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Transformada de Fourier de tempo discreto ENGC33: Sinais e Sistemas II Departamento de Engenharia El ´ etrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 07 de dezembro de 2016 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 25

ENGC33: Sinais e Sistemas II - DEE – Departamento de ... · Transformada de Fourier de tempo discreto ENGC33: Sinais e Sistemas II Departamento de Engenharia Eletrica - DEE´ Universidade

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Transformada de Fourier de tempo discreto

ENGC33: Sinais e Sistemas II

Departamento de Engenharia Eletrica - DEEUniversidade Federal da Bahia - UFBA

07 de dezembro de 2016

Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 25

Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Representacao de sinais aperiodicos

4 Transformada de Fourier

5 Comentarios Finais

Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 25

Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Representacao de sinais aperiodicos

4 Transformada de Fourier

5 Comentarios Finais

Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 25

Introducao

Objetivos da aula de hoje:

Apresentar a Transformada de Fourier de tempo discreto;

Realizar discussoes baseadas em exemplos.

Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 25

Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Representacao de sinais aperiodicos

4 Transformada de Fourier

5 Comentarios Finais

Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 25

RevisaoSerie de Fourier

Serie de Fourier de tempo discreto ⇒ Sinais periodicos.

Decomposicao numa serie de exponenciais complexas

x [n] =∑

k=〈N0〉

ak ejk(2π/N0)n,

ak =1

N0

n=〈N0〉

x [n]e−jk(2π/N0)n.

Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 25

Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Representacao de sinais aperiodicos

4 Transformada de Fourier

5 Comentarios Finais

Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 25

Representacao de sinais aperiodicosFormulacao via sinal periodico

Seja x [n] um sinal periodico, considerem x [n] como segue

x [n] =

x [n], −N1 ≤ n ≤ N2

0, para outros casos

0−N1

N2

N0

−N0

0−N1

N2

x[n]

x [n]

Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 25

Representacao de sinais aperiodicosFormulacao via sinal periodico

Para N0 → ∞, temos x [n] = x [n] para qualquer n finito (n < ∞).

0−N1

N2

N0

−N0

0−N1

N2

x[n]

x [n]

Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 25

Representacao de sinais aperiodicosObtencao da serie de Fourier

Como x [n] e periodico, temos:

x [n] =∑

k=〈N0〉

ak ejk(2π/N0)n,

ak =1

N0

n=〈N0〉

x [n]e−jk(2π/N0)n.

Por conveniencia escolheremos n = 〈N0〉 de maneira que

ak =1

N0

N2∑

n=−N1

x [n]e−jk(2π/N0)n.

Para o intervalo em questao, x [n] = x [n], entao

ak =1

N0

N2∑

n=−N1

x [n]e−jk(2π/N0)n =1

N0

∞∑

n=−∞

x [n]e−jk(2π/N0)n.

Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 25

Representacao de sinais aperiodicosObtencao da serie de Fourier

Sabemos que o coeficiente de Fourier pode ser calculado por

ak =1

N0

∞∑

n=−∞

x [n]e−jk(2π/N0)n.

Considerem uma frequencia Ω qualquer dada por

Ω = kΩ0 = k2π/N0.

Vamos definir uma funcao X(ejΩ) conveniente

X(ejΩ) =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jΩn =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jkΩon = X(ejkΩ0)

Assim temos

ak =1

N0X(ejkΩ0),

bem como

x [n] =∑

k=〈N0〉

1

N0X(ejkΩ0)ejkΩ0n.

Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 25

Representacao de sinais aperiodicosObtencao da serie de Fourier

Sabemos que o coeficiente de Fourier pode ser calculado por

ak =1

N0

∞∑

n=−∞

x [n]e−jk(2π/N0)n.

Considerem uma frequencia Ω qualquer dada por

Ω = kΩ0 = k2π/N0.

Vamos definir uma funcao X(ejΩ) conveniente

X(ejΩ) =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jΩn =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jkΩon = X(ejkΩ0)

Assim temos

ak =1

N0X(ejkΩ0),

bem como

x [n] =∑

k=〈N0〉

1

N0X(ejkΩ0)ejkΩ0n.

Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 25

Representacao de sinais aperiodicosObtencao da serie de Fourier

Sabemos que o coeficiente de Fourier pode ser calculado por

ak =1

N0

∞∑

n=−∞

x [n]e−jk(2π/N0)n.

Considerem uma frequencia Ω qualquer dada por

Ω = kΩ0 = k2π/N0.

Vamos definir uma funcao X(ejΩ) conveniente

X(ejΩ) =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jΩn =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jkΩon = X(ejkΩ0)

Assim temos

ak =1

N0X(ejkΩ0),

bem como

x [n] =∑

k=〈N0〉

1

N0X(ejkΩ0)ejkΩ0n.

Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 25

Representacao de sinais aperiodicosObtencao da serie de Fourier

Chegamos a relacao

x [n] =∑

k=〈N0〉

1

N0X(ejkΩ0)ejkΩ0n.

com

X(ejkΩ0) =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jkΩ0n.

Uma vez que Ω0 = 2π/N0, temos 1/N0 = Ω0/(2π) de maneira que

x [n] =∑

k=〈N0〉

Ω0

2πX(ejkΩ0)ejkΩ0n =

1

k=〈N0〉

X(ejkΩ0)ejkΩ0nΩ0.

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Representacao de sinais aperiodicosInterpretacao grafica

Seja Ω = kΩ0 com

x [n] =1

k=〈N0〉

X(ejkΩ0)ejkΩ0nΩ0,

pode-se utilizar a seguinte interpretacao grafica.

0Ω=kΩ

0

X(ejΩ

)ejΩn

=X(ejkΩ

0)ejkΩ

0 n

−2π −π π 2π

Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 25

Representacao de sinais aperiodicosInterpretacao grafica

Seja Ω = kΩ0 com

x [n] =1

k=〈N0〉

X(ejkΩ0)ejkΩ0nΩ0 =1

k=〈N0〉

X(ejΩ)ejΩn∆Ω,

pode-se utilizar a seguinte interpretacao grafica.

X(ejΩ

)ejΩn

−2π −π π 2π

Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 25

Representacao de sinais aperiodicosInterpretacao grafica

Da definicao de x [n] sabemos que

x [n] = limN0→∞

x [n] = limN0→∞

1

k=〈N0〉

X(ejΩ)ejΩn∆Ω.

X(ejΩ

)ejΩn

−2π −π π 2π

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Representacao de sinais aperiodicosTransformada de Fourier

Da definicao de x [n] sabemos que

x [n] = limN0→∞

x [n] = limN0→∞

1

k=〈N0〉

X(ejkΩ0)ejkΩ0n∆Ω.

Alem disso sabemos que

∆Ω = 2π/N0 de maneira que ∆Ω → dΩ quando N0 → ∞.

N0∆Ω = N0Ω0 = N02π/N0 = 2π;

Da definicao da soma de Rieman:

x [n] =1

X(ejΩ)ejΩndΩ.

Assim chegamos ao par da Transformada de Fourier:

x [n] =1

X(ejΩ)ejΩndΩ

X(ejΩ) =∞∑

n=−∞

x [n]e−jΩn

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Representacao de sinais aperiodicosTransformada de Fourier

Da definicao de x [n] sabemos que

x [n] = limN0→∞

x [n] = limN0→∞

1

k=〈N0〉

X(ejkΩ0)ejkΩ0n∆Ω.

Alem disso sabemos que

∆Ω = 2π/N0 de maneira que ∆Ω → dΩ quando N0 → ∞.

N0∆Ω = N0Ω0 = N02π/N0 = 2π;

Da definicao da soma de Rieman:

x [n] =1

X(ejΩ)ejΩndΩ.

Assim chegamos ao par da Transformada de Fourier:

x [n] =1

X(ejΩ)ejΩndΩ

X(ejΩ) =∞∑

n=−∞

x [n]e−jΩn

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Representacao de sinais aperiodicosTransformada de Fourier

Da definicao de x [n] sabemos que

x [n] = limN0→∞

x [n] = limN0→∞

1

k=〈N0〉

X(ejkΩ0)ejkΩ0n∆Ω.

Alem disso sabemos que

∆Ω = 2π/N0 de maneira que ∆Ω → dΩ quando N0 → ∞.

N0∆Ω = N0Ω0 = N02π/N0 = 2π;

Da definicao da soma de Rieman:

x [n] =1

X(ejΩ)ejΩndΩ.

Assim chegamos ao par da Transformada de Fourier:

x [n] =1

X(ejΩ)ejΩndΩ

X(ejΩ) =∞∑

n=−∞

x [n]e−jΩn

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Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Representacao de sinais aperiodicos

4 Transformada de Fourier

5 Comentarios Finais

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Transformada de FourierComentarios

Equacao de sıntese:

x [n] =1

X(ejΩ)ejΩndΩ.

Equacao de analise:

X(ejΩ) =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jΩn.

X(ejΩ) e chamado de espectro (spectrum) de x [n].

X(ejΩ) e uma funcao periodica.

O intervalo de integracao da Eq. de sıntese e finito.

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Transformada de FourierExemplos

Exemplo 5.1 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectral

do sinal

x [n] = anu[n], |a| < 1.

Exemplo 5.2 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectraldo sinal

x [n] = a|n|, |a| < 1.

Exemplo 5.3 - casa (Oppenheim) Determinar o comportamentoespectral do sinal

x [n] =

1, |n| ≤ 10, |n| > 1.

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Transformada de FourierExemplos

Exemplo 5.1 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectral

do sinal

x [n] = anu[n], |a| < 1.

Exemplo 5.2 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectraldo sinal

x [n] = a|n|, |a| < 1.

Exemplo 5.3 - casa (Oppenheim) Determinar o comportamentoespectral do sinal

x [n] =

1, |n| ≤ 10, |n| > 1.

Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 25

Transformada de FourierExemplos

Exemplo 5.1 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectral

do sinal

x [n] = anu[n], |a| < 1.

Exemplo 5.2 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectraldo sinal

x [n] = a|n|, |a| < 1.

Exemplo 5.3 - casa (Oppenheim) Determinar o comportamentoespectral do sinal

x [n] =

1, |n| ≤ 10, |n| > 1.

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Transformada de FourierAspectos de convergencia

Para obter o par

x [n] =1

X(ejΩ)ejΩndΩ

X(ejΩ) =

∞∑

n=−∞

x [n]e−jΩn

assumiu-se que x [n] tem duracao finita.

Para obtencao da Eq. de analise basta que

∞∑

−∞

|x [n]| < ∞

ou que o sinal tenha energia finita

∞∑

−∞

|x [n]|2 < ∞.

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Transformada de FourierSinais periodico

Um sinal periodico x [n] pode ser expresso pela serie de Fourier na

forma:x [n] =

k=〈N0〉

ak ejk(2π/N0)n.

Neste caso, a transformada de Fourier e dada por:

X(ejΩ) =

∞∑

k=−∞

2πakδ

(

Ω−2πk

N0

)

.

Exercıcio para casa - demonstrar que:

x [n] =1

∞∑

k=−∞

2πakδ

(

Ω−2πk

N0

)

ejΩndΩ

=∑

k=〈N0〉

ak ejk(2π/N0)n

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Transformada de FourierSinais periodico

Exemplo: Considerando a relacao para sinais periodicos

x [n] =∑

k=〈N0〉

ak ejk(2π/N0)n

X(ejΩ) =

∞∑

k=−∞

2πakδ

(

Ω−2πk

N0

)

determine X(ejΩ) para o sinal x [n] = sen((2π/N0)n) = sen(Ω0n).

Sabemos que:

a−1+mN0=

−1

2j, m = −...,−1, 0, 1, ...

a1+mN0=

1

2j, m = −...,−1, 0, 1, ...

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Transformada de FourierSinais periodico

Exemplo: Considerando a relacao para sinais periodicos

x [n] =∑

k=〈N0〉

ak ejk(2π/N0)n

X(ejΩ) =

∞∑

k=−∞

2πakδ

(

Ω−2πk

N0

)

determine X(ejΩ) para o sinal x [n] = sen((2π/N0)n) = sen(Ω0n).

Sabemos que:

a−1+mN0=

−1

2j, m = −...,−1, 0, 1, ...

a1+mN0=

1

2j, m = −...,−1, 0, 1, ...

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Transformada de FourierSinais periodico

Assim temos

a−1+mN0=

−1

2j, m = −...,−1, 0, 1, ...

a1+mN0=

1

2j, m = −...,−1, 0, 1, ...

com

X (ejΩ) =

∞∑

k=−∞

2πakδ

(

Ω−

2πk

N0

)

=

∞∑

m=−∞

−2jδ

(

Ω−

2π(−1 + mN0)

N0

)

+

∞∑

m=−∞

2jδ

(

Ω−

2π(1 + mN0)

N0

)

=

∞∑

m=−∞

π

(

Ω+2π

N0− 2πm

)

+

∞∑

m=−∞

π

(

Ω−

N0− 2πm

)

.

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Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Representacao de sinais aperiodicos

4 Transformada de Fourier

5 Comentarios Finais

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Comentarios Finais

Nesta aula apresentou-se a transformada de Fourier de tempo

discreto;

Foram apresentados alguns exemplos de determinacao da

transformada de Fourier de tempo discreto;

Na proxima aula discutiremos sobre:

Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto.

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