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Acelino Pontes Aluísio Cabral de Lima Ensaio às Aplicações da Equação de 1.ª Ordem Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará - IFCE Curso de Matemática - Licenciatura Fortaleza, 2015

Ensaio às Aplicações da Equação de 1.ª OrdemEquação Diferencial

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Este trabalho tem como objetivo apresentar uma reflexão sobre os fundamentos do Cálculo, tomando como referencial o estudo da aplicação das equações diferenciais de primeira ordem. Inicialmente é feita uma análise bibliográfica sobre o tema, destacando as opiniões de vários autores. A metodologia utiliza-se dos fundamentos do Cálculo para introduzir os princípios das equações diferenciais de primeira ordem em contraponto às suas respectivas aplicações nos diversos ambientes socioeconômicos e científicos.

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Acelino Pontes

Aluísio Cabral de Lima

Ensaio às Aplicações da Equação de 1.ª Ordem

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará - IFCECurso de Matemática - Licenciatura

Fortaleza, 2015

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Resumo

Este trabalho tem como objetivo apresentar uma reflexão sobre os fundamen-tos do Cálculo, tomando como referencial o estudo da aplicação das equaçõesdiferenciais de primeira ordem. Inicialmente é feita uma análise bibliográficasobre o tema, destacando as opiniões de vários autores. A metodologia utiliza-se dos fundamentos do Cálculo para introduzir os princípios das equações dife-renciais de primeira ordem em contraponto às suas respectivas aplicações nosdiversos ambientes socioeconômicos e científicos.

Palavras – Chaves: Cálculo. Derivada. Equação Diferencial. Ordem. Aplicação.

Zusammenfassung

Diese Arbeit zielt darauf ab, eine Reflexion über die Grundlagen der Analysisvor, wobei als Referenz die Anwendung der gewöhnlichen Differenzialgleichun-gen erster Ordnung. Zunächst wird eine Literaturübersicht zum Thema ausge-arbeitet und dabei die Hervorhebung der Meinungen verschiedener Autorenberücksichtigt. Die Methodik nutzt die Grundlagen der Analysis, um die Prinzi-pien der Gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung im Gegensatz zuden entsprechenden Anwendungen in den verschiedenen sozio-ökonomischenund wissenschaftlichen Umgebungen.

Stichwörter: Analysis. Ableitung. Gewöhnliche Differentialgleichung. Ordnung.Anwendung.

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1. Introdução

A Matemática atina-se como uma da mais antigas ciências. Já na anti-

guidade encontramos grandes evoluções na Matemática, em especial na Meso-

potâmia, na Índia e na China. Em defluência, na Grécia a essa época se emba-

te com a geometria euclidiana, que nos revela a 'prova lógica pura' e a axioma-

tização.

O enfrentamento do cálculo matemático exsurge preliminarmente na Mo-

dernidade com François Viète Variablen e com René Descartes, ensaiado ao uso de

coordenadas como um incipiente trespasse à geometria diferencial. Entretanto,

a ideia de cálculo matemático somente encontrará eira sofisticada com Gottfried

Wilhelm Leibniz e com Isaac Newton.

Tristemente, o ensino da matemática no Brasil, como demonstra com

muita propriedade SIMÕES (2015, p. 5) enfrenta uma inditosa dicotomia: “O

problema vem na frente, isto é, a teoria vem na cola dos problemas.” ou “A teoria vem na frente,

isto é, os problemas vêm na cola da teoria.” Finda então, as nossas instituições de ensi-

no e de estudos superiores em matemática exclusivamente trabalhando essa

importante ciência no âmbito da invocação da teoria pela teoria. E nessa postu-

ra “sempre estudando a teoria pelo prazer e pela vantagem de saber mais teoria.” (Ibid.) Des-

sarte, a teoria restará sempre isolada da prática, como se aquela não servisse a

essa e nem a mensuração da natureza pelo saber estivesse desposado de qual-

quer espaço.

Todavia, os desafios hodiernos são imensos e de uma diversidade desco-

munal. Um dos maiores males atormentadores da Humanidade é o câncer. E a

questão de fundo dessa terrível patologia se pode descrever como segue:

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No meio celular, de certa forma as coisas funcionam como na sel-va: células cancerígenas de tipos diferentes competem entre si porespaço e nutrientes, como leoas competem pela carne de um antí-lope. Mas as células cancerígenas também cooperam conforme lu-tam pela sobrevivência, compartilhando alguns tipos de molécu-las; por exemplo, fatores de crescimento, que são substâncias capa-zes de estimular o crescimento celular. Mas daí as células que nãoproduzem fatores de crescimento têm uma vantagem na prolifera-ção, pois usam fatores produzidos por células vizinhas, sem arcarcom o custo de produzi-los.1

Na busca de informações sobre a dinâmica do câncer, pesquisadores da

Suíça e do Reino Unido buscam desenvolver modelos matemáticos para uma

“simulação sobre a interação entre os vários tipos de células cancerígenas”, com o fito de “re-

velar informações importantes sobre a dinâmica do câncer”. (Ibid.) Com isso a matemática,

em especial, o Cálculo, ofertará uma importantíssima contribuição para o mo-

nitoramento dessa patologia, que é considerada uma das maiores dizimadoras

do ser humano.

De outro modo, o estudo da matemática sob a premissa de colocar o “pro-

blema na frente, isto é, a teoria vem na cola dos problemas” não é apenas caracterizado

pelo estorvo da teoria pela teoria, mas fundamentalmente, resta enfeitado tam-

bém de satisfação e de alegria pelo auto teor da importância do estudo pela

aplicação prática do conhecimento adquirido em favor da humanidade ou no

cobate aos seus males. Introduzir-se na aventura da matemática é a grande

cantadela para o estudioso da tão somente ciência do raciocínio lógico e abs-trato. (PONTES; PEREIRA, 2014)

1 Cálculo, Ano 5, n.º 50, Março de 2015. Disponível em: <http://pt.calameo.com/read/00078372166749c56d838>. Acesso em: 27.03.2015 12:11

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2.Da Equação Di ferencial Ordinária

Um azo de extraordinária oportunidade na Matemática Aplicada é espe-

lhado pela ambiência das Equações Diferenciais Ordinárias, que se apodera de

quase todas as ramagens do universo científico e prático.

Em sua definição uma equação é cognominada de Equação Diferencial,

se conter em seu bojo uma derivada de uma função qualquer. Porquanto, o es-

tudo dessas equações sujeitar-se ao que se apreende como derivada de uma

função (Silva, 2011, p. 15).

As Equações Diferenciais são caracterizadas conforme a ordem segundo

á ordem da derivada de maior ordem. Assim, são de 1.ª Ordem os seguintes

exemplos (Bianchini, 2015, p. 9):

y '+2xy=3x3

xy '+senxy=ex

Para melhor entender a questão da derivação, observe-se que, na visão

de Jerônimo et al. (2008, p.17), as funções refletem o comportamento de entes

físicos ou estados de valores conhecidos. Mas, quando a perquisição concernir

o ambiente físico ou os estados de valores ignoto, adianta o emprego de um ou-

tro mecanismo. Nisto,

Trata-se da derivação, um processo destinado a analisar as varia-ções no comportamento de um conjunto de dados numéricos, lar-gamente utilizado hoje em dia. (Ibid.)

Considerada uma função f(x), dizemos que há uma função derivada f'(x),

de tal forma definida quando para cada x, sujeito a uma variação Δx ≠ 0, a vari-

ação correspondente de y = f(x). A anotação usual é a que segue

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A derivação ou diferenciação de uma função é o processo de cálculo da

derivada da função, considerado que, se f(x) é uma função e c é uma constante,

então, a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a

derivada da função (Regra do Produto):

Por outro lado, sendo f(x) e g(x) duas funções, a derivada de uma soma

de duas funções é a soma das respectivas derivadas, como anotado abaixo (Re-

gra da Soma):

Ainda destaque-se aqui a chamada Regra do Quociente, entre a função u

e a função v, que anotamos da seguinte forma (Vilches et al., p. 143):

Em sequência ressalte-se a chamada Regra da Cadeia: Sejam f e g fun-

ções, tais que y = g(x) e x = f(t), então:

dydt

=dydx

dxdt

Daí anotamos como Regra da Cadeia o que segue:

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v ' (x )=n(u (x))n−1u ' (x) .

Conforme anota Vilches ([s.d.], p. 133) a “derivada envolve a variação ou

a mudança no comportamento de vários fenômenos”, com grande significado ge-

ométrico, quando se delineia a um ponto arbitrário, calculado o respectivo coe-

ficiente angular da reta tangente para qualquer ponto. Em apoderando-se do

ensinamento de Jerônimo et al. (2008, p. 17), discerne-se que

O resultado desta relação é um número que expressa quanto a retaestá inclinada comparada com o eixo x (da variável independente),pois quanto maior for o coeficiente angular de uma reta, maispróximo ela estará de ser uma reta vertical.

É importante considerar que o coeficiente angular é constante para todo

o percurso de uma reta, tanto quanto nitidamente idêntico à tangente do ângu-

lo gerado pela reta com o eixo x.

Uma função f é derivável ou diferenciável no ponto x0 quando existe a

seguinte relação (Vilches, [s.d.], p. 137):

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Figura 1: Gráfico da equação das retas tangentes.

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Um dos teoremas fundamentais em Matemática acautela a existência da

inversa derivável de uma função derivável. Assim, chegamos à Função Inversa,

que enseja definida por Vilches (id., p. 146) como:

Seja f uma função definida num intervalo aberto I. Se f é derivávelem I e f'(x)≠0 para todo x ∈ I, então f possui inversa f-1 derivável.

A anotação da Função Inversa tomamos do mesmo autor, como segue:

A giza de desfecho temos que constatar que a derivada é a mensuração

da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função sub analisis, for-

necendo não só medida de relevante interesse, mas também revelando o ângulo

da reta tangente ao ponto da curva inicial.

As derivadas desfrutam de um enorme leque de artifícios e de ferramen-

tas para manipular os números em uma função. Através desse fenômeno, é

possível ocasionar novas perspectivas de análise de dados numéricos e de esta-

dos de valores desconhecidos.

Aqui vale lembrar os exemplos da mensuração de todo tipo de taxas, en-

quanto relação linear; o cálculo do máximo, mínimo, médio, e do intervalo; a

avaliação dos números críticos; as análises de declive e concavidade etc.

Em síntese, a Equação diferencial de primeira ordem é da forma:

dydy

= f ( x , y )

Se g(x) é uma função contínua dada, então a equação de primeira ordem

)(xgdxdy

(1)

Pode ser resolvida por integração. A solução é

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cdxxgy )( .

Ultimando, há de se constatar que um ensaio sobre Equações Diferenci-

ais Ordinárias não poderia negligenciar os tipos especiais dessa importante

área da Matemática, como a seguir anotada:

1. Equação de d’Alembert

2. Equação de Bernoulli

3. Equação Exata

4. Equação de Jacobi

5. Equação Linear

6. Equação de Riccati

7. Equação de Separável

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3. Apl icações

O universo de aplicações práticas de Equações Diferenciais de 1.ª Ordem

é imenso e de uma amplitude desproporcional.

3.1 GravitaçãoGravitação

O espécime empírico mais trivial neste ambiente é a questão da gravita-

ção soerguida por Newton, que na esteira de Bianchini (2015, p. 9) se passa a

reprisar o seguinte exemplo:

Considere um corpo de massa m caindo na superfície da terra. Sedesprezarmos a resistência do ar, chamando de v sua velocidadeem um determinado instante de tempo t e de a sua aceleração, aúnica força atuante é a do seu próprio peso p = mg, onde g é aconstante gravitacional. Pela segunda lei de Newton teremos

(1.1)

Se o objeto partiu do repouso, sua velocidade inicial v(0) = 0, e, en-tão, v(t) = gt. Se o objeto partiu com uma velocidade inicial v(0) =v0, então, v(t) = gt + v0. A equação 1.1 nos diz que toda soluçãov(t) tem inclinação g, isto é, a aceleração não varia com o tempo ea velocidade tem sempre a mesma inclinação. Isto é mostrado nográfico abaixo, chamado de campo de direções ou vetores, ondedesenhamos pequenos segmentos de reta com coeficiente angularg = 9, 8.

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Chamando de x(t) a posição do objeto em cada instante de tempot, temos que

Se o objeto parte de uma posição inicial

3.2 Decaimento RadioativoDecaimento Radioativo

Um dos grandes problemas da atualidade é a questão dos isótopos, que

são elementos de cujos átomos possuem o mesmo número de prótons que os

de outro elemento, mas díspar número de nêutrons. Alguns isótopos são capa-

zes de emitir radiação, porquanto intitulados de isótopos radioativos ou radioi-

sótopos e são muitos instáveis. A instabilidade é detectada pela liberação de ra-

diação e partículas eletromagnéticas de alta energia, convertendo-se em novos

elementos, que se traduz em decaimento radioativo, reação de transmutação

ou reação de desintegração radioativa. (Silva, 2011, p. 10-11)

A título de exemplo, pode-se indicar o Carbono 14 (14C), um isótopo do

radioativo do Carbono (12C), decai para Nitrogênio 14 (14N), forma mais está-

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vel do Nitrogênio que não emite radiação. Nesse procedimento, chega-se à cha-

mada meia vidameia vida do elemento radiativo, que varia de isótopo para outro, alguns

decaem em milhões de anos, outros em milésimos de segundos. Dessarte, a li-

teratura aponta a meia vida do Carbono 14 fixada em 5.730 anos (a cada perío-

do de 5.730 anos, metade dos seus átomos presentes numa atmosfera decai

para Nitrogênio 14); a do Urânio 235 em 700 milhões de anos; a do Potássio 40

em 1,3 milhões de anos e a do Césio 137 em 30 anos.

A representação prática desse fenômeno se reflete no calculo preciso da

idade de fósseis, de rochas sedimentares, de ossos, de fósseis e de sedimentos

orgânicos; ainda se mostra útil na Medicina (estudo, diagnóstico e tratamento

de doenças, mapeamento da tireoide (Iodo 131), estudo das hemácias (cromo

51), diagnóstico de adoecimentos cardíacos (Tálio 201), estudo de tumores ce-

rebrais (Mercúrio 197), destruição de células cancerosas (Cobalto 60)), na Agri-

cultura (estudo da capacidade de absorção de adubos e fertilizantes), na Indús-

tria (conservação de alimentos, estudo da depreciação de materiais, esteriliza-

ção de objetos cirúrgicos, detecção de vazamentos em oleodutos). (Silva, 2011)

Seguindo a iluminação de Bianchini (2015, p. 17) apropria-se o exemplo

do isótopo radiativo Tório que

desintegra-se numa taxa proporcional à quantidade presente. Se100 gramas deste material são reduzidos a 80 gramas em uma se-mana, ache uma expressão para a quantidade de tório em qual-quer tempo.

Calcule, também, o intervalo de tempo necessário para a massadecair à metade de seu valor original, chamado de meia vida.

Solução: Seja Q(t) a quantidade de tório em um instante t (dias).Como o tório desintegra-se numa taxa proporcional à quantidadepresente, tem-se:

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onde k < 0, pois Q(t) é decrescente. Como já vimos, a solução destaequação diferencial pode ser encontrada através do método de se-paração de variáveis ou pelo fator integrante, cuja solução é:

Como a condição inicial Q(0) = 100, então,

Para calcular o valor da constante k, usamos o fato de que o isóto-po é reduzido a 80 g em 7 dias, isto é,

Para calcular a meia vida L do tório, tem-se

3.3 Crescimento Populacional Crescimento Populacional

A população do mundo sofre de profundas transformações nas últimas

três décadas. Indiscutivelmente, essa evolução carrega profundas repercussões

em termos sociais, políticos e econômicos.

Enquanto isso, na biologia, a fugacidade do crescimento populacional de

uma cepa de bactérias é de extrema importância para o resultado de uma de-

terminada pesquisa ou ensaio científico.

Assim, o calculo da trajetória provável do crescimento populacional é

uma questão fundamental para a economia, para a política e para os estudos

científicos. Nessa esteira, media a Matemática, em especial, com a ferramenta

Equações Diferenciais de 1.ª Ordem, como demonstra com grande propriedade

Bianchini (2015, p. 18):

Uma cultura de bactérias, com uma quantidade inicial Q0 bacté-rias, cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fimde 20 minutos cresceu 5%.

(a) Determine a quantidade de bactéria em qualquer tempo t.

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(b) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?

Solução: (a) Seja Q(t) a quantidade presente de bactérias no instan-te t. Como a taxa de crescimento de bactérias é proporcional àquantidade presente, tem-se

Como Q(20) = 1,05 Q0 ⇒ = Q0e 20k = 1,05Q0 ⇒ k = 1 /20 ln 1,05 =

0,00243. Portanto,

(b) Vamos agora determinar para qual valor de t tem-se Q(t) =2Q0.

Na literatura ainda encontram-se vários modelos para o calculo do cres-

cimento populacional: modelo de Malthus [crescimento exponencial] e o modelo

Logístico (Verhulst-Pearl) [EDO não linear separável]. (Silva, 2011, p. 17-21)

3.4 Lei do Resfriamento de NewtonLei do Resfriamento de Newton

A troca de calor possui uma fundamental importância no mais diversos

setores. Resulta num paradigma da troca de calor entre um corpo e o meio am-

biente onde está situado, admite-se três hipóteses básicas:

1. A temperatura T = T(t) depende do tempo e é a mesma em to-dos os pontos do corpo.

2. A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante nodecorrer da experiência.

3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é pro-porcional à diferença de temperatura entre o corpo e o maio ambi-ente.

Assim, a EDO que descreve a problemática anota-se a seguir:

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dTdt

=k (T−Tm)

onde T = T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura cons-tante do meio ambiente, T-Tm é a diferença de temperatura e k é uma constantepositiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal nega-tivo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tem-po, em relação à temperatura do meio ambiente.

Trata-se de uma EDO separável, que pode ser transformada em:

dT(T−T m)

=k dt

Integrando ambos os lados, resulta em:

ln(T−T m)=kt+k 0

Resultando por equivalência em:

T ( t )=T m+C exp (−kt )

Quando temos a temperatura inicial do corpo T(0) = T0, podemos obter a cons-tante C, porquanto a solução será:

T ( t)=T m+(T 0−T m)exp (− kt)

3.5 Torre de HanoiTorre de Hanoi

Da genialidade do matemático francês Édouard Lucas, em 1883, surge o

quebra-cabeça inspirado numa lenda: o jogo das Torres de Hanói que invocava

uma falsa lenda antiga. A Torre de Brama tinha três agulhas, e em uma delas,

havia 64 discos de ouro de tamanhos diferentes, empilhados de maneira a

nunca ter um disco maior sobre um menor. A tarefa dos monges era transferir

os discos para outra agulha, passando um disco de cada vez de uma agulha

para a outra, sem nunca colocar um disco maior sobre um menor.

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O que surpreende nesse problema, é que são necessários pelo menos 264

–1 movimentos (aproximadamente 18 quintilhões). Com a velocidade de um

movimento por microssegundo, isso levaria 5.000 séculos.

À análise desse fenômeno, alvitra-se a transição para um modelo mate-

mático, onde todas as propriedades de interesse e questões são reduzidas em

objetos matemáticos e em expressões abstratas. Empós, essas últimas são

submetidas à análise matemática, de cujos resultados, por sua vez, podem per-

passar pela interpretação ao objeto real. (Hinz, 1999, p. 278)

Nesse caso, computa-se com o número natural n o número de discos,

que se passa a numerar do valor 1 ao numeral n. Se então, forem denominadas

as hastes, da Torre de Hanói, como endereços 0, 1 e 2, cada localização regu-

larmente realizável será condicionada por uma n-haste s {0, 1, 2} , se sd for a

haste na qual o disco d {1, ….., n} se encontra localizado, posto que a disposi-

ção dos discos sobre uma haste é determinada pela regra divina. (Ibid.)

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Para a análise deste modelo, encontra-se todo o aparelhamento da mate-

mática à disposição, como no exemplo da indução, um princípio de prova ma-

temática, que retoma o acima retratado método da recursão.

Considerada a expressão A(n) para o número natural n O para n = 0

como verdadeira, e se, ademais, sempre se puder concluir que se A(n) então

A(n + 1), assim a expressão é válida para todo n. No exemplo aqui tratado, A(n)

é a expressão "o problema da torre de Hanói com n discos tem uma solução".

Entre todas as soluções, deve haver (pelo menos) uma com uma sequência

mínima. Além dessas expressões de existência, se mostram também relevantes

as expressões de exclusividade. Se A(n) é a expressão "para n discos existe exa-

tamente uma solução de mínima extensão”, assim A(0) é claro e, numa solução

(mínima) para n + 1 discos o maior foi movimentado, pelo menos uma vez. An-

tes do primeiro e depois do último movimento de n + 1, a cada vez, uma torre

com n discos terá que ser movimentada, assim que para a extensão mínima

μ(n + 1) ≥ 2μ(n) + 1 é válido. Como a solução recursiva mostra, é pois também

μ(n + 1 ) ≤ 2μ(n) + 1, então movimenta-se o maior disco exatamente por uma

vez, posto que o disco maior move-se exatamente uma vez. Dessa forma, de

A(n) segue A(n +1). Além disso, colhe-se afora uma desta expressão qualitativa,

mais ainda, através da indução matemática, também uma quantitativa, nomea-

damente μ(n) = 2n - 1. (Ibid.)

3.6 Misturasisturas

De Bianchini (2015, p.19) tomamos o exemplo das Misturas, que real-

mente é de utilização universal em todos os ambientes.

Imagina-se um tanque

contendo, inicialmente, 100 litros de salmora com 10 kg de sal. Su-ponha que uma torneira despeje mais salmora no tanque numataxa de 3 l/min, com 1/4 kg de sal por litro e que a solução bemmisturada esteja saindo por um orifício no fundo do tanque na

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mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque em qual-quer instante.

À solução toma-se que seja Q(t) a quantidade de sal contida no tanque a

um momento t. Daí, se deduz a taxa de variação da quantidade de sal no tan-

que em relação ao tempo t como segue

dQdt

Por sua vez, quociente entre a taxa quantidade de sal que entra - quantitaxa quantidade de sal que entra - quanti--

dade de sal que saidade de sal que sai em face da relação ao temporelação ao tempo, vai oferecer como resultado a

taxa de entrada - taxa de saída da quantidade de saltaxa de entrada - taxa de saída da quantidade de sal.

Por conseguinte, tem-se que:

Então,

E se Q(0) = 10, assim c = -15.

Concluindo:

3.7 Aplicações à Física Aplicações à Física

Continuando na esteira de Bianchini (2015, p.19), elege-se dois exemplos

na Física.

a) Paraquedas:

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Um paraquedista salta de um balão parado e cai livremente du-rante 30 segundos. Durante este tempo a resistência do ar é des-prezada. Quando seu paraquedas abre a resistência do ar é pro-porcional à sua velocidade. Encontre a velocidade do paraquedistaa partir do instante em que o paraquedas abriu.

Solução: Suponha que o aviador tenha massa m. Então, antes doparaquedas abrir temos:

onde g é a constante gravitacional. Como a velocidade inicial v(0)= 0, então, v = gt e, assim, v(30) = 30g, que é a condição inicial doproblema quando o paraquedas abre.

Neste caso, como as forças atuantes são o peso do paraquedista,mg e força de resistência, kv, tem-se,

Observe que a resistência do ar, kv, tem sinal negativo, pois estasempre reduz a velocidade.

Resolvendo-se esta equação utilizando o fator integrante

u=ekm t , obtém-se

Com a condição inicial v(0) = 30g, obtém-se

Observe-se que quando t → + ∞ ==> v(t) → mgk , que é cha-

mada de velocidade limite.

b) Torpedo:

Trocando o ambiente do ar pelo da água, o fenômeno físico da resistência

permanece, porquanto tem-se a mesma metodologia esboçada no exemplo an-

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terior. Assim, seguindo por outra vez as lições de Bianchini (2015, p.19-20),

chega-se ao exercício abaixo:

Um torpedo de massa m = 1 é lançado horizontalmente, de-baixo d’água, com velocidade inicial v0 m/s. A resistência daágua é proporcional à velocidade do torpedo ao quadradocom constante de proporcionalidade k = 10−3. Se o torpedodeve atingir o alvo com pelo menos metade de sua velocida-de inicial para causar danos, qual é a distância máxima aqual o tiro ainda produzirá efeito?

Solução: Como a única força atuante é a resistência daágua, tem-se a equação:

que se resolvendo por separação de variáveis obtém-se:

Como sua velocidade inicial v(0) = v0, então, c = 1/v0, e, portanto,sua velocidade é

Assim, supondo que sua posição inicial é dada por x(0) = 0, suaposição em cada instante é dada por

Agora, para calcular a distância máxima para o tiro ter efeito, de-vemos calcular o tempo que o alvo é atingido com metade de suavelocidade inicial, isto é, para que valor de t tem-se v(t) = v0/2.

3.8 Aplicação com Juros Compostos Aplicação com Juros Compostos

Alitolef (2011, p. 21-23) traz, com muita propriedade, o drama da econo-

mia popular, os Juros Compostos. E, ele assim conduz a temática:

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Juros estão presentes em quase todas as transações monetárias ecomerciais, tanto no uso das taxas de juros simples bem como nasde juros compostos. Dentre as atividades matemáticas que envol-vem aplicações, as que envolvem juros estão entre as formas maisutilizadas. Vale ressaltar que juros são cobrados em transações emtodas as partes do planeta e com base nestes princípios este traba-lho apresenta um modelo envolvendo juros e equações diferenci-ais

À metodologia aqui aplicável Alitolef encaminha a equação aqui aplicável

da seguinte sorte:

Certo valor S é depositado em um banco a uma taxa de juros con-tinua r, permanecendo ali por um tempo t, assim é correto afirmarque a taxa de variação do valor depositado (dS) em relação á taxade variação do tempo (dt) é igual ao produto da taxa de juros pelovalor do investimento, dado pela seguinte equação:

dSdt

=rS (32)

Separando as diferenciais tem-se:

dSS=rdt ,(33)

Integrado ambos os membros da equação (33), obtêm-se a equação(34), com solução em (35):

∫ dSS=∫ rdt (34)

ln|S|+ln C2=rt+ ln C1 (35)

Colocando os dois membros na base e, e considerando C1 e C2

constantes arbitrárias, e fazendo lnC1 -lnC2 = lnC , tem-se:

S (t )=Cert (36)

onde C é o valor da aplicação no instante inicial, logo C = S0.

Logo, a equação para juros compostos calculados continuamenteé:

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S (t)=S0 ert (37)

Onde S(t) é o valor aplicado, t é o tempo e r a taxa de rendimento.

A literatura está replena dos mais fascinantes arquétipos de aplicações

na espécie. Extrapolaria, em muito, o objetivo deste lavor tentar produzir uma

cercanias de toda essa abrangência.

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4.Conclusão

Decididamente, as aplicações de Equações de 1.ª Ordem já formigou todo

o ambiente socioeconômico e científico do cotidiano do homem. E a cada dia

surgem novas aplicações, fruto de uma reflexão que só a matemática oferece.

Apesar dessa efervescência, nunca é demais lembrar: o que afugenta o

homem da matemática, não é a matemática em si, nomeadamente o raciocínio

lógico abstrato, mas tão somente as suas linguagens; pelo contrário, demons-

tra-se facilmente que a matemática fascina o homemmatemática fascina o homem.

Muito deve-se empreender, de conformação hegemônica e intensiva, em

aproximar o homem da matemática, para romper com os paradigmas no trato e

no ensino da matemática, que ensejam o distanciamento do indivíduo, pelo so-

brosso, de apegar-se à matemática.

Para mais, observa-se uma longinquidade entre aplicações de Equações

de 1.ª Ordem com as ciências humanas e com a práxis das humanidades. Nes-

te ensaio, surgiu uma leve aproximação no trabalho de Silva, (2011, p. 8-13),

no momento em que trabalha a verificação de falsificação de obras de arte.

Mas, na realidade trata-se de uma aplicação de método desenvolvido no ambi-

ente da química e física nuclear.

Ainda, há muito espaço a se preencher com esforços dos matemáticos e

humanistas para explorar a temática com pesquisas empíricas e desenvolvi-

mentos, com o intuito de avolumar a práxis do Direito, da Filosofia, das Letras

etc. com aplicações de Equações de 1.ª Ordem na área das humanidades.

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