Engenharia Econômica (Matemática Financeira 01) (1)

8/18/2019 Engenharia Econômica (Matemática Financeira 01) (1)

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ENGENHARIA ECONÔMICA

Mossoró – RN

Mendonça Jr, A. F.


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CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES


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É consenso que o OBJETIVO relevante de umaempresa, numa economia de livre iniciativa e em

regime de concorrência, consiste na MAXIMIZAÇÃODOS LUCROS de seus proprietários, a longo prazo.



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INVESTIMENTO

Pode ser definido como sendo “o ato de aplicação de umdeterminado recurso em um uso, na expectativa de obtêr-se um benefício satisfatório durante certo número deperíodos futuros”.



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A necessidade de se buscar resultados eficazes paraa consecução do objetivo, exige o desenvolvimento de

novos produtos, construção de outras fábricas,substituição de equipamentos obsoletos, novosmétodos de fabricação e comercialização, sistemasmais econômicos para a movimentação de materiais,

incorporando de forma definitiva o INVESTIMENTOcomo um fato da vida econômica da empresa.



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O QUE É ENGENHARIA ECONÔMICA


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O QUE É ENGENHARIA ECONÔMICA

É a técnica que possibilita quantificar monetariamente eavaliar economicamente alternativas, permitindo aoadministrador a posse do conjunto de elementos necessários

à correta tomada de decisão.

Sucintamente, pode-se definir Engenharia Econômica como oconjunto de princípios e técnicas necessárias à tomada de

decisões sobre alternativas de investimento.

ELIZANDRO, D.W.; MATSON, J. O. (2007)


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ABORDAGEM

Pagamentos ou séries de pagamentos futuros que reembolsemuma quantia presente com juros, podendo esses valores seremcalculados por fórmulas adequadas, que se podem representarpor fatores.

É possível comparar alternativas de INVESTIMENTO comdiferentes séries prospectivas de receitas e despesas utilizando osmétodos do valor anual equivalente, valor presente, taxa derendimento e/ou análise benefício-custo.


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OBJETIVOS

Estudar Engenharia Econômica tem por objetivo a

AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS (projetos), propiciando

informações quantitativas para a ESCOLHA daquelemais rentável, através de indicadores que possibilitam a

sua comparação.


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Situações para aplicação da Eng. Econômica


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Assuntos tratados na aula

O valor do dinheiro no tempo. Critérios de capitalização de juros. Juros simples

Juros compostos.

CONVERSÕES DE TAXAS DE JUROS. FLUXO DE CAIXA.


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Bibliografia

MATEMATICA FINANCEIRA E SUAS APLICAÇÕES BASICAS, Assaf,Alexandre Neto, Editora Atlas, 4a. Edição, 419 p., São Paulo, 1996.

MATEMATICA FINANCEIRA. Vieira, Jose Dutra Sobrinho, Editora Atlas,7a. Edição, 409 p., São Paulo, 2000.

MATEMATICA FINANCEIRA. Puccini, 5a.Edição, 318p. São Paulo1998.


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1. Introdução: O valor do dinheiro no tempo

1.1 O valor do dinheiro no tempo

A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro aolongo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises ecomparações dos vários fluxos de entrada e saída de caixa,verificados em diferentes momentos. Sabe-se, intuitivamente, que émelhor ter uma determinada quantia ou crédito hoje do que em, 3

anos, por exemplo.

Receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa.


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1.2 Definição de juros e de taxa de juros

JURO representa a remuneração do capital emprestado, podendo

ser entendido como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Pode serdefinido, ainda, como o custo pelo uso do dinheiro. (DUTRA, 2000)

No entanto, estar-se-á assumindo uma expectativa de ganho

futuro, aliada a uma certa probabilidade de falha inerente aoempreendimento, que poderá resultar em ganhos aquém doesperado e até mesmo em prejuízo.


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1.2 Definição de juros e de taxa de juros

“Suponha que o Sr. Marcos tenha optado pela alternativa de investir

seu capital na aquisição de um apartamento em estágio deconstrução, para vendê-lo quando concluído, por considerar que,além do lucro satisfatório que lhe será proporcionado, as chances deocorrência de um resultado desfavorável são reduzidas.”

TAXA DE JUROS é a relação entre o juros recebido ou pago aofinal de certo período de tempo de tempo (prazo) e o capitalinicialmente aplicado, sendo definido como segue.


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i = J/POnde:

i - Taxa de juro

J - Valor do juro pago

P - Principal ou Valor Presente

Observe que a taxa de juro deve ser, sempre, expressa numa unidade detempo.

20% a.a., 15% a.t., etc.



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1. Introdução: Formação da taxa de juros

1.3 Fatores que influenciam a formação da taxa de juros

Custo de captação: taxa paga aos investidores + rateio de despesas

administrativas;

Margem de lucro: taxa para remunerar o capital investido;

Taxa de risco: inadiplencia que é calculada pela relação entre volume

de empréstimos não honrados e volume total de empréstimos concedidos;

Inflação: taxa embutida para compensar a perda de poder aquisitivoda moeda.


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2. Critério de capitalização de juros:

2.1 Critérios de capitalização

Os critérios ou regimes de capitalização demonstram como os juros sãoformados e incorporados sucessivamente ao capital ao longo do tempo.Podem ser identificados dois regimes de capitalizaçãode juros: simples (linear) e composto (exponencial).

2.2 Regime de capitalização simplesO regime de capitalização simples comporta-se como uma progressãoaritmética (PA), com os juros crescendo linearmente ao longo do tempo. Poreste critério, os juros só incidem sobre o capital inicial (principal).


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Admita-se um depósito de R$1.000 remunerados a uma taxa de 10% a.a. Os jurosapurados ao longo de 5 anos, os juros acumulados e os montantes (capital inicial+juros) estão demonstrados no quadro 1:

Quadro 1: Juros apurados com capitalização simples

Ano Juros apurados Juros acumulados Montante

em cada ano ano no ano

início 1o. Ano 0 1000

fim 1o. Ano 100 100 1100

fim 2o. Ano 100 200 1200

fim 3o. Ano 100 300 1300

fim 4o. Ano 100 400 1400

fim 5o. Ano 100 500 1500



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Quadro 2: Juros apurados com capitalização composta

Ano Juros apurados Juros acumulados Montante

em cada ano ano no ano

início 1o. Ano 0 1000

fim 1o. Ano 100 100 1100

fim 2o. Ano 110,00 210 1210

fim 3o. Ano 121,00 331 1331

fim 4o. Ano 133,10 464,1 1464,1

fim 5o. Ano 146,41 610,51 1610,51

Considere-se os mesmo R$ 1000,00 de capital inicial e a mesma taxa de juros de10% a.a. adotados no exemplo anterior. O cálculo dos juros acumulados e domontante são ilustrados no quadro 2:



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i=20% Montante Montante DiferençaAno Juros simples Juros compostos

início 1o. Ano 1000 1000 0

fim 1o. Ano 1200 1200 0

fim 2o. Ano 1400 1440 40

fim 3o. Ano 1600 1728 128

fim 4o. Ano 1800 2073,6 273,6

fim 5o. Ano 2000 2488,32 488,32

i=10% Montante Montante Diferença

Ano Juros simples Juros compostos

início 1o. Ano 1000 1000 0

fim 1o. Ano 1100 1100 0

fim 2o. Ano 1200 1210 10

fim 3o. Ano 1300 1331 31

fim 4o. Ano 1400 1464,1 64,1

fim 5o. Ano 1500 1610,51 110,51

As diferenças entre a capitalização simples e a compostacresce, exponencialmente, com a taxa de juros...

Quadro 4: Juros apurados com capitalização composta

Quadro 3: Juros com capitalização composta (i=10%)


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0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

1 2 3 4 5 6

line ar 5%

i = 5%

i = 10%

i = 20%

i = 30%

Número de períodos

Fig. 2.1: Capitalização simples e composta

As diferenças entre a capitalização simples e a compostacresce, exponencialmente, com a taxa de juros...


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2.4 Capitalização simples

2.4.1 Cálculos dos jurosO valor dos juros num regime de capitalização simples é dado pela

expressão:

Onde:

J - valor do Juro em valores monetários; P - valor do capital inicial ou principal;

n - prazo ou número de períodos.

(Eq. 02)

J = P . i . n



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EXEMPLO:

1. Qual é o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 1.000,00 peloprazo de 4 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 5,0% a.m.

SOLUÇÃO: J = P . i . n

J = R$ 200,00



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2.4.2 Montante e valor atualO montante ou valor futuro, indicado por M ou F, representa a soma doprincipal e dos juros referentes ao período de aplicação:

(Eq. 03)

M = P + J

Inserindo a equação 2 na equação 3, teremos:

M = P + P . i . n Ou M = P (1 + i . n )



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EXEMPLO:

Sabendo-se que os juros de $6.000,00 foram obtidos com a aplicação de$7.500,00 a taxa de 8% ao trimestre, pede-se para calcular o prazo deaplicação.

P: 7500,00; J: 6.000,00; i: 8% a.t.; n: a ser calculado

SOLUÇÃO: J = P . i . n

n = J/(P . i ) = 10 trimestres



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1. Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado a taxa de

24% ao ano, durante 7 meses.

R: $ 8.400,00.

2. Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $

11.200. Determinar a taxa anual.

R: 60 %.

3. Durante 155 dias certo capital gerou um montante de R$ 64.200. Sabendo-

se que a taxa de juros é de 4 % ao mês, deteminar o valor do capital aplicado.

R: $ 53.204,42.

EXERCÍCIOS


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4. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00,

resultante da aplicação de certo capital a taxa de 42% ao ano,

durante 13 meses.

R: R$ 31.271,48

F = P + J => J = F – P => P.i.n = F – P => (P.i.n) + P = F

EXERCÍCIOS


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5. Qual o valor a ser pago, no fim de 5 meses e 18 dias,

correspondente a um empréstimo de R$ 125.000,00, sabendo-se

que a taxa de juros é de 27% ao semestre.

R: R$ 156.500,00

EXERCÍCIOS

F = P (1 + i . n )


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2.5 Capitalização composta

2.5.1 Cálculos dos juros num regime de capitalização composta

Consideremos, num regime de capitalização composta, um principal P, ou valorpresente, uma taxa de juros, i, e um montante F, também chamado de valorfuturo, a ser capitalizado e um prazo n. No fim do 1o. período, o montante S seráigual a:

F = P + P . i ou P ( 1 + i )


O juro pago no fim do 2o. período será igual a:

P (1 + i) i


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Portanto, o montante S, no fim do 2o. período, será dado por:

P (1 + i) + P (1 + i) i ou F = P (1 + i)2

E, assim, ao término do n-ésimo período o montante F, será dado por:

(Eq. 04)

F = P (1 + i)n



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O fator (1 + i)n é denominado Fator de Capitalização (FCC), podendo sertabelado para uma determinada taxa i, e para um determinado número deperíodos n.

2.5.1 Cálculo do valor futuro F, dados, P, i e n

Assim, dada a Eq. 04 podemos resolver problemas do seguinte tipo:

(...) conhecido o valor do principal P, ou valor presente, a taxa de juros i e o número de períodos n aser capitalizado, podemos calcular o Montante F, ou valor futuro, como mostrado no fluxo de caixaabaixo:

F =

P

1 32

n

Fig. 2.2: Fluxo de caixa da situação:

Dados P, i e n calcular F.



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EXEMPLO:

Quanto renderá em 6 meses, um capital de $ 2000,00, aplicado auma taxa de juros de 5% a.m.

Aplicando a Eq. 04: F = P ( 1 + i )n

F = $ 2.680,00



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2.5.2 Cálculo do valor presente P, conhecido o valor futuro F

A partir da Eq. 04 pode-se deduzir que:

(Eq. 05)

O fator é denominado Fator de Atualização de Capital (FAC) e é igualmente tabelado parauma determinada taxa de juros i e um determinado número de períodos n.

Passemos a adotar a seguinte notação para este fator: dada uma taxa de juros de 4% a.p. e 5períodos o fator FAC (4%, 5) será de 0,82193. Note que os fatores FCC e FAC são números inversos,isto é, se multiplicarmos FAC (4%, 5) por FCC (4%, 5) obteremos 1 ou, no nosso exemplo, 0,8121 x1,21665 = 1.

ni)1(

1



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(...) conhecido o valor F, ou valor futuro, a taxa de juros i e o número de períodosde capitalização n, podemos calcular o valor P, ou valor presente, como mostradono fluxo de caixa abaixo:

F

P =

1 32

n

Fig. 2.3: Fluxo de caixa da situação:Dados S, i e n calcular P.

EXEMPLO:Quanto deverei aplicar hoje, num regime de capitalização composta, para obter, a uma taxa de 2%a.m., em 18 meses, a quantia de $ 5.000,00.

SOLUÇÃO: Aplicando a Eq. 05,

P = $ 3500,78

P = F . FAC(2%, 18) = $ 3.500,78.


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1. Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a.m. em um regime de juros

compostos, a partir de um principal de $ 1.000.000,00.

R: $ 1.428.250,00

2. Qual é o principal que deve ser investido nesta data para se obter um montante de

$500.000,00, daqui a 2 anos, a uma taxa de 15% a.s. em um regime de juros compostos.

R: $ 285.876,62

3. Quanto se terá daqui a 26 trimestres ao se aplicar $ 100.000,00 nesta data, a uma taxa de

2,75% a.m. no regime de juros compostos.

R: $ 829.817,86

EXERCÍCIOS:


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4. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, de 2% a.m., de forma que possa retirar

$ 10.000,00 no final do 6o mês e $ 20.000,00 no final do décimo segundo mês. Qual o menor

valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados.

R: $ 24.650,00

5. Em quanto tempo triplica um capital que cresce a uma taxa de 3,0% a.m.

R: 37,1 meses

6. Que taxa de juros está embutida numa operação que dobra o capital inicial de $ 1400,00num prazo de 14 meses.

R: 5,076% a.m.

EXERCÍCIOS:


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RESPOSTAS:

4. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, de 2% a.m., de forma que possa retirar

$ 10.000,00 no final do 6° mês e $ 20.000,00 no final do décimo segundo mês. Qual o menor

valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados.

R: $ 24.650,00.

+


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RESPOSTAS:

5. Em quanto tempo triplica um capital que cresce a uma taxa de 3,0% a.m.

R: 37,1 meses

F = P (1 + i)

n

n = (ln F – ln P) / ln (1+i)


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RESPOSTAS:

6. Que taxa de juros está embutida numa operação que dobra o capital inicial de $ 1400,00

num prazo de 14 meses.

R: 5,076% a.m.

F = P (1 + i)n

Log (1 + i)n = Log (F/P)

n Log (1 + i) = Log (F/P)

Log (1 + i) = Log (F/P)/n

(1 + i) = 10 ((Log F/P)/n)

((Log F/P)/n)

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