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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 1 Introdução Engrenagem é um conjunto de duas rodas dentadas acopladas entre si. As engrenagens servem para a transmissão do movimento de rotação entre veios. Um elemento isolado de uma engrenagem é uma roda dentada. Ao elemento de maior número de dentes chama-se roda e ao elemento de menor número de dentes chama-se pinhão. Uma das duas rodas de uma engrenagem considerada relativamente à outra designa-se por roda conjugada.

Engrenagens 2

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 1

Introdução

Engrenagem é um conjunto de duas rodas dentadas acopladas entre si.

As engrenagens servem para a transmissão do movimento de rotação entre veios.

Um elemento isolado de uma engrenagem é uma roda dentada. Ao elemento de maior número de dentes chama-se roda e ao elemento de menor número de dentes chama-se pinhão.

Uma das duas rodas de uma engrenagem considerada relativamente à outra designa-se por roda conjugada.

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Introdução – Classificação das Engrenagens

As engrenagens podem ser classificadas quanto a:

Eixos:

Esquerdos

Paralelos

Concorrentesde: Norma DIN 3998: “Denominations on Gears and Gear Pairs”

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As engrenagens podem ser classificadas quanto a:

Dentado:

Helicoidal

de: Norma DIN 3998: “Denominations on Gears and Gear Pairs”

Recto

Introdução – Classificação das Engrenagens

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As engrenagens podem ser classificadas quanto a:

Posição:

Engrenagem Interior Engrenagem Exterior

de: Norma DIN 3998: “Denominations on Gears and Gear Pairs”

Introdução – Classificação das Engrenagens

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Introdução

Um dos modelos

cinemáticos Reuleaux da

FEUP

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Cinemática

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Engrenagens Paralelas Exteriores

Pretende-se que os eixos O1Z e O2Z, fixos, paralelos, e cujos traços no desenho são os pontos O1 e O2, rodem com velocidades angulares ω1 e ω2.

O plano π1 solidário de O1Z roda com velocidade angular em torno de O1.O plano π2 solidário de O2Z, coincidente com π1, roda com velocidade angular em torno de O2.

ω k1

ω k2−

O centro instantâneo do movimento π1 relativamente a π2 é o ponto I que tem a mesma velocidade, quer pertença a π1 ou a π2.

( )MM π v ω k MO1 1 11∈ → = ×

( )MM π v ω k MO2 2 22∈ → =− ×

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Engrenagens Paralelas Exteriores

O ponto I pertence à recta O1O2 tal que:

( ) ( )I Iv v ω k IO ω k IO1 1 2 21 2= ⇔ × =− ×

Fazendo:

IO r j1 1=−

IO r j2 2=

ω k r j ω k r j1 1 2 2⇒ ×− =− ×

A posição do ponto I é definida através das expressões:

A quantidade a designa-se por entre-eixo.

rω r ω1 1 2 2=r r OO a1 2 1 2+ = =

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Engrenagens Paralelas Exteriores

Verifica-se que e são constantes.

Como a razão é constante, então

rr

1

2

r r1 2+

IO ωωIO

1 2

12

=

o centro instantâneo I ocupa uma posição fixa.

O movimento relativo entre π1 e π2 é

tangente a uma rotação de valor

que intersecta o plano de

referência no ponto I.

relω ω ω1 2= −

( )relω ω ω1 2= +

O ponto I considerado solidário de π1 descreve uma circunferência de raio r1 e centro O1. Se considerado solidário de π2, descreve uma circunferência de raio r2e centro O2. Estas circunferências são os círculos primitivos, lugares geométricos das sucessivas posições do eixo central do movimento relativo entre π1 e π2.

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Engrenagens Paralelas Exteriores

Assim, define-se superfície primitiva como a superfície descrita pelo eixo instantâneo do movimento relativo da roda conjugada relativamente à roda considerada.

O ponto I é o único ponto onde há rolamento sem escorregamento entre π1 e π2.

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Engrenagens Paralelas Interiores

Neste caso o ponto I é exterior ao segmento tal que:OO1 2

ω k IO ω k IO1 1 2 2− × =− ×

ω k r j ω k r j1 1 2 2− × =− ×

rω r ω1 1 2 2=

r r OO a1 2 1 2− = =

relω ω ω1 2= −

Mas agora e têm o mesmo sentido:ω1 ω2

relω ω ω1 2= −

A velocidade angular relativa é menor do que nas engrenagens exteriores. As superfícies primitivas são ainda cilíndricas, mas uma é interior à outra.

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Engrenagens Cónicas ou Concorrentes

ω1

OX1 e OX2 são eixos complanares concorrentes em O, ligados com velocidades de rotação e . Os dois eixos fazem entre si um ângulo Σ.

ω1 ω2

Sejam S1 e S2 duas superfícies esféricas, com centro em O, igual raio R, que rodam com velocidade angular e em torno de OX1 e OX2 respectivamente.

ω2

O ponto I que tem a mesma velocidade quer pertença a S1 ou S2 é dado pela expressão:

ω IO ω IO1 2× = ×

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Engrenagens Cónicas ou Concorrentes

I terá que ser um ponto do eixo central do movimento relativo de rotação S1 / S2. Pela teoria do movimento relativo:

SS SSΩ Ω

11 2

2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜= +⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

rel relω ω ω ω ω ω1 2 1 2= + ⇒ = −

I é dado pela intersecção de com a circunferência C.

relω

rω r ω1 1 2 2=

Ou: Rsenγ ω Rsenγ ω1 1 2 2=

Ou:senγ ωsenγ ωγ γ Σ

1 2

2 1

1 2

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎨⎪⎪ + =⎪⎪⎩

relω ω ω ωω cos Σ2 21 2 1 22= + +

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Consideraçõe Básicas; Corte por Cremalheira

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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira

Transmissão por rodas de fricção

Proporções normalizadas:

zp πr2=pmπ

=

ar r m= +

dr r , m1 25= −

br r cosα=

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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira

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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira

O entre-eixo normal a é a soma dos raios primitivos de corte dos dois elementos dentados que compõe a engrenagem.

z za m1 202

+=

O passo primitivo é o comprimento de arco de círculo primitivo compreendido entre dois perfis homólogos de dentes consecutivos. O módulo é o quociente entre o passo e π.

pmπ

00 =

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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira

AUTOCADPrograma Roda2007

disponível no SiFEUP

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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira

AUTOCADPrograma Roda2007

disponível no SiFEUP

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Considerações Básicas; Corte por Cremalheira

AUTOCADPrograma Roda2007

disponível no SiFEUP

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Maquinagem em Frezadora Convencional

Nota: a evolvente de círculo é uma curva

associada a um círculo de um dado raio. Neste

processo de corte uma mesma ferramenta pode servir para rodas com Z

diferente, e consequentemente a

precisão é menor do que a obtida no processo MAAG

de: H. Gerling; “À Volta da Máquina-Ferramenta”; Reverté 1967.

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Geração do Dentado em Evolvente de Círculo

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Geração do Dentado em Evolvente de Círculo

O plano P rola sem escorregar sobre a superfície cilíndrica C1. é o eixo instantâneo do movimento de rotação relativa entre P e C1.

O plano N é a superfície geradora, perpendicular ao plano P e paralela ao eixo . A superfície S1 é a superfície do dente, e é gerada pela recta MM’quando P rola sem escorregar sobre C1. A directriz da superfície S1 designa-se por curva evolvente de círculo.

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Geração do Dentado em Evolvente de Círculo

1. É a curva gerada por um ponto M de uma recta que rola sem escorregar sobre um círculo.

A curva evolvente tem as seguintes propriedades:

I I I M0 1 1 1=

I I I M0 2 2 2=

I I I M0 3 3 3=

2. A normal à curva num ponto qualquer é tangente ao círculo primitivo.

3. O círculo C1 é a envolvente das normais ao perfil. É o lugar geométrico dos centros de curvatura da evolvente. O raio de curvatura do perfil num ponto qualquer, M3 por exemplo, será . I M3 3

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Geração do Dentado em Evolvente de Círculo

IM IQ=

I M I Q1 1 1=

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

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Geração do Dentado em Evolvente de Círculo

de: C. M. Branco et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

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Cilindro de Base e Ângulo de Pressão

Na geração real do dentado recto o plano N é paralelo ao eixo mas não éperpendicular ao plano P. O plano P’ é o plano perpendicular a N que contém o eixo e que intersecta Nsegundo a recta VV’.Quando o plano P translada com velocidade , P’ translada com velocidade v ω r1 1=v cosα ω r cosα1 1=

.P’, N e o cilindro C’1 estão nas condições da definição de evolvente. Assim, o ponto V gera uma curva evolvente do cilindro C’1.

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Cilindro de Base e Ângulo de Pressão

O ângulo α designa-se por ângulo de pressão.O cilindro C’1 designa-se por cilindro de base, e o seu raio é igual a . r cosα1O cilindro de base é uma característica intrínseca da roda dentada, enquanto que o raio primitivo é uma característica cinemática. Nenhum destes cilindros estámaterializado na roda dentada, pelo que não são acessíveis a uma medição directa.O passo normal é o segmento da normal compreendido entre duas evolventes sucessivas.

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Materialização da Teoria da Geração

A distância entre duas arestas homólogas da cremalheira é o passo. Os passos das cremalheiras estão normalizados.

O movimento de geração da roda écomposto por uma rotação e uma translação e é descontínuo.

Durante o movimento de geração da roda, a translação equivalente a um passo da cremalheira corresponde a uma rotação da roda igual a 2π/z. zrepresenta o número de dentes.

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Materialização da Teoria da Geração

Uma vez que o movimento entre as duas superfícies primitivas se dá sem escorregamento:

π r pz 0

2=

r é o raio do cilindro primitivo, e p0 é o passo da cremalheira. A mesma equação pode ser escrita de outra forma:

zpr zmπ

002 = =

O quociente do passo da cremalheira por π é o módulo m0 do buril cremalheira.

O diâmetro primitivo de corte da roda éigual a:

zprπ

02 =

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Materialização da Teoria da Geração

A linha da cremalheira sobre a qual as espessuras dos dentes e os intervalos entre eles têm o mesmo comprimento é a linha de referência.

Se a linha de referência da cremalheira coincidir com a linha primitiva de corte, os intervalos e espessuras sobre o círculo primitivo de corte da roda dentada também são iguais.

Se a linha de referência da cremalheira não coincidir com a linha primitiva de corte, então a roda tem dentado corrigido.

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Linha de Engrenamento

•C1 e C2 são os cilindros primitivos.•I é o centro instantâneo do movimento relativo.•A recta P é o traço no plano de referência do plano que rola sem escorregar sobre C1 e C2.•A recta P’ é o traço no plano de referência do plano que rola sem escorregar sobre C’1e C’2.•N é o traço do plano gerador.

Quando P’ rola sem escorregar sobre C’1, o ponto V descreve uma evolvente cujo centro de curvatura é o ponto T1.

Quando P’ rola sem escorregar sobre C’2, o ponto V descreve uma evolvente cujo centro de curvatura é o ponto T2.

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

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Linha de Engrenamento

As duas evolventes são tangentes em Vcom a direcção N.

Durante o rolamento sem escorregamento de P’ sobre C’1 e C’2, o ponto V desloca-se segundo a direcção P’. O lugar geométrico dos pontos de contacto dos perfis conjugados é uma recta.

Esta recta é a linha de engrenamento . O ângulo α que a linha de engrenamento faz com a tangente aos dois círculos primitivos em I é o ângulo de pressão.

( )TT1 2

Uma vez que a linha de engrenamento érectilínea e constantemente perpendicular aos perfis em contacto, as forças transmitidas entre as duas rodas são de direcção constante

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

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Linha de Engrenamento

Rui Martins; 1998

Animação disponível no

SiFEUP

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Proporções dos Dentes

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Proporções dos Dentes

Altura do dente: a fh r r= −

Altura da cabeça: a ah r r= −

Altura do pé: f fh r r= −

a

f

h mh . mh . m

=

=

=

0

0

0

1 252 25

DENTADOS NORMAIS:

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Proporções dos Dentes

DENTADOS CORRIGIDOS:

Positivamente ah m> 0 , fh . m< 01 25

Negativamente ah m< 0 , fh . m> 01 25

O valor de ha e hf nestes casos éfunção da correcção efectuada, que é expressa pelo afastamento da linha de referência da cremalheira à linha primitiva de corte.

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Equação Polar da Evolvente e Aplicações

EQUAÇÃO POLAR DA EVOLVENTE

Q – Ponto de ReversãoαM – ângulo de incidência num ponto M de raio Mr OM=

M M br cosα r=

M M b MT M T M r tgα= =

M MQW QT WT= −

b b M b Mˆr QOM r tgα r α= −

Logo : M MˆQOM tgα α= −

M M Mtgα α invα− =

Atenção – Questão da determinação de αM quando é conhecido invαM !

Involuta de αM

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Espessura do DenteConhecendo a espessura do dente sobre o círculo primitivo pretende-se a sua espessura num círculo de raio rM qualquer. Seja s a espessura no círculo primitivo e sM a espessura no círculo de raio rM.

br r cosα=

b M Mr r cosα=

MM

rcosα cosαr

=

M Mˆs r BOB′=

ˆ ˆ ˆBOB AOA AOB′ ′= −2

( )MsˆBOB invα invαr

′ = − −2

( )M M Mss r invα invαr⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

2

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Espessura do Dente

Em particular a espessura do dente no círculo de base: o ângulo de incidência é nulo;

b bss r invαr

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠2

( )M M Mss r invα invαr⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

2

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Cota Tangencial Sobre k Dentes

Segmento da normal compreendido entre dois planos paralelos tangentes às superfícies antihomólogasespaçadas de k dentes Wk

kAB CD W= =

( ) b bCD k p s= − +1

bp πmcosα=

b bss r invαr

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠2

( )ksW mcosα k π zinvαm

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

1de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 43

Cota Tangencial Sobre k Dentes

No dentado normal a espessura no círculo primitivo é igual a metade do passo:

πs m=2

kW mcosα k π zinvα⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥= − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

12

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 44

Cota Tangencial Sobre k Dentes

NÚMERO DE DENTES USADO NA MEDIÇÃO DE WK

Importa evitar erros grosseiros de medida, garantindo a que tangência se verifica aproximadamente a meio da altura. Caso o contacto seja sobre o primitivo, então:

kW rsenα=2

Para dentado normal:

kW mcosα k π zinvα⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥= − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

12

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Cota Tangencial Sobre k Dentes

NÚMERO DE DENTES USADO NA MEDIÇÃO DE WK

zmr =2

Fazendo :

zmsenα mcosα k π zinvα⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥= − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

12

z( tgα invα ) k π⎛ ⎞⎟⎜− = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

12

zk απ

= +12

Para

k , z ,= +0 111 0 5

α º= 20 π radianos :⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠20180

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Cota Tangencial Sobre k Dentes

De: FMS Appareils de Contrôle d’Engrenages

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 47

Características Intrínsecas e de Funcionamento

Page 48: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 48

Características Intrínsecas e de Funcionamento

Para uma determinada engrenagem, os raios de base e os raios de cabeça são constantes qualquer que seja o entre-eixo adoptado, são características intrínsecas.

Por outro lado, distingue-se raio primitivo de corte r de raio primitivo de funcionamento r’. Verifica-se a relação:

a' cosα ' a cosα=

a' r ' r '= +1 2

a r r= +1 2

Em que: de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 49

Características Intrínsecas e de Funcionamento

a' a>

α ' α⇒ >

porque é constante.br r cosα=

O I r1 1=

O I ' r '1 1=

raio primitivo de corte:

raio primitivo de funcionamento: de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 50

Razão de Condução

A linha de engrenamento, definida pela posição dos pontos de contacto no plano do movimento, corresponde à recta que passa pelos pontos T1 e T2, tangente aos dois círculos de base, e que faz um ângulo α (ângulo de pressão) com a tangente comum aos círculos primitivos em I.

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 51

Razão de Condução

O engrenamento inicia-se em A, ponto onde o raio de cabeça da roda movida (ra1) intersecta a linha de engrenamento, e termina em B, ponto onde o raio de cabeça da roda motora (ra2) intersecta a linha de engrenamento.

Durante o engrenamento o ponto de contacto sobre o perfil P2 move-se do pé para a cabeça. O ponto de contacto sobre o perfil P1 move-se no sentido contrário.

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 52

Razão de Condução

de: G. Henriot; “Engrenages Parallèles – Étude Géométrique”; Techniques de l’Ingenieur.

de: G. Henriot; “Engrenages: Détermination des ChargesSur les Dentures et Calculs de Résistance”; Techniques de l’Ingenieur.

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 53

Razão de Condução

A razão de condução é o quociente do comprimento de engrenamento ABpelo passo de base pb:

αb

ABεp

=

A razão de condução total é definida como o quociente entre o ângulo de que giram cada uma das rodas durante o engrenamento entre dois dentes conjugados e o passo angular correspondente. O passo angular é a razão entre o passo e o raio do círculo sobre o qual ele é definido.

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 54

Razão de Condução

αb

ABεp

=

AB AI IB AT IT BT IT= + = − + −1 1 2 2

( )a b a bAB r r r r r r senα= − + − − +2 2 2 21 1 2 2 1 2

( )( )α a b a bε r r r r r r senαπm cosα

= − + − − +2 2 2 21 1 2 2 1 2

1

de: C. M. Branco, et al.; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 55: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 55

Razão de Condução

Para que haja continuidade de engrenamento, énecessário que no instante em que deixa de haver contacto entre os perfis P1 e P2 de um par dentes exista um outro par de dentes já em contacto. Esta condição impõe que:

b αAB p ε> ⇒ >1

Uma razão de condução elevada permite um engrenamento mais suave e uma maior capacidade de carga.

A razão de condução pode ser aumentada:

- Aumentando as alturas de cabeça dos dentes.- Diminuindo o ângulo de pressão.- Aumentando isolada ou simultaneamente o número de dentes z1 e z2.

Page 56: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 56

Raio Activo de Pé

O raio activo de pé rA é o raio do ponto do perfil mais próximo do centro em que se verifica contacto com o elemento dentado ao qual está acopulada a roda em questão.

A br r T A= +22

2 2 2

T A T T AT= −2 2 1 1

( )T T r r senα= +2 1 1 2

a bAT r r= −2 21 1 1

rA

de: C. M. Branco, etc.; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 57: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 57

Raio Activo de Pé

De todos os elementos que podem engrenar com uma roda dentada, aquele que situa o ponto A mais próximo do centro é a cremalheira.

Se a roda for talhada com uma cremalheira, encontra-se sempre satisfeita a condição que impõe que o raio activo de pé de corte seja inferior ao raio activo de pé de funcionamento

Page 58: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 58

Escorregamento

Page 59: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 59

Escorregamento

Movimento relativo entre os perfis de dente não é rolamento puro. Háum escorregamento relativo.

Intensidade do vector velocidade de escorregamento no ponto de contacto M:

Em que:

, vector constante em sentido e intensidade

Logo, a velocidade de escorregamento varia linearmente com distância do ponto de contacto M ao ponto I e é nula quando o ponto de contacto está sobre o círculo primitivo (coincide com I).

gv Ω IM= ⋅

Ω ω ω= −1 2

ω2

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 60

Escorregamento

Rebatendo os pontos A e C da linha de engrenamento através de arcos de círculo com centro em 01 sobre o perfil P1 obtém-se os pontos a1 e c1. Os pontos a2 e c2 são obtidos de forma análoga. Durante o engrenamento, a1 e a2coincidem em A e c1 e c2coincidem em C, pelo que o arco a1c1 do perfil P1 corresponde ao arco a2c2 do perfil P2.

O escorregamento médio entre A e C é dado por:

.

A diferença representa o escorregamento relativo entre os perfis P1 e P2, mas como , o desgaste do perfil P2 é superior ao do perfil P1.

O desgaste está relacionado empiricamente com o produto , em que p é a pressão máxima entre os perfis no ponto considerado.

a c a c−1 1 2 2

a c a c>1 1 2 2

gv p⋅

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 61

Escorregamento

Sobre a recta de engrenamento:

, relação já conhecida

Velocidades de rolamento dos perfis P1 e P2(componentes de VM segundo a recta tangente a P1 e P2):

M( )v ω r O M ω= = ⋅1 1 1 1 1

M( )v ω r O M ω= = ⋅2 2 2 2 2

O M ω cosθ O M ω cosθ⋅ = ⋅1 1 1 2 2 2

b br ω r ω⇒ =1 1 2 2

rv ω O M senθ T M ω= ⋅ ⋅ = ⋅1 1 1 1 1 1

rv ω O M senθ T M ω= ⋅ ⋅ = ⋅2 2 2 2 2 2

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 62

Escorregamento

MT1 MT2

vg num ponto M é igual à diferença de velocidades tangenciais de dois círculos de centros T1 e T2, raios e e velocidades angulares ω1 e ω2 respectivamente.

Estes círculos rodam durante um tempo infinitesimal dt arcos dados por vr1dt e vr2dtrespectivamente.

g r rv v v T M ω T M ω= − = ⋅ − ⋅1 2 1 1 2 2

Velocidade de escorregamento de P1 em relação a P2 num ponto M:

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 63

Escorregamento Específico

Escorregamento específico para o pinhão:

Escorregamento específico para a roda:

sa c a cg

a c−

= 1 1 2 21

1 1

sa c a cg

a c−

= 1 1 2 22

2 2

r r r rs

r r

v dt v dt v v T M ω T M ωgv dt v T M ω− − ⋅ − ⋅

= = =⋅

1 2 1 2 1 1 2 21

1 1 1 1

Do mesmo modo:

sT M ω T M ωg

T M ω⋅ − ⋅

=⋅

1 1 2 22

2 2

Page 64: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 64

Escorregamento Específico

Portanto:

s sg g= =1 2 0 em I onde r rv v=1 2

sg =∞1

sg =∞2

sg =1 1

sg =2 1

em T1 onde rv =1 0

rv =2 0em T2 onde

em T2

em T1

gs1 e gs2 assimptóticas em T1, T2

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 65

Escorregamento Específico

s ,Bs ,MÁX

T B zg gzT B

= = − ×2 111

21

1

s ,As ,MÁX

T A zg gzT A

= = × −1 222

12

1

a bT B r r= −2 22 2 2

a bT B ( r r )senα r r= + − −2 21 1 2 2 2

a bT A r r= −2 21 1 1

a bT A ( r r )senα r r= + − −2 22 1 2 1 1

Em que:

Page 66: Engrenagens 2

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Equilíbrio dos Escorregamentos Específicos Máximos

( ) ( )s sB Az z g g< ⇒ > ⇒1 2 1 2

Escorregamento específico máximo do pinhão superior ao da roda

Fazendo: AT A ρ=1 1

AT A ρ=2 2

BT B ρ=1 1

BT B ρ=2 2

( ) B Bs B

B

ρ ω ρ ωgρ ω−

= 2 2 1 11

1 1

( ) A As A

A

ρ ω ρ ωgρ ω−

= 1 1 2 22

2 2

Equilibrando, ( ) ( )s sB Ag g= ⇒1 2 A B A Bρ ρ ω ρ ρ ω=2 2

2 2 2 1 1 1

(Quanto maior a razão1

2

zz maior o desequilíbrio).

Solução: Deslocar para a esquerda.

Correcção: Passar de a A B′ ′ de tal maneira que: ( ) ( )s sB Ag g′ ′=1 2AB

AB

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Breve Referência à Pressão de ContactoQuando dois cilindros são comprimidos segundo uma geratriz, verifica-se que a pressão de contacto máxima ou pressão de Hertz vale:

( )( )max

E E d dPp ,l E E d d

1 2 1 2

1 2 1 2

20 59+

=+

maxP r rp ,l

E E

1 2

1 2

1 1

0 59 1 1

+⇔ =

+

em que P é a força de compressão e l a largura dos cilindros.

Paralelamente é possível mostrar que o rectângulo de contacto tem largura b definida por:

( )P d db ,l d d E E

1 2

1 2 1 2

1 12 152

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ ⎝ ⎠

de: S P Timoshenko; “Resistência de Materiais”; Ao Livro Técnico; vol.2; 3ª ed.; Rio de Janeiro.

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 68

Equivalência com Equilíbrio dos Factores de Almen

A pressão entre os dentes é função dos raios de curvatura e édada pela fórmula de Hertz:

nF ρ ρp ,b

E E

+= ⋅

+

1 2

1 2

1 1

0 59 1 1; p é proporcional a

ρ ρ+

1 2

1 1(constante de

proporcionalidade k)

Em A, B: A AA

A A A A

TTρ ρp k k kρ ρ ρ ρ ρ ρ

+= + = = 11 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1

B BB

B B B B B B

TTρ ρp k k kρ ρ ρ ρ ρ ρ

+= + = = 11 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1

Factor de Almen (factor de gripagem) dado por: - produto da pressão p pela velocidade de escorregamento vg.

gp v⋅

Page 69: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 69

Equivalência com Equilíbrio dos Factores de Almen

( )g A AAv ω ρ ω ρ= −1 1 2 2

( )g B BBv ω ρ ω ρ= −2 2 1 1

Equilibrando os factores de Almen:

( ) ( )A g B gA Bp v p v⋅ = ⋅

A A B BA

A A B B

ω ρ ω ρ ω ρ ω ρρ ρ ρ ρ− −

⇒ =1 1 2 2 2 2 1 1

1 2 1 2

A B A Bρ ρ ω ρ ρ ω⇒ =2 21 1 1 2 2 2

( ) ( )s sB Ag g=1 2Fazer corresponde a igualar (e consequentemente

baixar o valor máximo) os factores de Almen nesses pontos.

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 70

Correcção de Dentado

Page 71: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 71

Correcção de DentadoDENTADO NORMAL:

Linha de referência da cremalheira coincide com a linha primitiva de corte.

Altura da cabeça:

Altura do pé:

Altura do dente:

ah m= 0

fh , m= 01 25

Espessura do dente da roda (s) é igual ao intervalo (e).

πms e= = 0

2

a fh h , m+ = 02 25

Page 72: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 72

Correcção de DentadoDENTADO CORRIGIDO:

Linha de referência da cremalheira não coincide com a linha primitiva de corte.Correcção Positiva (x>0):

Correcção Negativa (x<0):

ah m≠ 0

fh , m≠ 01 25

a fh h , m+ = 02 25

e s≠

e s πm+ = 0

Espessura da cremalheira na linha primitiva é igual ao intervalo da roda (e).

Intervalo da cremalheira na linha primitiva é igual à espessura do dente da roda (s).

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 73: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 73

Correcção de DentadoDENTADO CORRIGIDO:

πms CD v tgα= = + ×002

2

v xm= 0

Em que:

x – coeficiente de desvio ou correcção relativa

Novo valor (Wk,c) da cota tangencial sobre k dentes:

k ,c kW W v senα= + × 02

é o aumento da espessura

segundo uma direcção normal ao perfil.( )v tgα cosα v senα× × = ×0 0 02 2

Page 74: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 74

Correcção de Dentado

Page 75: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 75

Correcção de Dentadox

x – correcção relativa

z - número de dentes

de: MAAG Gear Company; “MAAG Gear Book”; MAAG Gear Company; Zurique; 1990.

Page 76: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 76

Correcção de Dentado

a

b

zα ºm mmxx ,

202020

0 5

====

=+

Influência da correcção de dentado na geometria de rodas de dentado recto (Nuno M Seabra Merendeiro, Ramiro Martins):

Representam-se os raios primitivo de corte e de base, bem como a recta de referência da cremalheira para cada caso.

Page 77: Engrenagens 2

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Correcção de Dentado

a

b

zα ºm mmxx ,

202020

0 5

====

=+

Influência da correcção de dentado na geometria de rodas de dentado recto (Nuno M Seabra Merendeiro, Ramiro Martins):

Representam-se os raios primitivo de corte e de base, bem como a recta de referência da cremalheira para cada caso.

Page 78: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 78

Correcção de Dentado Sem Variação de Entre-eixo

O engrenamento dá-se sem folga ( ; )s e=1 2 s e=2 1

s e πm+ =1 1 0 s s πm+ =1 2 0, logo:

πm πs x m tgα m x tgα⎛ ⎞⎟⎜= + = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

01 1 0 0 0 1 02 2

2 2

πm πs x m tgα m x tgα⎛ ⎞⎟⎜= + = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

02 2 0 0 0 2 02 2

2 2Logo: x x+ =1 2 0

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 79: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 79

Correcção de Dentado Com Variação de Entre-eixoSejam x1 e x2 positivos:

πms x m tgα= +01 1 0 02

2πms x m tgα= +0

2 2 0 022

πme x m tgα= −01 1 0 02

2πme x m tgα= −0

2 2 0 022

( )s e x x m tgα− = +1 2 1 2 0 02

Se , o entre-eixo terá de ser alterado:x x s e+ ≠ ⇒ ≠1 2 1 20

x x s e a' a+ > ⇒ > ⇒ > ⇒1 2 1 20x x s e a' a+ < ⇒ < ⇒ < ⇒1 2 1 20

Entre-eixo aumenta Entre-eixo diminui

de: C. M. Branco, etc.; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 80: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 80

Correcção de Dentado Com Variação de Entre-eixo

CÁLCULO DO ENTRE-EIXO DE FUNCIONAMENTO:

Através da expressão que permite o cálculo da espessura de dente medida sobre um círculo de qualquer raio, obtêm-se as espessuras s’1 e s’2 sobre os círculos de funcionamento:

( )ss' r ' invα invα 'r

⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

11 1 0

1

2

( )ss' r ' invα invα 'r

⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

22 2 0

2

2

Para um correcto engrenamento:

cosαs' s' p' πm' πmcosα '

+ = = = 01 2 0

Substituindo s’1, s’2, s1 e s2:

( )( )cosα cosαm π tgα x x ( z z )( invα invα ') πmcosα ' cosα '

+ + + + − =0 00 0 1 2 1 2 0 02

Page 81: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 81

Correcção de Dentado Com Variação de Entre-eixo

CÁLCULO DO ENTRE-EIXO DE FUNCIONAMENTO:

( )x xinvα ' invα tgα

( z z )+

= ++

1 20 0

1 2

2

O entre-eixo de funcionamento pode então ser calculado recorrendo à expressão:

cosαa' acosα '

= 0

Simplificando:

Page 82: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 82

Correcção de Dentado para Equilibrar Escorregamentos

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

Page 83: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 83

Interferência

Page 84: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 84

Interferência

A interferência verifica-se quando os pontos de intersecção do raio de cabeça com a linha de engrenamento ultrapassam os pontos T1 e T2 de tangência desta linha com os círculos de base.

• Raio de curvatura de P2 em M é T2M

• Raio de curvatura de P2 em V é T2V.

• Raio de curvatura de P1 em V é T1V.

TV T V1 2< ⇒ Q1 está “dentro” do dente.

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

Page 85: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 85

Interferência

Durante o corte de rodas com buril cremalheira podem atingir-se condições de interferência. Porém o buril engrena e corta simultaneamente e desafoga a região em que devia verificar-se a interferência de funcionamento. O perfil de dente é composto por um arco de evolvente e outro de trocoide. Com este tipo de corte não háinterferências de funcionamento.

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 86: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 86

Interferência

- Adoptar um número de dentes superior para as rodas. Os diâmetros das rodas aumentam.

- Utilizar um ângulo de pressão αsuperior. A razão de condução diminui.

- Diminuir o raio de cabeça da roda de z2 dentes. A razão de condução diminui.

FORMAS DE EVITAR A INTERFERÊNCIA:

de: C. M. Branco, etc.; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 87: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 87

Interferência

Nº MÍNIMO DE DENTES DE UMA RODA SEM CORRECÇÃO DE DENTADO CORTADA POR UMA CREMALHEIRA:

OT cosα m OI+ =

br cosα m r+ =

( )zm zmcosα m+ =2

2 2

( )z

senα= 2

2

Para :α º= 20

z 17

I

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

Page 88: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 88

Interferência

CORRECÇÃO POSITIVA PARA : ( )

z z'senα

< = 22

OT cosα m v OI+ − =

( ) ( )zm zmcosα m x+ − =2 1

2 2

( )( )z x

senα= −2

2 1

z' zxz'−

=

Page 89: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 89

Interferência

Nº MÍNIMO DE DENTES z1 DE UM PINHÃO QUE ENGRENA COM UMA RODA (z2) SEM INTERFERÊNCIA :( )x x= =1 2 0

T T T B=2 1 2

a basenα r r= −2 22 2

z z z m z mmsenα m cosα⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= + −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 21 2 2 2

2 2 2

( )( )

zz z z

senα+

=− + + 221 2 2 2

4 1

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

Page 90: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 90

Interferência

( )( )

( )z z

zlim z lim z z

senα2 2

221 2 2 2

4 1→∞ →∞

⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜= − + + ⇒ ∞−∞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( )( )( ) ( )

A B A B A BA BA B A B

− + −− = =

+ +, logo:

( )( )( )

( )

z z

zz z

senαlim z lim

zz z

senα

2 2

2 222 22

12 22 22

4 1

4 1→∞ →∞

++ −

⎛ ⎞∞⎟⎜= ⇒ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∞++ +

Dedução do número mínimo de dentes de uma roda dentada que pode ser cortada sem interferência por uma cremalheira geradora (Pedro Reis, 1998):

Page 91: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 91

Interferência

( )

( ) ( )( )

z z

zlim z lim

zsenα z z

senα

2 2

21

2 2 22 22

4 1

4 1→∞ →∞

+=

⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

( )( ) ( )

z z

zz

lim z lim

z senαz senα z senα

2 2

22

12

2 2 222 2

44

4 41 1→∞ →∞

⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

( ) ( )zlim z

senα senα21 2 2

4 22→∞

= =

zlim z2

1 17→∞

se α º20=

Page 92: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 92

Interferência

Nº MÍNIMO DE DENTES z1 DE UM PINHÃO QUE ENGRENA COM UMA RODA (z2) SEM INTERFERÊNCIA :( )x x= =1 2 0

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 19686

Page 93: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 93

Engrenagens de Dentado Helicoidal

Page 94: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 94

Engrenagens de Dentado Helicoidal

O contacto inicia-se num extremo e prossegue ao longo do dente segundo uma linha que não é paralela aos eixos das rodas. O engrenamento é mais suave e menos ruidoso, mas os veios ficam sujeitos a forças axiais.Uma das rodas da engrenagem tem hélice esquerda e a outra hélice direita. O ângulo de hélice é o mesmo para ambas.

de: Norma DIN 3998: “Denominations on Gears and Gear Pairs”

Page 95: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 95

Engrenagens de Dentado Helicoidal

de: C. M. Branco, etc.; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

de: G. Henriot; “Engrenages Parallèles – Étude Géométrique”; Techniques de l’Ingenieur.

Page 96: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 96

Engrenagens de Dentado Helicoidal

DENTADO HELICOIDAL:

β – ângulo de inclinação primitiva

A superfície do dentado é gerada pela recta MM’, e é uma superfície regrada de helicóide.

A hélice primitiva resulta do enrolamento da recta MM’ sobre o cilindro C1no movimento P/C1.

Page 97: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 97

Engrenagens de Dentado Helicoidal

Os elementos reais são medidos em planos perpendiculares à recta MM’.

Os elementos aparentes são medidos em planos perpendiculares ao eixo da roda dentada.

GERAÇÃO REAL DO DENTADO HELICOIDAL:

Page 98: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 98

Engrenagens de Dentado Helicoidal

A hélice primitiva e a hélice de base têm o mesmo passo de hélice pz:

z

πrtgβp

=2

b tb

z z

πr πr cosαtgβp p

= =2 2

t

b

πr cosαπrtgβ tgβ

⇒ =22

b ttgβ tgβ cosα=

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 99: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 99

Engrenagens de Dentado Helicoidal

Há quatro passos a considerar nas rodas de dentado helicoidal:

Passo primitivo aparente pt: comprimento de arco do cilindro primitivo, medido num plano normal ao seu eixo e compreendido entre as superfícies homólogas de dois dentes consecutivos.

Passo primitivo real pn: comprimento de arco do cilindro primitivo, medido num plano normal à hélice primitiva e compreendido entre as superfícies homólogas de dois dentes consecutivos.

Passo de base aparente pbt: comprimento de arco do cilindro de base, medido num plano normal ao seu eixo e compreendido entre as superfícies homólogas de dois dentes consecutivos.

Passo de base real pbn: comprimento de arco do cilindro de base, medido num plano normal à hélice primitiva e compreendido entre as superfícies homólogas de dois dentes consecutivos.

Page 100: Engrenagens 2

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Engrenagens de Dentado Helicoidal

O plano P contém os elementos primitivos. O plano P’ contém os elementos de base.

n tp p cos β=

bt t tp p cosα=

bn bt bp p cos β=

bn n np p cosα=

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 101

Engrenagens de Dentado Helicoidal

n tp p cos β=

bt t tp p cosα=

bn bt bp p cos β=

bn n np p cosα=

( )1

( )2

( )3

( )4

Combinando (1) e (4):

bn t np p cos β cosα=

bnn

t

p cos β cosαp

⇒ =

Mas bn bt bp p cos β=

btt

t

ppcosα

=

( )3

( )2

bn bt bt b

btt

t

p p cos β cosα cos βppcosα

⇒ = =

Assim: n t bcos β cosα cosα cos β=

Page 102: Engrenagens 2

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Engrenagens de Dentado Helicoidal

nBDtgαAB

=

tBCtgαAB

=

Mas BD BC cos β=

nBC cos βtgα

AB⇒ =

n ttgα tgα cos β=

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Engrenagens de Dentado Helicoidal

n tp p cos β=

n tm m cos β⇒ =

b tr r cosα=

a nr r m= +

t tzp zmrπ

= =2 2

nzmrcos β

⇒ =2 ( ) nz z m

acos β+

= 1 2

2

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 104: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 104

Engrenagens de Dentado Helicoidal

mt – módulo aparente;

mn – módulo real;

αt – ângulo de pressão aparente;

αn – ângulo de pressão real;

β – ângulo de inclinação primitiva;

βb – ângulo de inclinação de base;

et – intervalo primitivo aparente;

en – intervalo primitivo real;

st – espessura primitiva aparente;

sn – espessura primitiva real;

gβ – comprimento de recobrimento;

px – passo axial.

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 105: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 105

Engrenagens de Dentado Helicoidal

SUPERFÍCIES CONJUGADAS DE UMA ENGRENAGEM HELICOIDAL:

C1 e C2 são os cilindros primitivos.

P’ é o plano de acção ou de engrenamento, que roda sem escorregar sobre os círculos de base rb1 e rb2 segundo geratrizes T1t1 e T2t2.

Os flancos dos dentes em contacto, não representados, são as envolventes da recta δ’ do plano P’, inclinada de βb. Esta recta δ’ é a recta de contacto entre dois dentes.

A expressão traduz o rolamento

sem escorregamento de P’ sobre C1’ e C2’.

b

b

rωω r

= 21

2 1

A razão é constante mesmo que o entre-eixo varie.ωω

1

2

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Engrenagens de Dentado HelicoidalVERIFICAÇÃO DE QUE UM PLANO TANGENTE AO CILINDRO DE BASE DE UMA RODA DE DENTADO HELICOIDAL CORTA UM FLANCO DE DENTE SEGUNDO UMA RECTA:

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 107

Engrenagens de Dentado Helicoidal

João O. Correia da Silvae

Rui Martins,1998.

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Razão de Condução nas Engrenagens de Dentado Helicoidal

O engrenamento de um par de dentes inicia-se em A, onde os perfis conjugados P1 e P2 iniciam o seu contacto, e termina em B, na outra face da roda, onde os perfis P1’ e P2’ terminam o seu contacto.

A razão de condução total édefinida como o quociente entre o ângulo de que giram cada uma das rodas durante o engrenamento entre dois dentes conjugados e o passo angular correspondente. O passo angular é a razão entre o passo e o raio do círculo sobre o qual ele é definido.

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 109: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 109

Razão de Condução nas Engrenagens de Dentado Helicoidal

Quando um par de helicóides conjugados entra em contacto na face anterior, no ponto A, o contacto na face posterior –distante daquela de b – só se estabelece no ponto A’, depois de uma rotação suplementar:

φβbtgβ

r=

α βε ε ε= +

A razão de condução total é a soma das razões de condução aparente εα (relacionada com αt) e suplementar εβ.

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

Page 110: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 110

Razão de Condução nas Engrenagens de Dentado Helicoidal

α βε ε ε= +

αbt

ABεp

=

βbt t t

b t

btgβ btgβr rε p πm cosαr r cosα

= =

βt

btgβεπm

⇒ =

A razão de condução total pode ser aumentada sem alterar o ângulo de pressão real ou o raio de cabeça, aumentando a largura (b) e/ou o ângulo de inclinação (β).

de: C. M. Branco, et al; “Projecto de Órgãos de Máquinas”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2005.

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 111

Número de Dentes Virtual de um Dentado HelicoidalO raio primitivo aparente de uma roda vista na direcção dos seus dentes corresponde ao raio de curvatura ρ da elipse resultante do corte do cilindro primitivo por um plano normal à hélice primitiva.

x yrr

cos β

2 2

2 2 1+ =⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

dy x cos βdx r x cos β

2

2 2 2=−

( ) ( )d y cos β x cos βdx r x cos β r x cos β

2 2 2 4

1 322 2 2 2 2 22 2

=− −− −

( )( )d y cos β r x cos β x cos β

dx r x cos β

2 22 2 2 2 2

322 2 2 2

=− − +− ( )

d y r cos βdx r x cos β

2 2 2

322 2 2 2

=−−

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Número de Dentes Virtual de um Dentado Helicoidal

dydx

ρd ydx

32 2

2

2

1⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎜⎝ ⎠

=

Substituindo para : x 0=

rρcos β2=

O raio de curvatura ρ define-se da seguinte forma:

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Número de Dentes Virtual de um Dentado Helicoidal

No plano normal à hélice primitiva o módulo é o módulo real mn:

n tm m cos β=

O número de dentes virtual zV é o número

de dentes de uma roda de dentado recto,

módulo mt e raio . rcos β2

Vn t

ρ rzm m cos β3

2 2= =

Vzz

cos β3=

zV é usado na escolha das correcções de dentado para equilibrar o escorregamento específico.

Uma vez que zV é superior a z, o número mínimo de dentes que evita a interferência é inferior nas engrenagens de dentado helicoidal.

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Cota Wk de uma roda de dentado helicoidal

Page 115: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 115

Cota Wk de uma roda de dentado helicoidal

Os pontos A e B, que definem a cota real Wnk, situam-se sensivelmente sobre o cilindro primitivo:

tnk

b

rsenαWcos β

2≈

A cota aparente Wtk é definida pelo segmento : AC

tkAC W=

nk tk bW W cos β=

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

Page 116: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 116

Cota Wk de uma roda de dentado helicoidal

As fórmulas usadas para o dentado recto são aplicáveis para o cálculo de Wtk, considerando agora o módulo aparente mt e o ângulo de pressão aparente αt. Para dentado normal:

( )tk t t tW m cosα k , π zinvα0 5⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

( )nk t t b tW m cosα cos β k , π zinvα0 5⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

Uma vez que e

: t b ncosα cos β cos β cosα=

t nm cos β m=

( )nk n n tW m cosα k , π zinvα0 5⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique desEngrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

Page 117: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 117

Cota Wk de uma roda de dentado helicoidalO número de dentes k a usar para a medição de Wnk é dado pelo gráfico em função do número de dentes z, do ângulo de pressão real αn e do ângulo de inclinação primitiva β.

de: G. Henriot; “Traité Théorique et Pratique des Engrenages – Tome 1”; Dunod;Paris 1968

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 118

Entre-eixo Imposto

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 119

Entre-eixo Imposto

Por vezes há necessidade de engrenar um pinhão (zP) e uma roda (zR) com um determinado entre-eixo que não corresponda à soma dos raios primitivos de corte:

R Pz za' m⎛ ⎞+ ⎟⎜≠ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠2

Aplica-se uma determinada correcção de dentado (xP e xR) recorrendo às expressões:

( )( )

R P

R P

a' cosα ' a cosαx x

invα ' invα tgαz z

⎧ =⎪⎪⎪⎪ +⎨⎪ = +⎪ +⎪⎪⎩2

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Entre-eixo Imposto

para engrenagens redutoras.

Para determinar xP e xR separadamente:

( )R P PP R P

R P R P

z z zx λ x xz z z z

−= + +

+ +

λ= 0 para engrenagens multiplicadoras.

Motivações para a correcção de dentado:

1- Desgaste (equilibrar escorregamentos específicos).2- Interferência.3- Entre-eixo imposto.

, λ ,< <0 5 0 75

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Controlo Metrológico - Calibres Cilíndricos

Page 122: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 122

G f ( z,α ,m,x,a )=

DOB DOA AOB DOK KOB= + = +

θ

a é o diâmetro dos calibres usados na medição.

Em que:zmr2

=

bzmr cosα2

=

πme xmtgα22

= −

( )b

a einvα invθr r

2 21 ⇒ + = +

( ) bl cosθ r2 ⇒ × =

r

rb r

Controlo Metrológico - Calibres Cilíndricos

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 123

Controlo Metrológico - Calibres Cilíndricos

Número de dentes z par: Número de dentes z ímpar:

G l a2= × + πG l cos az

22

⎛ ⎞⎟⎜= × +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 124

Notação; Breve Ref. a Normalização

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 125

Notação

z – número de dentes do elemento dentado;p – passo primitivo;m / m0 – módulo;α / α0 – ângulo de pressão;β – ângulo de hélice / ângulo de inclinação primitiva;b – largura da roda dentada;r – raio primitivo da roda dentada;ra – raio de cabeça;rb – raio de base;rd / rf – raio de pé;a – entre-eixo da engrenagem;pb – passo de base;h – altura do dente;ha – altura da cabeça;hf – altura do pé;αM – ângulo de incidência num ponto M;e – intervalo entre dentes sobre o círculo primitivo;s – espessura do dente sobre o círculo primitivo;

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 126

Notação

sa – espessura do dente no círculo de cabeça;sb – espessura do dente no círculo de base;Wk – cota tangencial medida sobre k dentes;k – número de dentes usados na medição da cota tangencial;a’ – entre-eixo de funcionamento;r’ – raio primitivo de funcionamento;α’ – ângulo de pressão de funcionamento;ε – razão de condução total;εα – parcela da razão de condução total respeitante ao ângulo de pressão;εβ – parcela da razão de condução total respeitante ao ângulo de hélice;gs – escorregamento específico;v – correcção do dentado;x – correcção relativa;βb – ângulo da hélice de base;pz – passo de hélice;px – passo axial; αt – ângulo de pressão aparente;αn – ângulo de pressão real;

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Notação

pt – passo primitivo aparente;pn – passo primitivo real;pbt – passo de base aparente;pbn – passo de base real;mt – módulo aparente;mn – módulo real;gβ – comprimento de recobrimento;et – intervalo entre dentes sobre o círculo primitivo aparente;en – intervalo entre dentes sobre o círculo primitivo real;st – espesura do dente sobre o círculo primitivo aparente;sn – espesura do dente sobre o círculo primitivo real;zv – número de dentes virtual;Wtk – cota tangencial sobre k dentes aparente;Wnk – cota tangencial sobre k dentes real;G – cota medida com calibres cilíndricos;

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 128

Normalização

Entre outras, as normas:

DIN 780: Series of modules for gears.

DIN 868: General definitions and specification factors for gears, gear pairs and gear trains.

DIN 3960: Concepts and parameters associated with cylindrical gears and cylindrical gear pairs with involute teeth.

DIN 3998: Denominations on gears and gear pairs.

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 129

Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP

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Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 130

Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP

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Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP

Page 132: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 132

Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP

Page 133: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 133

Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP

Page 134: Engrenagens 2

Orgãos de Máquinas, MIEM, FEUP, cap. Engrenagens; aulas de Prof P T de Castro 134

Anexo: Alguns Modelos da Colecção Reuleaux da FEUP