente a aderência é mantida pelas forças coesivas provindas da adesão. Essa parcela, porém, é rapidamente destruída, seja devido a pequenos escorregamentos localizados, seja pela redução do diâmetro da armadura (efeito de Poisson), por conta do aumento da tensão. Passam, então, a agir as forças de atrito. A partir do momento que o concreto começa a fissurar, as forças de atrito vão sendo reduzidas e a aderência passa a ser função, praticamente, da aderência mecânica, proveniente da irregularidade da superfície das barras.

Para as barras lisas, como a aderência mecânica não fornece grande ajuda, a barra vai perdendo a aderência à medida que vão sendo destruídas as forças de atrito. Esse processo leva, normalmente, a uma ruptura por arrancamento da barra.

Já para as barras nervuradas, como a aderência passa a ser governada pela aderência mecânica, quando começa a diminuir a aderência por atrito, as nervuras agem como pontos de apoio de bielas comprimidas, que impedem o deslocamento relativo da barra. Em contrapartida, aparecem tensões de tração perpendiculares às das bielas, que geram um anel de tensão ao redor da armadura, como mostra a Figura 6.11.

À medida que se vai aumentando a força na armadura, vai havendo uma pulverização do concreto ao redor da barra, devido à compressão exercida pelas nervuras. Para as barras de alta aderência (nervuradas), antes que ocorra a pulverização total do concreto, e a barra


138

escorregue (deixando um buraco no concreto com diâmetro igual à soma do diâmetro da barra mais 2 vezes a altura das nervuras), dá-se o fendilhamento da peça, devido às altas tensões radiais de tração (Figura 6.12).

Figura 6.11 – Transferência de esforços por aderência (FUSCO, 1995).

Figura 6.12 – Fendilhamento longitudinal do concreto (FUSCO, 1995).

Esses dois modos de ruptura apresentam padrões de fissuração distintos, como mostra a Figura 6.13.

Vale ressaltar que a descrição anterior é característica, principalmente, do comportamento durante ensaios de arrancamento. Quando a peça é posta em serviço, esses comportamentos são afetados, em maior ou menor grau, pelos diversos fatores citados no início deste item, podendo inclusive levar ao fendilhamento de barras lisas, ou ao arrancamento de barras


139

nervuradas. Outro aspecto que influencia na aderência é o cisalhamento, pois as fissuras diagonais de cisalhamento estão intimamente associadas ao fendilhamento. Ressalta-se, também, que apesar de tratados, tradicionalmente, como fenômenos separados, a aderência e o cisalhamento são tópicos que, na verdade, estão relacionados (FERGUSON et al, 1988).

(a) (b)

Figura 6.13 – Rupturas por fendilhamento (a) e por arrancamento (b) (COLLINS & MITCHELL, 1997).

As Figuras 6.14 e 6.15 apresentam fotos de ensaios de arranchamento.

Figura 6.14 – Ensaio de arrancamento em peça mais sujeita ao

fendilhamento. Figura 6.15 – Ensaio de arrancamento em peça

mais sujeita ao arrancamento.

A seguir são discutidos os aspectos mais relevantes, em relação aos parâmetros que influenciam no modo de ruptura das peças por aderência. Na realidade, apesar de serem apresentados separadamente, esses fatores são inter-relacionados, tanto no fenômeno físico, como no dimensionamento das peças.

a) Tipo da armadura e conformação superficial

Os dois parâmetros são inter-relacionados, já que o tipo ou a classificação da armadura depende da conformação superficial da barra. Os diversos tipos de armadura apresentam comportamentos diferentes em relação à aderência: os fios e as cordoalhas, que têm a superfície lisa, são mais susceptíveis à ruptura por arrancamento; já as barras, que são nervuradas, são mais propensas à ruptura por fendilhamento. Isso ocorre devido às tensões radiais de tração originadas nas nervuras (Figura 6.5), onde, normalmente, se iniciam as microfissuras internas que se estenderão até a face externa do concreto.


140

b) Diâmetro da barra e tensão na armadura

O diâmetro da barra e a tensão na armadura são fatores diretamente proporcionais um ao outro. Quanto menor o diâmetro da barra, mais ela será suscetível à ruptura por arrancamento, enquanto que as barras de grande diâmetro (φ≥25mm) são mais propensas à ruptura por fendilhamento, pois quanto maior o diâmetro, maior será a área da barra e, conseqüentemente, maior será a tensão instalada nela, levando a elevadas tensões radiais de tração.

c) Armadura de confinamento

As armaduras de confinamento, que podem ser estribos ou espirais, ajudam na resistência às solicitações radiais de tração, impedindo o fendilhamento. A presença dessas armaduras pode, inclusive, fazer com que barras nervuradas de grande diâmetro apresentem ruptura por arrancamento. As normas e códigos apresentam o cálculo dessas armaduras.

d) Espaçamento entre as barras e cobrimento

Esses dois fatores estão intimamente ligados. Quanto menores forem o cobrimento e a distância entre as barras, mais a peça estará suscetível ao fendilhamento. Na literatura encontram-se alguns padrões de fissuração de fendilhamento que levam em conta o cobrimento e a distância entre as barras. A Figura 6.16 apresenta alguns desses padrões.

(a) (b) (c)

Figura 6.16 – Fissuras de fendilhamento: (a) cobrimento lateral e metade da distância entre as barras, menores que o cobrimento em relação à face inferior da peça; (b) cobrimento lateral=cobrimento inferior, e ambos

menores que metade da distância entre as barras; (c) cobrimento inferior menor do que o cobrimento lateral e a metade da distância entre as barras (MACGREGOR, 1988).

Para peças com grandes cobrimentos, a ruptura por fendilhamento é menos comum, devido ao efeito de confinamento exercido pelo grande volume de concreto.

e) Qualidade do concreto

A qualidade do concreto pode ser entendida sob dois aspectos: a resistência do concreto à compressão, e a qualidade da matriz de cimento. Quanto maior a resistência do concreto, melhor a aderência, já que as resistências do concreto à tração e à compressão são fatores intimamente ligados. Em relação à qualidade da matriz cimentícia, acredita-se que quanto mais compacta e com menos vazios for a matriz, melhor será a aderência, porém este conceito ainda se encontra em discussão.


141

f) Condição superficial da barra

Um aspecto muito importante é a condição superficial das barras (limpa, lubrificada, enferrujada), principalmente para as barras lisas, os fios, e as cordoalhas que têm giro livre. Nestes casos, uma superfície mais rugosa, como a provocada pela ferrugem, pode melhorar a aderência mecânica das armaduras. Porém, este é um tema muito delicado, pois uma oxidação maior pode levar à redução excessiva do diâmetro da armadura, diminuindo a sua capacidade resistente. Todas as pesquisas que ensaiaram barras limpas e enferrujadas confirmam a melhora na aderência dessas últimas. Porém, confirmam também que este é um parâmetro muito difícil de ser quantificado, e que não é recomendável o uso intencional de barras oxidadas, apesar da melhoria que isto implica.

g) Outros parâmetros

Além dos já citados, outros fatores também influenciam na aderência; são eles: o tipo de carregamento, os efeitos da retração e da fluência, a posição da armadura na peça, a posição e a direção da armadura em relação à direção do lançamento do concreto, e o tipo de cura da peça.

6.5. OS COMPRIMENTOS DE ANCORAGEM

Como se sabe, a transferência de esforços do aço para o concreto, e vice-versa, se dá ao longo de um determinado comprimento. Para que os esforços sejam transferidos de maneira satisfatória é necessário que se garanta um comprimento mínimo para a peça atingir o equilíbrio, que é chamado de comprimento de ancoragem. Em outras palavras, o comprimento de ancoragem é o menor comprimento necessário para que a tensão na armadura vá de zero à tensão desejada. Caso o comprimento existente seja menor que o necessário, a barra poderá sofrer um arrancamento, antes de atingir o valor esperado. Os comprimentos de ancoragem para barras submetidas à tração e à compressão são diferentes, pois na tração há a fissuração do concreto, fazendo com que o comprimento de ancoragem necessário seja maior do que na compressão. Neste trabalho tratar-se-á apenas do comprimento de ancoragem de barras tracionadas.

Rearrumando a Equação (6.1), pode-se dizer que o comprimento básico de ancoragem (lb), para as peças de concreto armado, vale:

b

Sb

fτ

φ.4

. ∆=l

Ou seja, quanto maior a tensão de aderência, menor o comprimento necessário para ancorar a armadura. Logo, os principais fatores que influenciam no comprimento de ancoragem são os principais fatores que influenciam na tensão de aderência. São eles: as resistências do concreto à tração e à compressão, a retração, a presença de armadura de confinamento (estribos ou armaduras de fretagem), o cobrimento, o tipo e a distribuição das barras de aço, a posição das barras durante a concretagem, e o histórico de carregamento da peça. Esses fatores são levados em conta no cálculo do comprimento de ancoragem através de coeficientes que multiplicam, diminuindo ou aumentando, o valor do comprimento de ancoragem básico (Equação 6.3). Os vários códigos e normas apresentam diferentes coeficientes.

Eq. (6.3)


142

Como já foi visto, é necessária a existência de um espaço (lb) para que haja a transferência da carga. A determinação de lb é feita tomando por base o ensaio de arrancamento, utilizado para quantificar a aderência, representado pela Figura 6.17.

Figura 6.17 – Representação do ensaio de arrancamento.

Considera-se que a perda de aderência ocorre quando a barra de aço sofre um deslocamento (∆) de 0,1mm, atingindo a sua tensão última de aderência (τbu). Portanto, o comprimento reto de ancoragem (lb1) deve ser suficiente para resistir à força de tração Pu sem provocar um deslocamento ∆ = 0,1mm.

Note que apesar do valor da tensão de aderência variar ao longo do comprimento de ancoragem, consideramos, para o cálculo, por simplificação, que o valor τbu é constante.

6.6. CÁLCULO DOS COMPRIMENTOS DE ANCORAGEM PELA NBR 6118 (2007)

A NBR 6118 (2007) estabelece que o cálculo da aderência é feito para o estado limite último, e a tensão de aderência de cálculo (fbd) é calculada da seguinte forma:

( ))MPa(

4,1f3,07,0f7,0f

fef...f3/2

ck

c

m,ct

c

inf,ctkctdctd321bd =

γ=

γ=ηηη=

em que: fbd = resistência de aderência de cálculo da armadura passiva;

fctd = resistência de cálculo à tração do concreto;

fctk = resistência característica à tração do concreto;

fctm = resistência média à tração do concreto;

1,0 para barras lisas; η1 = 1,4 para barras entalhadas;

2,25 para barras nervuradas;

η2 = 1,0 para situações de boa aderência; 0,7 para situações de má aderência;

η3 = 1,0 para φ < 32mm; (132 – φ)/100, para φ > 32mm;

φ = diâmetro da barra, em milímetros.


143

Segundo a NBR 6118 (2007), as barras se encontram em zonas de boa aderência quando:

• Possuem inclinação maior que 45o sobre a horizontal (Figura 6.18);

Figura 6.18 – Barra em situação de boa aderência: α > 45o.

• Se encontram na horizontal ou com inclinação menor que 45o sobre a horizontal, desde que:

1. Para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou junta de concretagem mais próxima (Figura 6.19);

Figura 6.19 - Barra em situação de boa aderência: α < 45o – h < 60 cm.

2. Para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou junta de concretagem mais próxima (Figura 6.20);

Figura 6.20 - Barra em situação de boa aderência: α < 45o – h ≥ 60 cm.

Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de fôrmas deslizantes devem ser consideradas em má situação quanto à aderência.


144

Segundo a NBR 6118 (2007), o valor do comprimento de ancoragem básico (lb) é dado por:

bd

ydb f

f4φ

=l

Além do comprimento básico de ancoragem, a NBR 6118 (2007) define, também, o comprimento de ancoragem necessário (lb,nec), que é uma redução do comprimento básico em função de dois fatores: a presença de ganchos e de área de aço excedente. O comprimento de ancoragem necessário (lb,nec) pode ser calculado por:

≥≥=

mmAA b

bbefs

calcsbnecb

10010

3,0. min,min,

,

,1, φα

l

llll

em que: α1 = 1,0 para barras sem gancho; 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao

do gancho ≥ 3φ.

Como já citado, no item 9.4.2.1., a NBR 6118 (2007) estabelece que as barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em sua extremidade, de acordo com as seguintes condições:

a) Obrigatoriamente com gancho para barras lisas;

b) Sem ganchos nas que tenham alternância de solicitação, de tração e compressão;

c) Com ou sem gancho nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de φ > 32 mm ou para feixes de barras.

Os tipos ganchos das extremidades das barras estão representados nas Figuras 6.21 a 6.23.

Figura 6.21 – Gancho semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2φ.

Figura 6.22 – Gancho em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4φ.


145

Figura 6.23 – Gancho em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8φ.

Para que o gancho funcione como redutor do comprimento básico de ancoragem (lb), ele deve medir no mínimo 12φ (sendo φ o diâmetro da barra), de acordo com o esquema da Figura 6.24.

Figura 6.24 – Determinação do tamanho do gancho.

Ex1: Para uma barra de φ10 mm ⇒

Lgancho ≥ 12*1 = 12 cm

Ex2: Para uma barra de φ16 mm ⇒

Lgancho ≥ 12*1,6 = 19,2 cm

O valor de 3φ foi o adotado para o raio de dobramento da barra, admitindo-se o CA 50 A e φ≥20 mm, conforme Tabela 2.5 (página 52).

EXERCÍCIO 6.1:

Qual o comprimento reto de ancoragem para a situação da Figura 6.25?

Figura 6.25 – Esquema do bloco de ancoragem.

Aço CA 50 A

fck = 25 MPa

Pk = 50 kN

Dimensões em centímetros

EXERCÍCIO 6.2:

Para a barra de aço da Figura 6.26, determine:

a) Pu;

b) ∆lu (para P ligeiramente inferior a Pu);

c) lb em zona de má aderência.

Figura 6.26 – Barra de aço φ 12,5 mm, CA 50 A e fck = 30 MPa.


146



COLLINS, M. P.; MITCHELL, D. – Prestressed concrete structures. Response Publications, Canada, 1997.

DUCATTI, V. A. – Concreto de elevado desempenho: estudo da aderência com a armadura. São Paulo. Tese (Doutorado) – Escola Politécnica de São Paulo, Universidade de São Paulo, 1993.

ELIGEHAUSEN, R.; POPOV, E. P.; BERTERO, V. V. – Local bond stress-slip relationships of deformed bars under generalized excitations. Report no UCB/EERC-83/23, University of California, Berkeley. 162 p, 1983.



GOTO, Y. – Cracks formed in concrete around deformed tension bars. ACI journal, April 1971.









147

PARTE II

× Lajes Ø


148

7. LAJES

Segundo Polillo (1981), “Denominam-se de lajes, as placas de material litóide”. As placas de concreto são denominadas de lajes, e, como já foi dito, elas são elementos planos que trabalham solicitadas, basicamente, à flexão e recebem cargas perpendiculares a seu plano médio. Nas edificações usuais, a laje é o primeiro elemento a receber as cargas, e tem a função de retransmiti-las às vigas ou diretamente aos pilares, no caso das lajes planas, por exemplo. Nas estruturas de edifícios, as lajes exercem grande importância sobre o consumo de concreto, pois chegam a ser responsáveis por 50% do volume total de concreto utilizado.

Segundo MacGregor (1984), as lajes armadas em cruz, que distribuem as cargas em duas direções, são uma forma única de construção que só as estruturas de concreto armado apresentam, entre todos os materiais de construção.

7.1. TIPOS DE LAJES

Segundo Rocha (1987), pode-se classificar as lajes em dois grandes grupos, de acordo com o modo de dimensionamento:

a) Lajes armadas em uma só direção, ou laje corredor – quando a relação entre o maior e o menor vão for maior do que 2 (Figura 7.1).

yl

xl

yl

xl_____ > 2

Figura 7.1 – Laje corredor.

b) Lajes armadas em duas direções, ou lajes armadas em cruz - quando a relação entre o maior e o menor vão for menor do que ou igual a 2 (Figura 7.2).

É importante ressaltar que, mesmo as lajes ditas armadas em uma única direção, têm armaduras positivas nas duas direções principais, como será visto posteriormente, porém, elas são calculadas levando-se em conta apenas a direção principal. Logo, a nomenclatura correta deveria ser laje calculada em uma única direção.

As lajes apresentam, também, outras classificações que levam em conta outros parâmetros. São elas:


149

xl

yl_____ < 2lx

ly

Figura 7.2 – Laje armada em cruz.

• Quanto à fabricação, ou modo de execução: Pré-moldadas (Figuras 7.3 e 7.4)

Moldadas in loco (Figura 7.5)

Plana (Figuras 7.6a e 7.7)

• Quanto à forma: Maciça Cogumelo (Figuras 7.6b e 7.8) Vigada (Figuras 7.6c e 7.9)

Nervurada (Figuras 7.6d e 7.10)

Figura 7.3 – Edifício de apartamento de 13 andares com todas as lajes pós-tensionadas no solo e depois

içadas até a posição definitiva (São Francisco). Lajes com 20cm de espessura, em concreto leve e 8,5m de

vão (LIN & BURNS, 1981).

Figura 7.4 – Centro japonês Pagoda (São Francisco). Lajes circulares pré-moldadas e pós-tensionadas (LIN

& BURNS, 1981).


150

Figura 7.5 – Armaduras de laje in loco (ABCP et al, 2002).

(a) (b)

(c)

(d)

Figura 7.6 – Tipos de laje: (a) laje plana; (b) laje cogumelo; (c) laje com vigas; (d) laje nervurada (MACGREGOR, 1984).


151

Figura 7.7 – Laje plana.

Figura 7.8 – Típica laje cogumelo com capitel (FERGUSON et al, 1988).

Figura 7.9 – Sistema reticulado de laje com viga.

Figura 7.10 – Laje nervurada.


152

Segundo MacGregor (1984), as lajes planas e com vigas são recomendadas para vãos entre 4,5 m e 6 m. As lajes nervuradas para vãos entre 7,5 m e 12 m. E as lajes cogumelo para vãos entre 6 m e 9 m com carregamento acima de 5 kN/m2.

Neste curso, serão estudadas, apenas, as lajes maciças com vigas, ou seja, o sistema estrutural dito convencional, em que as lajes se apoiam nas vigas, e essas nos pilares.

7.2. ANÁLISE DE ESFORÇOS NAS LAJES

Após a determinação do carregamento da laje, parte-se para o cálculo dos esforços nela atuantes, ou seja, a determinação das solicitações. As lajes trabalham, basicamente, à flexão simples, isso quer dizer que nela estarão atuando momentos fletores e esforços cortantes. Para isso, existem alguns métodos para a análise de esforços nas lajes. Alguns são listados a seguir, e serão descritos posteriormente.

• Teoria da Elasticidade;

• Teoria das Grelhas;

• Método das Linhas de Ruptura;

• Tabelas de dimensionamento.

Além da determinação dos momentos fletores e forças cortantes, determinam-se, também, as reações das lajes, que irão carregar as vigas. Para as lajes maciças apoiadas sobre vigas (que é o caso em estudo neste curso), despreza-se o esforço cortante atuante. Essa verificação está apresentada no final deste capítulo. Logo, para o cálculo das lajes maciças só irá interessar a determinação dos momentos fletores e das reações sobre as vigas.

Um outro aspecto fundamental na análise dos esforços das lajes, é a determinação das suas condições de contorno. É necessário saber qual o tipo de apoio de cada um dos lados da laje. Tem-se, basicamente, três tipos de apoio para as lajes maciças no sistema reticulado: lado simplesmente apoiado; lado engastado; e lado livre. Quando um lado da laje é dito simplesmente apoiado, ele se encontra sobre uma viga e não há continuidade com outra laje. Quando um lado da laje é dito engastado, ele também se encontra sobre uma viga e há continuidade com outra laje. Quando o lado não está apoiado sobre uma viga, ele é dito de bordo livre, ou seja, sem apoio. A Figura 7.11 apresenta a representação gráfica para cada um dos tipos de apoio.

Lado simplesmenteapoiadoLado engastado Bordo livre

Figura 7.11 - Representação gráfica para os tipos de apoio das lajes.

Para as lajes retangulares, sem levar em conta as lajes com bordo livre, tem-se seis tipos distintos de ocorrência, como mostra a Figura 7.12.

A laje com ocorrência 1 tem os quatro lados simplesmente apoiados. A com ocorrência 2, tem um dos lados engastados e os outros três simplesmente apoiados. A de ocorrência 3 apresenta


153

dois lados consecutivos engastados, e a 4 dois lados opostos engastados. A com ocorrência 5 tem três lados engastados e a tipo 6 tem os quatros lados engastados. Perceba-se que não há a preocupação em determinar-se se os engastes acontecem nos lados maiores ou nos menores. Esse aspecto será levado em conta posteriormente.

1 2 3

654

Figura 7.12 – Tipos de ocorrência de lajes retangulares.

A seguir serão descritos, sucintamente, os três métodos de análise de esforços nas lajes citados anteriormente.

Teoria da Elasticidade

Segundo MacGregor (1984), a Teoria da Elasticidade (TE) demonstra não só a relação entre os momentos internos e as cargas nas lajes, como também demostra a relação entre os momentos e a curvatura das lajes.

A TE, que é uma teoria matemática, fornece resultados precisos quando o material se comporta segundo as leis de Hooke e Navier, ou seja, de maneira elástico-linear. Como já foi visto, o concreto armado apresenta um comportamento elasto-plástico, logo, o cálculo pela TE fornece valores aproximados.

A análise de esforços pela TE se baseia na equação diferencial de 4a ordem de Lagrange, que relaciona a deformada elástica da placa (w) com o seu carregamento (p), e está apresentada a seguir, onde K é o coeficiente de rigidez da placa.

)1(12d.E

KKp

yyx2

x 2

3c

4

4

22

4

4

4

ν−==

∂ω∂

+∂∂ω∂

+∂

ω∂

Da TE resultam, também, as seguintes equações de equilíbrio para o cálculo das solicitações.

∂

ω∂+

∂ω∂

∂∂

−=

∂

ω∂+

∂ω∂

∂∂

−=

∂∂ω∂

ν−−==

∂

ω∂ν+

∂ω∂

−=

∂

ω∂ν+

∂ω∂

−=

2

2

2

2

y2

2

2

2

x

2

yxxy2

2

2

2

y2

2

2

2

x

yxyKV

yxxKV

yx)1(KMM

xyKM

yxKM


154

Teoria das Grelhas

Para as lajes retangulares sobre quatro apoios, com carga uniformemente distribuída, pode-se utilizar a Teoria das Grelhas (TG) para o cálculo dos esforços, que é um processo rápido e simplificado. Ele consiste em dividir a carga total (p), que é por área, em duas cargas lineares uma para cada direção da laje (px e py), como mostra a Figura 7.13.

p

py

x

p

y

x

l

lA

Figura 7.13 – Distribuição das cargas.

Para a distribuição das cargas, segundo Polillo (1981), “considerando que a carga p se divide em duas componentes segundo as duas direções, uma px e outra py, imaginam-se faixas ortogonais isoladas entrecruzando-se no centro da laje, sujeitas às px e py, respectivamente, igualam-se as flechas no centro. Desta igualdade resulta o valor de px ou de py. Em seguida, considerando-se sempre as faixas independentes, levando-se em conta o tipo de apoio existente em cada borda, calculam-se os momentos Mx e My em cada faixa nas duas direções. Procedendo-se deste modo, não se leva em conta a influência favorável dos momentos de torção, que tendem a diminuir as solicitações à flexão”.

Portanto, se o valor da flecha, para cada condição de contorno, é conhecido, pode-se determinar os valores de px e de py. A Tabela 7.1 apresenta os valores das flechas para as condições de apoio mais utilizadas.

Tabela 7.1 – Valores para as flechas.

Apoios Flecha

Simplesmente apoiada (bi-apoiada) EI

pf384

..5 4l=

Mono-engastada EI

pf384

..2 4l=

Bi-engastada EI

pf384

. 4l=

A Tabela 7.2 apresenta os valores para os momentos e reações para as condições de contorno mais utilizadas.


155

Tabela 7.2 – Valores para os momentos e reações de apoio, admitindo-se carga uniformemente distribuída.

Apoios M+ M- R1 R2

Bi-apoiada 8. 2lp zero

2. lp

2. lp

Mono-engastada 22,14

. 2lp 8. 2lp 0,6 p . l 0,4 p . l

Bi-engastada 24. 2lp

12. 2lp 2

. lp 2. lp

Balanço zero 2.p 2l p . l zero

Considerando-se uma laje com os quatro bordos simplesmente apoiados (Figura 7.14), tem-se:

py

lx

A

p

xp

ly

Figura 7.14 – Laje com ocorrência 1.

As duas direções são bi-apoiadas, e no ponto A: εx = εy, logo:

xy

xxxx

yx

4yy

y

4xx

x

K1K

p.Kpp.Kp

ppp

EI384l.p.5

fEI384

l.p.5f

−=

==

+=

==

Fazendo fx = fy, no ponto A, tem-se:

4x

4y

4x

x4x

4y

4x

y4x

4y

4x

y

4x

4y

4y

x4x

4y

4y

x4x

4y

4y

x

4x

4y

4x

4y

yx4x

y4y

x

4yy

4xx

4yy

4xx

lll

Kp.ll

lp

llp

lp

lll

Kp.ll

lp

llp

lp

llp

llpp

)matematicaomanipulaçãpor(lp

lp

l.pl.pEI384

l.p.5EI384

l.p.5

+=∴

+=∴

+=

+=∴

+=∴

+=

+=

+

+===

=∴=

EXERCÍCIO 7.1:

Para a laje da Figura 7.15, determinar o carregamento nas duas direções principais.

76,043

4ll

lK24,0

433

lll

K 44

4

4x

4y

4x

y44

4

4x

4y

4y

x =+

=+

==+

=+

=


156

m/kg380500x76,0pm/kg120500x24,0p yx ====

xl

lp=500kg/m y2

=4,0m

=3,0m

Figura 7.15 – Laje a ser carregada.

p =120kg/mx

yp =380kg/m

l =4,0mx

y =3,0ml

EXERCÍCIO 7.2:

Para as lajes das Figuras 7.16 e 7.17, determine os coeficientes de carregamento.

xl

py

A

p

px

ly

Figura 7.16 – Laje 1.

lx

py

A

p

yl

px

Figura 7.17 – Laje 2.

Método das Linhas de Ruptura

O método das linhas de ruptura, ou a teoria das charneiras plásticas, é uma análise estrutural plástica, ou seja, as não linearidades dos materiais podem ser consideradas, desde que eles tenham um comportamento rígido-plástico perfeito ou elasto-plástico perfeito, como o concreto armado, por exemplo.

Segundo Rocha (1987), “A teoria de ruptura para cálculo das lajes consiste em admitir que, sob a ação da carga de ruptura as lajes se dividem em painéis que giram em torno de linhas ao longo das quais atua um momento igual ao que a laje resiste na ruptura, segundo a direção normal a estas linhas. Conhecendo-se a posição das linhas de ruptura, a relação entre o momento de ruptura e a carga pr que rompe a laje é obtida estabelecendo-se as condições de equilíbrio estático nos painéis limitados pelas linhas de ruptura e pelo contorno da laje”. Ainda segundo o mesmo autor, ”A aplicação das condições de equilíbrio pode ser feita através do princípio dos trabalhos virtuais, estabelecendo a igualdade entre o trabalho da carga pr e o trabalho dos momentos ao longo das linhas de ruptura para uma deformação atribuída à laje na ruptura. Esta deformação se realiza como se houvessem rótulas ou charneiras ao longo das linhas de ruptura. Na configuração de ruptura a laje forma um mecanismo ou cadeia cinemática”.


157

Logo, este método se baseia na configuração de ruína das lajes, ou seja, nas linhas de ruptura que a laje apresenta, como mostra a Figura 7.18.

Figura 7.18 – Linhas de ruptura.

Tabelas de dimensionamento

Para facilitar a determinação das solicitações nas lajes, foram criadas várias tabelas com uma série de coeficientes que levam em conta os diversos parâmetros utilizados no cálculo das lajes. Algumas tabelas, por exemplo, se baseiam na Teoria das Grelhas e outras na Teoria da Elasticidade. Algumas das tabelas mais utilizadas são:

• Czerny (TE);

• Erturk (TE);

• Barés (TE);

• Marcus (TG + TE), etc.

Hoje em dia, o uso das tabelas está sendo substituído pela utilização de softwares de análise estrutural, que tanto podem trabalhar com as tabelas internamente, como com o cálculo matemático mais preciso.

Para este curso serão utilizadas as Tabelas de Czerny, Tabela XIX que se encontra no Anexo A, que se baseiam na Teoria da Elasticidade, para o cálculo dos esforços (momentos fletores e reações) nas lajes.

A seguir são apresentados três exemplos de cálculo de esforços em lajes retangulares armadas em cruz utilizando as tabelas de Czerny.

EXERCÍCIO 7.3:

4,00 m

4,00 m

p = 10 kN / m2

+

+

5,88 kN.m

5,88

kN

.m

10 kN 10 kN

10 k

N10

kN

4,00 m

4,00 m

p = 10 kN / m2

5,885,88

10,0

10,0

10,0

10,0

x

y


158

EXERCÍCIO 7.4:

p = 10 kN / m

4,00 m

3,00 m2

x

y

p = 10 kN / m

4,00 m

3,00 m

2

+

7,4 kN2,83 kN.m

7,4 kN

7,4

9,45

7,4

9,45

5,70

2,83

9,45

kN

9,45

kN

+

5,70

kN

.m

EXERCÍCIO 7.5:

4,00 m

p = 10 kN / m23,00 m

9,4 kN

1,81 kN.m

5,44 kN

4,00 m

3,00 m

x 9,4

6,87

p = 10 kN / m

+

+

12,0

3,57

1,81 5,44

12,0

kN

2

3,57

kN

.m

y 6,87

kN

-7,09

-8,7

4

-7,09 kN.m-

-

-8,7

4 kN

.m

7.3. DETERMINAÇÃO DA ALTURA DAS LAJES

Existem vários métodos para a determinação da altura (h) inicial das lajes, como o método para o pré-dimensionamento citado no Capítulo 4. Independentemente de como será feita a determinação da altura, ela deve obedecer aos limites mínimos exigidos pela NBR 6118 (2007), já citados no Capítulo 4, que para as lajes maciças são:

• 5 cm para lajes de cobertura não em balanço;

• 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;

• 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;

• 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN.

A Figura 7.19 apresenta um esquema dos elementos que compõem a altura da laje.

d' =cob.+( /2) d =h-d'

h

cob.

φ

d'

dφ

1

1

d'2

d2 φ1 cam.a

a2 cam.

1 cam.a1 1 1

φd' =cob.+( + /2) d =h-d'2 1 cam.a 22aφ2 cam.

Figura 7.19 – Detalhe da altura da laje.


159

A NBR 6118 (2007) estabelece os cobrimentos mínimos para as lajes, que dependem das condições de agressividade ambiental onde elas estão instaladas. As Tabelas V, VI e VII, no Anexo A, apresentam as classificações ambientais e cobrimentos mínimos, respectivamente, fornecidos pela Norma.

Além do método já descrito, existem outros que estão listados a seguir.

Método da NBR 6118 (1978)

Quando não se quer verificar as flechas das lajes, pode-se adotar a seguinte expressão:

32 .Ld

ΨΨ≥

onde: L = é o menor vão;

Ψ2 = valor tabelado que depende das condições de contorno e do vão (Tabela X do Anexo A);

Ψ3 = valor tabelado que depende do aço (Tabela XI do Anexo A).

EXERCÍCIO 7.6:

Para a laje da Figura 7.20, determine a altura da laje pelo método da NBR 6118 (1978) e pelo método para o pré-dimensionamento utilizado no Capítulo 4.

=4,0mLx

p=6,0mLy

Figura 7.20 – Laje a ser calculada.

NBR 6118 (1978):

Cob. = 15mm CA 50 – Ψ3 = 25 Relação entre os vãos = 6 / 4 = 1,5 ⇒ Ψ2 = 1,6

cm125,05,110hcm106,1x25

400d =++=∴=≥

Capítulo 4:

cm10h14,935

400x8,0h

cm11h67,1030

400x8,0h

35

30

=⇒=≥

=⇒=≥

=β

=β

Método prático

Segundo este método, pode ser usada a seguinte expressão para a determinação da altura da laje.

+

≤−≥l

llll

maiordo7,02)n1,05,2(d

yx**

onde n é o número total de engastes da laje.


160

EXERCÍCIO 7.7:

Para a laje da Figura 7.20, determinar a altura pelo método prático.

cm12h66,115,05,166,9hcm66,92,4)2x1,05,2(d

m2,46x7,0

m52

642n *

=⇒=++≥=−≥

=

=+

≤= l

Método baseado no cálculo das flechas

Para o cálculo segundo este método são utilizadas as seguintes expressões:

=

=→

=

+=→

≥

500

7,0300

7,02

...

2

2

2

1

1

1

3

4

l

ll

f

qph

f

qgph

ondefE

pKh

Onde l é o menor dos vãos e K é um coeficiente que depende das condições de contorno e da relação entre os vão. A Tabela XII, do Anexo A, apresenta os valores de K.

O valor da altura será o maior entre os dois. Como este método fornece os menores valores para a altura da laje, costuma-se trabalhar como se o resultado obtido fosse o da altura útil (d), e acrescenta-se a ele o valor de d’.

EXERCÍCIO 7.8:

Para a laje da Figura 7.20, determinar a altura pelo método baseado no cálculo das flechas.

MPaxEMPaf

KTipo

ck

x

y

4,2128720560085,020

0461,05,1463

==→=

=→==→l

l

Admitindo as cargas de g = 3 kN/m2; q = 2 kN/m2; p = 5 kN/m2, tem-se:

10cmh5cm4,92,11,56,75hh

0,0459m0,008x21287400

4x1,4x0,0461d0,008m500

4f1,4kN/m2x0,7p

0,0675m0,01333x21287400

4x7,4x0,0461d0,01333m300

4f7,4kN/m2x0,73x2p

1

3

4

212

2

3

4

112

1

=→=++==

=≥====

=≥===+=


161

Comparação dos resultados

A Tabela 7.3 apresenta a comparação de resultados para o cálculo da altura da laje da Figura 7.20.

Tabela 7.3 – Resultados para as alturas da laje.

Método NBR 6118 (1978) Cap. 4 Prático Flecha

hlaje (cm) 13 11 / 10 13 10

Percebe-se que há uma variação significativa nos resultados. Vale lembrar que essas alturas são valores iniciais, para que se possa dar início ao cálculo das estruturas, e devem ser verificadas ao longo do processo de dimensionamento, como será visto posteriormente.

De maneira geral, o método da NBR 6118 (1978) fornece os maiores valores e o baseado no cálculo da flecha os menores.

O método recomendado para a determinação da altura das lajes é o apresentado no Capítulo 4.

EXERCÍCIO 7.9:

Para as lajes L101=L102=L109=L111 da 2a opção de fôrma do projeto em estudo, determinar as suas alturas pelos quatro métodos analisados. A Tabela 7.4 apresenta a comparação dos resultados.

Tabela 7.4 – Resultados para as alturas das lajes L101=L102=L109=L111 da 2a opção de fôrma do projeto em estudo.

Método NBR 6118 (1978) Cap. 4 Prático Flecha

hlaje (cm) 15 13 13 12

7.4. CARREGAMENTOS DAS LAJES PARA O PROJETO EM ESTUDO

Para a 2a opção de fôrma, já foram determinadas as alturas de pré-dimensionamento das lajes no Capítulo 4. Para essas alturas, determinam-se os carregamentos de cada uma das lajes, como está apresentado a seguir.

L101=L102=L109=L111

285

275

560

432

Carregamentos

pp = 0,13 x 25 = 3,25kN/m2 rev. = 1kN/m2

Par. = (0,15 x 2,57 x 6,67) x 15 / (4,32 x 5,6) = 1,6kN/m2

g = 5,85kN/m2

q = 1,50kN/m2 p = 7,35kN/m2


162

L103=L110

276

275

pp = 0,07 x 25 = 1,75kN/m2

rev. = 1kN/m2 Par. = (0,25 x 2,63 x 2,6) x 15 / (2,75 x 2,76) = 3,38kN/m2

g = 6,13kN/m2 q = 1,50kN/m2

p = 7,63kN/m2

L104=L105=L107=L108

460

463

570

107

pp = 0,11 x 25 = 2,75kN/m2

rev. = 1kN/m2 Par. = (0,15 x 2,59 x 6,95) x 15 / (5,7 x 4,6)

Par. = 1,54kN/m2

g = 5,29kN/m2

q = 2,00kN/m2 p = 7,29kN/m2

L106

350

366

pp = 0,10 x 25 = 2,50kN/m2 rev. = 1kN/m2

Par. = (0,15 x 2,6 x 4,86) x 15 / (3,5 x 3,66) = 2,22kN/m2

g = 5,72kN/m2

q = 1,50kN/m2

p = 7,22kN/m2

De posse do carregamento e sistema estático das lajes, pode-se partir para o cálculo dos esforços e o dimensionamento.

A Figura 7.21 apresenta um esquema das lajes do pavimento tipo para a 2a opção de fôrma, indicando os seus carregamentos para as alturas calculadas utilizando o método de pré-dimensionamento apresentado no Capítulo 4, a altura encontrada para este método e a altura encontrada pelo método baseado no cálculo das flechas (valor entre parênteses).

7.5. DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE LAJES ARMADAS EM CRUZ

Antes de fazer-se o dimensionamento propriamente dito para as lajes da 2a opção de fôrma, far-se-á o cálculo dos esforços nas lajes, utilizando as tabelas de Czerny.

7.5.1. Cálculo das reações e momentos atuantes

A Figura 7.22 apresenta os tipos de ocorrência, para as tabelas de Czerny, de cada uma das lajes em estudo.


163

p=7,63kN/m2

p=7,35kN/m2p=7,35kN/m2

p=7,29kN/m2

p=7,22kN/m2

L101

h = 13cm(h = 12cm)

L102

h = 13cm(h = 12cm)

L103

h = 7cm(h = 7cm)

L104

h = 11cm(h = 11cm)

L106

h = 10cm(h = 8cm)

L105

p=7,29kN/m

(h = 11cm)h = 11cm

2

L107

p=7,29kN/m

(h = 11cm)h = 11cm

2

L108

p=7,29kN/m

(h = 11cm)h = 11cm

2

p=7,35kN/m

(h = 12cm)h = 13cm

L109

2 p=7,35kN/m

(h = 12cm)h = 13cm

L111

2

L110

p=7,63kN/m2

h = 7cm(h = 7cm)

Figura 7.21 – Esquema das lajes do pavimento tipo para a 2a opção de fôrma com suas alturas e carregamentos.


164

L110 L111L109

2

7,35kN/m2

Tipo 2ATipo 5A

7,63kN/m

7,35kN/m2

Tipo 2A

L108L107

7,29kN/m

Tipo 3

2 7,29kN/m2

Tipo 3

Tipo 4A

7,22kN/m2

L106

L105L104

27,29kN/m

Tipo 3

27,29kN/m

Tipo 3

27,63kN/m

Tipo 5A

7,35kN/m2

Tipo 2A

L103 27,35kN/m

Tipo 2A

L101 L102

Figura 7.22 – Tipos de ocorrência e carregamento das lajes do pavimento tipo para a 2a opção de fôrma.


165

A seguir são apresentados os cálculos dos esforços para cada um dos grupos de laje.

L101 = L102 = L109 = L111

L101

Tipo 2A

7,35kN/m2

l=5

,60m

y

xl =4,32m

ε = ly / lx = 5,60 / 4,32 = 1,30

=4,32mlx

L101

l=5

,60m

y 6,32

7,86

13,62

4,62

7,59 7,59

-14,

29

7,86kN/m5,60x7,35x0,191l.p.VR0,191V

13,62kN/m5,60x7,35x0,331l.p.VR0,331V7,59kN/m4,32x7,35x0,239l.p.VR0,239V

14,29kN.m9,6

4,32x7,35n

l.pX9,6n

4,62kN.m29,7

4,32x7,35m

l.pM29,7m

6,32kN.m21,7

4,32x7,35m

l.pM21,7m

yy2y2y2

yy1y1y1

xxxx

2

y

2x

yy

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

===→=

===→====→=

−=−=−=→=

===→=

===→=

L103 = L110

7,63kN/m

Tipo 5A

L103

2

=2,7

5ml x

ly =2,76m

ε = ly / lx = 2,76 / 2,75 = 1,00

=2,76m

=2,7

5m

l

xl

y

L103

1,31

1,03

-3,5

6

-3,17 -3,17

l

5,26=2,7

5m

y

5,26

l

x

=2,76m

6,36

L1033,02

Momentos Reações

3,17kN.m18,2

2,75x7,63n

l.pX18,2n

3,56kN.m16,2

2,75x7,63n

l.pX16,2n

1,03kN.m55,9

2,75x7,63m

l.pM55,9m

1,31kN.m44,1

2,75x7,63m

l.pM44,1m

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

−=−=−=→=

−=−=−=→=

===→=

===→=


166

3,02kN/m2,75x7,63x0,144l.p.VR0,144V


xx2x2x2

yyyy

xx1x1x1

===→=

===→====→=

L104 = L105 = L107 = L108

=5,70myl

7,29kN/mxl=4

,60m Tipo 3

2

L104

ε = ly / lx = 5,70 / 4,60 = 1,24

7,31

=5,70myl

=4,6

0ml x

L104

3,386,11 5,51

10,5

5

12,78

-13,

90 -11,96

11,96kN.m12,9

4,60x7,29n

l.pX12,9n

13,90kN.m11,1

4,60x7,29n

l.pX11,1n

3,38kN.m45,6

4,60x7,29m

l.pM45,6m

5,51kN.m28

4,60x7,29m

l.pM28,0m

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

−=−=−=→=

−=−=−=→=

===→=

===→=



yy2y2y2

xx2x2x2

yy1y1y1

xx1x1x1

===→====→=

===→====→=

L106

7,22kN/m

=3,50mlx

=3,6

6ml y

Tipo 4A

2

L106

ε = ly / lx = 3,66 / 3,50 = 1,05

yl=3

,66m

-6,6

0

9,22

lx =3,50m

1,692,62

3,82 3,

82-6

,609,22

L106


167

m/kN17,965,3x20,7x349,0l.p.VR349,0Vm/kN81,350,3x20,7x151,0l.p.VR151,0V

m.kN58,64,13

50,3x20,7n

l.pX4,13n

m.kN62,27,33

50,3x20,7m

l.pM7,33m

m.kN69,12,52

50,3x20,7m

l.pM2,52m

yyyy

xxxx

2

y

2x

yy

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

===→====→=

−=−=−=→=

===→=

===→=

O esquema da Figura 7.23 apresenta a metade do pavimento tipo com todos os esforços indicados.

L107 L108

L106

L104

L101

L103

L105

L102

7,31 7,31

10,5

5

10,5

5

6,11 6,11

3,82

-6,6

0 2,62

1,69

3,82

9,22

-6,6

09,22

7,31

6,11

-13,

90 12,78

5,51

3,38

10,5

5

-11,96

-13,

90 12,78

5,51

3,38

7,31

-11,96

6,11

10,5

50

0

-14,

29

-14,

29

-13,

90

13,62 13,626,36

7,86 7,86

7,59

7,59

7,59

7,59

4,62

6,32

4,62

6,32

-3,17 -3,170 03,02

1,31

1,03

5,26 5,26

-3,5

6

Figura 7.23 – Momentos fletores e reações nas lajes da 2a opção de fôrma para o pavimento tipo.


168

7.5.2. Cálculo dos momentos finais

Como pode ser observado na Figura 7.23, sobre as vigas de apoio entre duas lajes, tem-se dois momentos diferentes, um de cada uma das lajes, pois elas foram calculadas individualmente. É necessário, portanto, determinar-se qual o momento negativo final de cálculo (Me

f), que é baseado no equilíbrio entre os dois momentos existentes. Para tanto, utiliza-se o seguinte procedimento:

>

+≥

)MM(M8,02

MMM

e2

e1

e1

e2

e1

ef

A NBR 6118 (2007) permite que se utilize o maior entre os dois momentos em alguns casos.

Após o equilíbrio dos momentos negativos, é necessário se fazer a correção dos momentos positivos nos vão onde ocorreu a redução do valor no engaste. Quando ocorre a diminuição do momento fletor no apoio, há um acréscimo do momento fletor no meio do vão. Por outro lado, quando há um aumento do momento de engaste, há uma redução do momento no meio do vão (∆f), como indica a Figura 7.24.

ma c

e

bd f

1 2m3m

1f

f2f3

f4

l1 2l 3l 4l

f∆

Figura 7.24 – Correção do momento positivo em função da redução do momento negativo.

Para o cálculo dos momentos fletores positivos corrigidos, tem-se o seguinte:

2)fm(

MM

2)me(

2)dm(

MM

2)mc(

2)ma(

MM

2)bm(

MM

34i

4F

323i

3F

212i

2F

11i

1F

−−=

−+

−−=

−+

−+=

−−=

A seguir estão apresentadas as correções para os momentos fletores da 2a opção de fôrma do pavimento tipo em análise.

Quando há a redução, esta é desprezada a favor da segurança.


169

Equilíbrio dos momentos negativos Correção dos momentos positivos

Entre L101 e L103:

=

=+

≥54,217,3x8,0

59,12

17,30Xf

Entre L101 e L104:

=

=+

≥43,1129,148,0

10,142

29,1490,13

xX f

Entre L103 e L104:

=

=+

≥12,1190,138,0

73,82

56,390,13

xX f

Entre L104 e L106:

=

=+

≥28,560,68,0

30,32

60,60

xX f

Entre L104 e L105: Já estão em equilíbrio

L101:

72,42

10,4129,4162,4M y =

−

+=

L103:

66,12x2

54,217,303,1M y =

−

+=

L104:

6,902

11,1213,905,51M x =

−

+=

L106:

3,942x2

5,286,602,62M y =

−

+=

A Figura 7.25 apresenta o esquema do pavimento tipo com os momentos que foram modificados, e a Figura 7.26 os momentos finais para o pavimento.

-13,

90

-13,

90L105

-13,

90L104

1,69

L107

-6,6

00

2,62

-11,96

L106

5,51

3,38

-6,6

00

-11,96

3,385,51

L103-3,17

6,32

-14,

29

0

4,62

L101

-14,

291,31

1,03

-3,17 0

L102

6,324,62

L108

-3,5

6

Figura 7.25 – Momentos fletores a serem modificados para o pavimento tipo.


170

-5,2

8

-5,2

8

L107 L108

3,94

1,69

L106

L102L101

3,38

-14,

10

6,90

L104

-11,96

6,90

3,38-1

1,12 L105

-14,

10

-2,54

4,72

6,32 6,32

1,31 1,66

L103 -2,54

4,72

Figura 7.26 – Momentos fletores finais, já equilibrados e corrigidos, para o pavimento tipo.

7.5.3. Dimensionamento e detalhamento das armaduras

Após a determinação dos esforços solicitantes nas lajes, parte-se para o seu dimensionamento. A partir dos momentos fletores encontrados, verifica-se a seção de concreto e determina-se a área de aço necessária para atendê-lo.

Para o dimensionamento para o E.L.U., primeiro, precisa-se determinar qual é a altura útil (d) da laje. Vale notar que, de maneira geral, as lajes possuem armaduras nas duas direções principais, formando uma malha de duas camadas. Isso quer dizer que se tem duas alturas úteis diferentes: uma para a 1a camada e outra para a 2a camada. Esse fato está apresentado na Figura 7.27. Para evitar erros na execução, admite-se uma altura útil referente às barras da 2a camada.

Além disso, é necessário calcular qual é a área de aço mínima que deverá ser colocada nas lajes. Segundo a NBR 6118 (2007), para as lajes armadas em duas direções, tem-se:

• Para as armaduras negativas: ρs ≥ ρmín;

• Para as armaduras positivas: ρs ≥ 0,67 ρmín,

onde os valores de ρmín dependem do valor do fck, e se encontram na Tabela XIII do Anexo A.


171

d' =cob.+( /2) d =h-d'

h

cob.

φ

d'

dφ

1

1

d'2

d2 φ1 cam.a

a2 cam.

1 cam.a1 1 1

φd' =cob.+( + /2) d =h-d'2 1 cam.a 22aφ2 cam.

Figura 7.27 – Corte na laje, indicando as duas camadas de armaduras.

Outro aspecto fundamental no dimensionamento das lajes é saber qual o diâmetro máximo da armadura que pode ser usado. Segundo a NBR 6118 (2007), ele não pode ultrapassar o valor de 1/8 da altura da laje, ou seja: φmáx ≤ h/8. A prática recomenda que o diâmetro mínimo a ser usado nas armaduras para os momentos negativos seja de φmín ≥ 6,3mm.

Para o nosso projeto, serão adotados os seguintes dados: fck = 25 MPa; aço CA 50 A; cobrimento = 20 mm; φmáx = 10mm (para as lajes com h > 7cm); e φmáx = 8mm (para as lajes com h = 7cm). Logo, admitindo a altura útil referente à segunda camada, tem-se que:

d’ = 2,0 + 1 + 0,5 = 3,5cm ⇒ d = h – 3,5 (para lajes com h > 7cm)

d’ = 2,0 + 0,8 + 0,4 = 3,2cm ⇒ d = h – 3,2 (para lajes com h = 7cm)

Para a verificação da seção de concreto e a determinação da área de aço necessária, será utilizada a tabela para flexão simples em seção retangular apresentada em Pinheiro (1993), que se encontra como Tabela XIV no Anexo A. A Tabela 7.5 apresenta os resultados do dimensionamento para o E.L.U. das lajes da 2a opção de fôrma do projeto em estudo.

Tabela 7.5 – Dimensionamento para o E.L.U. das lajes em estudo.

Mk (kN.m) hinicial (cm) dinicial (cm) As,mín (cm2) Kc Ks As (cm2) -14,10 11 7,5 1,65 2,85 0,027 7,11 -11,96 11 7,5 1,65 3,36 0,026 5,80 -11,12 7 3,8 1,05 0,93 (0,031) (12,70)

6,90 11 7,5 1,11 5,82 0,025 3,22 6,32 13 9,5 1,31 10,20 0,024 2,24

-5,28 10 6,5 1,50 5,72 0,025 2,84 4,72 13 9,5 1,31 13,66 0,024 1,67 3,94 10 6,5 1,01 7,66 0,024 2,04 3,38 11 7,5 1,11 11,89 0,024 1,51

-2,54 7 3,8 1,05 4,06 0,025 2,34 1,69 10 6,5 1,01 17,86 0,024 0,87 1,66 7 3,8 0,70 6,21 0,024 1,53 1,31 7 3,8 0,70 7,87 0,024 1,16


172

Percebe-se que para o momento negativo de Mk = -11,12kN.m, não foi encontrado um valor satisfatório na Tabela XIV, que posicionasse a peça no Domínio 3 ou no 2, logo temos que aumentar a altura dessa laje. Note também que a única área de aço que ficou abaixo da mínima foi a calculada para o momento de Mk = 1,69 kN.m (As,mín = 1,01 cm2 > As,calc = 0,87 cm2), portanto, para esse esforço solicitante será utilizada a área de aço mínima.

Inicialmente, será determinada a armadura para todas as lajes, e depois serão feitas as correções necessárias, inclusive para as lajes L103 e L110.

Partindo-se das áreas de aço calculadas, temos que determinar qual o melhor arranjo de armadura a ser utilizado na laje. Para isso a NBR 6118 (2007) define alguns critérios básicos de detalhamento. São eles:

• As armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu posicionamento durante a concretagem;

• Para as armaduras principais: smáx ≤ 2 h; 20 cm;

• Para as armaduras secundárias: smáx ≤ 33 cm; • As,secundária ≥ 20% As,principal.

Além dessas, a prática recomenda que o espaçamento das barras esteja dentro dos seguintes limites: 10 cm ≤ s ≤ 20 cm. Porém, permite-se utilizar espaçamentos de até 7 cm.

Baseado nas recomendações acima, vamos determinar o melhor arranjo para as áreas de aço calculadas. A Tabela 7.6 apresenta os resultados.

Tabela 7.6 – Determinação dos arranjos das armaduras.

Mk (kN.m)

hinicial (cm)

As,min (cm2) As (cm2) smáx

(cm) Armadura

-14,10 11 1,65 7,11 20 φ10c.11 ou φ8c.7 -11,96 11 1,65 5,80 20 φ10c.13 ou φ8c.8 -11,12 7 1,05 (12,70) 14 Não é possível nenhum arranjo!

6,90 11 1,11 3,22 20 φ8c.15 ou φ 6,3c.9

6,32 13 1,31 2,24 20 φ6,3c.14 ou φ5c.8 -5,28 10 1,5 2,84 20 φ8c.17 ou φ6,3c.11 4,72 13 1,31 1,67 20 φ6,3c.18 ou φ5c.11 3,94 10 1,01 2,04 20 φ6,3c.15 ou φ5c.9 3,38 11 1,11 1,51 20 φ6,3c.20 ou φ5c.13

-2,54 7 1,05 2,34 14 φ6,3c.13 1,69 10 1,01 0,87 20 φ5c.19 1,66 7 0,7 1,53 14 φ5c.13 1,31 7 0,7 1,16 14 φ5c.17 ⇒ φ5c.14


173

Percebe-se que para uma mesma área de aço, pode-se ter diversas combinações de armadura. A escolha da mais indicada é baseada no espaçamento mais adequado, ou seja, entre 7cm e o espaçamento máximo para cada laje. Porém, preferencialmente, deve-se utilizar s ≥ 10cm. Note, também, que para as áreas de aço das lajes L103 e L110, com h = 7cm, o espaçamento máximo foi de s = 14cm, logo o arranjo das armaduras contemplou esse limite.

Correção das alturas das lajes

Como foi verificado, a altura das lajes L103 e L110 é insuficiente para resistir ao momento negativo. Logo, vamos aumentar a altura dessas lajes. Por outro lado, a altura das lajes L101, L102, L109 e L111 está sobrando, ou seja, pode-se reduzir para h = 11cm. Portanto, vamos otimizar o pavimento para h=11cm em todas as lajes. Vale lembrar que com a redução da altura das lajes, torna-se imprescindível para elas a verificação da flecha. A Figura 7.28 apresenta o pavimento otimizado.

L110L109

h = 11cm h = 11cm

h = 11cmp=8,58kN/m2

L111

2p=7,29kN/mp=7,29kN/m

h = 11cm

p=7,29kN/m

h = 11cm

L107

h = 11cm

h = 11cm

L108

2 p=7,29kN/m2

p=7,46kN/m2

L106

h = 11cm

h = 11cm

p=6,86kN/m

L104

L101

p=8,58kN/m

2

L105

h = 11cm

L1032

2

h = 11cm

L102

p=6,86kN/m2

p=6,86kN/m2 p=6,86kN/m2

Figura 7.28 – Pavimento tipo com a otimização das lajes.


174

Após a otimização, temos que fazer o seguinte:

1. Recorrigir os carregamentos das lajes:

• L101 = L102 = L109 = L111 ⇒ p = 6,86 kN/m2

• L103 = L110 ⇒ p = 8,58 kN/m2

• L104 = L105 = L107 = L108 ⇒ p = 7,29 kN/m2 (não houve mudança)

• L106 ⇒ p = 7,46 kN/m2

2. Recalcular os esforços;

3. Refazer o equilíbrio dos momentos negativos e a correção dos momentos positivos;

4. Recalcular as armaduras;

5. Detalhar o pavimento

A Figura 7.29 apresenta os novos esforços no pavimento e a Figura 7.30 apresenta os esforços finais a serem dimensionados, após o equilíbrio dos momentos negativos e a respectiva correção dos positivos.

-13,

90 12,78

-13,

9012,78

-13,

90 L105L104

3,94

6,31

L107

10,5

5

10,5

5

9,531,75

-6,8

1

7,31 03,

94 2,71

L108 7,31

6,31

10,5

5

10,5

5

9,53

L106

7,31

-6,8

10 7,31

-11,96

3,385,51

-11,96

5,51

3,38

6,31

6,31

5,90

7,34

12,72-13,

34

7,08 4,

31

L101

3,405,90

1,47

-4,0

1

12,72

0 -3,57

1,16

-13,

34

7,16

0-3,57

5,93

7,08

L103

7,34

5,93

7,08

4,31

L1027,

08

Figura 7.29 – Esforços no pavimento otimizado.


175

-11,

12

-13,

62

-13,

62 L105L104

3,38

L107

4,07

-5,4

5

L108

1,75

L106

-5,4

5

6,96

3,38

-11,96

6,96

4,31

L101

5,90L103-2,86

1,871,47

-2,86

4,31

L102

5,90

-11,

12

-11,96

Figura 7.30 – Momentos fletores finais no pavimento otimizado.

A Tabela 7.7 apresenta o dimensionamento e as armaduras finais para o pavimento. Para os cálculos, todas as lajes têm h = 11 cm, d = 7,5cm, φmáx = 10 mm e smáx = 20 cm.

Tabela 7.7 – Armaduras finais para o pavimento otimizado.

Mk (kN.m) As,mín (cm2) Kc Ks As (cm2) Armadura -13,62 1,65 2,95 0,026 6,61 φ10 c. 12 -11,96 1,65 3,36 0,026 5,81 φ10 c. 13 -11,12 1,65 3,61 0,026 5,40 φ10 c. 14

6,96 1,11 5,77 0,025 3,25 φ8 c. 15 5,90 1,11 6,81 0,024 2,64 φ6,3 c. 11

-5,45 1,65 7,37 0,024 2,44 φ6,3 c. 12 4,31 1,11 9,32 0,024 1,93 φ6,3 c. 16 4,07 1,11 9,87 0,024 1,82 φ6,3 c. 17 3,38 1,11 11,89 0,024 1,51 φ5 c. 13

-2,86 1,65 14,05 0,024 1,28 φ6,3 c. 19 1,87 1,11 21,49 0,023 0,80 φ5 c. 18 1,75 1,11 22,96 0,023 0,75 φ5 c. 18 1,47 1,11 27,33 0,023 0,63 φ5 c. 18


176

A Figura 7.31 apresenta o pavimento tipo com a posição das armaduras.

L107

L104

φ6,3c.11φ6,3

c.16

L101

L108

L106

L105

L103

L102

φ6,3c.11

φ5c.18

φ5c.13 φ10c.13

φ6,3c.19

φ6,3c.19

φ5c.13

φ5c.18

φ6,3

c.16

φ5c.

18

φ10c

.12

φ10c

.14

φ10c

.12

φ8c.

15

φ8c.

15

φ6,3

c.12

φ6,3

c.17

φ6,3

c.12

φ10c

.14

φ10c.13

Figura 7.31 – Posicionamento das armaduras positivas e negativas do pavimento tipo.

Detalhamento das lajes

A partir das áreas de aço calculadas, e respectivos arranjos indicados na Figura 7.31, deve-se detalhar as armaduras, ou seja, indicar o desenho de como essas armaduras ficarão posicionadas no pavimento. Para isto, algumas regras devem ser atendidas. Elas são baseadas tanto na NBR 6118 (2007) como na experiência dos projetistas. Segundo Giongo (1996), “A distribuição das armaduras deve ser feita de modo a cobrir a superfície onde atuam os momentos fletores”. Essa afirmação vale tanto para as armaduras positivas (colocadas próximas à face inferior da laje) como para as negativas (colocadas próximas à face superior da laje). Entretanto, o detalhamento das armaduras positivas e o das negativas seguem alguns critérios distintos que visam simplificar o projeto.

Para o detalhamento das armaduras positivas costuma-se reduzir as áreas de aço nas proximidades dos apoios (armaduras alternadas), visto que a área de aço calculada foi determinada para o momento fletor máximo, que fica na região central da laje. Segundo Giongo (1996), pode-se utilizar as reduções indicadas na Figura 7.32, onde já estão considerados os comprimentos totais levando em conta o comprimento de aderência.


177

lx

0,15

ly

lxlx

lx 0,15 xl

0,15 xl

0,15 xl

0,15 xl

0,15 xl

0,12 xl0,33 xl 0,30 xl

0,30 lx

0,30 lx

0,30 lx

Figura 7.32 - Distribuição otimizada de armadura (GIONGO, 1996).

Caso não se queira fazer a redução das áreas de aço, é só colocar as armaduras de eixo de apoio a eixo de apoio, como mostra a Figura 7.33, e que também já considera o comprimento de ancoragem.

yl

lx

Figura 7.33 - Detalhamento da armadura positiva direta.

Para as armaduras negativas sobre os apoios extremos e intermediários, a NBR 6118 (1978) permitia que as armaduras levassem em conta um diagrama triangular de momentos fletores sobre os apoios e que se estendesse de mais 10φ para cada lado, resultando no esquema da Figura 7.34a. Também para essas armaduras, pode-se usar o detalhamento alternado, como indica a Figura 7.34b. Ou seja, para as armaduras negativas, o comprimento total, já levando em conta a ancoragem, será de:

• Direta: l = 2 x 0,25 l2 + 2 x 10φ + 2 x r

• Alternada: l = 0,25 l2 + 0,125 l2 + 2 x 10φ + 2 x r

Onde r é o comprimento vertical indicado na Figura 7.35.


178

l1

2l

3l

1l l32l

0,25

0,125

l2

l2

> >

0,25 2l

r

10φ 10φ10φ

r

r r

r r

l

l

l

(a) armadura direta

(a) armadura alternada

Figura 7.34 – Distribuição das armaduras negativas (adaptada de GIONGO, 1996).

1 cam.v=h-[2.cob.+ + ] r=v+φ a φ2 cam.a

hφ

φ

cob.

1 cam.2 cam.a

a

1 cam.a

a2 cam.cob.

v

φ2 cam.a

Figura 7.35 – Determinação do ramo vertical da armadura negativa.

Após a determinação dos comprimentos totais das armaduras, deve-se calcular a quantidade de cada uma delas. Para isso, divide-se o vão interno da laje, na direção perpendicular à armadura, e soma-se mais um para fazer o fechamento dos intervalos dos espaçamentos. A Figura 7.36 apresenta um esquema do cálculo das quantidades de barras. Esse procedimento vale para as armaduras positivas e negativas.

(b)


179

2l

1l l3

l2,int

l1,int l3,intb b b

b

b

n =( ) + 1xl2,int

sn =( ) + 1l

y s1,int

n y

nx

Figura 7.36 – Determinação da quantidade de barras da armadura das lajes.

Utilizando-se dos conceitos apresentados anteriormente, foram determinadas as armaduras para o pavimento tipo em estudo, cujos cálculos se encontram a seguir.

As Figuras 7.37 e 7.38 apresentam os detalhamentos das armaduras positivas e negativas, respectivamente, para o pavimento em estudo.

Após o detalhamento do pavimento, temos que calcular o quadro de armaduras (Tabela 7.8) e o quadro resumo (Tabela 7.9) para o aço, assim como a taxa de armadura (T.A.) da laje. Esses indicadores são de extrema importância para o construtor da edificação.

• Armaduras positivas:

L101=L102=L109=L111

27116420n

560cm

51111548n

432

2

2

1

1

=+=

=

=+=

=

l

l

2l=5

,60m

l1 =4,32m12

12

1212

548

420

N1 - 51φ6,3c.11 - 432

N6

- 27φ

6,3c

.16

- 560


180

L103=L110

16118264n

275cm

16118263n

276cm

2

2

1

1

=+=

=

=+=

=

l

l

12

12264 12

N8

- 16φ

5c.1

8 - 2

75

2l=2

,75m

263

N2 - 16φ5c.18 - 276

=2,76ml112

L104=L105=L107=L108

38115558n

460cm

35113448n

570cm

2

2

1

1

=+=

=

=+=

=

l

l

12

12 558 12

N7

- 38φ

8c.1

5 - 4

60

2l=4

,60m

448

N3 - 35φ5c.13 - 570

=5,70ml112

L106

9117138n

203cm26155354

13117

138)(338n

366cm

10118155n

204cm26138338

12118

155)(354n

350cm

2b

2b

2a

2a

1b

1b

1a

1a

=+=

=−+−=

=+−

=

=

=+=

=−+−=

=+−

=

=

l

l

l

l

12

12338 12

N10

- 13

φ6,3

c.17

- 36

6

2l=3

,66m

354

N5 - 12φ5c.18 - 350

=3,50ml1

12N4 - 10φ5c.18 - 204

N9

- 9φ6

,3c.

17 -

203

138

155


181

• Armaduras negativas:

L101 e L104 N

12 -

36φ1

0c.1

2 - 2

62

125

625

06

36112420n

cm610,2.211rcm12510.25,0

cm101.1010432

cm115460.25,0460vãosmenores

=+=

=−−==φ+

==φ =→

=

l

L103 e L104

125

N12

- 20

φ10c

.14

- 262

625

06

10114126n

cm610,2.211rcm12510.25,0

cm101.1010275


=+=

=−−==φ+

==φ =→

=

l


182

L101 e L103

N11 - 15φ6,3c.19 - 2426

115

15 N11 c.19

230 6

15119263n

cm637,663,00,2.211rcm11505,11410.25,0

cm3,663,0.1010275


=+=

≈→=−−=→=φ+

==φ =→

=

l

L104 e L105

6

125

N12 - 36φ10c.13 - 262250 6

115

36113448n

cm610,2.211rcm12510.25,0

cm101.1010460


=+=

=−−==φ+

==φ =→

=

l

L104 e L106

18 N

13 c

.12

N13

- 29

φ6,3

c.12

- 26

2

125

625

06

29112338n

18112200n

cm637,663,00,2.211rcm12530,12110.25,0

cm3,663,0.1010350


2

1

=+=

=+=

≈→=−−=→=φ+

==φ =→

=

l


183

N7

- 38φ

8c.1

5 - 4

60

27 N

6 c.

16

27 N

6 c.

16

16 N

8 c.

18

16 N2 c.18

51 N1 c.11 51 N1 c.11

38 N

7 c.

15

35 N3 c.13

38 N

7 c.

15

35 N3 c.13

N4 - 10φ5c.18 - 204

N10

- 13

φ6,3

c.17

- 36

6

N9

- 9φ6

,3c.

17 -

203

N5 - 12φ5c.18 - 350

51 N1 c.11N1 - 51φ6,3c.11 - 432

N8

- 16φ

5c.1

8 - 2

75

N3 - 35φ5c.13 - 570

38 N

7 c.

15

35 N3 13

N2 - 16φ5c.18 - 276N

6 - 2

7φ6,

3c.1

6 - 5

60

27 N

6 c.

16

Figura 7.37 – Planta com o detalhamento da armadura positiva.


184

N13

- 29

φ6,3

c.12

- 26

2

20 N

12 c

.14

36 N

12 c

.12

15 N11 c.19

36 N

12 c

.12

15 N11 c.19

36 N12 c.13

620

N12

c.1

4

36 N

12 c

.12

36 N

12 c

.12

18 N

13 c

.12

250

125

6

2506

125

N12 - 36φ10c.13 - 2626

15 N11 c.19N11 - 15φ6,3c.19 - 2426

115

230 6

Figura 7.38 – Planta com o detalhamento da armadura negativa.


185

Tabela 7.8 – Quadro de armaduras para as lajes do pavimento tipo.

Comprimento N φ (mm) Quant.

Unit. (m) Total (m)

1 6,3 204 4,32 881,28

2 5 32 2,76 88,32

3 5 140 5,70 798,00

4 5 10 2,04 20,40

5 5 12 3,50 42,00

6 6,3 108 5,60 604,80

7 8 152 4,60 699,20

8 5 32 2,75 88,00

9 6,3 9 2,03 18,27

10 6,3 13 3,66 47,58

11 6,3 60 2,42 145,20

12 10 256 2,62 670,72

13 6,3 47 2,62 123,14

Tabela 7.9 – Quadro resumo de aço para as lajes do pavimento tipo.

φ (mm) Comp. (m) Peso (kg)

5 1036,72 166

6,3 1820,27 455

8 699,20 280

10 670,72 423

TOTAL 1324

Para o cálculo da taxa de armadura temos de dividir o peso total de aço pelo volume total de concreto, como está indicado a seguir:

3c

3

c

25,02mx0,111,38x1,55]3,66x3,54x4,6x5,7062x2,75x2,760[4x4,32x5,V

kg/m91,2525,021324

V1324

concretodeVolumeaçodePeso

T.A.

=−+++=

====

7.6. DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE LAJES CORREDOR

Para as lajes corredor, o cálculo dos esforços é feito admitindo-se uma viga na direção menor, e determinam-se os valores para os momentos fletores e as reações a partir das expressões apresentadas na Tabela 7.2. Uma vez calculados os esforços, as áreas de aço são encontradas com a ajuda da Tabela XIV, do Anexo A. A Figura 7.39 apresenta os esquemas estáticos para diversos tipos de laje corredor.


186

Figura 7.39 – Esquemas estáticos de lajes corredor.

Para o detalhamento dessas lajes, a armadura mínima, segundo a NBR 6118 (2007), é dada por:

• Para as armaduras negativas: ρs ≥ ρmín;

• Para as armaduras positivas principais (na direção menor): ρs ≥ ρmín;

• Para as armaduras positivas secundárias (na direção maior):

• ρs ≥ 0,5 ρmín;

• As/s ≥ 20% da armadura principal;

• As/s ≥ 0,9 cm2/cm.

7.7. VERIFICAÇÃO AO ESFORÇO CORTANTE

Segundo a NBR 6118 (2007), “as lajes maciças ou nervuradas, que atendem aos requisitos da norma, podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante, quando a força cortante de cálculo obedecer à expressão”:

VSd ≤ VRd1

onde: VSd = força cortante solicitante de cálculo;

VRd1 = força cortante resistente de cálculo, relativa a elementos sem armadura para força cortante.

“A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por”:


187

VRd1 = [τRd . κ (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp ] bw . d

onde: τrd = 0,25 fctd

fctd = fctk,inf/ γc

02,0quemaiornão,d.b

A

w

1s1 =ρ

σcp = NSd/ Ac

κ é um coeficiente que tem os seguintes valores:

- para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: κ = |1|;

- para os demais casos: κ = |1,6 – d|, não menor que |1|, com d em metros;

onde: fctd é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento;

As1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que (d + lb,nec) além da seção considerada;

bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d;

NSd é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva).

EXERCÍCIO 7.10:

Detalhar as lajes para a 1ª opção de fôrma do projeto em estudo.

EXERCÍCIO 7.11:

Para as lajes da 2ª opção de fôrma, verificar o cisalhamento.


ABCP; ABESC; IBRACON; IBTS (2002) – Tecnologia do concreto armado: em notícias. Informativo Técnico, ano 5, n. 13, julho 2002.



GIONGO, J. S. (1996) – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. São Carlos: EESC-USP, 1996.

MACGREGOR, J. G. (1988) – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1988.

PINHEIRO, L. M. (1993). Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos: EESC-USP, 1993.


188

POLILLO, A. (1981) – Dimensionamento de concreto armado. Vol. 2, 4a ed., Livraria Nobel S. A., São Paulo, 1981.

ROCHA, A. M. (1987) – Concreto armado. São Paulo, Vol. 1, 1987.




FERGUSON, P. M.; BREEN, J. E.; JIRSA, J. O. (1988) – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 1988.


FUSCO, P. B. (1995) – Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, PINI, 1995.

SÜSSEKIND, J. C. (1981) – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1 e 2, 2a ed., Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1981.

189

PARTE III

× Vigas Ø


190

8. VIGAS

As vigas são elementos lineares, em que uma das dimensões, que é o comprimento (vão l), é bem maior que as outras duas (largura bw e altura h), como mostra a Figura 8.1.

l

b

h

w

l w>> b , h

Figura 8.1 – Dimensões das vigas.

De maneira geral, as vigas apresentam a altura (h) maior que a largura (bw), em que uma boa razão entre elas é entre: 2 ≤ (h/bw) ≤ 5. As vigas com h ≤ bw são chamadas de vigas chatas, e são mais comuns em algumas lajes planas.

Em relação à razão l /h, a NBR 6118 (2007) estabelece que: “As prescrições que seguem referem-se a vigas isostáticas com relação l /h ≥ 3,0 e a vigas contínuas com relação l /h ≥ 2,0, em que l é o comprimento do vão teórico (ou o dobro do comprimento teórico, no caso do balanço) e h a altura total da viga”. As vigas com l /h menores que as citadas na NBR 6118 (2007) são chamadas de vigas-parede, e apresentam um dimensionamento específico para elas. Para o nosso curso, não serão estudadas nem as vigas chatas nem as vigas- parede.

Como já foi citado no Capítulo 4, para o elemento ser considerado como viga, a largura tem que ser maior ou igual a 12 cm (bw ≥ 12) e a altura maior ou igual a 30 cm (h ≥ 30). Para a determinação do vão efetivo (l ef) das vigas, a NBR 6118 (2007) estabelece que ele pode ser calculado da seguinte maneira (Figura 8.2):

≤

≤

→++=

h3,02

ta

h3,02

ta

comaa2

2

1

1

210ef ll

As vigas também podem ter outros tipos de classificações. São elas:

• Quanto à fabricação Moldada in loco (Figura 8.3); Pré-moldada (Figura 8.4).


191

h

t1 t2

l0 l0

a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediário

Figura 8.2 – Vão efetivo (NBR 6118, 2007).

Retangular (Figura 8.5a); Seção T (Figura 8.5b);

• Quanto à forma da seção Duplo T, ou π (Figura 8.5c); Viga caixão (Figura 8.5d); etc...

Figura 8.3 – Viga moldada in loco.

Figura 8.4 – Viga pré-moldada (LIN & BURNS, 1981).


192

(a)

(b)

(c)

(d) Figura 8.5 – Seções de viga: (a) retangular; (b) seção T (MACGREGOR, 1984); (c) duplo T; (d) viga-caixão

(MACGREGOR, 1984).

Modos de ruptura

Como foi citado no Capítulo 6, uma boa maneira de se entender o que acontece com as peças submetidas à flexão simples, é acompanhar um ensaio de flexão numa viga. Para essas peças, além de conhecermos como elas se comportam sob flexão, é importante sabermos como essas peças podem atingir um estado limite último, ou seja, qual o modo de ruptura que a peça estará sujeita. A Figura 8.6 apresenta um esquema dos vários modos de ruptura que pode ocorrer numa viga.

Armação longitudinal principal

Armação transversalAB

D

EC

Figura 8.6 – Tipos possíveis de ruptura numa viga (armações principais indicadas) (SÜSSEKIND, 1981).

A Tabela 8.1 apresenta as principais características de cada modo de ruptura indicado anteriormente.

O dimensionamento para o estado limite último visa evitar o aparecimento de um desses modos de ruptura. Para cada um deles, tem-se uma série de medidas preventivas que podem, e


193

devem, ser tomadas, o que será estudado mais adiante nos itens referentes ao dimensionamento para o E.L.U.

Tabela 8.1 – Modos de ruptura das vigas de concreto armado.

Modo de Ruptura Aspecto Descrição Tipo

Flexão – compressão (A)

Avanço da fissura de flexão, reduzindo a área comprimida até o esmagamento da zona de compressão do concreto

Frágil/ dúctil

Cortante-tração (B)

Ruptura da armadura de cisalhamento por tração

Dúctil

Cortante – flexão (C)

Interação momento/ cortante, o avanço da fissura diagonal corta o banzo comprimido da peça

Frágil/ dúctil

Rompimento da ligação aço-concreto (D)

Fendilhamento do concreto; esgotamento da capacidade aderente da peça.

Frágil

Cortante-compressão (E)

Esmagamento da biela comprimida na região junto ao apoio.

Frágil

Cálculo dos esforços

O cálculo dos esforços (momentos fletores, momentos torçores, forças cortantes e forças normais) segue as recomendações da Resistência dos Materiais. A maioria das vigas em


194

estudo estará sujeita apenas à flexão simples (momentos fletores e forças cortantes). Em alguns casos, elas estarão sujeitas, também, à torção.

Não serão estudadas vigas solicitadas à força normal, como no caso das peças protendidas. Portanto, as vigas em estudo estarão sujeitas a dois tipos de solicitações:

• Solicitações normais: momentos fletores (σ – tensões normais ao plano da seção transversal);

• Solicitações transversais: momentos torçores e forças cortantes (τ – tensões tangenciais à seção transversal).

Para as vigas da 2a opção de fôrma do pavimento tipo em análise, vamos determinar os sistemas estáticos e os carregamentos, e calcular os esforços solicitantes, calculadas com o auxílio do programa FTOOL (www.tecgraf.puc-rio.br/ftool). Todas elas estão sujeitas, apenas, à flexão simples.

V101 = V102 = V110 = V111 (12/ 35)

pp = 0,12 x 0,35 x 25 = 1,05 kN/m Par = 0,25 x (2,7 – 0,35) x 15 = 8,8125 kN/m

R1L101 = 7,34 kN/m p = 17,2025 kN/m

V103 = V109 (12/ 30)

pp = 0,12 x 0,30 x 25 = 0,9 kN/m

Par = 0,15 x (2,7 – 0,30) x 15 = 5,4 kN/m R1L103 = 3,4 kN/m

p = 9,7 kN/m

D. E. C. D. M. F.


195

V104 = V108 (12/35)

pp = 1,05 kN/m Par = 0,15x(2,7–0,35)x15 =

= 5,29 kN/m

Reações: 1o e 4o trechos = R2L101 + R1L104 = 12,72 + 12,78 = 25,50 kN/m

2o e 3o trechos = R2L103 + R1L104 = 7,16 + 12,78 = 19,94 kN/m

p1 = p4 = 31,84 kN/m

p2 = p3 = 26,28 kN/m

D. E. C. D. M. F.

D. E. C.


196

V105 (12/30) (considerando trecho rígido)

pp = 0,9 kN/m

Par = 5,4 kN/m Reações:

1o 2o e 5o trechos = R2L104 = 7,31 kN/m


p1= p2= p5= 13,61 kN/m

p3 = p4 = 23,14 kN/m

D. M. F.

D. M. F.


197

V105 (12/30) (considerando apoio contínuo)

D. E. C.

D. E. C.


198

V106 (12/30)

pp = 0,9 kN/m

Par = 5,4 kN/m (parede de 8 cm) Reações = zero

p = 6,3 kN/m

V107 (12/30) (considerando trecho rígido)

pp = 0,9 kN/m

Par = 5,4 kN/m Reações:

1o e 4o trechos = R1L107 = 7,31 kN/m


p1 = p4 = 13,61 kN/m p2 = p3 = 23,14 kN/m

D. E. C. D. M. F.

D. M. F.


199

V107 (12/30) (considerando apoio contínuo)

D. E. C.

D. M. F.


200

V112 = V123 V114 = V124 (12/40)

pp = 0,12 x 0,40 x 25 =

= 1,20 kN/m Par = 0,25 x (2,7 – 0,4) x 15 =

= 8,625 kN/m Reações:

1o vão = R3L109 = 7,08 kN/m

2o vão = R3L107 = 6,31 kN/m

p1 = 16,905 kN/m p2 = 16,135 kN/m

D. E. C.

D. M. F.


201

V113 (12/35) – Viga da Escada

pp = 0,12 x 0,35 x 25 = 1,05 kN/m

Par = 0,25 x (2,7 – 0,35) x 15 = = 8,8125 kN/m

Reações = patamar da escada (se for o caso)

p = 9,8625 kN/m (+Rpatamar)

D. E. C.

D. M. F.


202

V115 (12/35)

pp = 1,05 kN/m Par = 5,2875 kN/m

R3L106 = 3,94 kN/m (só no 1o trecho)

p1 = 10,2775 kN/m p2 = 6,3375 kN/m

V116 = V121 V117 = V122 (12/50)

pp = 0,12 x 0,50 x 25 = 1,50 kN/m Par = 0,15 x (2,7 – 0,5) x 15 =

= 4,95 kN/m

Reações: 1o trecho = R4L109 = 7,08 kN/m

2o trecho = R4L109 + R3L110 = = 7,08 + 5,93 = 13,01 kN/m

p1 = 13,53 kN/m p2 = 19,46 kN/m

D. E. C. D. M. F.

D. E. C. D. M. F.


203

V118 V119 (12/40)

pp = 1,20 kN/m

Par = 0,15 x (2,7 – 0,4) x 15 = = 5,175 kN/m

R4L107 = 10,55 kN/m R3L108 = 10,55 kN/m

p = 27,475 kN/m

V120 (12/30)

pp = 0,90 kN/m

Par = 5,4 kN/m

R4L106 = 3,94 kN/m

p = 10,24 kN/m

D. E. C. D. M. F.

D. E. C. D. M. F.


204

Para a viga V105 (12/30) foram feitos dois cálculos distintos:

1) Admitindo o trecho da caixa de elevador como rígido, o que divide a viga em duas: uma viga contínua com dois vãos (sendo o último apoio um engaste), e outra com apenas um vão mono-engastado;

2) Admitindo o trecho do elevador como apoio simples e adotando um valor teórico para os vãos adjacentes, o que calcula a viga como contínua com três vãos.

Percebe-se que há uma variação nos esforços calculados, porém há um certo equilíbrio, já que ao passo que alguns valores aumentam, outros diminuem. A escolha por um ou outro tipo de cálculo dos esforços depende de como a peça vai ser detalhada, da verificação global da estrutura (estabilidade global), e, também, das ferramentas de cálculo disponíveis.

Essas considerações valem, também, para a viga V107. Para o nosso projeto será adotado o cálculo como viga contínua com três vãos.

Após a determinação dos esforços solicitantes, vamos dimensionar as vigas para o Estado Limite Último (E.L.U.), levando em consideração todas as solicitações. Para as hipóteses de cálculo admitidas, já apresentadas no Capítulo 5, é permitido que dimensione a peça para cada esforço separadamente, e depois as armaduras calculadas são sobrepostas.

8.1. NOMENCLATURA

A seguir são re-apresentadas a nomenclatura e a simbologia básicas utilizadas, já apresentadas no Capítulo 6.

p = carga linear uniformemente distribuída;

l = vão da viga (de eixo a eixo dos apoios);

h = altura da seção transversal; bw = largura da seção transversal;

Mmáx. = momento máximo do vão; D.M.F. = diagrama de momentos fletores;

D.E.C. = diagrama de esforços cortantes; LN = linha neutra (linha de tensão nula);

As = área de aço da seção;

εc = deformação de compressão (no concreto) (encurtamento);

D. E. C. D. M. F.


205

εt = deformação de tração (no aço)(alongamento);

σc = tensão no concreto (compressão);

σs = tensão no aço (tração); x = altura da linha neutra (diagrama parábola-retângulo);

d = altura útil da seção – distância do centro de gravidade da armadura à borda mais comprimida;

d’= distância do centro de gravidade da armadura à borda mais tracionada.

8.2. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Para o dimensionamento ao momento fletor, independentemente da forma da seção transversal das peças, elas podem ser classificadas em seções simplesmente armadas (apenas com armaduras tracionadas) e em seções duplamente armadas (com armaduras tracionadas e comprimidas). A seguir são apresentados os cálculos para os dois tipos de seção.

8.2.1. Seções simplesmente armadas

Para as seções simplesmente armadas, vale o procedimento apresentado no Capítulo 5.

Para as vigas do nosso pavimento tipo, nas quais já foram calculados os esforços, vamos dimensioná-las para o E.L.U., como seções retangulares simplesmente armadas.

Primeiro é preciso determinar a altura útil das vigas (d). A Figura 8.7 apresenta esse cálculo.

cobφestribo

φ1a camada

φ2a camada

d

d'

h

vaCGs

Se as bitolas das 2 camadas forem iguais:

+φ+φ+=

−=

2acob'd

'dhd

vcam1estribo a

Se as bitolas forem diferentes, tem que se determinar o ponto CGS (centro de gravidade da armadura).

Figura 8.7 – Determinação da altura útil das vigas.

Para o espaçamento entre as camadas de armadura, a NBR 6118 (2007) estabelece que, para as vigas, “O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

- 20 mm; a) na direção horizontal (ah): - φ: diâmetro da barra, do feixe ou da luva;

- 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado (1,2 φag);


206

- 20 mm; b) na direção vertical (av): - φ: diâmetro da barra, do feixe ou da luva;

- 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado (0,5 φag).”

Para as armaduras longitudinais de viga, a NBR 6118 (2007) não estabelece um diâmetro mínimo nem um máximo.

Os dados adotados foram: CA 50 A; fck = 25 MPa; cobvigas = 30 mm; φestribo = 5 mm; φmáx = 12,5 mm; e av = 2,5 cm (valor adotado da prática). Logo, para d’, tem-se:

( ) 6cm2)2,5(1,250,53,02aφφcobd' vcamada1estribo a =+++=+++=

Para a armadura mínima, a NBR 6118 (2007) estabelece que para as vigas, independentemente de qual a armadura, ρmin é o obtido da Tabela XIII do Anexo A. Logo, para os nossos dados, ρmin = 0,15%. A norma diz, também, que o ρmáx para as vigas é de 4%. A seguir são apresentados alguns cálculos.

V101 = V102 = V110 = V111 (12/ 35)

12

35 d

d'

h

⇒>=

−=

−=

alturaaumentara0,40,4441,556

dy

dy0,51

dy

0,29x0,12x1,4

25000x0,85

37,80x1,4dy0,51

dy

d.b.f.0,85M.1,4

2

2wcd

k

2ws

minyd

cd

corrigido,knova

cm19,434x12x01026,0d.b.ρA

OKρ01026,0

15,1500

4,125x85,0

x294,0f

f.85,0dyρ

294,0dym.kN7,37Mcm40h

===

>=

==

===

V103 = V109 (12/ 30)

12

30 hd

d'

⇒<=

OK0,40,1311,869

dy

2ws

min

1,32cm24x12x0,00459d.b.ρA

OKρ0,00459

1,15500

1,425x0,85

x0,131ρ

===

>=

=

Mk,máx=37,8kN.m d’ = 6cm

d = 29cm


d = 24cm


207

V112 = V123 V114 = V124 (12/40)

12

40 d

d'

h

⇒>=


dy

2ws

min

corrigido,knova

cm28,539x12x0,01128d.b.ρA

OKρ0,01128

1,15500

1,425x0,85

x0,323ρ


===

>=

=

===

V116 = V121 V117 = V122 (12/50)

12

50 d

d'

h

⇒>=


dy

2ws

min

corrigido,knova

cm30,694x12x0,01072d.b.ρA

OKρ0,01072

1,15500

1,425x0,85

x0,307ρ


===

>=

=

===

A Tabela 8.2 apresenta os resultados parciais e finais para verificação das alturas de todas as vigas.

Tabela 8.2 – Verificação das alturas das vigas da 2ª opção de fôrma para o pavimento tipo em análise.

Viga bw hini d Mk,max ∆ (y/d)1 (y/d)2 D. STATUS hnecess hadot cm cm cm kN.m cm cm

V101 12 35 29 37,8 1,24 1,556 0,444 3 aumentar h 36,13 40 V103 12 30 24 9,2 3,02 1,869 0,131 2 OK --- 30 V104 12 35 29 59,4 -0,34 --- --- --- aumentar h 43,77 45 V105 12 30 24 37,2 0,03 1,085 0,915 --- aumentar h 35,89 40 V106 12 30 24 2,6 3,72 1,965 0,035 2 OK --- 30 V107 12 30 24 37,9 -0,05 --- --- --- aumentar h 36,17 40 V112 12 40 34 53,7 1,14 1,535 0,465 3 aumentar h 41,91 45 V113 12 35 29 17,6 2,71 1,824 0,176 2 OK --- 35 V115 12 35 29 15,8 2,85 1,843 0,157 2 OK --- 35 V116 12 50 44 81,1 1,42 1,597 0,403 3 aumentar h 50,14 55 V118 12 40 34 72,7 0,13 1,182 0,818 --- aumentar h 47,79 50 V120 12 30 24 19,6 1,91 1,691 0,309 3 OK --- 30

Percebe-se que para as vigas V104 e V107, o valor do ∆ é negativo. Isso indica que a área de concreto é insuficiente, ou seja, devemos aumentar a seção. Pode-se aumentar a altura e/ ou a largura da peça, ou ainda, aumentar o fck. A medida mais eficaz é o aumento da altura (h). Já para as vigas V101, V105, V112, V116 e V118, o ∆ foi positivo, porém ou (y/d) se encontra no Domínio 4 ou além do limite da norma [(y/d)>0,4]. Devemos, portanto, aumentar,


d = 34cm

Mk,máx=81,10kN.m

d’ = 6cm d = 44cm


208

também, a seção de concreto. Para essas sete vigas, adotando o (y/d)lim, determinou-se o menor valor possível para h, que está indicado na última coluna da Tabela 8.2.

A Tabela 8.3 apresenta os resultados finais para o dimensionamento das áreas de aço de todas as vigas, já levando em conta as alturas corrigidas, daí os momentos fletores estarem um pouco diferentes, pois quando se muda a altura, mudam os carregamentos de peso próprio e parede. Posteriormente, iremos detalhar essas vigas.

Tabela 8.3 – Dimensionamento das vigas da 2ª opção de fôrma para o pavimento tipo em análise.

Viga bw h d Mk,máx (y/d)2 D. As As,min As,adotado cm cm cm kN.m cm2 cm2 cm2

V101 12 40 34 37,7 0,294 3 4,19 0,61 4,19 V103 12 30 24 9,2 0,131 2 1,32 0,43 1,32 V104 12 45 39 59,6 0,369 3 6,04 0,70 6,04 V105 12 40 34 37,3 0,290 3 4,13 0,61 4,13 V106 12 30 24 2,6 0,035 2 0,36 0,43 0,43 V107 12 40 34 38,0 0,297 3 4,23 0,61 4,23 V112 12 45 39 53,6 0,323 3 5,28 0,70 5,28 V113 12 35 29 17,6 0,176 2 2,14 0,52 2,14 V115 12 35 29 15,8 0,157 2 1,90 0,52 1,90 V116 12 55 49 81,2 0,307 3 6,30 0,88 6,30 V118 12 50 44 72,9 0,351 3 6,47 0,79 6,47 V120 12 30 24 19,6 0,309 3 3,11 0,43 3,11

8.2.2. Seções duplamente armadas

Como foi visto anteriormente, quando (y/d) > (y/d)lim devemos aumentar a seção da peça. Porém, pode-se utilizar um outro artifício, que é a colocação de armadura comprimida. A substituição de parte do concreto comprimido por armadura comprimida suspende a linha neutra, pois a resistência à compressão do aço é bem maior que a do concreto. Quando isso ocorre, dizemos que a peça está duplamente armada, ou seja, com armadura de tração e de compressão. Resumindo, pode-se dizer que:

⇒

>

⇒

≤

duplaarmaduraseçãodaaumento

escoamentoementranãoaço;bruscarupturady

dySe

escoamentoementraaço;avisocomrupturady

dySe

lim

lim

a

Porém, há um limite para a utilização da armadura dupla, que será visto em seguida. Quando o (y/d) > (y/d)lim significa que o Md > Md,lim, que vale:

−

=

limlim

2wcdlim,d d

y5,01dy.d.b.f.85,0M

Quando isso ocorre, determinamos qual o momento limite para a seção (Md,lim), e o momento excedente (∆Md) é dimensionado para a armadura dupla. O limite para a sua utilização é o seguinte:


209

duplaarmadura2

MMMMM lim,d

dlim,ddd →≤∆→−=∆

Logo, se ∆Md for maior que metade do Md,lim, ou se a soma das armaduras de tração e de compressão fornecer um ρs maior que 4%, a peça deve ter sua seção aumentada. Caso contrário ela será dividida em duas (Figura 8.8):

• SEÇÃO 1: dimensionada para Md,lim, com concreto comprimido e aço tracionado (Figura 8.9);

• SEÇÃO 2: dimensionada para ∆Md com aço tracionado e comprimido (Figura 8.10).

A

A'

d

s

12

c

ssA

sA'

sA

d'

d'

SEÇÃO 1 SEÇÃO 2

= +1sA As sA

2

Figura 8.8 – Divisão da seção transversal para a armadura dupla.

1As

SEÇÃO 1

d

d'

armadatesimplesmenseçãoM

dy

dy

lim,d

lim

=

Figura 8.9 – Seção 1 para a armadura dupla.

A's

2

SEÇÃO 2

C

T

z

sA

s

s

s

)d(d.f.A)d(d.σ.AΔM

z.Tz.CΔMddz

f.ATσ.AC

MMΔM

'cyds2

'c

'sd

'sd

ssssd

'cs

yds2s

'sd

'ss

limd,dd

−=−=

==

−=

=

=

−=

Figura 8.10 – Seção 2 para a armadura dupla.

A seguir é apresentado o roteiro para o dimensionamento de seções duplamente armadas.

1) Dados da seção: fck, aço, Mk, bw e h.


210

2) Cálculo de (y/d) ⇒ (y/d) > (y/d)lim.

3) Determinação de Md,lim.

4) Determinação e verificação de ∆Md.

5) Determinação de As1:

d.b.Af

f.85,0.

dy

wlim1syd

cd

limlim ρ=

=ρ

6) Determinação de σ’sd:

( ) ooo

lim

'c

scdscd'sd 3,5

xd

1εεfσ

−==

7) Determinação de A’s:

( )'c

'sd

d's ddσ

ΔMA−

=

8) Determinação de As2:

( )'cyd

ds2 ddf

ΔMA−

=

9) Seção final: sA'

sA21

= +As sA

Para as vigas do pavimento tipo que apresentaram (y/d) > 0,4 (V101, V105, V112, V116 e V118), vamos testar a utilização da armadura dupla, em vez de aumentar a seção.

V101 (12/35)

12

35 d

d'

h

duplaarmadura24,512

49,022

M3,9049,0252,92ΔM

49,02kN.m2

0,410,4.0,29.0,12.1,4

25000.0,85M

0,4dy0,444

dy52,92kN.m37,8.1,4M

CA50Ae25MPaf29cmd37,8kN.mM

limd,d

2limd,

limd

ckk

→==<=−=

=

−=

=

>=

==

===


211

SEÇÃO 1:

21slim cm87,429.12.014,0A014,0

15,1500

4,125.85,0

.400,0 ===

=ρ

SEÇÃO 2:

( ) ( )

( ) ( )

OK4%ρ1,62%0,016229.12

5,65ρ

5,65cm0,395,26A5,26cm0,394,87A

0,39cm10x0,060,291,15500000

3,9A

0,39cm10x0,060,29430862

3,9AAA

430,86MPa210000.2,05σfσ2,07ε2,05ε

2,053,514,5

61ε14,5cm0,8

29.0,4x

máxtotals,

2totals,

2s

24's

24'ss2

's

ooo'

sdyd'sdoo

oydoo

oscd

ooo

ooo

scdlim

=<===

=+==+=

=−

=

=−

=≠

==⇒≠⇒=<=

=

−===

V105 (12/30)

12

30 hd

d'

podenão79,16257,33

2M

51,1857,3308,52M

m.kN57,3324,014,0.24,0.12,0.

4,125000.85,0M

4,0dy915,0

dym.kN08,522,37.4,1M

A50CAeMPa25fcm24dm.kN2,37M

lim,dd

2lim,d

limd

ckk

→==>=−=∆

=

−=

=

>=

==

===

V112 (12/40)

12

40 d

d'

h

duplaarmadura69,33

238,67

2M

8,738,6718,75M

m.kN38,6724,014,0.34,0.12,0.

4,125000.85,0M

4,0dy465,0

dym.kN18,756,53.4,1M


lim,dd

2lim,d

limd

ckk

→==<=−=∆

=

−=

=

>=

==

===


212

SEÇÃO 1:

21slim cm7,534.12.014,0A014,0

15,1500

4,125.85,0

.4,0 ===

=ρ

SEÇÃO 2:

( )

OK%4%71,10171,034.12

98,6cm98,664,034,6Acm34,664,07,5A

cm64,010x06,034,015,1

5000008,7AA

AAf07,226,2

26,25,31761cm17

8,034.4,0x

máxtotal,s

2total,s

2s

242s

's

2s'syd

'sdoo

oydoo

oscd

ooo

ooo

scdlim

=ρ<===ρ

=+==+=

=−

==

=⇒=σ⇒=ε>=ε

=

−=ε==

V116 (12/50)

12

50 d

d'

h

duplaarmadura42,562

84,1122

M7,084,11254,113M

m.kN84,11224,014,0.44,0.12,0.

4,125000.85,0M

4,0dy403,0

dym.kN54,1131,81.4,1M


lim,dd

2lim,d

limd

ckk

→==<=−=∆

=

−=

=

>=

==

===

SEÇÃO 1:

21slim cm4,744.12.014,0A014,0

15,1500

4,125.85,0

.4,0 ===

=ρ

SEÇÃO 2:

2s'syd

'sdoo

oydoo

oscd

ooo

ooo

scdlim

AAf07,255,2

55,25,32261cm22

8,044.4,0x

=⇒=σ⇒=ε>=ε

=

−=ε==


213

( )

OK%4%42,10142,044.12

48,7cm48,704,044,7Acm44,744,04,7A

cm04,010x06,044,015,1

5000007,0AA

máxtotal,s

2total,s

2s

242s

's

=ρ<===ρ

=+==+=

=−

==

V118 (12/40)

12

40 d

d'

h

podenão69,33238,67

2M

4,3438,6778,101M

m.kN38,6724,014,0.34,0.12,0.

4,125000.85,0M

4,0dy818,0

dym.kN78,1019,72.4,1M


lim,dd

2lim,d

limd

ckk

→==>=−=∆

=

−=

=

>=

==

===

Percebe-se que somente para as vigas V101, V112 e V116, se utilizarmos armadura dupla, não precisaremos aumentar a seção. Pode-se optar por qualquer uma das soluções. Na prática, escolhe-se baseado na geometria e na economia. Para o nosso projeto, vamos utilizar a armadura dupla, em vez de aumentarmos a seção. Logo, as seções finais das vigas são as apresentadas na Tabela 8.4.

Tabela 8.4 – Seções finais das vigas da 2ª opção de fôrma para o pavimento tipo em análise.

Viga bw h d Mk,máx As A’s As,total ρs cm cm cm KN.m cm2 cm2 cm2 %

V101 12 35 29 37,8 5,26 0,39 5,65 1,62 V103 12 30 24 9,2 1,32 --- 1,32 0,46 V104 12 45 39 59,6 6,04 --- 6,04 1,29 V105 12 40 34 37,3 4,13 --- 4,13 1,01 V106 12 30 24 2,6 0,43 --- 0,43 0,15 V107 12 40 34 38,0 4,23 --- 4,23 1,04 V112 12 40 34 53,7 6,34 0,64 6,98 1,71 V113 12 35 29 17,6 2,14 --- 2,14 0,61 V115 12 35 29 15,8 1,90 --- 1,90 0,55 V116 12 50 44 81,1 7,44 0,04 7,48 1,42 V118 12 50 44 72,9 6,47 --- 6,47 1,23 V120 12 30 24 19,6 3,11 --- 3,11 1,08

Verifica-se que todas as vigas possuem uma taxa de armadura entre o valor mínimo e o máximo, ou seja, 0,15% ≤ ρs ≤ 4%. Pode-se, então, detalhar essas vigas, o que será feito posteriormente.

Vale lembrar que a NBR 6118 (2007) recomenda os seguintes valores limites para o (y/d):

• Para fck ≤ 35 MPa (y/d) ≤ 0,40;

• Para fck > 35 MPa (y/d) ≤ 0,32.


214

Logo, pode-se, também, utilizar a armadura dupla para suspender a linha neutra, ainda que a peça se encontre no Domínio 3.

8.2.3. Vigas de seção T

As vigas com seção T têm, de maneira geral, duas origens:

• Seção real em T (ou similar), no caso das vigas pré-moldadas, muito comuns em pontes e edifícios garagem;

• Seção T (ou similar) virtual, no caso das lajes maciças apoiadas sobre vigas retangulares, ou seja, considera-se uma parte da laje como seção colaborante da viga.

Para o segundo caso, a prática tem mostrado que parte da laje ajuda a viga a resistir aos esforços solicitantes, e vice-versa, já que ela acompanha as suas deformações. Logo, pode-se considerar parte da laje como seção resistente da viga, como mostra a Figura 8.11.

h

bf

bw

f

h

b

f

bf

wb wb

Viga

Laje

Figura 8.11 – Seção resistente das vigas levando em conta a laje.

Em que: h = altura da viga; bw = largura da viga;

hf = altura da laje; bf = largura colaborante total da laje com a viga.

Percebe-se que as vigas resultantes podem apresentar seção em T, em L, ou ainda em T e L invertidos.

Segundo o item 14.6.2.2 da NBR 6118 (2007), “Quando a estrutura for modelada sem a consideração automática da ação conjunta de lajes e vigas, esse efeito pode ser considerado mediante a adoção de uma largura colaborante da laje associada à viga, compondo uma seção transversal T. A consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma mais realista”.

Para as vigas T, o trecho de laje que funciona como viga é denominado de MESA, e a parte da viga é denominada de ALMA. A Figura 8.12 apresenta um esquema da viga T e a sua simbologia.


215

wb

bf

h

hf

d

As

MESA

ALMA

Figura 8.12 – Características das vigas de seção T.

Para a consideração da seção T, deve-se levar em conta a posição das zonas tracionada e comprimida da peça. A largura colaborante (bf) é eficiente quando ela se encontra na zona comprimida, já que é um acréscimo da área de concreto. Logo, se a peça estiver sujeita a um momento positivo, a seção T é eficaz, caso contrário, ela não ajudará em nada. Por outro lado, se a viga for invertida, a seção T (invertida) é eficiente para o momento negativo. As Figuras 8.13 a 8.15 apresentam essas considerações para algumas variações na seção transversal.

LN

M>0 M<0

LN

Zona comprimidaZona comprimida

LN

M>0

LN

M<0

Figura 8.13 – Avaliação dos momentos positivos e negativos para a seção T.

Zona comprimida

LN

M>0 M<0

LN

LN

M<0

Zona comprimida

LN

M>0

Figura 8.14 – Avaliação dos momentos positivos e negativos para a seção L.


216

M>0M<0

LN

Zona comprimida

LN

LN

LN

Zona comprimida

Figura 8.15 – Avaliação dos momentos positivos e negativos para a seção U (viga-calha).

Determinação da largura colaborante

Segundo a NBR 6118 (2007), “A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado, como apresentado a seguir:”

• Viga simplesmente apoiada: a = l a=

• Tramo mono-engastado: a = 0,75 l a=0,75

• Tramo bi-engastado: a = 0,6 l a=0,6

• Tramo em balanço: a = 2 l a=2

Ainda segundo a mesma norma, para a determinação de bf, devem ser respeitados os limites b1 e b3, como mostra a Figura 8.16.

bw

bf

wb

b

b

b bb

1

2

3

4

c1

c

bwb3

bf

1b

Figura 8.16 – Largura da mesa colaborante (NBR 6118, 2007).


217

Em que: b1 ≤ 0,5 b2 b3 ≤ b4

0,1 a 0,1 a

Dimensionamento da seção T

Para o cálculo da seção T, podemos ter duas situações distintas:

• A linha neutra (LN) está posicionada na mesa (y ≤ hf);

• A linha neutra (LN) está posicionada na alma (y > hf).

A seguir são apresentados, separadamente, as duas situações.

a) Linha neutra na mesa

Neste caso, dimensiona-se a peça para uma seção retangular de largura bf, como indica a Figura 8.17.

LN

bw

bf

As

d

hf

h

x

z

C

TAs As

bf

bf

Figura 8.17 – Seção T com a linha neutra na mesa.

b) Linha neutra na alma

Quando a linha neutra cai na alma, divide-se a seção em duas (SEÇÃO I e SEÇÃO II), como indica a Figura 8.18.

A

h

bwsA

d

hf

LN

s T

z

C

As

bf

bw

bwbf2( ))( f w

2bb

I II

I II

I IIz

T

C

I II

SEÇÃO I SEÇÃO II

Figura 8.18 – Seção T com a linha neutra na alma.


218

Primeiro, calcula-se o momento (MdI) e a área de aço (AsI) para a SEÇÃO I, fazendo-se o equilíbrio com CI e TI, como indicado a seguir.

( )( )

( )

−−=

−===

−=∴=

=−=

2h

d.hbbf.85,0M

2h

dzz.Tz.CM

fhbbf.85,0

ATC

f.AThbbf.85,0C

ffwfcddI

fIIIIIdI

yd

fwfcdsIII

ydsIIfwfcdI

Depois, dimensiona-se a SEÇÃO II, que é uma seção retangular, para o momento restante (MdII), que é a diferença entre o momento total e o equivalente à SEÇÃO I, ou seja,

MdII = Md - MdI

Para algumas das vigas do pavimento tipo que inicialmente apresentaram (y/d) > 0,4 (V101, V105, V116 e V118), vamos testar a utilização da seção T, ao invés de aumentar a seção ou usar armadura dupla. Para a viga V112 não será testada a seção T, pois o momento máximo é negativo, logo a mesa se encontraria tracionada.

V101 (12/35)

12

35 d

d'

h

Determinação da seção T:

L)em(seção53,91241,9bbb41,9a0,1419419.1,0aa.0,1

274548.0,5b

w1f

1

=+=+=

=→==→=

≤

Figura 8.19 – Seção de cálculo para V101.

1ª hipótese: LN na mesa

2smin

f2

4,37cm29.53,9.0,0028AOKρ0,28%0,0028

1,15500

1,4250,85

0,080ρ

OKh2,3229.0,080y0,080dy

dy0,51

dy

0,29.0,539.1,4

25000.0,85

37,8.1,4

==>==

=

<==∴=→

−=

V105 (12/30)

12

30 hd

d'


L)em(seção321220bbb

21,75a0,1217,5290.0,75a20,0a0,1200334.0,60a24,9a0,1249332.0,75a

a.0,1

224448.0,5

b

w1f

33

22

111

=+=+=

=→===→===→==

→

=

≤

Figura 8.20 –

Seção de cálculo para V105.


219


2smin

f2

cm57,524.32.0073,0AOK%73,00073,0

15,1500

4,12585,0

208,0

OKh99,424.208,0y208,0dy

dy5,01

dy

24,0.32,0.4,1

25000.85,0

08,52

==ρ>==

=ρ

<==∴=→

−=

V116 (12/50)

12

50 d

d'

h


{L)em(seção67,21255,2bbb

55,2a0,1552552.1,0aa.0,1210420.0,5

b

w1f

11

=+=+=

=→==→=

≤

Figura 8.21 – Seção

de cálculo para V116.


2smin

f2

cm12,644.2,67.0021,0AOK%21,00021,0

15,1500

4,12585,0

060,0

OKh61,244.060,0y060,0dy

dy5,01

dy

44,0.672,0.4,1

25000.85,0

54,113

==ρ>==

=ρ

<==∴=→

−=

V118 (12/40)

12

40 d

d'

h


104461246bbbb46)460.1(.1,0

279558.5,0b

1w1f

1

=++=++=

==

≤

(seção em T)

Figura 8.22 – Seção de cálculo para

V118.


2smin

f2

cm09,734.104.002,0A%15,0%20,00020,0

15,1500

4,12585,0

058,0

OKh96,134.058,0y058,0dy

dy5,01

dy

34,0.04,1.4,1

25000.85,0

78,101

===ρ<==

=ρ

<==∴=→

−=


220

EXERCÍCIO 8.1:

Para a viga de seção T abaixo, dimensione-a para os dois momentos fletores indicados.

a) 25 kN.m

b) 78 kN.m

DADOS: fck = 25 MPa CA 50 A

d’= 6 cm

60

12

5

25

EXERCÍCIO 8.2:

Dimensionar a viga VI, indicada no corte da Figura 8.23.

VI (25/ 95)

p

=15m

DADOS: fck = 25 MPa

CA 50 A d’ = 6 cm

p = 50 kN/m

25 300

VI

10

85

25 300 25

Figura 8.23 – Características da viga VI.

8.3. SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS

A seguir são apresentados os cálculos para o dimensionamento ao esforço cortante e ao momento torçor.


221

8.3.1. Esforço Cortante

Quando se ouve a palavra cisalhamento, pensa-se logo nas vigas de concreto armado, apesar de se ter cisalhamento em outras peças e em outros materiais. O porque de se fazer essa correlação imediata é muito simples: toda a teoria do dimensionamento do concreto armado, incluindo o cisalhamento, veio do estudo de vigas fletidas feito por Ritter e Mörsch entre o final do século XIX e o início do século XX. Até hoje, a melhor maneira de estudarmos a flexão e o cisalhamento é através da análise de vigas submetidas à flexão, como já foi citado anteriormente.

Uma viga resiste às cargas, primeiramente, através da mobilização dos esforços internos de momento fletor e força cortante. No dimensionamento das vigas de concreto armado primeiro leva-se em conta o momento fletor para determinar as dimensões da peça e a armadura longitudinal necessária para resisti-lo. Depois, são feitas a verificação do esforço cortante e a determinação da armadura transversal (estribos) necessária.

Ao dimensionar-se as peças de concreto armado deve-se fazê-lo de maneira que, caso venha a ocorrer ruína, esta seja devido à flexão, e por deformação excessiva da armadura longitudinal, já que essa ruína é dúctil, com aviso (a peça apresenta intensa fissuração e deformação). A ruína por cisalhamento deve ser evitada a qualquer custo, pois ela é frágil, não dá aviso de que há problemas na peça.

Ao se carregar uma viga de concreto armado já são mobilizados, desde o início, tensões normais (flexão - σ) e tangenciais (cisalhamento - τ), cujas direções principais e trajetórias são apresentadas na Figura 8.24.

Figura 8.24. Trajetórias das tensões principais de compressão e tração na peça não fissurada (SÜSSEKIND,

1981).

A forma como as tensões de cisalhamento se desenvolvem depende do tipo de peça e da solicitação. As vigas de concreto armado desenvolvem tensões de cisalhamento como as apresentadas na Figura 8.24. As sapatas e as lajes planas desenvolvem tensões de cisalhamento nas seções ao redor dos pilares, o que é denominado de punção; já as peças de volume, como os consolos, os blocos e as vigas-parede desenvolvem, basicamente, tensões de compressão; os pilares podem apresentar tensões de cisalhamento no plano da seção transversal quando submetidos a esforços horizontais (vento e terremoto), chegando inclusive à ruína devido a essas tensões.


222

Analogia de Treliça

Em 1964, Lobo Carneiro, apud Santos Neto (1977), escreve o seguinte: ”A chamada treliça clássica de Ritter-Mörsch foi uma das concepções mais fecundas na história do concreto armado. Há mais de meio século tem sido a base do dimensionamento das armaduras transversais – estribos e barras inclinadas – das vigas de concreto armado, e está muito longe de ser abandonada ou considerada superada. As pesquisas sugerem apenas modificações ou complementações na teoria, mantendo no entanto o seu aspecto fundamental: a analogia entre a viga de concreto armado, depois de fissurada, e a treliça”.

As palavras de Lobo Carneiro continuam válidas até hoje.

Mas afinal, o que é exatamente a analogia de treliça?

A Analogia de Treliça, ou Analogia Clássica de Treliça, ou ainda Analogia Clássica de Mörsch é, como o texto de Lobo Carneiro diz, o estudo e dimensionamento das vigas de concreto armado fissuradas como se fossem treliças isostáticas.

Segundo Fusco (1981), “O comportamento de treliça não existe nas vigas fletidas desde o início de seu carregamento. No começo, o comportamento das vigas de concreto armado é muito semelhante ao das vigas de material homogêneo resistente à tração. À medida que o carregamento aumenta, ocorre uma mudança de comportamento, passando de comportamento de viga para comportamento de treliça.

É muito importante salientar que o comportamento de treliça das peças fletidas de concreto armado é admitido apenas como simplificação do comportamento real. Na realidade, além do comportamento de treliça, existem outros fenômenos que contribuem para a resistência às forças cortantes, os quais somente podem ser explicitados por meio de modelos alternativos do comportamento resistente”.

A Figura 8.25 apresenta o desenvolvimento da fissuração no ensaio de uma viga de concreto armado submetida à flexão, realizado por Sörensen, apud Fusco (1981).

As primeiras fissuras que aparecem são as de flexão, para aproximadamente 25% da carga última. São fissuras perpendiculares ao eixo da peça, e que surgem na região de momento fletor máximo, nesse caso na região central da viga.

À medida que se aumenta o carregamento surgem outras fissuras de flexão e vão aumentando as já existentes. Depois, com o contínuo aumento das cargas, começam a surgir as fissuras diagonais, ou de cisalhamento. Quando se atinge um estado tal de fissuração, como o apresentado na Figura 8.25 para a carga última (P = 142 kN), diz-se que a viga atingiu um estado limite último, ou chegou à ruína.

Para a peça nesse estágio de fissuração podemos comparar a viga de concreto armado a uma treliça isostática, com banzos paralelos de tração e compressão (flexão) e diagonais tracionadas e comprimidas (cisalhamento) com inclinação de 135o e 45o, respectivamente, em relação ao eixo longitudinal da peça, como mostra a Figura 8.26.

Por motivo de simplificação do modelo, costuma-se adotar a treliça de banzos paralelos, diagonais comprimidas à 45o e diagonais tracionadas à 90o, ou verticais, como indicado na Figura 8.27.


223

Figura 8.25. Ensaios de Sörensen. Evolução da fissuração (FUSCO, 1981).


224

Figura 8.26. Treliça clássica de Mörsch com diagonais de tração à 135o.

Figura 8.27. Treliça clássica de Mörsch com diagonais de tração à 90o.

Para a treliça da Figura 8.27, admite-se que o concreto resista às tensões de compressão do banzo comprimido e da diagonal comprimida, que é denominada de biela de compressão. As armaduras longitudinais serão dimensionadas para os esforços de tração do banzo tracionado e as armaduras transversais (estribos) serão dimensionadas para resistir aos esforços diagonais de tração, e serão posicionados na vertical, com inclinação de 90o com o eixo longitudinal da peça. As armaduras transversais devem ser sempre posicionadas com a mesma inclinação das diagonais tracionadas.

Hipóteses básicas

A treliça de Mörsch admite as seguintes hipóteses (Figura 8.28):

• A treliça é isostática. Não há engastamento nos nós, ou seja, na ligação entre os banzos e as diagonais;

• Os banzos tracionado e comprimido são paralelos;

• A biela de compressão de concreto tem uma inclinação de 45o em relação ao eixo da peça.

Figura 8.28 - Hipóteses da treliça clássica (FUSCO, 1981).


225

Imperfeições do modelo de treliça

As investigações experimentais já realizadas mostraram que os efeitos das forças cortantes nas vigas de concreto armado não podem ser adequadamente avaliados por meio da analogia clássica da treliça. Isso se deve principalmente a três fatores:

• A inclinação das fissuras é menor que a admitida por Mörsch;

• Os banzos comprimido e tracionado não são paralelos. Existe o arqueamento do banzo comprimido, principalmente em direção aos apoios;

• A treliça é altamente hiperestática. Existe o engastamento das diagonais de tração no banzo comprimido, já que este, assim como as bielas de compressão, possuem uma rigidez bem maior que as barras tracionadas.

Para que essa avaliação seja possível, torna-se necessário adotar um modelo de cálculo que melhor interprete a realidade dos fenômenos. Os modelos de cálculo presentemente adotados, decorrentes de analogias generalizadas de treliça, atendem às necessidades práticas do dimensionamento das peças correntes de concreto estrutural.

Em princípio, várias tentativas foram feitas no sentido de se estabelecer treliças hiperestáticas, com bielas diagonais de diferentes inclinações. Essas tentativas foram abandonadas face à complexidade de cálculo desses modelos.

Por esta razão, como modelo teórico padrão de cálculo adota-se a treliça isostática, com banzos comprimido e tracionado paralelos, bielas inclinadas de 45o com o eixo da peça e diagonais tracionadas com inclinação entre 90o e 135o com o eixo da peça (Figuras 8.26 e 8.27). Na prática, de maneira geral, adota-se a treliça com diagonais à 90o, ou seja, com armaduras transversais verticais. Sobre esses modelos são introduzidas algumas modificações para levar em conta as imperfeições. Essas modificações são descritas a seguir.

Hipóteses modificadas para o cálculo

Para o dimensionamento das peças ao esforço cortante serão admitidas as seguintes hipóteses:

• Utilização da treliça isostática para a concepção do problema;

• Decalagem do diagrama de esforços de valor al, com al variando entre 0,5d e d;

• Banzos comprimido e tracionado paralelos, distantes entre si de um braço z, com d=1,15.z;

• Consideração da contribuição do concreto na resistência à tração, através do valor de Vc, para levar em conta a hiperestaticidade da treliça.

A Figura 8.29 apresenta o modelo de treliça utilizado.


226

z

V

Md

d

Vd

Asw

FT

α

β=45oα

s

Figura 8.29 – Modelo de treliça para o cálculo do esforço cortante.

Para o modelo apresentado na Figura 8.29, tem-se:

( ) ( )

( ) )I.Eq(.sengcot1d

V.15,1s

A

gcot115,1dgcot1zs:geometriaDa

.sen.sV

sA

)s(.sen

VA

FA

senV

F15,1dz

sd

dsw

sd

dsw

sd

dsw

sd

tsw

dt

σαα+=

α+=α+=→

σα=÷

σα=

σ=

α=≅

Com base nestas hipóteses, e na Equação I, pode-se fazer a verificação da tensão de compressão nas bielas diagonais e o dimensionamento das armaduras transversais.

Dimensionamento segundo a NBR 6118 (2007)

A NBR 6118 (2007) admite dois modelos de cálculo para o dimensionamento ao esforço cortante (que serão descritos em seguida) “que pressupõem a analogia de treliça, com banzos paralelos, associados a mecanismos resistentes complementares no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc”. Independentemente de qual modelo de cálculo for adotado, para as peças com bw ≤ 5d, a armadura transversal mínima (constituída de estribos) deve ter uma taxa geométrica de:

3 2ckctm

ywk

ctm

w

swsw f3,0f

ff

2,0sen.s.b

A=≥

α=ρ

Em que: Asw = área da seção transversal dos estribos; s = espaçamento dos estribos;

α = inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural (45º ≤ α ≤ 90º);

bw = largura média da alma;

fywk = resistência ao escoamento do aço da armadura transversal.


227

Para a verificação quanto ao ELU, como já foi dito, deve-se verificar a biela comprimida aos esforços de compressão e determinar a área da armadura transversal para os esforços de tração. Segundo a NBR 6118 (2007), “A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições”:

swc3RdSd

2RdSd

VVVVVV

+=≤≤

Em que: VSd = força cortante solicitante de cálculo, na seção; VRd2 = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais

comprimidas de concreto, de acordo com um dos modelos de cálculo adotado;

VRd3 = Vc + Vsw = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça e Vsw a parcela resistida pela armadura transversal, de acordo com um dos modelos de cálculo adotado.

A Norma permite que se utilize um dos dois modelos a seguir.

• Modelo de cálculo I: admite diagonais de compressão inclinadas de Θ = 45º em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc tenha valor constante, independente de VSd.

• Modelo de cálculo II: admite diagonais de compressão inclinadas de Θ em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com Θ variável livremente entre 30º e 45º. Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd.

No nosso curso, iremos adotar o Modelo II, com diagonais comprimidas de Θ = 45º.

a) Verificação da compressão diagonal do concreto

( )( ) )MPa(250f1

gcotgcotsen.d.b.f..54,0V

ck2v

2wcd2v2Rd

−=αΘ+αΘα=

b) Cálculo da armadura transversal

( )

−→<

+

−→

→

=

αΘ+α

=

+=

compressãoflexonaV.2M

M1.V

seçãonaLNcomtraçãoflexonaesimplesflexãonaV

seçãodaforaLNcomstracionadoelementos0

V

sen.gcotgcot.f.d.9,0.s

AV

VVV

1cmáx,Sd

01c

1cc

ywdsw

sw

swc3Rd


228

c

inf,ctkctdwctd0c

2RdSd

0cSd0c1c

ffd.b.f.6,0V

sermediáriointvaloresparaseerpolaintVV0

VVVV

γ==

−

=→≤→

=

Em que: bw = menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; fywd = tensão na armadura transversal, limitada ao valor fyd no caso de estribos e a

70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435MPa.

Quando utilizamos estribos a 90º e inclinação da biela comprimida de 45º, temos que:

sen2 45º = 0,5 sen 90º = 1 cotg 90º = 0 cotg 45º = 1

Logo,

ywdsw

sw

wcd2v2Rd

f.d.9,0s

AV

d.b.f..27,0V

=

α=

A seguir, vamos dimensionar as vigas do pavimento tipo em estudo para o esforço cortante. Primeiro determina-se a taxa de armadura mínima para os estribos, admitindo-se que o aço para as armaduras transversais também é o CA 50 A.

cm/cm012,012.001,0s

A

%10,000103,0500

253,02,0ff

2,0

2

min

sw

3 2

ywk

ctmmín,sw

==

====ρ

V101 (12/35) Vk = 36,0kN VSd = 1,4 . 36,0 = 50,40kN

a) VSd ≤ VRd2

9,02502512v =

−=α

OK40,50VkN01,15129,0.12,0.4,1

25000.9,0.27,0V Sd2Rd =>==

b) VSd ≤ VRd3 = Vc + Vsw

Vc = Vc1 (flexão simples) VSd = VRd3 ∴ Vsw = VSd – Vc

kN78,2610.29,0.12,0.4,1

25.3,0.7,0.6,0V 33 2

0c =

=


229

min

sw22sw

sw

1c1cSd2RdSd0c

sA

cm/cm0253,010.

15,1500000.29,0.9,0

71,28s

AkN71,2869,2140,50V

kN69,21VerpolarintVVVeVV

>=

=

=−==⇒⇒→><

V103 (12/30) Vk = 13,4kN VSd = 18,76kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN97,12424,0.12,0.4,1

25000.9,0.27,0V Sd2Rd >==

b) VSd ≤ VRd3

cm/cm012,0s

AkN40,316,2276,18V

kN16,22VVVV

kN16,2210.24,0.12,0.4,1

25.3,0.7,0.6,0V

2

min

swsw

0c1cSd0c

33 2

0c

=

→−=−=

==→>

=

=

V104 (12/45) Vk = 85,6kN VSd = 119,84kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN08,203V Sd2Rd >=

b) VSd ≤ VRd3

kN90,10194,1784,119VkN94,17VerpolarintVVVeVV

N01,36V

sw

1c1cSd2RdSd0c

0c

=−==⇒⇒→><

=

min

sw22sw

sA

cm/cm067,010.

15,1500000.39,0.9,0

9,101s

A

>=

=

V105 (12/30) Vk = 82,0kN VSd = 114,80kN

a) VSd ≤ VRd2


b) VSd ≤ VRd3

kN16,22V 0c =


230

min

sw22sw

sw

1c1cSd2RdSd0c

sA

cm/cm120,010.

15,1500000.24,0.9,0

61,112s

AkN61,11219,280,114V


>=

=

=−==⇒⇒→><

V106 (12/30) Vk = 5,7kN VSd = 7,98kN

a) VSd ≤ VRd2


b) VSd ≤ VRd3

cm/cm012,0s

AkN18,1416,2298,7V

kN16,22VVVVkN16,22V

2

min

swsw

0c1cSd0c

0c

=

→−=−=

==→>=

V107 (12/40) Vk = 84,1kN VSd = 117,74kN

a) VSd ≤ VRd2


b) VSd ≤ VRd3

min

sw22sw

sw

1c1cSd2RdSd0c

0c

sA

cm/cm0079,010.

15,1500000.34,0.9,0

95,104s

AkN95,10479,1274,117V

kN79,12VerpolarintVVVeVVkN40,31V

>=

=

=−==⇒⇒→><

=

V112 (12/40) Vk = 53,7kN VSd = 75,18kN

a) VSd ≤ VRd2


b) VSd ≤ VRd3

kN77,5341,2118,75VkN41,21VerpolarintVVVeVV

kN40,31V

sw

1c1cSd2RdSd0c

0c

=−==⇒⇒→><

=


231

min

sw22sw

sA

cm/cm040,010.

15,1500000.34,0.9,0

77,53s

A

>=

=

V113 (12/35) Vk = 18,6kN VSd = 26,04kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN01,15129,0.12,0.4,1

25000.9,0.27,0V Sd2Rd >==

b) VSd ≤ VRd3

cm/cm012,0s

AkN74,078,2604,26V

kN78,26VVVV

kN78,2610.29,0.12,0.4,1

25.3,0.7,0.6,0V

2

min

swsw

0c1cSd0c

33 2

0c

=

→−=−=

==→>

=

=

V115 (12/35) Vk = 18,0kN VSd = 25,2kN

a) VSd ≤ VRd2


b) VSd ≤ VRd3

cm/cm012,0s

AkN58,178,262,25V

kN78,26VVVVkN78,26V

2

min

swsw

0c1cSd0c

0c

=

→−=−=

==→>=

V116 (12/50) Vk = 56,3kN VSd = 78,82kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN11,22944,0.12,0.4,1

25000.9,0.27,0V Sd2Rd >==

b) VSd ≤ VRd3


kN63,4010.44,0.12,0.4,1

25.3,0.7,0.6,0V

1c1cSd2RdSd0c

33 2

0c

=⇒⇒→><

=

=


232

min

sw22sw

sw

sA

cm/cm027,010.

15,1500000.44,0.9,0

87,45s

AkN87,4595,3282,78V

>=

=

=−=

V118 (12/40) Vk = 63,2kN VSd = 88,48kN

a) VSd ≤ VRd2


b) VSd ≤ VRd3

min

sw22sw

sw

1c1cSd2RdSd0c

0c

sA

cm/cm052,010.

15,1500000.34,0.9,0

39,69s

AkN39,6909,1948,88V


>=

=

=−==⇒⇒→><

=

V120 (12/30) Vk = 20,3kN VSd = 28,42kN

a) VSd ≤ VRd2


b) VSd ≤ VRd3

cm/cm012,0s

Acm/cm0081,010.

15,1500000.24,0.9,0

61,7s

AkN61,781,2042,28V


2

min

sw22sw

sw

1c1cSd2RdSd0c

0c

=

<=

=

=−==⇒⇒→><

=

A Tabela 8.5 apresenta o resumo do dimensionamento das vigas do pavimento tipo em estudo, indicando as áreas de aço longitudinais e transversais.

Percebe-se que, para as vigas que não passaram com armadura simples e a seção retangular de pré-dimensionamento, temos três opções de arranjo para escolher: armadura simples com altura maior que a da seção de pré-dimensionamento; armadura dupla com a seção de pré-dimensionamento; e armadura simples e seção T. Qual é a melhor opção para o projeto, depende das características de cada obra.


233

Tabela 8.5 – Resumo das áreas de aço para as vigas do pavimento tipo em estudo (dimensões em cm).

ELU – Solicitações normais

Simplesmente armada Duplamente armada Seção T

ELU – Solicitações tangenciais Viga bw

h As h As A’s h As h Asw/s

V101 12 40 4,19 35 5,26 0,39 35 4,37 35 0,0253

V103 12 30 1,32 --- --- --- --- --- 30 0,012

V104 12 45 6,04 --- --- --- --- --- 45 0,067

V105 12 40 4,13 --- --- --- 30 5,57 30 0,120

V106 12 30 0,43 --- --- --- --- --- 30 0,012

V107 12 40 4,23 --- --- --- --- --- 40 0,079

V112 12 45 5,28 40 6,34 0,64 --- --- 40 0,040

V113 12 35 2,14 --- --- --- --- --- 35 0,012

V115 12 35 1,90 --- --- --- --- --- 35 0,012

V116 12 55 6,30 50 7,44 0,04 50 6,12 50 0,027

V118 12 50 6,47 --- --- --- 40 7,09 40 0,052

V120 12 30 3,11 --- --- --- --- --- 30 0,012

8.3.2. Momento Torçor

O tema tratado neste item foi baseado em MacGregor (1984) e Giongo & Totti (1994), com alguns trechos inteiramente transcritos dessas referências.

Um momento atuando em volta do eixo longitudinal de uma peça é chamado de MOMENTO TORÇOR (T). Nas estruturas, a torção pode resultar de carregamentos excêntricos ou de deformações resultantes da continuidade de vigas ou peças similares que se juntem formando um ângulo entre elas.

Os carregamentos de torção podem ser separados em dois grupos básicos:

a) Torção equilibrante (Figura 8.30);

(a)

(b) Figura 8.30 – Exemplos de torção equilibrante: (a) viga em balanço com carga excêntrica; (b) viga apoiando

duas lajes pré-moldadas com reações diferentes (MACGREGOR, 1984).


234

Quando se tem uma torção equilibrante, é obrigatória a sua consideração, pois o momento torçor é necessário para o equilíbrio estático da peça. A sua não consideração pode levar a estrutura ao colapso, por falta de capacidade resistente à torção. Para o exemplo da Figura 8.31, a única consideração estática possível da estrutura é admitir a laje em balanço engastada na viga AB, o que gera nela um momento uniformemente distribuído ao longo do seu eixo. Esse, por sua vez, tem que ser equilibrado pelo engastamento nos pilares. Esses esforços em conjunto levam ao aparecimento de momentos torçores na viga, que deve ser dimensionada para eles.

Figura 8.31 – Exemplo de torção de equilíbrio: viga da marquise (MACGREGOR, 1984).

b) Torção de compatibilidade (Figura 8.32).

Figura 8.32 – Exemplo de torção de compatibilidade (MACGREGOR, 1984).


235

Para o sistema da Figura 8.32, se a viga AB se apóia na viga CD, quando a primeira se deformar traz consigo a última, causando nela um giro, ou seja, torção. Porém, se a viga CD não tiver rigidez à torção suficiente, ela vai simplesmente deformar, e se acomodar. Portanto, temos duas opções: ou se fornece rigidez suficiente e dimensiona a viga à torção; ou a deixa deformar.

Quando se tem uma torção de compatibilidade, em que o momento torçor é resultante da compatibilidade das deformações da estrutura, como descrito anteriormente, ela pode ser desprezada, como exemplifica a Figura 8.33.

Figura 8.33 – Laje maciça de pavimento ligada a viga de extremidade (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI,

1994).

Para as vigas de bordo nos pavimentos de edifícios, como o da Figura 8.33, o momento fletor uniformemente distribuído atuante na ligação da laje com a viga é transferido para a viga, tendendo a provocar um giro na mesma. Esse momento gera, então, reações de flexão nos pilares que se contrapõem ao giro, fazendo com que apareça na viga tensões tangenciais que provocam a torção.

Na maioria dos projetos estruturais de edifícios, as vigas são limitadas pela arquitetura a seções entre 12 cm e 20 cm, e esses valores não são suficientes para que a seção transversal absorva as tensões transversais oriundas da torção. Esse efeito, então, é desprezado na maioria das vezes pela consideração de apoio simples das lajes nas vigas de bordo e não de engastamento, como apresentado no exemplo da Figura 8.33.

Como se sabe, o momento torçor é um momento que atua em volta do eixo longitudinal de uma peça. Considere-se, então, uma barra se seção transversal circular que sofre torção por meio de um momento aplicado na sua extremidade livre, como mostra a Figura 8.34.


236

Figura 8.34 – Peça submetida à torção (MACGREGOR, 1984).

Nessa situação, de torção pura, as seções transversais girarão em torno do eixo longitudinal da peça, de forma que o mesmo não sofre nenhuma variação. Porém, as fibras longitudinais que são paralelas ao eixo central sofrerão distorção, tanto maior quanto mais afastadas do centro elas estiverem, como mostra a Figura 8.35.

Figura 8.35 – Distribuição das tensões transversais de torção em seção circular e seção quadrada

(MACGREGOR, 1984).

Tomando-se um elemento infinitesimal situado na face externa da barra, ele sofrerá uma distorção, com variação entre os ângulos dos seus vértices, que não serão mais retos, ou seja, a seção transversal deixa de ser plana. A deformação das fibras paralelas ao eixo da peça é denominada de empenamento. A Figura 8.36 apresenta o empenamento para uma seção retangular. Nota-se que o plano da seção transversal, após o empenamento, se transforma em uma superfície curva espacial.

Figura 8.36 – Barra solicitada à torção (Süssekind, apud GIONGO & TOTTI, 1994).

A torção simples com empenamento livre irá produzir um sistema de tensões principais atuantes com inclinação de 45º com a horizontal, como mostra a Figura 8.37.


237

Figura 8.37 – Tensões principais em barra cilíndrica submetida a torção simples (Leonhardt apud GIONGO &

TOTTI, 1994).

Observa-se, na Figura 8.37, que as tensões de tração ocorrem na direção da rotação da barra, e as de compressão na direção perpendicular à mesma, seguindo uma trajetória helicoidal e com tensões máximas ocorrendo nas faces externas da barra. A Figura 8.38 apresenta a variação das tensões em alguns tipos de seção.

Figura 8.38 – Variação das tensões em seções retangulares, circulares e vazadas (Leonhardt apud GIONGO &

TOTTI, 1994).

A tensão de torção (τT) pode ser calculada pela expressão a seguir, que representa uma tensão tangencial, em que WT é o módulo resistente à torção da seção.

tT W

T=τ

A distribuição das tensões de cisalhamento numa seção transversal pode ser visualizada usando-se da Analogia de Membrana ou da Analogia do “Monte de Areia”.

Analogia de Membrana

A analogia de membrana é um procedimento perfeitamente elástico que associa as inclinações das tensões de cisalhamento provocadas pela torção às inclinações de uma membrana inflada. A tensão máxima em cada ponto da membrana é proporcional à tensão de cisalhamento neste


238

ponto, que age perpendicularmente à direção da inclinação máxima. Logo, o momento torçor é proporcional ao volume sob a membrana. Pode-se dizer, então, que as equações para as inclinações de uma membrana inflada são análogas às tensões de cisalhamento devido à torção. A Figura 8.39 apresenta um esquema da analogia de membrana.

Analogia do Monte de Areia

Essa analogia é perfeitamente plástica, e considera que as tensões de cisalhamento são constantes em todos os pontos, análogas às figuras que tenham inclinação constante: o cone para as seções circulares; e as pirâmides para as seções retangulares.

(a)

(b)

Figura 8.39 – Analogia de membrana: (a) barra circular; (b) barra quadrada (MACGREGOR, 1984).

Conclusões sobre as analogias

Essas analogias, de membrana e do monte de areia, podem ser consideradas em separado para o concreto, apesar do mesmo ser um material elasto-plástico. Soluções baseadas nas duas analogias têm dado bons resultados em predizer o comportamento das peças sob torção.

Viga de concreto armado submetida ao esforço cortante e ao momento torçor

Quando uma peça está submetida a esforços de cortante e torçor, esses podem ser dimensionados separadamente e depois somam as duas contribuições, somando-se, também, a contribuição do momento fletor. Portanto, pode-se seguir o seguinte procedimento:

1) Dimensiona-se para o momento fletor: verifica-se o concreto na zona comprimida e determinam-se as armaduras longitudinais;

Inclinação da superfície A

Buraco circular feito na placa

Membrana

Membrana

Buraco quadrado feito na placa


239

2) Dimensiona-se para o esforço cortante: verifica-se o concreto para as bielas de compressão e determinam-se as armaduras transversais (estribos);

3) Dimensiona-se para o momento torçor: verifica-se o concreto e determinam-se as armaduras longitudinais e transversais;

4) Verifica-se o concreto para a ação conjunta do cortante e do torçor;

5) Somam-se as armaduras longitudinais (fletor e torçor) e as transversais (cortante e torçor);

6) Detalha-se a peça.

A Figura 8.40 apresenta um esquema com as direções principais e o padrão de fissuração para uma viga submetida à torção pura e à ação combinada do cortante e da torção.

(a) (b)

Figura 8.40 – Tensões principais de tração e padrão de fissuração: (a) viga sob torção pura; (b) viga sob ação combinada do cortante e da torção (MACGREGOR, 1984).

Tensões de cisalhamento Tensões de cisalhamento devido

à torção

Tensões principais Tensões de cisalhamento devido

ao cortante

Fissuração Fissuração


240

Verificação da segurança

A verificação da segurança de vigas de concreto armado submetidas a tensões tangenciais oriundas da torção é feita baseada no princípio de que a resistência do concreto à tração é desprezada. O momento torçor deve ser majorado do coeficiente de majoração das solicitações, que é adotado igual a 1,4, conforme indicação de norma. As condições de segurança devem atender:

a) As tensões nas armaduras, calculadas supondo o concreto fissurado (Estádio II), não devem ultrapassar a resistência de cálculo das barras da armadura;

b) As tensões de compressão no concreto, no Estádio II, devem ser limitadas a valores baixos, restringindo-se a uma parcela da resistência à compressão do concreto, pois nas diagonais surgem tensões secundárias elevadas.

Dimensionamento à torção

Existem duas teorias que são usadas no dimensionamento de peças de concreto armado:

a) “Skew Bending Theory” (Teoria do Parafuso): Lening – ACI

• Concreto resiste à parte do cortante e da torção;

• Seções vazadas ou cheias são tratadas como cheias.

b) Analogia de Treliça Plástica Espacial: Lampert et al – CANMET, CEB, NBR

• Similar a Analogia de treliça de Mörsch;

• Concreto resiste à parte do cortante, apenas;

• Seções vazadas ou cheias são tratadas como vazadas.

Para a analogia de treliça plástica espacial, o mecanismo resistente da peça é tal que os esforços de tração são absorvidos pela armadura transversal, pois, as treliças, que se formam nas faces da viga (Figura 8.41), não possuem banzos comprimidos inclinados e também não possuem diagonais comprimidas com inclinação menor do que 45º, a exemplo do que se fez para o mecanismo resistente para a força cortante.

Figura 8.41 – Torção simples – modelo de uma seção cheia fissurada (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI,

1994).


241

Para o modelo de cálculo, pode-se trabalhar com duas treliças espaciais: (a) com armadura inclinada de 45º (Figura 8.42); (b) ou com armaduras perpendiculares e paralelas ao eixo da peça (Figura 8.43).

Figura 8.42 – Treliça com armadura inclinada de 45º (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI, 1994).

Na Figura 8.42, na seção transversal representada pelo corte transversal passando pelo plano I-I, se for feita a análise do equilíbrio do esforço externo (T) e do esforço interno, tem-se:

2.bTRR

2R

2R

bT

wcwsw

cwsww

==

+=

E a tensão no concreto é calculada pela expressão:

t.A.2T

tR

c

cwc ==σ

Em que t é a espessura da parede da seção vazada associada à seção real da viga.


242

Figura 8.43 – Torção simples – armadura perpendicular e paralela ao eixo (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI,

1994).

O arranjo de armadura constituído por barras dispostas longitudinalmente e distribuídas ao longo do perímetro dos estribos, e por estribos perpendiculares ao eixo da viga, é o mais indicado. Pois, as barras longitudinais têm a sua área da seção transversal calculadas para absorver também as tensões normais oriundas da flexão e os estribos, também, têm sua área definida em função das tensões tangenciais devido à flexão. Além disso, esse arranjo facilita a execução da viga na obra, em contraposição às armaduras helicoidais que exigem maior dispêndio de mão-de-obra.

A análise dos esforços internos e tensões é feita considerando como modelo resistente a treliça da Figura 8.43, que é constituída por barras longitudinais tracionadas, barras perpendiculares também tracionadas e diagonais comprimidas. A Figura 8.44 apresenta o arranjo das armaduras.

Determinação da seção vazada equivalente

O valor da tensão tangencial de torção (τT), admitindo uma seção vazada, é dada pela expressão a seguir, desenvolvida por Bredt, em que he é a espessura da parede da seção vazada e Ae é a área limitada pela linha média da parede, incluindo a parte vazada, como mostra a Figura 8.45.

eeT h.A.2

T=τ


243

Figura 8.44 – Arranjo das armaduras de torção (FUSCO, 1995).

b

h

e

w

Asc1

h

Figura 8.45 – Propriedades da seção vazada.

A NBR 6118 (2007) estabelece que para seções poligonais convexas cheias, “A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente he dada por:”

1ee c.2huAh ≥≤

em que: A = área da seção cheia (A = h x bw); u = perímetro da seção cheia (u = 2 h + 2 bw);

c1 = distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural (Figura 8.41).

Para uma seção composta de retângulos, a NBR 6118 (2007) estabelece que, “O momento de torção total deve ser distribuído entre os retângulos conforme sua rigidez elástica linear. Cada retângulo deve ser verificado isoladamente com a seção vazada equivalente. Assim, o momento de torção que cabe ao retângulo i (TSdi) é dado por:”

∑=

i3i

i3i

SdSdi b.ab.aTT


244

em que: a = menor lado do retângulo;

b = maior lado do retângulo.

Para as seções vazadas, a NBR 6118 (2007) diz que para a espessura da parede, deve ser considerado o menor entre os seguintes valores:

• A espessura real da parede;

• A espessura equivalente calculada supondo a seção cheia de mesmo contorno externo da seção vazada.

Considerações da NBR 6118 (2007)

A Norma estabelece que as condições nela fixadas admitem um modelo constituído por treliça espacial, com as diagonais de compressão formadas por elementos de concreto e com inclinação Θ variando entre 30º ≤ Θ ≤ 45º.

Segundo a NBR 6118 (2007), “Admite-se satisfeita a resistência do elemento estrutural, numa dada seção, quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições:”

4,RdSd

3,RdSd

2,RdSd

TTTTTT

≤

≤

≤

em que: TRd,2 = limite dado pela resistência das diagonais comprimidas; TRd,3 = limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do

elemento estrutural; TRd,4 = limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao

eixo do elemento estrutural.

a) Condições gerais

Segundo a NBR 6118 (2007), “Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente, calculada de acordo com as prescrições desta seção e com taxa geométrica mínima dada pela expressão:”

ywk

ctm

w

swsws f

f2,0

s.bA

≥=ρ=ρ

E ainda, “Em regiões onde o comprimento do elemento sujeito a torção seja menor ou igual a 2h, para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica, deve-se respeitar a armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que: VSd ≤ 0,7 VRd2.”


245

b) Verificação da compressão diagonal do concreto

Segundo o item 17.5.1.5 da NBR 6118 (2007), “A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por:”

)MPa(250f

1

)2(sen.h.A.f..50,0T

ck2v

eecd2v2Rd

−=α

Θα=

em que: Θ = ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30º≤Θ≤ 45º;

Ae = área limitada pela linha média da parede de seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada;

he = espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado.

c) Cálculo das armaduras

Segundo o item 17.5.1.6 da NBR 6118 (2007), tem-se que: “Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente à parede equivalente, quando:”

• A resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural atende à expressão:

Θ

= gcot.A2.f

sA

T eywd90

3Rd

em que: fywd = resistência de cálculo do aço da armadura passiva, limitada a 435MPa.

• A resistência decorrente das armaduras longitudinais atende à expressão:

Θ

= tg.f.A2

uA

T ywdes

4Rd

Em que: As = soma das áreas das seções das barras longitudinais; u = perímetro de Ae.

“A armadura longitudinal de torção, de área total As, pode ter arranjo distribuído ou concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação (∆As/ ∆u), onde ∆u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de área ∆As”.

“Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal”.

Solicitações combinadas

A NBR 6118 (2007) permite que se dimensione separadamente para a flexão simples e a torção, e depois os seus efeitos, ou seja, as armaduras longitudinais se somam. Já para o


246

cortante e a torção, a Norma também permite que se dimensione os dois separadamente e se somem as armaduras transversais, desde que seja adotado o mesmo ângulo para a inclinação das bielas (Θ), e que a resistência à compressão diagonal do concreto satisfaça à seguinte expressão:

1TT

VV

2Rd

Sd

2Rd

Sd ≤+

Em que VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção.

Adotando-se Θ = 45º, assim como para o cortante, as expressões para TRd2, TRd3 e TRd4 transformam-se em:

ywdes

4Rd

eywd90

3Rd

eecd2v2Rd

f.A2u

AT

A2.fs

AT

h.A.f..50,0T

=

=

α=

Exemplo

Verifique e dimensione a viga da Figura 8.46 para a torção.

Figura 8.46 – Viga submetida à torção.

DADOS: fck = 25 MPa CA 50A

Tk = 15 kN.m VSk = 90 kN

cob. = 30 mm

φlong = 10 mm

φest = 6,3 mm

1) Cálculo da seção vazada equivalente:

( )

2ee

ee

1e

1

ce

cm25,7675,46.5,16Acm5,465,855h

cm5,165,825bcm5,8hcm26,813,4.2c.2h

cm13,45,063,00,3'dc

cm59,855252

55.25u

Ah

===−=

=−====≥

=++==

=+

=≤


247

2) Verificação do concreto (Θ = 45º):

OKm.kN41,52085,0.076725,0.4,1

2500025025150,0T

m.kN2115.4,1T

2Rd

Sd

=

−=

==

3) Cálculo da armadura transversal:

/cm0,0315cm25.0,00126s

A

OK0,10%ρ0,126%ρ0,10%0,00103500

250,30,2ρ

0,126%0,001260,25.0,076725.2

1,15500000

21b.A2.f

Tρ

TTA2.f

Ts

As.b

Aρ

2sw

minswsw

3 2

minsw

weywd

Sdsw

SdRd3eywd

Rd390

w

swsw

==

=>=⇒==≥

==

==

≥==

4) Cálculo da armadura longitudinal:

cm/cm0315,0)5,465,165,465,16(

A)hbhb(

Au

A

cm/cm0315,010x

15,1500000.076725,0.2

21u

ATT

f.A2T

uA

2s

eeee

ss

22sSd4Rd

ywde

4Rds

=+++

=+++

=

=

=≥=

Para as faces superior e inferior: As,sup = As,inf = 16,5 . 0,0315 = 0,52 cm2

Para as faces laterais: As,lat = 46,5 . 0,0315 = 1,46 cm2

5) Verificação da combinação (cortante + torção):

OK163,041,52

2185,551

126TT

VV

kN85,5515087,0.25,04,1

2500025025127,0V

kN12690.4,1V

2Rd

Sd

2Rd

Sd

2Rd

Sd

<=+=+

=

−=

==

EXERCÍCIO 8.3:

Para a estrutura da Figura 8.47, apresente o seu detalhamento completo. A figura representa a fôrma estrutural de uma marquise, que é normalmente adotada nos projetos arquitetônicos para as entradas dos edifícios. Neste caso, ela é constituída por laje maciça em balanço e viga contínua vinculada a três pilares.

O desenho da fôrma estrutural de edifícios construídos em concreto armado é feito com o observador posicionado no nível inferior à estrutura que se quer mostrar e olhando para cima. Por isto os traços internos da viga e das nervuras na borda da marquise são desenhados em traço pontilhado. O corte transversal pode ser representado no próprio desenho da fôrma,


248

desde que aí seja rebatido, ou fora dela, conforme mostra a Figura 8.47. A Figura 8.48 apresenta a vinculação, as ações e as solicitações para a laje em balanço.

Figura 8.47 – Fôrma estrutural da marquise (GIONGO & TOTTI, 1994).

Figura 8.48 – Vinculação, ações e esforços solicitantes (GIONGO & TOTTI, 1994).

55

55


249

8.4. DETALHAMENTO

Segundo a NBR 6118 (2007), “O arranjo das armaduras deve atender não só a sua função estrutural como também às condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto. Os espaços devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural”.

A Figura 8.49 apresenta um esquema de detalhamento a ser evitado.

Figura 8.49 – Exemplos de congestionamentos inaceitáveis (FUSCO, 1995).

A Figura 8.50 mostra o detalhe do adensamento de uma viga de concreto com um vibrador de mangueira.


250

Figura 8.50 – Detalhe do adensamento de viga.

A NBR 6118 (2007) apresenta vários critérios de disposições construtivas e regras de detalhamento para as vigas, tanto para as armaduras longitudinais e transversais principais (armaduras longitudinais de flexão e torção, e armaduras transversais de cortante e torção) como para as armaduras secundárias, ou construtivas, tais como as armaduras de pele (para peças com h > 60cm) e os porta-estribos.

Para o nosso curso, iremos nos preocupar, basicamente, com as armaduras principais, e, apenas, algumas das secundárias. Para um detalhamento mais completo, deve-se, obrigatoriamente, consultar a NBR 6118 (2007).

Armaduras longitudinais

No que diz respeito à flexão, o posicionamento das armaduras deve seguir o diagrama de momento fletores, que indica onde a peça está tracionada, e fazer a decalagem do mesmo, como mostra a Figura 8.51.

A A

A

s+

-

a

a a

a a a

s

s

+

b b

bb

+

-

+

M=0M=0

Figura 8.51 – Distribuição das armaduras longitudinais segundo o diagrama de momentos fletores.


251

Quando se quer reduzir a taxa de armadura, e fazer o seu escalonamento, a NBR 6118 (2007) permite que se proceda conforme a Figura 8.52.

a a

a a

b

A A

B B

CC

>

10φ

10φ

10φ

10φ

Figura 8.52 – Escalonamento das armaduras segundo o diagrama de momento.

De acordo com a Figura 8.52, para o valor do Mmáx (no ponto A), a partir do qual a tensão na armadura começa a diminuir, deve-se ancorar a barra até 10φ além do ponto B, desde que respeitado o comprimento mínimo de ancoragem para o ponto A. Para o MB, deve-se ancorar a barra até 10φ do ponto C, e assim sucessivamente, respeitando-se sempre os valores de lb.mín. O mesmo procedimento vale para os momentos negativos.

A distância entre as barras longitudinais, tanto na horizontal (ah) como na vertical (av), é a indicada no item 8.3.1. deste capítulo.

A NBR 6118 (2007) diz ainda que: “Os esforços nas armaduras podem ser considerados concentrados no centro de gravidade correspondente (CGs), se a distância deste centro ao ponto da seção de armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10% de h”. A Figura 8.53 exemplifica a recomendação da Norma.

17

3

0,5

3,1

3,125

1,25

6,63

12,5

3,125

1,25

3

1

1,25

0,5

2,5

0,51,25

CGs

4φ10

3φ12,5

cm0,311,0

10,3h

cm60,6y95,6

)25,1175,7(x8,0x2125,4x25,1x3y

cm95,625,1x38,0x4A 2total,s

=≥

=

=++

=

=+=

Figura 8.53 – Centro de gravidade da armadura.

Para garantir que as vigas terão capacidade para resistir aos esforços de tração junto aos apoios, deve-se prolongar parte da armadura longitudinal de tração correspondente ao momento positivo máximo, de modo que:


252

vãosapoiosvãoapoio

vãosapoiosvão

apoio

AAmóduloemMM

AAmóduloemM

M

,,

,,

41)(5,0

31

)(5,00

≥⇒>

≥⇒≤=

Armaduras transversais

Segundo a NBR 6118 (2007), para elementos estruturais com estribos, tem-se que: ”Os estribos para forças cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e ancoradas na face oposta. O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 5 mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga. O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa. O espaçamento máximo deve atender às seguintes condições”:

• Vd ≤ 0,67 VRd2 ⇒ smáx = 0,6.d ≤ 30cm;

• Vd > 0,67 VRd2 ⇒ smáx = 0,3.d ≤ 20cm.

Para o espaçamento adotaremos as mesmas condições que para as lajes: 7 cm ≤ s ≤ smáx. Porém, o ideal é um smín = 10 cm.

Armadura de pele

A NBR 6118 (2007) estabelece que, para vigas com altura maior do 60 cm, tem-se: “A mínima armadura lateral deve ser 0,10% de Ac,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de alta aderência com espaçamento não maior que 20 cm e d/3”.

Exemplos de detalhamentos

A seguir são mostradas variações de detalhamento para uma mesma viga. As Figuras 8.54 e 8.55 apresentam duas opções de detalhamento para a mesma viga V1. A Figura 8.56 apresenta duas opções de detalhamento para a mesma viga V2. As Figuras 8.57 a 8.60 apresentam quatro opções de detalhamento para a mesma viga V3.

Projeto em estudo

Para o pavimento tipo em estudo, vamos detalhar a viga V101 (12/35).

V101 (12/35)

Do dimensionamento para o ELU para o momento fletor, admitindo uma seção em T, foi obtido o valor de As = 4,37 cm2 e para o esforço cortante o de (Asw/s) = 0,0253 cm2/cm. Para as armaduras longitudinais, adotando φmín = 10 mm e sabendo que só cabem 2 barras por camada, tem-se:

• 6 φ 10mm ⇒ As = 4,8cm2;

• 4 φ 12,5mm ⇒ As = 5cm2;

• 2 φ 12,5mm + 2 φ 10mm ⇒ As = 4,1cm2 (área de aço inferior à necessária) .


253

Figura 8.54 – Detalhamento 1 para a viga V1.



254

Figura 8.56 – Detalhamentos para a viga V2.



255




256


Vamos admitir, também, uma As = 2 φ 12,5 mm para o apoio, para levar em conta o engastamento da viga nos pilares de extremidades.

Analisando a seção transversal, segundo a Figura 8.61, temos:

1ª opção (6φ10)

2ª opção (4φ12,5)

3ª opção (2φ10+2φ12,5)

Figura 8.61 – Opções de arranjos de armaduras para a viga V101 (12/35).

Avaliando as opções, vemos que para a 1ª opção, o d’ é maior do que o admitido inicialmente para os cálculos (d’inicial = 6 cm), e a área de aço existente é maior que a necessária. A 2ª opção apresenta uma área de aço existente ainda maior que a anterior, porém o d’ é menor que o adotado inicialmente. Para a 3ª opção, temos o menor d’, porém a área de aço existente menor do que a necessária, portanto, essa opção será descartada. Vamos detalhar a 2ª opção.


257

No que se refere ao estribo, para se determinar o arranjo da armadura, sabe-se que a área de aço colaborante para o cortante corresponde ao número de ramos verticais do estribo, que para as nossas vigas são dois. Logo, a área de aço existente de estribo é igual a duas vezes a área da seção transversal da barra da armadura. Para (Asw/s) = 0,0253 cm2/cm, tem-se:

15.c5cm81,150253,0

4,0scm4,02,0.2Amm5Para

0253,0A

s0253,0s

A

2sw

swsw

φ⇒==⇒==⇒φ

=∴=

O espaçamento máximo vale:

=

≤⇒<⇒==

cm30

cm4,1729.6,0sV67,0V33,0

01,15140,50

VV

máx2Rddmáx2Rd

Sd

Logo, para o cortante máximo, temos: φ5 c. 15 cm. Para o cortante de Vk = 25,22 kN, temos:

17.c5cm17s

33.c53,33012,04,0smm5

012,0A

s012,0s

A

máx

swsw

φ⇒=

φ⇒==⇒φ⇒=⇒=

Para os estribos, pode-se, também, reduzi-los à medida que o cortante for diminuindo. A armadura transversal mínima para a viga é de (Asw/s)mín = 0,012 cm2/cm. Esse valor equivale a um cortante de:

kN22,254,131,35

4,169,2162,13

4,1VV

4,1V

V

kN62,13kgf74,136115,1

5000.29.9,0.012,0V012,0s

A

1ceequivalent,sweequivalent,sdk

eequivalent,swsw

==+

=+

==

===∴=

O ponto onde Vk = 25,22 kN é dado por: m63,0x22,25x.202,170,36 =∴=−

O espaçamento máximo para esse valor de cortante é, também, de 17 cm, conforme equação a seguir:

=

≤⇒<⇒==

cm30

cm4,1729.6,0sV67,0V23,0

01,15131,35

VV

máx2Rddmín2Rd

Sd

A Figura 8.62 apresenta o esquema de distribuição das armaduras. A Figura 8.63 apresenta o detalhamento da viga V101 (12/35).


258

φ φ φ

Figura 8.62 – Distribuição dos arranjos de estribo para a V101 (12/35).

φ

φ

φ

φ

Figura 8.63 – Detalhamento da viga V101 (12/35).

EXERCÍCIO 8.4:

Detalhar as demais vigas do pavimento tipo em estudo.





GIONGO, J. S.; TOTTI Jr., F. – Concreto armado: resistência de elementos fletidos submetidos à força cortante. São Carlos, EESC-USP, 1994.

LIN,T. Y.; BURNS, N. H. – Design of prestressed concrete structures. John Wiley & Sons, Inc., 1981.


259


SANTOS NETO, P – Resistência do Concreto à Força Cortante em Peças Fletidas. São Carlos, EESC-USP, 1977.

SÜSSEKIND, J. C. – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1 e 2, 2a ed., Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1981.








260

ANEXO A

× Tabelas Ø

261

Tabela I – Peso específico dos materiais de construção (NBR 6120, 1980).

Materiais Peso específico aparente

(kN/m3)

1. Rochas Arenito Basalto Gneiss Granito Mármore e calcáreo

26,0 30,0 30,0 28,0 28,0

2. Blocos artificiais Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas Tijolos furados Tijolos maciços Tijolos sílico-calcáreos

22,0 20,0 18,0 13,0 18,0 20,0

3. Revestimentos e Concretos

Argamassa de cal, cimento e areia Argamassa de cimento e areia Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado

19,0 21,0 12,5 24,0 25,0

4. Madeiras Pinho, cedro Louro, imbuía, pau óleo Guajuvirá, guatambu, grápia Angico, cabriuva, ipê róseo

5,0 6,5 8,0

10,0

5. Metais Aço Alumínio e ligas Bronze Chumbo Cobre Ferro fundido Estanho Latão Zinco

78,5 28,0 85,0

114,0 89,0 72,5 74,0 85,0 72,0

6. Materiais diversos Alcatrão Asfalto Borracha Papel Plástico em folhas Vidro plano

12,0 13,0 17,0 15,0 21,0 26,0

262

Tabela II – Ações permanentes por unidade de área (GIONGO & PINHEIRO, 1986)

Item Material Ação (kN/m2) Paredes Tijolos maciços, com 25 cm de espessura

Tijolos maciços, com 15 cm de espessura

Tijolos furados, com 23 cm de espessura

Tijolos furados, com 13 cm de espessura

Tijolos de concreto, com 23 cm de espessura

Tijolos de concreto, com 13 cm de espessura

Tijolos de concreto celular, com 23 cm de espessura

Tijolos de concreto celular, com 13 cm de espessura

4,00

2,50

3,20

2,20

3,50

2,20

0,80

0,50

Coberturas Com telhas cerâmicas c/ madeiramento

Com telhas de fibrocimento c/madeira

Com telhas de alumínio e estrutura de aço

Com telhas de alumínio e estrutura de alumínio

1,20

0,40

0,30

0,20

Forros Com painéis de gesso, c/estrutura de madeira e aço

Com blocos sólidos de gesso

0,50

0,70

Caixilhos Com estrutura de alumínio, com vidro

Com estrutura de aço, com vidro

0,20

0,30

Telhas De fibrocimento tipo canalete 43

De fibrocimento tipo canalete 90

0,28

0,25

Tabela III – Valores mínimos das cargas verticais (NBR 6120, 1980)

Local Carga (kN/m2)

1. Arquibancadas 4,0 2. Balcões Mesma carga da peça com a qual se comunicam --- 3. Bancos Escritórios e banheiros

Salas da diretoria e de gerência 2,0 1,5

4. Bibliotecas Sala de leitura Sala para depósito de livros Sala com estantes de livro, a ser determinada em cada caso ou 2,5 kN/m2 por metro de altura observado, porém o valor mínimo de

2,5 4,0

6,0

263

Continuação da Tabela III

Local Carga (kN/m2)

5. Casas de máquinas

(incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em cada caso, porém com o valor mínimo de

7,5

6. Cinemas Platéia com assentos fixos Estúdio e platéia com assentos móveis Banheiro

3,0 4,0 2,0

7. Clubes Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos Sala de assembléia com assentos móveis Salão de danças e salão de esportes Salão de bilhar e banheiros

3,0 4,0 5,0 2,0

8. Corredores Com acesso ao público Sem acesso ao público

1,5 3,0

9. Cozinhas não residenciais

A ser determinada em cada caso, porém com um mínimo de 3,0

10.Depósitos A ser determinada em cada caso --- 11. Edifícios

residenciais Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiros Despensa, área de serviço e lavanderia

1,5 2,0

12. Escadas Com acesso ao público Sem acesso ao público

3,0 2,5

13. Escolas Anfiteatro com assentos fixos Corredor e sala de aula Outras salas

3,0 2,0

14. Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2,0 15. Forros Sem acesso a pessoas 0,5 16. Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com um mínimo de 3,0 17. Galerias de lojas A ser determinada em cada caso, porém com um mínimo de 3,0 18. Garagens e

estacionamentos Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima de 25 kN por veículo

3,0

19. Ginásios de esportes

5,0

20. Hospitais Dormitórios, enfermarias, salas de recuperação, sala de cirurgia, sala de raio X e banheiro Corredor

2,0 3,0

21. Laboratórios Incluindo equipamento, a ser determinada em cada caso, porém com um mínimo de

3,0

22. Lavanderias Incluindo equipamentos 3,0 23. Lojas 4,0 24. Restaurantes 3,0 25. Teatros Palco

Demais dependências: iguais às especificadas para cinemas 5,0

26. Terraços Sem acesso ao público Com acesso ao público Inacessível a pessoas

2,0 3,0 0,5

27. Vestíbulo Sem acesso ao público Com acesso ao público

1,5 3,0

264

Tabela IV – Valores dos fatores de combinação (Ψ0) e de redução (Ψ1 e Ψ2) para as ações variáveis (NBR 8681, 2004).

Ações

Ψ0

Ψ1

Ψ2

3), 4)

Cargas acidentais de edifícios Locais em que não há predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas1).

0,5

0,4

0,3

Locais em que há predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de pessoas2).

0,7

0,6

0,4

Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e garagens.

0,8

0,7

0,6

Vento

Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral.

0,6

0,3

0

Temperatura

Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local.

0,6

0,5

0,3

Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos

Passarelas de pedestres.

0,6

0,4

0,3

Pontes rodoviárias.

0,7

0,5

0,3

Pontes ferroviárias não especializadas.

0,8

0,7

0,5

Pontes ferroviárias especializadas.

1,0

1,0

0,6

Vigas de rolamentos de pontes rolantes.

1,0

0,8

0,5

1) Edificações residenciais, de acesso restrito. 2) Edificações comerciais, de escritórios e de acesso público. 3) Para combinações excepcionais onde a ação principal for sismo, admite-se adotar para Ψ2 o

valor zero. 4) Para combinações excepcionais onde a ação principal for o fogo, o fator de redução Ψ2 pode

ser reduzido, multiplicando-o por 0,7.

265

Tabela V – Classes de agressividade ambiental (NBR 6118, 2007). Classe de

agressividade ambiental

Agressividade

Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto

Risco de deterioração da estrutura

Rural I Fraca

Submersa Insignificante

II Moderada Urbana1), 2) Pequeno

Marinha1) III Forte

Industrial1), 2) Grande

Industrial1), 3) IV Muito forte

Respingos de maré Elevado

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).

2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente.

3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

Tabela VI – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para ∆c = 10mm (NBR 6118, 2007).

Classes de agressividade (Tabela V)

I II III IV3)

Tipo de estrutura

Componente ou elemento

Cobrimento nominal (mm)

Laje2) 20 25 35 45 Concreto armado

Viga/ Pilar 25 30 40 50

Concreto protendido1) Todos 30 35 45 55

1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob tensão.

2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitando um cobrimento nominal ≥ 15mm.

3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45mm.

266

Tabela VII – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e qualidade do concreto (NBR 6118, 2007).

Classes de agressividade (Tabela V) Concreto Tipo

I II III IV

CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 Relação água/cimento em massa CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45

CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 Classe de concreto (NBR 8953)

CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40

NOTAS 1) O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos

estabelecidos na NBR 12655. 2) CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado.

3) CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido.

Tabela VIII – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e consumo de cimento (NBR 12655, 2006).

Classes de agressividade (Tabela V) Concreto Tipo

I II III IV

Consumo de cimento por m3 de concreto

(kg/m3) CA e CP ≥ 260 ≥ 280 ≥ 320 ≥ 360

267

Tabela IX – Cálculo das lajes segundo Czerny (ROCHA, 1987).

y

R

yR 1

Rx

x

Ry x

CASO 1

y

2x

yx

2x

x

yyyxxx

x

y

m.p

Mm.p

M

V..pRV..pR

ll

llll

==

==

=ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 27,2 24,5 22,4 20,7 19,1 17,8 16,8 15,8 15,0 14,3 13,7 13,2 12,7 11,3 10,4 my 27,2 27,5 27,9 28,4 29,1 29,9 30,9 31,8 32,8 33,8 34,7 35,4 36,1 38,5 40,3 Vx 0,250 0,262 0,273 0,283 0,292 0,300 0,308 0,315 0,321 0,327 0,333 0,339 0,344 0,361 0,375 Vy 0,250 0,238 0,227 0,217 0,208 0,200 0,192 0,185 0,179 0,173 0,167 0,161 0,156 0,139 0,125

y

y2R

R

2A

xR

x

xy1R

CASO 2A

y

2x

y

y

2x

yx

2x

x2yy2y

1yy1yxxxx

y

n.p

X

m.p

Mm.p

MV..pR

V..pRV..pR

l

lll

llll

−=

===

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 41,2 36,5 31,9 28,3 25,9 23,4 21,7 20,1 18,8 17,5 16,6 15,7 15,0 12,8 11,4 my 29,4 29,0 28,8 28,8 28,9 29,2 29,7 30,2 30,8 31,6 32,3 33,0 33,6 36,2 38,8 ny 11,9 11,3 10,9 10,4 10,1 9,8 9,6 9,3 9,2 9,0 8,9 8,8 8,7 8,4 8,2 Vx 0,183 0,193 0,202 0,211 0,220 0,230 0,239 0,248 0,256 0,264 0,272 0,280 0,286 0,310 0,329 Vy1 0,402 0,388 0,378 0,366 0,355 0,342 0,331 0,320 0,310 0,300 0,289 0,280 0,272 0,241 0,217 Vy2 0,232 0,226 0,218 0,212 0,205 0,198 0,191 0,184 0,179 0,173 0,167 0,161 0,156 0,139 0,125

Rx1

y

RRy 2B

2xR

xy

CASO 2B

x

2x

x

y

2x

yx

2x

x2xx2x

yyy1xx1xx

y

n.p

X

m.p

Mm.p

MV..pR

V..pRV..pR

l

lll

llll

−=

===

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 31,4 29,2 27,3 25,8 24,5 23,4 22,4 21,6 21,0 20,3 19,8 19,4 19,0 17,8 17,1 my 41,2 43,2 45,1 47,1 48,8 50,3 51,8 53,2 54,3 55,0 55,6 56,2 56,8 58,6 59,2 nx 11,9 11,3 10,9 10,5 10,2 9,9 9,7 9,4 9,3 9,1 9,0 8,9 8,8 8,4 8,3

Vx1 0,402 0,412 0,422 0,431 0,440 0,447 0,455 0,461 0,466 0,474 0,479 0,484 0,488 0,504 0,517 Vy 0,183 0,175 0,167 0,160 0,153 0,147 0,141 0,136 0,131 0,126 0,122 0,118 0,115 0,102 0,092 Vx2 0,232 0,238 0,244 0,249 0,254 0,259 0,263 0,267 0,270 0,274 0,277 0,280 0,282 0,292 0,299

268

Continuação da Tabela IX.

3yR2

Rx

y

1

2Rx

xRy1

CASO 3

y

2x

yx

2x

xy

2x

y

x

2x

x2yy2y2xx2x

1yy1y1xx1xx

y

n.p

Xn.p

Xm.p

M

m.p

MV..pRV..pR

V..pRV..pR

lll

lll

llll

−=−==

===

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 40,2 38,0 35,1 32,2 30,0 28,0 26,5 25,2 24,1 23,1 22,2 21,6 21,0 19,1 17,9 my 40,2 41,0 42,0 42,9 44,0 45,6 47,6 49,6 51,0 52,1 53,0 54,1 54,8 57,7 60,2 nx 14,3 13,3 12,7 12,0 11,5 11,1 10,7 10,3 10,0 9,8 9,6 9,4 9,2 8,7 8,4 ny 14,3 13,8 13,6 13,3 13,1 12,9 12,8 12,7 12,6 12,5 12,4 12,3 12,3 12,2 12,2

Vx1 0,317 0,332 0,347 0,359 0,371 0,381 0,391 0,400 0,408 0,416 0,424 0,431 0,437 0,459 0,476 Vy1 0,317 0,302 0,288 0,276 0,264 0,254 0,244 0,235 0,227 0,219 0,211 0,204 0,198 0,176 0,159 Vx2 0,183 0,191 0,198 0,205 0,212 0,218 0,224 0,229 0,234 0,239 0,243 0,247 0,250 0,263 0,274 Vy2 0,183 0,175 0,167 0,160 0,153 0,147 0,141 0,136 0,131 0,126 0,122 0,118 0,115 0,102 0,091

Ry y4A R

x

y

R

x

Rx

CASO 4A

y

2x

y

y

2x

yx

2x

x

yyyxxxx

y

n.p

X

m.p

Mm.p

M

V..pRV..pR

l

ll

llll

−=

==

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 63,3 52,2 46,1 39,8 35,5 31,5 28,5 25,8 23,7 22,0 20,4 19,0 19,9 14,6 12,5 my 35,1 33,7 32,9 32,2 31,7 31,3 31,2 31,2 31,4 31,7 32,1 32,7 33,3 37,1 42,4 ny 14,3 13,4 12,7 12,0 11,5 11,1 10,7 10,3 10,0 9,75 9,5 9,3 9,2 8,7 8,4 Vx 0,144 0,151 0,159 0,166 0,173 0,180 0,188 0,196 0,203 0,210 0,217 0,225 0,233 0,259 0,280 Vy 0,356 0,349 0,341 0,334 0,327 0,320 0,312 0,304 0,297 0,290 0,283 0,275 0,267 0,241 0,217

Ry 4BR

R

y

x

xR

y x

CASO 4B

x

2x

x

y

2x

yx

2x

x

yyyxxxx

y

n.p

X

m.p

Mm.p

M

V..pRV..pR

l

ll

llll

−=

==

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 35,1 33,0 31,7 30,4 29,4 28,5 27,8 27,1 26,6 26,1 25,8 25,4 25,2 24,4 24,1 my 61,7 64,5 67,2 69,6 71,5 72,8 73,5 74,1 74,6 75,3 75,8 76,5 77,0 77,0 77,0 nx 14,0 13,8 13,5 13,2 13,0 12,7 12,6 12,4 12,3 12,2 12,2 12,1 12,0 12,0 12,0 Vx 0,356 0,363 0,369 0,375 0,380 0,385 0,389 0,393 0,397 0,401 0,404 0,407 0,410 0,420 0,428 Vy 0,144 0,137 0,131 0,125 0,120 0,115 0,111 0,107 0,103 0,099 0,096 0,093 0,090 0,080 0,072

269

Continuação da Tabela IX.

y

1xR

yR 5A

2Rx

yR x

CASO 5A

y

2x

yx

2x

xy

2x

y

x

2x

x2xx2x

yyy1xx1xx

y

n.p

Xn.p

Xm.p

M

m.p

MV..pR

V..pRV..pR

lll

ll

llll

−=−==

==

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 44,1 40,5 37,9 35,5 33,8 32,3 31,0 29,9 29,0 28,2 27,6 27,0 26,5 25,1 24,5 my 55,9 57,5 60,3 64,2 66,2 67,7 69,0 70,5 72,0 73,4 75,2 76,9 78,7 86,8 97,0 nx 16,2 15,3 14,8 14,2 13,9 13,5 13,2 12,9 12,7 12,6 12,5 12,4 12,3 12,1 12,0 ny 18,2 17,9 17,7 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5

Vx1 0,303 0,313 0,321 0,329 0,336 0,343 0,349 0,354 0,359 0,364 0,369 0,373 0,377 0,391 0,402 Vy 0,250 0,237 0,227 0,217 0,208 0,200 0,192 0,185 0,179 0,173 0,166 0,161 0,156 0,138 0,125 Vx2 0,144 0,137 0,131 0,125 0,120 0,114 0,110 0,107 0,103 0,099 0,096 0,093 0,090 0,080 0,071

1yR

y

xR

R5B

Rx

2y x

CASO 5B

y

2x

yx

2x

xy

2x

y

x

2x

x2yy2y

1yy1yxxxx

y

n.p

Xn.p

Xm.p

M

m.p

MV..pR

V..pRV..pR

lll

ll

llll

−=−==

==

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 59,5 51,6 46,1 41,4 37,5 34,2 31,8 29,6 28,0 26,4 25,2 24,2 23,3 20,3 18,7 my 44,1 43,6 43,7 44,2 44,8 40,5 46,9 48,6 50,3 52,3 55,0 58,2 61,6 79,6 101,0 nx 18,3 16,6 15,4 14,4 13,5 12,7 12,2 11,6 11,2 10,9 10,6 10,3 10,1 9,4 8,8 ny 16,2 15,4 14,8 14,3 13,9 13,5 13,3 13,1 13,0 12,8 12,7 12,6 12,6 12,4 12,3 Vx 0,250 0,263 0,275 0,288 0,301 0,314 0,327 0,339 0,350 0,360 0,370 0,378 0,387 0,416 0,437 Vy1 0,304 0,294 0,284 0,274 0,264 0,254 0,244 0,235 0,227 0,219 0,211 0,202 0,198 0,176 0,159 Vy2 0,142 0,149 0,157 0,164 0,171 0,178 0,185 0,191 0,196 0,202 0,208 0,214 0,217 0,232 0,245

R

x

y

R

y 6

Rx

yR x

CASO 6

y

2x

yx

2x

x

y

2x

yx

2x

x

yyyxxxx

y

n.p

Xn.p

X

m.p

Mm.p

M

V..pRV..pR

ll

ll

llll

−=−=

==

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 56,8 50,6 46,1 42,4 39,4 37,0 34,8 33,3 31,9 30,6 29,6 28,8 28,1 26,0 25,0 my 56,8 58,2 60,3 62,6 65,8 69,4 73,6 78,4 83,4 89,4 93,5 96,1 98,1 103,3 105,0 nx 19,4 18,2 47,1 16,3 15,5 14,9 14,5 14,0 13,7 13,4 13,2 13,0 12,8 12,3 12,0 ny 19,4 18,8 18,4 18,1 17,9 17,7 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 Vx 0,250 0,262 0,273 0,283 0,292 0,300 0,308 0,315 0,321 0,327 0,333 0,339 0,344 0,361 0,375 Vy 0,250 0,238 0,227 0,217 0,208 0,200 0,192 0,185 0,179 0,173 0,167 0,161 0,156 0,139 0,125

270

Tabela X – Determinação da altura útil das lajes armadas em duas direções (NBR 6118, 1978).

xxx

1

xyyy 3

6 y 7

x

y8

x

2

x

yy4

y 9

x

y

x

5

Lx/Ly Ψ2,1 Ψ2,2 Ψ2,3 Ψ2,4 Ψ2,5 Ψ2,6 Ψ2,7 Ψ2,8 Ψ2,9

1,00 1,500 1,700 1,800 1,900 2,000 2,200 1,900 2,000 1,700 1,10 1,460 1,640 1,760 1,830 1,970 2,150 1,880 1,940 1,670

1,15 1,440 1,610 1,740 1,795 1,955 2,125 1,870 1,910 1,655

1,20 1,420 1,580 1,720 1,760 1,940 2,100 1,860 1,880 1,640 1,25 1,400 1,550 1,700 1,725 1,925 2,075 1,850 1,850 1,625

1,30 1,380 1,520 1,680 1,690 1,910 2,050 1,840 1,820 1,610

1,40 1,340 1,460 1,640 1,620 1,880 2,000 1,820 1,760 1,580

1,45 1,320 1,430 1,620 1,585 1,865 1,975 1,810 1,730 1,565 1,50 1,300 1,400 1,600 1,550 1,850 1,950 1,800 1,700 1,550

1,55 1,280 1,370 1,580 1,515 1,835 1,925 1,790 1,670 1,535

1,60 1,260 1,340 1,560 1,480 1,820 1,900 1,780 1,640 1,520

1,65 1,240 1,310 1,540 1,445 1,805 1,875 1,770 1,610 1,505

1,70 1,220 1,280 1,520 1,410 1,790 1,850 1,760 1,580 1,490

1,75 1,200 1,250 1,500 1,375 1,775 1,825 1,750 1,550 1,475

1,80 1,180 1,220 1,480 1,340 1,760 1,800 1,740 1,520 1,460 1,85 1,160 1,190 1,460 1,305 1,745 1,775 1,730 1,490 1,445

1,90 1,140 1,160 1,440 1,270 1,730 1,750 1,720 1,460 1,430

1,95 1,120 1,130 1,420 1,235 1,715 1,725 1,710 1,430 1,415 2,00 1,100 1,100 1,400 1,200 1,700 1,700 1,700 1,400 1,400

Tabela XI – Valores de Ψ3 para o cálculo da altura das lajes (NBR 6118, 1978).

Aço (MPa) Vigas e lajes nervuradas Lajes maciças

215 25 35

280 22 33

350 20 30

435 17 25

520 15 20

271

Tabela XII – Valores de Κ para o cálculo da altura das lajes.

3

4

x

y

f.El.p.K

hll

≥=λ

λ K1 K2 K3 K4 K5 K6 0,50 --- 0,0070 --- 0,0064 0,0034 --- 0,55 --- 0,0092 --- 0,0082 0,0046 --- 0,60 --- 0,0117 --- 0,0091 0,0054 --- 0,65 --- 0,0144 --- 0,0120 0,0075 --- 0,70 --- 0,0171 --- 0,0139 0,0092 --- 0,75 --- 0,0200 --- 0,0157 0,0109 --- 0,80 --- 0,0228 --- 0,0174 0,0126 --- 0,85 --- 0,0256 --- 0,0190 0,0142 --- 0,90 --- 0,0283 --- 0,0205 0,0158 --- 0,95 --- 0,0309 --- 0,0218 0,0174 --- 1,00 0,0487 0,0334 0,0252 0,0230 0,0188 0,0153 1,10 0,0584 0,0379 0,0301 0,0250 0,0212 0,0182 1,20 0,0678 0,0419 0,0348 0,0267 0,0234 0,0208 1,30 0,0765 0,0454 0,0388 0,0280 0,0251 0,0228 1,40 0,0849 0,0484 0,0426 0,0288 0,0269 0,0250 1,50 0,0926 0,0511 0,0461 0,0294 0,0278 0,0265 1,60 0,0996 0,0531 0,0485 0,0301 0,0288 0,0275 1,70 0,1061 0,0543 0,0501 0,0309 0,0292 0,0284 1,80 0,1123 0,0556 0,0514 0,0315 0,0294 0,0294 1,90 0,1173 0,0573 0,0534 0,0316 0,0300 0,0300 2,00 0,1216 0,0592 0,0562 0,0318 0,0304 0,0303

Tabela XIII – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (NBR 6118, 2007).

Valores de ρmín1) (As,mín/Ac)

% Forma da seção fck

ωmín 20 25 30 35 40 45 50

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 T (mesa comprimida) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197 T (mesa tracionada) 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255 Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 1) Os valores de ρmín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA 50, γc=1,4 e γs=1,15.

Caso esses fatores sejam diferentes, ρmín deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado. NOTA – Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

O valor de ωmín, a taxa mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para vigas, vale:

cdc

ydmín,smín f.A

f.A=ϖ

272

Tabela XIV – Flexão simples em seção retangular – armadura simples (PINHEIRO, 1993).

)kN/cm(M

d.bK 2

d

2

c = )kN/cm(M

d.AK 2

d

ss =

dx

x =β

C10 C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA25 CA50A CA50B CA60 B

D O M Í N I O

0,02 103,8 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,023 0,019

0,04 52,3 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,023 0,019

0,06 35,2 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,047 0,024 0,024 0,020

0,08 26,6 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,024 0,020 0,10 21,4 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,024 0,020

0,12 18,0 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,024 0,024 0,020

0,14 15,6 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,024 0,020

0,16 13,7 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,025 0,020 0,18 12,3 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,050 0,025 0,025 0,021

0,20 11,2 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,050 0,025 0,025 0,021

0,22 10,3 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,050 0,025 0,025 0,021

0,24 9,5 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,050 0,025 0,025 0,021 0,26 8,8 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,051 0,026 0,026 0,021

2

0,28 8,3 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,026 0,026 0,022

0,30 7,8 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,026 0,026 0,022

0,32 7,4 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,026 0,026 0,022 0,34 7,0 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,053 0,027 0,027 0,022

0,36 6,7 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,027 0,027 0,022

0,38 6,4 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,027 0,027 0,023

0,40 6,1 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,027 0,027 0,023 0,438 5,7 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,028 0,023

3

0,44 5,7 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,028 0,023

0,462 5,5 3,6 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,028 0,024

0,48 5,3 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,057 0,028 0,029 0,025

0,52 5,0 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,058 0,029 0,031 0,027 0,56 4,7 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,030 0,033 0,029

0,60 4,5 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,030 0,035 ---

0,628 4,4 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,037 ---

0,64 4,3 2,9 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,9 0,062 --- --- --- 0,68 4,2 2,8 2,1 1,7 1,4 1,2 1,0 0,9 0,8 0,063 --- --- ---

0,72 4,0 2,7 2,0 1,6 1,3 1,2 1,0 0,9 0,8 0,065 --- --- ---

0,76 3,9 2,6 2,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,066 --- --- ---

0,772 3,9 2,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,067 --- --- ---

4

Elaborada por Sebastião W. Mendes e Libânio Miranda Pinheiro

Diagrama Retangular de Tensões no Concreto, γc = 1,4 e γs = 1,15

Para γc ≠ 1,4, multiplicar b por 1,4/ γc antes de usar a tabela

273

ANEXO B

× Exercícios Ø

274

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA A 1a PROVA

1) Qual o melhor concreto entre os dois tipos apresentados abaixo? Justifique.

δδ

Concreto 1 Concreto 2 2) Um grupo de 48 corpos-de-prova (CP) de concreto forneceu uma resistência média à

compressão de 24 MPa, e foi executado com um controle médio de produção, dispondo de tecnologista a serviço da obra, tendo o cimento sido medido em peso e os demais agregados em volume, que foram corrigidos em função da umidade previamente determinada. Você usaria esse concreto numa obra cujo fck especificado foi de 20 MPa? Porque?

3) Para os aços CA 32 e CA 60, nos estados limites último e de serviço, determine:

a) fy b) εy c) σs para εs = 0,43‰

d) σs para εs = 3,4‰ σs para εs = 5,6‰

4) Para o histórico de carregamento da Figura 1, que representa um ensaio para determinação da resistência do concreto à compressão num corpo-de-prova com metade das dimensões padrão do da Norma Brasileira, e sabendo-se que a resistência característica obtida foi de 40 MPa, determine:

a) Histórico de deformações;

b) Comprimento final do corpo-de-prova no instante t=∞.

Figura 1 – Histórico de carregamento do corpo-de-prova.

F (kN)

0

75

50

85

2 4 7 Tempo (min)9

30

DADOS:

• O material segue a Lei de Hooke, no carregamento e no descarregamento, até uma tensão de 50% da característica;

• O material apresenta fluência para deformações acima da correspondente ao limite elástico, quando não há variação de tensão aplicada, numa taxa de ∆l = 7,5x10-4mm/seg;

275

• Após atingido o limite de proporcionalidade, o material apresenta, na retirada da carga, uma recuperação elástica imediata de 75%, e uma lenta de mais 12% ao longo de três anos que obedece a uma curva assintótica.

5) Determine o carregamento e as reações de todos os elementos da estrutura da Figura 1.

Escritório 2Escritório 1

Escritório 3

Espera

Hall

Banheiro

(Pav. Tipo)Proj. Arquitetônico

Edf. de Escritórios

17 17 17

17

250 19320 180

1717

17

1725

013

318

019

3

A A 15 17255 392 15

183

135

253

195

1515

15

1515

P2(25/25)

P3(20/20)

P4(20/20)

P5(30/30)

P6 (20/20)

P1(20/20)

P7 (20/20) P8 (20/20)

V1 (15/40)

V5 (15/30)V6

(15/

40)

V7

(17/

45)

V8

(15/

40)

V2 (15/40)

V3 (15/30)

V4 (15/40)

h=10cm

h=10cm

h=10cm

h=13cm

FÔRMA

Escritório 2 Escritório 1

10

10

240

Corte AA

Figura 1 – Pavimento do Exercício 4.

6) Para os pavimentos das figuras a seguir, determine as cargas e seções (quando necessário) de pré-dimensionamento dos pilares, utilizando o método das áreas de influência (medidas em centímetros).

P1(20/20)

P2(20/20)

P3(20/20)

P4(20/20)

V1 (15/50)

V2 (15/50)

V3

(15/

50)

V4

(15/

50)

1537

0

15 370 15

15

f =25MPack

n = 5 pav. tipos + 1 cobertura

P1 P2V1

P3

V2P5P4 P6V

3

V4

300 300

200

200

ckf =30MPa

n = 8 pav. tipos + 1 cobertura + 1 garagem

276

P3P2V1

P1

P6

V2P5

P4

P8 P9

P7

V4

V3

V6

V5

V7

V8

300

40025

0

250

400

250 300

ckf =35MPa

n = 6 pav. tipos + 1 cobertura

P2

P3

P1

P5

P6

P4

P7

50

50 775

50

300

50

50 50

50

2550 400

400

350

50

350

ckf =25MPa

n = 6 pav. tipos + 1 cobertura + 2 garagens

7) Para o pavimento abaixo, determine: a) Seção de pré-dimensionamento dos pilares, para uma carga média de p=1tf/ m2, admitindo todos os pilares sujeitos à compressão normal; b) Carregamento e sistema estático de todas as vigas. DADOS:

• fck = 20 MPa • 19 pavimentos-tipo e 1

cobertura • eparede = 17 cm • Pavimento de

escritórios • Pé-direito = 2,80 m

(piso a piso) • Há parede sobre todas

as vigas

Não há parede sobre as lajes

277


1) Porque se utiliza o diagrama retangular de tensões para o concreto? Qual a tensão de compressão máxima admitida para o concreto no ELU?

2) Dimensione a viga da figura abaixo para o ELU de flexão simples, para as seguintes situações: Domínio 2 e limite máximo admitido pela NBR 6118 (2007). Comente as diferenças. Comece com a seção de pré-dimensionamento. Se for preciso, aumente para a menor altura necessária.

DADOS: fck = 35 MPa

CA 50 A d’=7,5 cm

bw = 25 cm

β = 10

3) Uma viga com seção transversal de (12/30) apresenta o sistema estático da figura abaixo. A viga atende ao dimensionamento à flexão para o ELU? Se sim, qual a área de aço para a viga? Em que domínio ela se encontra?

1 kN/ m

450 cm

4 kN/ m

120 cm

DADOS:

fck = 25 MPa

CA 50 A

d’ = 7 cm

4) Para a situação indicada abaixo, determine:

570 cm30

115 cm

LN

2φ

400 cm

P

55

30

115 cm

5,515

LN 6,3

P

278

a) Resultante de tração aplicada na armadura, no ponto de momento máximo;

b) Área de aço necessária para garantir o momento interno da peça;

c) A partir do ponto de momento máximo, em direção ao apoio, há espaço suficiente para a ancoragem das barras?

DADOS: fck = 30 MPa CA 40B (entalhada) Cobrimento = 4 cm

5) Qual a menor barra de aço que pode ser utilizada para um comprimento reto de ancoragem a partir da face do pilar, para a situação da figura abaixo? Qual é o valor desse comprimento? Se quiséssemos diminuir o diâmetro da barra (usar uma barra menor), o que poderia ser feito?

6) Para a situação da figura abaixo, determine qual a menor dimensão dos pilares para ancorar a

barra tracionada com um gancho à 90o, a partir das suas faces.

largura=?largura=?

P = 45kNk

20cm

50cm2525

500cm

DADOS: fck = 30 MPa; Aço CA 50 A; Cobrimento c = 3 cm. 7) Para a peça da figura abaixo, indique os trechos onde é necessária a atuação das forças de

aderência. Justifique

Carregamento variável qualquer

Diagrama de Momentos Fletores

O

L

A

B

C D

E

F

G H

I

1 2L 3L

279

8) Qual a menor barra (diâmetro) que pode ser utilizada na estrutura abaixo? Qual o comprimento de ancoragem? Considere a barra ancorada a partir da face inferior da laje em direção dos ganchos superiores.

DADOS: fck = 20 MPa CA 40 A (entalhada) Cobrimento = 25 mm

9) O diagrama da Figura 1 apresenta o gráfico Tensão de Aderência versus Escorregamento

para o ensaio de arrancamento esquematizado na Figura 2, cujo aço é o CA 45B (barra entalhada). Sabendo-se que, a tensão de aderência máxima de projeto é aquela, a partir da qual a barra se movimenta em relação ao concreto, qual o comprimento básico de ancoragem, em função do diâmetro da barra, para o ensaio indicado?

0,5

1,63

2,05

3,00

1

bf (MPa)

δ (mm)3

Figura 1 - Gráfico Tensão de Aderência versus Escorregamento.

φ

kP

b

. Figura 2 - Esquema do ensaio de arrancamento

A A

280


281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292 ENG 118 – Estruturas de Concreto Armado I – 2a Prova – 2004/ 1 – T01P01 – Profa Tatiana Dumêt

Nome: ___________________________________________________________ Data: 24/08/2004

É PROIBIDO O USO DE CELULAR DURANTE A PROVA PROVA SEM CONSULTA LIVRE - DURAÇÃO: 2:30 horas

1) Para as lajes do pavimento abaixo, determine:

a) Altura das lajes pelo método apresentado no Capítulo 4 (Módulo de Concreto I), admitindo que não será necessária a verificação das flechas;

b) Carregamento e sistema estático (indique carga total, dimensões e condições de contorno);

c) Cálculo dos esforços utilizando as Tabela de Czerny, para as lajes armadas em cruz; d) Esquema do pavimento indicando os momentos e reações finais; e) Cálculo das áreas de aço e determinação do arranjo de armadura a ser utilizado; f) Esquema do pavimento indicando a posição dos arranjos de armaduras escolhidos; g) Detalhamento completo, quadro, resumo e taxa de armadura. Comente a taxa de

armadura; h) Verificação ao esforço cortante.

Dados: - Todas as dimensões estão em centímetros;

- Todos os pilares são (20/20); - As vigas têm dimensões variáveis; - Pavimento de restaurantes; - Há parede sobre as lajes de e = 17 cm, indicadas na fôrma; - Há paredes sobre todas as vigas com largura de e = 15 cm; - Peso específico da parede: γparede = 15 kN/m3;

- fck = 30 MPa; - CA 50 B; - cob. = 20 mm; - Revest. = 1,5 kN/m2

- Pav. = 1,5 kN/m2; - Pé-direito = 3,15 m; - γconcreto = 25 kN/m3.

293 ENG 118 – Estruturas de Concreto Armado I – 3a Prova – 2006/ 1 – T01P01 – Profa Tatiana Dumêt

Nome: ___________________________________________________________ Data: 25/05/2006

É PROIBIDO O USO DE CELULAR, PALMTOP E CALCULADORA PROGRAMÁVEL DURANTE A PROVA

PROVA SEM CONSULTA LIVRE - DURAÇÃO: 1:45 hora - A FOLHA DA PROVA NÃO SERÁ

DEVOLVIDA, NÃO SERÁ CONSIDERADO NADA QUE ESTEJA ESCRITO NELA 1) Para as lajes do pavimento tipo indicado, determine:

a) Altura das lajes pelo método apresentado no Capítulo 4 (Módulo de Concreto I), admitindo que se quer uma menor possibilidade de ter que aumentar as alturas posteriormente [1,0];

b) Carregamento e sistema estático (indique carga total, dimensões e condições de contorno) [1,0];

c) Cálculo dos esforços, utilizando as Tabela de Czerny para as lajes armadas em cruz [1,0]; d) Esquema do pavimento indicando os momentos e as reações finais [0,5]; e) Cálculo das áreas de aço e determinação de todos os arranjos de armadura a serem

utilizados [2,5]; f) Detalhamento completo, quadro, resumo e taxa de armadura. [4,0].

OBS1: Toda e qualquer otimização e/ ou simplificação, ao longo da resolução da prova,

deve ser devidamente indicada e justificada.

OBS2: A correção dos itens da prova dependerão da resolução do item anterior (a letra b só será corrigida se a letra a for resolvida, e assim por diante)

L = 9,00mparede

3821820

180

2080

2018 432

180

20 18

Dados: - Todas as dimensões estão em centímetros

- Todos os pilares são (30/30) - As vigas têm dimensões variáveis - Peso específico da parede: γparede = 15 kN/m3 - Peso específico do concreto: γconcreto = 25 kN/m3 - Na fôrma estão indicadas as lajes onde há parede - Há parede sobre todas as vigas

- Pé-direito (piso-a-piso) = 3,00 m - Espessura das paredes = 16 cm - Pavimento de Laboratórios - fck = 30 MPa - CA 50 A - cob. = 25 mm - Revestimento = 2,00 kN/m2

294

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA A 4a PROVA 1) Análise da seção transversal do centro de gravidade das armaduras para a viga do

Exercício 8.2:

Área de 16φ20 + 2φ12,5 (52,90 cm2)

3,58 2,5

2,0

2,0

2,5

3,582,0

3,58 2,0

25 cm

0,63

0,63

0,63

2,5

2,52,0

2,52,0

2,02,5

2,02,5

1,25

Área de 10φ25 + 2φ12,5 (52,50 cm2)

2,5

2,5

2,5

2,91

2,912,5

2,5

2,91 2,5

0,63

25 cm

0,63

2,50,632,5

2,52,5

2,52,5

11,3

9 cm

8,63s

2,0

25 cm

3,582,

03,

582,5

2,0

0,63

2,0

2,5

3,58

0,63

4,13

CG13,13

17,63

21,76

14,38

4,38

9,38

s

8,67

cm

2,5

2,912,5

2,5

0,63

2,91

2,91 2,5

2,5

2,5

25 cm

0,63

CG

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

305

306

307

308

ENG 118 – Estruturas de Concreto Armado I – 2a Chamada da 4a Prova – 2007/ 1 – Profa Tatiana Dumêt

Nome: ___________________________________________________________ Data: 06/07/2007

É PROIBIDO O USO DE CELULAR, PALMTOP E CALCULADORA PROGRAMÁVEL

PROVA SEM CONSULTA LIVRE - DURAÇÃO: 1:45 hora

1) Para a viga V1 (25/60) do pavimento abaixo (Figura 1), determine: a) Diagramas de momento fletor e esforço cortante, para o sistema estático indicado na Figura 2

[1,0]; b) Dimensionamento para, pelo menos, o momento fletor máximo por vão e por apoio, atendendo à

seguinte ordem de preferência: seção simplesmente armada à seção T (se possível) à seção duplamente armada (se possível). Justifique cada uma das escolhas [2,5];

c) Dimensionamento para, pelo menos, o cortante máximo por vão [1,5]; d) Dimensionamento para um momento torçor constante ao longo de toda a viga de Tk = 9,5 kN.m,

admitindo para c1 o valor de 4,0cm (c1 = 4,0 cm) [1,0]; e) Cálculo do d t́ração real, para o momento máximo, com a análise do detalhamento da seção

transversal. Comente o resultado. NÃO É NECESSÁRIO REFAZER A VIGA [1,5]; f) Detalhamento completo (justifique toda e qualquer padronização e/ou otimização) [2,5].

OBS1: Toda e qualquer otimização /ou simplificação, ao longo da resolução da prova, deve ser

devidamente indicada e justificada. A correção dos itens da prova dependerá da resolução do item anterior (a letra b só será corrigida se a letra a for resolvida, e assim por diante).

309

404040

V3(25/60)

P4(30/30)

V4(

15/6

0)

2537

2,5

250

V2(12/40)

15

12 P3(30/30)

20

590,

5

P5(30/30)

V6(

15/6

0)

400 15

V1(25/60)

10

P1(30/30)

2510

P2(30/30)

10

Figura 1 – Fôrma estrutural.

DADOS: - Todas as dimensões estão em centímetros; - Todas as lajes são de h = 10 cm; - Todos os pilares são (30/30); - Concreto com fck = 30 MPa; - Aço CA 50 B; - Cobrimento = 35 mm; - d t́ração=8 cm; d´compressão=5 cm; - Utilize como limite o (y/d)

referente ao aço utilizado; - ρmáx = 4%; Es = 210.000 MPa; - Utilize área de aço mínima para

levar em conta o engastamento sobre os apoios extremos;

- al = d; Θ = 45º; α = 90º; - As,pele = 0,10% Ac; - Tamanho dos ganchos e traspasses:

φ5 mm à 20 cm φ6,3 mm à 20 cm φ8 mm à 20 cm φ10 mm à 20 cm φ12,5 mm à 30 cm φ16 mm à 30 cm φ20 mm à 30 cm φ25 mm à 40 cm

- Unidades nos diagramas são: cortante (kN) e momento (kN.m)

670 cm

20 kN/m

260 cm250 kN

80 kN/m

Figura 2 – Sistema estático da viga V1(25/60).

310

ANEXO C

× Formulário das Provas Ø

311

EN

G 1

18 –

For

mul

ário

par

a as

pro

vas

()

)M

Pa(

4,1f

3,07,0

f7,0

ff

f..

.f

3/2 ck

c

m,ct

cinf

,ct

kct

dct

d3

21

bd=

γ=

γ=

ηη

η=

ck

pila

rN

Aσ

=

β=

σck

cf

m

ínx

hl.

h≥

βα

≥

1,0

para

bar

ras l

isas

; η 1

= 1

,4 p

ara

barr

as e

ntal

hada

s;

2,25

par

a ba

rras

ner

vura

das;

bdyd

bff

4φ=

l

η 2 =

1,0

par

a sit

uaçõ

es d

e bo

a ad

erên

cia;

0,

7 pa

ra si

tuaç

ões d

e m

á ad

erên

cia;

β

=

1,4

⇒ p

ara

pila

res s

olic

itado

s pra

ticam

ente

à c

ompr

essã

o si

mpl

es;

1,5

⇒ p

ara

pila

res s

ubm

etid

os à

flex

o-co

mpr

essã

o no

rmal

; 1,

6 ⇒

par

a pi

lare

s sub

met

idos

à fl

exo-

com

pres

são

oblíq

ua.

η 3 =

1,0

par

a φ

< 32

mm

; (1

32 –

φ)/1

00, p

ara

φ >

32m

m;

φ

≥≥

α=

mm

100

103,0

AA.

b

min

,bm

in,b

ef,scalc

,sb

1ne

c,b

ll

ll

l

5cm

⇒ p

ara

cobe

rtura

; h m

ín ≥

7

cm ⇒

par

a pi

so e

bal

anço

; 12

cm ⇒

par

a pa

ssag

em d

e ve

ícul

os

prát

ica)

da(v

alor

30cm

βl.α

h

2007

)61

18,

(NB

R12

cmb

(inic

ial)

3cm

eb

x

w

pare

dew

≥≥≥

−=

2

,4 ⇒

par

a vã

o em

bal

anço

; α

=

1,0

⇒ p

ara

vão

biap

oiad

o;

0,8

⇒ p

ara

vão

mon

o-en

gasta

do;

0,7

⇒ p

ara

vão

bi-e

ngas

tado

.

β =

30

⇒ d

ispe

nsa

a ve

rific

ação

das

flec

has,

quan

do n

ão h

ouve

r par

ede

35

⇒ n

eces

sita

ver

ifica

ção

da fl

echa

8 ⇒

par

a, n

os c

asos

cor

rent

es, n

ão m

udar

a a

ltura

nos

cál

culo

s;

β =

10

⇒ d

ispe

nsa

a ve

rific

ação

das

flec

has;

1

2 ⇒

nec

essi

ta a

ver

ifica

ção

da fl

echa

; sug

ere-

se o

cál

culo

co

njun

to c

om a

laje

.

Tab

ela

XII

– T

axas

mín

imas

de

arm

adur

a de

flex

ão p

ara

viga

s (N

BR

611

8, 2

007)

. D

iâm

etro

(m

m)

Áre

a de

aço

(c

m2 )

Mas

sa L

inea

r (k

g/m

)

Val

ores

de

ρ mín

1) (A

s,m

ín/A

c) %

5

0,20

0,

16

Form

a da

seçã

o

f ck

6,3

0,31

5 0,

25

ωm

ín

20

25

30

35

40

45

50

8 0,

5 0,

40

Re

tang

ular

0,

035

0,15

0 0,

150

0,17

3 0,

201

0,23

0 0,

259

0,28

8 10

0,

8 0,

63

T

(mes

a co

mpr

imid

a)

0,02

4 0,

150

0,15

0 0,

150

0,15

0 0,

158

0,17

7 0,

197

12,5

1,

25

1,00

T (m

esa

traci

onad

a)

0,03

1 0,

150

0,15

0 0,

153

0,17

8 0,

204

0,22

9 0,

255

16

2,0

1,6

C

ircul

ar

0,07

0 0,

230

0,28

8 0,

345

0,40

3 0,

460

0,51

8 0,

575

20

3,15

2,

5

1) O

s val

ores

de

ρ mín e

stab

elec

idos

nes

ta ta

bela

pre

ssup

õem

o u

so d

e aç

o C

A 5

0, γ

c=1,

4 e

γ s=1

,15.

Cas

o es

ses f

ator

es se

jam

dife

rent

es, ρ

mín

25

5,0

4,0

de

ve se

r rec

alcu

lado

com

bas

e no

val

or d

e ω

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ado.

N

OTA

– N

as se

ções

tipo

T, a

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a da

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o a

ser c

onsi

dera

da d

eve

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arac

teriz

ada

pela

alm

a ac

resc

ida

da m

esa

cola

bora

nte.

Re

laçã

o σ s

x ε

s 2

yds

sss

7,0f

451E

−σ

+σ

=ε

O v

alor

de

ωm

ín, a

taxa

mec

ânic

a m

ínim

a de

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adur

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ngitu

dina

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o pa

ra v

igas

, val

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cdc

ydm

ín,s

mín

f.A

f.A

=ϖ

Para

as l

ajes

arm

adas

em

dua

s dire

ções

: •

Arm

adur

as n

egat

ivas

: ρs ≥

ρm

ín;

• A

rmad

uras

pos

itiva

s: ρ

s ≥ 0

,67

ρ mín,

Dire

ta: l

= 2

x 0

,25

l 2 +

2 x

10φ

+ 2

x r

Para

as a

rmad

uras

prin

cipa

is: s m

áx ≤

2

h;

20cm

; Pa

ra a

s arm

adur

as se

cund

ária

s: s m

áx ≤

33c

m;

φ máx

≤ h

/ 8

Para

as l

ajes

cor

redo

r: •

Arm

adur

as p

rinci

pais:

ρs ≥

ρm

ín;

• A

rmad

uras

secu

ndár

ias:

ρ s ≥

0,

5 ρ m

ín;

As/s

≥ 20

% d

a ar

mad

ura

prin

cipa

l; A

s/s≥

0,9c

m2 /c

m.

312

Lo

cal

Car

ga (k

N/m

2 ) 1.

Arq

uiba

ncad

as

4,

0 2.

Bal

cões

M

esm

a ca

rga

da p

eça

com

a q

ual s

e co

mun

icam

--

- 3.

Ban

cos

Escr

itório

s e b

anhe

iros

Sala

s da

dire

toria

e d

e ge

rênc

ia

2,0

1,5

4. B

iblio

teca

s Sa

la d

e le

itura

Sa

la p

ara

depó

sito

de

livro

s Sa

la c

om e

stan

tes d

e liv

ro, a

ser d

eter

min

ada

em c

ada

caso

ou

2,5

kN/m

2 por

met

ro d

e al

tura

obs

erva

do, p

orém

o v

alor

mín

imo

de

2,5

4,0

6,0

5. C

asas

de

máq

uina

s (in

clui

ndo

o pe

so d

as m

áqui

nas)

a se

r det

erm

inad

a em

cad

a ca

so, p

orém

com

o v

alor

mín

imo

de

7,5

6. C

inem

as

Plat

éia

com

ass

ento

s fix

os

Estú

dio

e pl

atéi

a co

m a

ssen

tos m

óvei

s Ba

nhei

ro

3,0

4,0

2,0

7. C

lube

s Sa

la d

e re

feiç

ões e

de

asse

mbl

éia

com

ass

ento

s fix

os

Sala

de

asse

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éia

com

ass

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s móv

eis

Salã

o de

dan

ças e

salã

o de

esp

orte

s Sa

lão

de b

ilhar

e b

anhe

iros

3,0

4,0

5,0

2,0

8. C

orre

dore

s C

om a

cess

o ao

púb

lico

Sem

ace

sso

ao p

úblic

o 1,

5 3,

0 9.

Coz

inha

s não

resi

denc

iais

A

ser d

eter

min

ada

em c

ada

caso

, por

ém c

om u

m m

ínim

o de

3,

0 10

.Dep

ósito

s A

ser d

eter

min

ada

em c

ada

caso

--

- 11

. Edi

fício

s res

iden

ciai

s D

orm

itório

s, sa

la, c

opa,

coz

inha

e b

anhe

iros

Des

pens

a, á

rea

de se

rviç

o e

lava

nder

ia

1,5

2,0

12. E

scad

as

Com

ace

sso

ao p

úblic

o Se

m a

cess

o ao

púb

lico

3,0

2,5

13. E

scol

as

Anf

iteat

ro c

om a

ssen

tos f

ixos

, cor

redo

r e sa

la d

e au

la

Out

ras s

alas

3,

0 2,

0 14

. Esc

ritór

ios

Sala

s de

uso

gera

l e b

anhe

iro

2,0

15. F

orro

s Se

m a

cess

o a

pess

oas

0,5

16. G

aler

ias d

e ar

te

A se

r det

erm

inad

a em

cad

a ca

so, p

orém

com

um

mín

imo

de

3,0

17. G

aler

ias d

e lo

jas

A se

r det

erm

inad

a em

cad

a ca

so, p

orém

com

um

mín

imo

de

3,0

18. G

arag

ens e

est

acio

nam

ento

s Pa

ra v

eícu

los d

e pa

ssag

eiro

s ou

sem

elha

ntes

com

car

ga m

áxim

a de

25

kN p

or v

eícu

lo

3,0

19. G

inás

ios d

e es

porte

s

5,0

20. H

ospi

tais

D

orm

itório

s, en

ferm

aria

s, sa

las d

e re

cupe

raçã

o, sa

la d

e ci

rurg

ia, s

ala

de ra

io X

e b

anhe

iro

Cor

redo

r 2,

0 3,

0 21

. Lab

orat

ório

s In

clui

ndo

equi

pam

ento

, a se

r det

erm

inad

a em

cad

a ca

so, p

orém

com

um

mín

imo

de

3,0

22. L

avan

deria

s In

clui

ndo

equi

pam

ento

s 3,

0 23

. Loj

as

4,

0 24

. Res

taur

ante

s

3,0

25. T

eatro

s Pa

lco

Dem

ais d

epen

dênc

ias:

igua

is à

s esp

ecifi

cada

s par

a ci

nem

as

5,0

26. T

erra

ços

Sem

ace

sso

ao p

úblic

o C

om a

cess

o ao

púb

lico

Inac

essí

vel a

pes

soas

2,0

3,0

0,5

27. V

estíb

ulo

Sem

ace

sso

ao p

úblic

o C

om a

cess

o ao

púb

lico

1,5

3,0

313

- 20m

m;

a h:

-

diâm

etro

da

barr

a,

≥

2,5c

m

- 1

,2 d

iâm

etro

máx

imo

do a

greg

ado;

- 20m

m;

a v:

- d

iâm

etro

da

barr

a

≥ 2

,5cm

- 0

,5 d

iâm

etro

máx

imo

do a

greg

ado.

φ sw

≥

5mm

e

strib

o 4

5o ⇒ 5

φ ≥

5cm

As,p

ele =

0,10

% A

c

≤ b

w /

10

0o ⇒

10φ

≥ 7

cm

S

max

,pel

e ≤

(d /3

) ≤ 2

0cm

C

= T

T

= A

s . f y

d

C =

0,8

5 . f

cd .

Ac,

zona

com

prim

ida

Min

t = C

. z

= T

. z

)I(f.

85,0f

dy

cd

ydρ

=

)II() dy

5,01(

dyd.

b.f.

85,0M

2w

cd

d−

=

)II

I(

1

8,0dy

cdsd εε+

=

()

ooo

limsc

dsc

d' sd

5,3x

'd1

f

−

=ε

ε=

σ

()'d

dMA

' sd

d' s

−σ

∆=

(

)'dd

fM

Ayd

d2s

−∆

=

b 1 ≤

0

,5 b

2

b 3 ≤

b

4 0

,1 a

0,1

a

Vig

a si

mpl

esm

ente

apo

iada

: a =

l a=

1

ee

c.2

huA

h≥

≤

Tram

o m

ono-

enga

stado

: a =

0,7

5 l

a=0,

75

1

TTVV

2RdSd

2RdSd

≤+

Tram

o bi

-eng

asta

do: a

= 0

,6 l

a=0,

6

Tram

o em

bal

anço

: a =

2 l

a=2

()

()

()

−−

=

−=

==

−=

∴=

=−

=

2hd

.h

bb

f.85,0

M

2hd

zz.

Tz.

CM

fh

bb

f.85,0

AT

C

f.A

Th

bb

f.85,0

C

ff

wf

cddI

fI

II

II

dI

yd

fw

fcd

sII

I

ydsI

If

wf

cdI

ywd

es

4R

d

eyw

d90

3R

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1,35

1,

40

1,45

1,

50

1,55

1,

60

1,80

2,

00

mx

59,5

51

,6

46,1

41

,4

37,5

34

,2

31,8

29

,6

28,0

26

,4

25,2

24

,2

23,3

20

,3

18,7

m

y 44

,1

43,6

43

,7

44,2

44

,8

40,5

46

,9

48,6

50

,3

52,3

55

,0

58,2

61

,6

79,6

10

1,0

n x

18,3

16

,6

15,4

14

,4

13,5

12

,7

12,2

11

,6

11,2

10

,9

10,6

10

,3

10,1

9,

4 8,

8 n y

16

,2

15,4

14

,8

14,3

13

,9

13,5

13

,3

13,1

13

,0

12,8

12

,7

12,6

12

,6

12,4

12

,3

Vx

0,25

0 0,

263

0,27

5 0,

288

0,30

1 0,

314

0,32

7 0,

339

0,35

0 0,

360

0,37

0 0,

378

0,38

7 0,

416

0,43

7 V

y1

0,30

4 0,

294

0,28

4 0,

274

0,26

4 0,

254

0,24

4 0,

235

0,22

7 0,

219

0,21

1 0,

202

0,19

8 0,

176

0,15

9 V

y2

0,14

2 0,

149

0,15

7 0,

164

0,17

1 0,

178

0,18

5 0,

191

0,19

6 0,

202

0,20

8 0,

214

0,21

7 0,

232

0,24

5

R

x yR

y6R

x

yR

x

ε 1,

00

1,05

1,

10

1,15

1,

20

1,25

1,

30

1,35

1,

40

1,45

1,

50

1,55

1,

60

1,80

2,

00

mx

56,8

50

,6

46,1

42

,4

39,4

37

,0

34,8

33

,3

31,9

30

,6

29,6

28

,8

28,1

26

,0

25,0

m

y 56

,8

58,2

60

,3

62,6

65

,8

69,4

73

,6

78,4

83

,4

89,4

93

,5

96,1

98

,1 1

03,3

105

,0

n x

19,4

18

,2

47,1

16

,3

15,5

14

,9

14,5

14

,0

13,7

13

,4

13,2

13

,0

12,8

12

,3

12,0

n y

19

,4

18,8

18

,4

18,1

17

,9

17,7

17

,6

17,5

17

,5

17,5

17

,5

17,5

17

,5

17,5

17

,5

Vx

0,25

0 0,

262

0,27

3 0,

283

0,29

2 0,

300

0,30

8 0,

315

0,32

1 0,

327

0,33

3 0,

339

0,34

4 0,

361

0,37

5 V

y 0,

250

0,23

8 0,

227

0,21

7 0,

208

0,20

0 0,

192

0,18

5 0,

179

0,17

3 0,

167

0,16

1 0,

156

0,13

9 0,

125

316

Tabela XIII – Flexão simples em seção retangular – armadura simples (PINHEIRO, 1993).

)kN/cm(M

d.bK 2

d

2

c = )kN/cm(M

d.AK 2

d

ss =

dx

x =β

C10 C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA25 CA50A CA50B CA60 B

D O M Í N I O

0,02 103,8 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,023 0,019

0,04 52,3 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,023 0,019

0,06 35,2 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,047 0,024 0,024 0,020 0,08 26,6 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,024 0,020

0,10 21,4 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,024 0,020

0,12 18,0 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,024 0,024 0,020

0,14 15,6 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,024 0,020 0,16 13,7 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,025 0,020

0,18 12,3 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,050 0,025 0,025 0,021

0,20 11,2 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,050 0,025 0,025 0,021

0,22 10,3 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,050 0,025 0,025 0,021 0,24 9,5 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,050 0,025 0,025 0,021

0,26 8,8 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,051 0,026 0,026 0,021

2

0,28 8,3 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,026 0,026 0,022

0,30 7,8 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,026 0,026 0,022 0,32 7,4 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,026 0,026 0,022

0,34 7,0 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,053 0,027 0,027 0,022

0,36 6,7 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,027 0,027 0,022

0,38 6,4 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,027 0,027 0,023 0,40 6,1 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,027 0,027 0,023

0,438 5,7 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,028 0,023

3

0,44 5,7 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,028 0,023

0,462 5,5 3,6 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,028 0,024

0,48 5,3 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,057 0,028 0,029 0,025 0,52 5,0 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,058 0,029 0,031 0,027

0,56 4,7 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,030 0,033 0,029

0,60 4,5 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,030 0,035 ---

0,628 4,4 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,037 ---

0,64 4,3 2,9 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,9 0,062 --- --- ---

0,68 4,2 2,8 2,1 1,7 1,4 1,2 1,0 0,9 0,8 0,063 --- --- ---

0,72 4,0 2,7 2,0 1,6 1,3 1,2 1,0 0,9 0,8 0,065 --- --- ---

0,76 3,9 2,6 2,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,066 --- --- --- 0,772 3,9 2,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,067 --- --- ---

4

Elaborada por Sebastião W. Mendes e Libânio Miranda Pinheiro

Diagrama Retangular de Tensões no Concreto, γc = 1,4 e γs = 1,15

Para γc ≠ 1,4, multiplicar b por 1,4/ γc antes de usar a tabela

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Eng 118 -_modulo_2012_1