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NEEJA

NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS CAXIAS DO SUL – 4ª CRE

Rua Garibaldi, 660 – Centro CEP – 95080-190

Fone Fax 3221-1383 Email – neejacxs@gmail.com www.neejacaxias.com.br

ENSINO MÉDIO

COMPONENTE CURRICULAR

MATEMÁTICA

MÓDULO ÚNICO

JANEIRO 2017

1

OBJETIVO DA MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO • Localizar pontos no plano cartesiano; • Reconhecer uma função do 1º grau; • Identificar a lei de formação da função do 1º grau; • Resolver problemas que envolvam conceito de função do 1º grau; • Construir ler e interpretar gráficos de uma função do 1º grau; • Reconhecer o x como uma incógnita da função do 1º grau; • Identificar e calcular as raízes da função do 1º grau; • Reconhecer uma função do 2º grau; • Reconhecer os zeros da função do 2º grau; • Construir ler e interpretar gráficos de uma função do 2º grau; • Identificar e resolver os vértices de uma função do 2º grau; • Resolver problemas que envolvam conceitos de função do 2º grau; • Reconhecer as razões trigonométricas como constantes que se relacionam com medida de um ângulo agudo do triângulo retângulo; • Utilizar razões trigonométricas para resolver situações problemas; • Reconhecer o seno o cosseno e a tangente; • Resolver problemas utilizando a trigonometria no triângulo retângulo; • Converter os graus em radianos e vice versa utilizando a regra de três; • Reconhecer e determinar as razões trigonométricas; • Aplicar as razões trigonométricas; • Reconhecer o eixo do cosseno e o eixo do seno no ciclo trigonométrico; • Identificar uma função seno sua definição e gráfico; • Identificar uma função cosseno sua definição e gráfico; • Identificar uma função tangente sua definição e gráfico; • Resolver as equações utilizando valores de grau ou radiano de seno, cosseno ou tangente. • Identificar uma seqüência; • Reconhecer uma progressão aritmética; • Calcular o termo geral de uma progressão aritmética; • Determinar a soma de n termos numa progressão aritmética; • Reconhecer uma progressão geométrica; • Calcular o termo geral da progressão geométrica; • Determinar a soma da progressão geométrica; • Resolver situação problemas da progressão aritmética e progressão geométrica; • Representar uma matriz e interpretar informações nela contidas; • Identificar os elementos de uma matriz bem como os seus usos; • Reconhecer, diferenciar e nomear vários tipos de matrizes; • Adicionar matrizes; • Subtrair matrizes; • Multiplicar matrizes; • Calcular o determinante de matrizes quadradas de 2º ordem e 3º ordem; • Resolver os sistemas lineares de 2º e 3º ordem. • Definir uma porcentagem; • Resolver uma porcentagem; • Analisar e calcular aumentos e descontos sucessivos de uma porcentagem; • Resolver problemas que envolvam porcentagem em gráficos e tabelas; • Determinar e calcular do Teorema de Pitágoras; • Resolver figuras inscritas e circunscritas em uma circunferência; • Calcular o perímetro de uma figura plana; • Determinar e resolver o comprimento de uma circunferência; • Analisar, determinar e calcular áreas de figuras planas; • Calcular prismas, paralelepípedo retângulo e cubo, definindo suas áreas e volumes; • Calcular o cilindro definindo suas áreas e volume; • Calcular cone definindo suas áreas e volume; • Calcular esfera definindo suas áreas e volume.

2

PLANO CARTESIANO

O método de representar pontos por coordenadas cartesianas consiste em dividir o plano em dois eixos, chamados eixos coordenados, e identificar os pontos do plano por dois números, que indicam respectivamente as distâncias desses pontos aos eixos coordenados (veja a figura). A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um único par ordenado (x, y) de números reais e a cada par ordenado (x, y) está associado a um único ponto do plano. Indicamos por P(x, y).

Obs.: O eixo horizontal (0x) é o eixo das abscissas. O eixo vertical (0y) é o eixo das ordenadas. O ponto 0 (interseção de 0x com 0y) é a origem (0, 0). O plano que contém 0x e 0y é o plano cartesiano.

FUNÇÃO DO 1º GRAU (FUNÇÃO AFIM)

Na loja automotiva PNEUBOM o preço de um pneu comum novo é de R$ 140,00. Esta loja costuma fazer também o serviço de trocar os pneus, cobrando uma taxa de R$ 8,00, independente do número de pneus a serem trocados. O ganho diário da loja com a venda e troca desses pneus varia conforme o número de pneus que ela vende diariamente. Sendo x o número de pneus vendidos e y o ganho correspondente, em regra, podemos escrever y em função de x: para x = 1, y = 1 . 140 + 8 para x = 2, y = 2 . 140 + 8 para x = 3, y = 3 . 140 + 8 Generalizando, temos y = x . 140 + 8 ou y = 140 x + 8, e a função obtida é um função do 1º grau. De modo geral, chamamos de Função do 1º grau ou Função Afim toda função que obedeça com satisfação a lei de formação y = a x + b ou f( x) = ax + b, onde a ≠ 0. Exemplos: y = 3x + 2 a = 3, b = 2

y = 2 - 3

4x a = -

3

4, b = 2

y = x a = 1, b = 0

y = f(x)

3

Obs.: O coeficiente de x, a , é chamado de coeficiente angular da reta (a está ligado a inclinação da reta em relação ao eixo 0x no sentido anti-horário). O termo constante, b, é chamado de coeficiente linear da reta. Exemplo: Dada a função definida por f(x) = 5x – 1, calcular: a) f(3) = 5.(3) – 1 = 15 – 1 = 14 f(3) = 14 b) f(– 2) = 5. (– 2) – 1 = – 10 – 1 = –11 f(– 2) = –11 c) f(0) = 5.(0) – 1 = 0 – 1 = – 1 f(0) = –1

d) f

5

2 = 5.

5

2– 1 =

5

10 – 1 = 2 – 1 = 1 f

5

2 = 1

e) o valor de x para que f(x) = 9. f(x) = 9 5x – 1 = 9 5x = 9 + 1 5x = 10

x = 5

10

x = 2 f) o valor de x para que f(x) = 0. f(x) = 0 5x – 1 = 0 5x = 0 + 1 5x = 1

x = 5

1

Exercícios 1) Dada a função f(x) = 3x – 6, calcule:

a) f(0) b) f(– 2) c) f

3

2

d) o valor de x para que f(x) = 1. e) o valor de x para que f(x) = 0. 2) Dada a função y = – 2x – 1, calcule:

a) f(– 3) b) f(0) c) f(5) d) f

2

5

e) o valor de x para que f(x) = – 3. f) o valor de x para que f(x) = 0.

4

Gráfico

O gráfico de uma função do 1º grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é sempre uma reta oblíqua aos eixos 0x e 0y. Exemplo: 1) Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1. Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua. Resumindo: Para construir o gráfico da função y = ax + b, com a ≠ 0 basta acharmos os pares ordenados (0, y) e (x, 0) e ligar os pontos. y = 3x – 1 Graficamente: (0, y) (x, 0) y = 3 . 0 - 1 3x - 1 = 0 y = 0 -1 3x = 1

y = -1 x = 3

1

(0 , -1) (3

1, 0)

2) Vamos construir o gráfico da função y = -2x + 3. y= -2x + 3 Graficamente (0, y) (x, 0) y = -2 . 0 + 3 -2x + 3 = 0 y = 3 -2x = -3 (x -1) (0, 3) 2x = 3

x = 2

3

0,

2

3

Exercícios 3) Faça o gráfico das funções: a) y = x -1 b) y = - 2x + 4 c) y = 3x + 2 d) y = - x – 2 Você deve ter observado que na função y = ax + b com a ≠ 0: Se a > 0 a função é crescente. Se a < 0 a função é decrescente. 4) Sem construir o gráfico, classifique as funções abaixo em crescentes e decrescentes:

a) y = 3x – 2 b) y = 9x c) y = 2

1x – 4 d) y = -

3

2x +

4

1

e) y = -x + 5 f) y = x – 1

5

PROBLEMAS UTILIZANDO A FUNÇÃO DO 1º GRAU: Exemplos: 1-) Regina descobriu que a relação entre o tempo t (em horas) de utilização da Internet e o valor V (em reais) a ser pago por ela no final do mês, é representado pela fórmula V = 30 + 0,15.t Quanto gastará Regina se, durante o mês, utilizar a Internet por 10 horas? Resolução: t = 10 horas V = ? V = 30 + 0,15.t V = 30 + 0,15 . 10 V = 30 + 1,5 V = 31,5 Regina pagará durante um pela Internet R$ 31,5 reais. 2-) Suponha que você resolva poupar uma certa quantidade de dinheiro, guardando-o em casa, sem a possibilidade de render juros ou sofres correção monetária, e começar guardando no primeiro dia R$ 10,00 e a partir do segundo dia acrescentar R$ 5,00 por dia. Considere y como sendo a quantia acumulada e x o número de dias que se passaram após o início da poupança. Qual é a fórmula matemática que representa essa situação? Resolução: y = representa a quantia. x = representa os números de dias. y = 10 + 5.x Exercícios 5) Em uma padaria o preço do pão é determinado pela equação: P(n) = 0,18n, sendo P o preço a ser pago e n o número de pães comprados. Se Maria foi à padaria e pediu 16 pães, o valor a ser pago é: a) 1,08 b) 3,24 c) 2,88 d) 3,40 e) 5,80 6) (ENCEEJA 2006) A escola de natação “Nada ou tudo” cobra R$ 100,00 de matrícula e R$ 80,00 de mensalidade para uso da piscina duas vezes por semana. O valor total de um usuário paga depende do número de meses que frequenta a escola. A lei matemática que representa o valor total V pago pelo usuário em função do número n de meses é: a) V = 100 + 80n b) V = 80 + 100n c) V = 100 – 80n d) V = 80 – 100n e) V = 80n 7) Qual será o número de habitantes de uma cidade, daqui há 15 anos, se a população está estimada, em função do tempo t, em anos, através de f(t) = 500. t – 1500? a) 5500 habitantes b) 6000 habitantes c) 5800 habitantes d) 6200 habitantes e) 6500 habitantes

6

8) O custo de um produto de uma indústria é dado por C(x) = 250,00 + 10,00x, sendo x o número de unidades produzidas e C(x) o custo em reais. Qual é o custo de 1000 unidades desse produto? 9) O custo de fabricação de x unidades de certo produto é dado por C(x) = 100 + 2x. Nestas condições, a) calcule o custo de produção de 250 unidades desse produto. b) quantas unidades desse produto devem ser fabricadas para que o custo seja de R$ 1 900,00?

Zero ou raiz da função do 1º grau

Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b , a ≠ 0 , o número real x tal que f (x) = 0. Exemplo: 1) f (x) = 2x - 5 2) f (x) = 5x - 1 3) f (x) = - x - 3 2x - 5 = 0 5x - 1 = 0 - x - 3 = 0 2x = 5 5x = 1 - x = 3 (x-1) x = 5 x = 1 x = - 3 2 5 Exercícios 10) Ache a raiz de cada uma das seguintes funções:

a) y = 3x – 1 b) y = – 2x + 1 c) y = 2

53 x

d) y = 4x e) y = 2x – 7 f) y = 20 – 5x

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definição Chamamos de função do 2º grau ou função quadrática, toda função com a lei de formação y = ax2 + bx + c , com a ≠ 0. Exemplos: y = 2x2 + 3x + 5 a = 2, b = 3, c = 5 y = x2 - 1 a = 1, b = 0, c = -1 y = -x2 + 2x a = -1, b = 2, c = 0 y = -3x2 a = -3, b = 0, c = 0 Exemplos: 1) Dada a função definida por f(x) = x2 – 2x + 3, calcular: a) f(-2) = (-2)2 – 2.(-2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11 b) f(0) = (0)2 – 2.(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3

7

2) Dada a função definida por f(x) = – x2 + x + 1, calcular: a) f(-3) = – (-3)2 + (-3) +1 = – 9 – 3 + 1 = – 11 b) f(2) = – (2)2 + (2) + 1 = – 4 + 2 + 1 = – 1 Exercícios 11) Dada a função definida por f(x) = x2 – x + 2, calcular: a) f(-3) b) f(0) c) f(1) 12) Dada a função definida por f(x) = – x2 + 5x + 6, calcular: a) f(-1) b) f(0) c) f(2) Gráfico Gráfico de uma função do 2º grau, y = ax2 + bx + c com a ≠ 0, é sempre uma curva chamada de parábola. Para construirmos o gráfico da função, devemos: 1º. Primeiro atribuímos a x alguns valores. 2º. Calculamos o valor correspondente a y para cada valor de x. 3º. Encontramos os pares ordenados. 4º. Marcamos no plano cartesiano os valores encontrados. 5º. Ligamos os pontos. Exemplos: 1. Construa o gráfico da função y = x2 – x – 2 1º 2º 3º 4º / 5º

2. Construa o gráfico da função y = -x2 + 1

Exercícios 13) Construa o gráfico das funções: a) y = x2 b) y = x2 - 2x + 4 c) y = -x2 + 1 d) y = -2x2

x y = x2 - x – 2 (x, y)

-2 (-2)2 – (–2) – 2 = 4 + 2 – 2 = 4 (-2, 4)

-1 (-1)2 – (-1) – 2 = 1 + 1 - 2 = 0 (-1, 0)

0 (0)2 – (0) - 2 = 0 – 0 – 2 = – 2 (0, -2)

1 (1)2 – (1) - 2 = 1 - 1 - 2 = – 2 (1, -2) 2 (2)

2 – (2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0 (2, 0)

x y = – x2 + 1 (x, y) -2 – (-2)2 + 1 = – 4 + 1 = – 3 (-2, -3) -1 – (-1)2 + 1= – 1 + 1 = 0 (-1, 0) 0 – 02 + 1 = 0 + 1 = 1 (0, 1) 1 – (1)2 + 1 = – 1 + 1 = 0 (1, 0) 2 – (2)2 + 1 = – 4 + 1 = – 3 (2, -3)

8

Observe que ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c com a ≠ 0 se: a > 0 a parábola tem a concavidade para cima; a < 0 a parábola tem a concavidade para baixo. 14) Os gráficos das funções abaixo são parábolas. Classifique com C a parábola que tem a concavidade para cima e B a parábola que tem concavidade para baixo: a) y = 3x2 - 5x + 1 d) y = 2 - x2 + 3x b) y = - x2 - 2x + 1 e) y = 4x + 3x2 c) y = 4x2 f) y = x2 – 1

Zeros da função do 2º grau

Chamam-se zeros ou raízes da função do segundo grau y = ax2 + bx + c com a ≠ 0 os números x tais que f (x) = 0. Então as raízes da função y = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada FÓRMULA DE BÁSKARA: Exemplo: Encontre as raízes da função y = x2 - 5x + 6 x2 - 5x + 6 = 0 a = 1 b = -5 c = 6

1.2

6.1.4552

x 2

24255 x

2

15 x

2

15 x 3

2

6

2

151

x

22

4

2

152

x As raízes são 2 e 3.

Exercícios 15) Determine as raízes de cada função: a) y = 2x2 - 3x + 1 b) y = 4x - x2 c) y = 9x2 - 1 d) y = -x2 + 6x - 9 Obs.: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ∆ = b2 - 4ac, chamado discriminante: quando ∆ > 0, teremos duas raízes reais e diferentes; quando ∆ = 0, teremos uma só raiz real; quando ∆ < 0, não há raiz real.

a2

ac4bbx

2

9

Vértice de uma Parábola

O vértice de uma parábola é o ponto extremo da função quadrática correspondente. Ao observarmos com um pouco mais de atenção uma parábola, é possível perceber que ela admite um eixo vertical de simetria que passa pela parábola exatamente no ponto denominado vértice.

O vértice pode representar um ponto mínimo (se a concavidade estiver voltada para cima) ou ponto máximo (se a concavidade estiver voltada para baixo) da parábola. O vértice V (xv, yv) da parábola de equação y = ax2 + bx + c com a ≠ 0 é o ponto V(xv,yv). onde: e em que Obs.: O valor de yv, também, pode ser determinado substituindo o valor de xv na função, ou seja, yv = f( xv ) Exemplo: Calcular as coordenadas do vértice da parábola correspondente a f(x) = – x2 – 6x – 7.

xv = a

b

2

xv = 3

2

6

)1(2

)6(

xv = – 3

yv = f(– 3) = – (– 3)2 – 6(– 3) – 7 = – 9 + 18 – 7 = 2 yv = 2 O vértice da parábola é V(– 3, 2). Exercícios 16) Obtenha as coordenadas do vértice de cada parábola correspondente à função quadrática. a) y = 2x2 - 4 b) y = -x2 + 4x - 5 c) y = x2 - 9x

Como na função de 1º grau, a função de 2º grau se apresenta como “situações” do dia-a-dia. Observe: Exemplo: Uma bala é atirada de um canhão (como mostra a figura) e descreve uma parábola de equação. y = – 3x2 + 60x, onde x representa o tempo, em segundos e y é a altura, em metros.

xv = a

b

2

∆ = b2 - 4ac

yv = a4

10

Vamos determinar: a) a altura máxima atingida pela bala; b) o instante em que a bala retorna ao solo. Agora, observe a resolução dos itens acima: a) Como a = – 3 < 0, a parábola tem um ponto de máximo V cujas coordenadas são (xv , yv). Temos:

106

60

2

a

bxv e 300

12

3600

4

ayv

ou yv = f(10) = – 3.(10)2 + 60.10 yv = – 3 .100 + 600 yv = – 300 + 600 yv = 300 Assim, a altura máxima atingida é 300 m. b) A bala toca o solo quando y = 0, isto é: -3x2 + 60x = 0 x = 0 ou x = 20. Logo, a bala toca o solo 20 segundos após seu lançamento. Exercícios 17) A trajetória de um jato d’água que sai de uma mangueira descreve uma parábola. Supondo-se que sua altura h, em metros , seja dada por h = – t2 + t + 12 em que t é o tempo, em segundos. Nessas condições, para um tempo de 2 segundos a altura em metros equivale a: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 18) Durante uma situação de emergência, o capitão de um barco dispara um sinalizador para avisar a guarda costeira. A trajetória que o sinal luminoso descreve é um arco de parábola. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por h(t) = 80t – 5t2, sendo h a altura do sinal, em metros, e t, o tempo decorrido após o disparo, em segundos. a) Qual é a altura do sinal luminoso após 6 segundos do disparo? b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal luminoso atingir a altura máxima? c) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode atingir? 19) Um carro percorre uma trajetória retilínea descrevendo um movimento cuja lei de posição d (em metros) em função do tempo t (em segundos) é d(t) = 4t – 2t2. No instante ______ o carro para e altera o sentido do movimento. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna. a) 5 segundos. b) 30 minutos. c) 1 hora. d) 1 segundo. e) 4 segundos.

11

CHAVE DE CORREÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO

1) a) f(0) = – 6 b) f(– 2) = – 12

c) f

3

2= – 4 d) x =

3

7 e) x = 2

2) a) f(– 3) = 5 b) f(0) = – 1 c) f(5) = – 11

d) f

2

5= 4 e) x = 1 f) x =

2

1

3)a) y = x -1 d) y = -x – 2

b) y = -2x + 4 c) y = 3x + 2

4) a) Crescente d) Decrescente b) Crescente e) Decrescente c) Crescente f) Crescente 5) c 6) a 7) b 8) R$ 10 250,00 9) a) R$ 600,00 b) 900 unidades

10) a) 3

1 b)

2

1 c)

3

5

d) 0 e) 2

7 f) 4

11) a) 14 b) 2 c) 2 12) a) 0 b) 6 c) 12 13)a) y = x2

x y -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4

b) y = x2 - 2x + 4

x y - 2 -1

12 7

0 4 1 2

3 4

c) y = -x2 + 1

x y -2 -3 -1 0 0 1 1 0 2 -3

d) y = -2x2

x y -2 -1

-8 -2

0 0 1 2

-2 -8

14) a) C d) B b) B e) C c) C f) C

15) a) x = 1 ou x = 2

1

b) x = 0 ou x = 4

c) x = 3

1 ou x =

3

1

d) x= 3 16) a) V (0, -4)

b) V (2, -1) c) V (2

9, -

4

81)

17) a 18) a) 300 metros b) 8 segundos c) 320 metros 19) d

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TRIGONOMETRIA

No início de sua criação, a Trigonometria era um campo da Matemática no qual os ângulos de um triângulo e as medidas de seus lados eram relacionados. As razões trigonométricas apareceram inicialmente por necessidades da Astronomia2, da Agrimensura3 e da navegação. Posteriormente, por volta dos séculos XVI e XVII, a Trigonometria esteve a serviço da Física para descrever e explicar fenômenos periódicos, como por exemplo: o movimento periódico dos planetas, estudado por Kepler; o movimento periódico dos pêndulos estudado por Galileu; a propagação do som em forma de ondas, estudada por Newton; a propagação da luz em forma de ondas, estudada por Huyghens; a vibração de uma corda de violino, estudada por Mersenne.

Trigonometria no triângulo retângulo

Triângulo retângulo é o triângulo que tem um ângulo reto (de 90º

Atualmente, as razões trigonométricas num triângulo retângulo são apresentadas como na figura abaixo .

c

a

hipotenusa

opostocatetosen

c

b

hipotenusa

adjacentecatetocos

b

a

adjacentecateto

opostocatetotag

13

Onde a, b são as medidas dos catetos e c da hipotenusa desse triângulo retângulo; e seus

ângulos agudos; e sen (seno), cos (co-seno) e tg (tangente) são razões entre medidas dos lados desse triângulo como está descritas acima. EXEMPLO: Atualmente, os topógrafos dispõem de instrumentos de medida de ângulo que lhes permite determinar medidas por vezes inacessíveis.

Desejando saber qual a altura do morro que tinha à sua frente, um topógrafo colocou-se com seu teodolito a 200m do morro. Ele sabe que a altura do teodolito é de 1,60m. Posiciona o aparelho que lhe fornece a medida do ângulo de visada de parte do morro: 30º. Consulta uma

tabela de tangentes e verifica que tg 30º = 3

3 =

3

73,1 = 0,57.

Assim, no triângulo TPM temos:

tg 30º = 200

h ou 0,57 =

200

h

o que lhe permite calcular h: h = 200 x 0,57 = 114 O topógrafo conclui que o morro tem 114 + 1,60 = 115,60m de altura. Atenção: Valores importantes que devem ser lembrados.

x 30º 45º 60º

sen x

2

1

2

2

2

3

cos x

2

3

2

2

2

1

tg x

3

3

1 3

Exercícios 1) Dado o triângulo retângulo ABC da figura, determine:

a) sen Ĉ b) cos Ĉ c) tg Ĉ

14

2) Calcule o valor de x nas figuras abaixo: a) b) c) d) 3) Um foguete é lançado à velocidade de 200 m/s, segundo um ângulo de inclinação de 60º (ver figura). Supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante, determine a altura que o foguete

se encontra, após 4 s, quando a distância por ele percorrida terá sido de 800 m. (use 3 = 1,73)

4) Uma pessoa está na margem de um rio, onde existem duas árvores (B e C na figura). Na outra margem, em frente a B, existe outra árvore A, vista de C segundo um ângulo de 30º, com relação a B. Se a distância de B a C é 150 m, qual é a largura do rio, nesse trecho?

(use 3 = 1,73)

5) Parte de uma pista de skate é constituída de uma rampa com 22 m e 45º de inclinação. Qual a altura dessa rampa?

15

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

A circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico é de extrema importância para o estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas são deduzidos.

QUADRANTE Observe que o círculo fica dividido em quatro partes que chamamos de quadrantes. A partir dessa circunferência vamos tomar arcos com origem no ponto (x,y) = (0,1) que aumentarão no sentido anti-horário

.

MEDIDA DE UM ARCO

A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. Medir significa comparar com uma unidade padrão previamente adotada. Contudo, para evitar possíveis divergências na escolha da unidade para medir um mesmo arco, as unidades de medida restringem-se a três principais: o

grau ( ), o radiano ( ) e o grado, sendo este último não muito comum.

O grau

Um grau é um arco de circunferência cujo comprimento equivale a da circunferência que contém o arco

a ser medido. Portanto, a medida, em graus, de um arco de uma volta completa (uma circunferência) é

O radiano

Um radiano é um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. É a unidade do Sistema Internacional (SI). O comprimento de uma circunferência de raio é

Para converter unidades, podemos usar as correspondências ou e uma regra de três simples. Exemplo:

16

sen2 x + cos2 x = 1

tg x = x

xsen

cos

cotg x = xsen

xcos

sec x = xcos

1

cossec x = xsen

1

Lembre-se que o denominador de uma fração não pode ser zero.

Exercícios 6) Transforme em radianos: a) 30º e) 270º b) 15º f) 300º c) 120º g) 20º d) 210º h) 150º 7) Transforme em graus:

a) 3

e)

5

3

b) 2

f)

4

3

c) 4

g)

9

2

d) 5

h)

6

11

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Relações Fundamentais

1) 4) 2) 5) 3)

Exemplo:

Sendo x um ângulo agudo e cos x = 3

2 , calcule tg x:

Como tg x = x

senx

cos, precisamos achar o sen x.

Usaremos a relação sen2x + cos2x = 1

sen2x + 2

3

2

=1 sen2x = 1

9

4 sen2x =

9

49

sen2x = 9

5 sen x =

9

5 sen x =

3

5 (como x é um ângulo agudo sen x =

3

5)

tg x = x

senx

cos tg x =

3

5 .

2

3 tg x =

2

5

17

Exercícios

8) Sendo x um ângulo agudo e cos x = 4

1, quanto vale sen x.

9) Sendo x um ângulo agudo e sen x = 3

1, calcule o valor do cos x.

10) Calcule o valor tg x, sendo x um ângulo agudo tal que sen x = 7

2.

Ciclo Trigonométrico

Ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada de raio 1, para o qual se adota como sentido positivo o anti-horário e se escolhe um ponto A qualquer como origem dos arcos. Usaremos, no decorrer de nosso estudo, o ciclo trigonométrico centrado em um sistema de eixos coordenados cartesianos, de maneira que o eixo das abscissas passe pelo ponto A. Observe: Os eixos do sistema cartesiano dividem o ciclo trigonométrico em quatro partes (quadrantes) a partir do sentido anti-horário.

Função Seno

O eixo 0y das ordenadas é o eixo dos senos.

Dado um arco de medida, cuja extremidade é o ponto P, o seno de é a ordenada desse ponto.

sen = ON Em outras palavras, para achar o seno de um arco, projetamos a extremidade desse arco no eixo 0y. A medida tomada de 0 até a projeção, levando em conta o sinal, é o valor do seno. Atenção! a) Não esqueça que o ciclo trigonométrico tem raio 1. b) Observe que os pontos do 1º e 2º quadrantes tem projeção acima de 0 (positiva) e pontos do 3º e 4º quadrantes tem projeção abaixo de 0 (negativa). Portanto:

Gráfico da Função Seno

Para construir o gráfico da função seno, y = sen x iremos atribuir valores para “x” e encontraremos valores de “y”. Observe os valores selecionados. x y=senx Y (x,y) 00 sen 00 0 (0º,0) 90º sen 90º 1 (90º,1) 180º sen 180º 0 (180º,0) 270º sen 270º -1 (270º,-1) 360º sen 360º 0 (360º,0)

18

Obs.: Função seno 1º. Sen x é periódica do período 2π; 2º. 2°. Sinais

gráfico da função y = sen x é chamado senóide.

Função Cosseno

O eixo 0x das abscissas é o eixo dos cossenos.

Dado um arco de medida , cuja extremidade é o ponto P, o cosseno de é a abscissa desse ponto.

cos = OM Você deve ter observado que basta projetarmos a extremidade do arco no eixo 0x. Observe que os pontos do 1º e 4º quadrantes tem projeção a direita de 0 (positiva) e o 2º e 3º quadrantes tem projeção a esquerda e 0 (negativo).

Gráfico da Função Cosseno Seja a função y = cos x. Para construir o gráfico atribuímos valores de x e encontramos y.

x y = cos x y (x,y)

0 cos 0 1 (0,1)

2

cos

2

0 (

2

, 0)

π cos π -1 (π, 0)

2

3 cos

2

3

0 (

2

3, 0)

2 π cos 2 π 1 (2 π, 0)

Obs.: 1º. cos x é periódica de período 2 π. 2º. Sinais

3º. O gráfico da função y = cos x é chamado cossenóide.

19

Exercícios 11) Complete os parênteses conforme o quadrante que pertencem os arcos (1º/2º/ 3º/4º)

a) 338º ( ) d) 168º ( ) g) 30º ( ) j) 5

3 ( )

b) 224º ( ) e) 250º ( ) h) 330º ( ) l) 3

( )

c) 280º ( ) f) 146º ( ) i) 4

( ) m)

6

7( )

Ciclo Trigonométrico do Seno e do Cosseno

12) Utilize o ciclo trigonométrico para determinar o valor de: a) sen 300 b) sen 1350 c) sen 2400 d) sen 2700 e) sen 3600 f) cos 450 g) cos 600 h) cos 1800 i) cos 2100 j) cos 2700

20

13) Resolva as equações, para 0º ≤ x ≤ 360º:

a) sen x = 2

1 b) 2. sen x + 3 = 0 c) sen2 x – 1 = 0

d) 2 . cos x – 1 = 0 e) cos x + 2

3 = 0 f)2. cos x – 2 = 0

14) Resolva as equações, para 0 ≤ x ≤ 2 :

a) sen x = 2

3 b) 2 sen x + 1 = 0 c) cos2 x – 1 = 0

Função Tangente

Considerando um arco , cuja medida é o número real x, temos:

tg x = x

xsen

cos , sendo cos x ≠ 0

No ciclo trigonométrico:

tg = AT O eixo das tangentes (t) é orientado no mesmo sentido das ordenadas 0y, tendo como origem o ponto A.

Gráfico da função tangente

Seja a função y = tg x, lembrando que tg x = x

xsen

cos Para construir o gráfico dessa

função atribuiremos valores de x para acharmos os valores de y. Gráfico da função tangente.

Obs.:

1º. tg x é periódica de período π 2º. Sinais

Exercícios 15) Utilize o ciclo trigonométrico para determinar o valor de: a) tg 300 b) tg 1200 c) tg 1350 d) tg 1800 e) tg 2400 f) tg 270º g) tg 3300 h) tg 3600 16) Resolva as equações, para 00 ≤ x ≤ 3600. a) tg x = 3 b) 3.tg x + 3 = 0 c) tg x – 1 = 0

21

17) Resolva as equações, para 0 ≤ x ≤ 2 : a) tg2 x – 1 = 0 b) 3.tg x – 3 = 0 c) tg x = 0 18) O valor de A = sen 60º + cos 330º + tg 240º é:

a) 1. b) 0. c) 32 . d) 22 . e) 3 . 19) O valor de B = cos 240º – sen 150º – tg 135º é: a) 1. b) 0. c) 2. d) – 1. e) – 2. 20) O valor de C = cos 180º – sen 270º + tg 45º é:

a) 2 . b) 3 . c) 0. d) – 1. e) 1.

Ciclo Trigonométrico da Tangente

22

CHAVE DE CORREÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA TRIGONOMETRIA

1) a) sen Ĉ = 5

1 b) cos Ĉ =

2

1

c) tg Ĉ = 5

2

2) a) x = 25 cm b) x = 5 cm

c) x = 56 cm d) x = 21 cm 3) 692 m 4) 86,5 m 5) 2 m

6) a) 6

e)

2

3

b) 12

f)

3

5

c) 3

2 g)

9

d) 6

7 h)

6

5π

7) a) 60º e) 108º b) 90º f) 135º c) 45º g) 40º d) 36º h) 330º

8) 4

15 9)

3

22

10) cos x = 7

53 tg x =

15

52

11) a) 4º e) 3º i) 1º b) 3o f) 2º j) 2º c) 4º g) 1º l) 1º d) 2º h) 4º m) 3º

12) a) 2

1 b)

2

2 c)

2

3 d) – 1

e) 0 f) 2

2 g)

2

1 h) – 1

i) 2

3 j) 0

13 a) S = {30º, 150º} b) S = {240º, 300º} c) S = {90º, 270º} d) S = {60º, 300º} e) S = {150º, 210º} f) S = {45º, 315º}

14) a) S =

3

2,

3

b) S =

6

11,

6

7

c) S = }2,,0{

15) a) 3

3 b) 3 c) – 1

d) 0 e) 3 f)

g) 3

3 h) 0

16) a) S = {60º, 240º} b) S = {150º, 330º} c) S = {45º, 225º}

17) a) S =

4

7,

4

5,

4

3,

4

b) S =

6

7,

6

c) S = }2,,0{ 18) c 19) b 20) e

SEQUÊNCIAS

Os jogos olímpicos, o mais importante evento esportivo do planeta, ocorrem a cada 4 anos. Os últimos jogos olímpicos ocorreram na cidade de Pequim, no ano de 2008. É possível sabermos em quais anos teremos a realização de jogos olímpicos? Ora, essa não é uma pergunta difícil, já temos as informações necessárias para respondê-la:

23

2008, 2012, 2016, 2020, ... Os números acima formam uma sequência. Note que obedecemos a uma ordem ao escrevermos esses números. Dizemos que 2008 é o 1º termo da sequência, 2012 é o 2º termo, 2016 é o 3º termo e, assim, sucessivamente. Essa informação normalmente é dada de maneira mais resumida. Observe: a1 = 2008 a2 = 2012 a3 = 2016 Quem é, na nossa sequência, o a4? E a6? A sequência é formada por números, mas também podemos estudar sequências de figuras, objetos, letras e qualquer outra coisa que desejarmos. Note que existe uma lei em nossa sequência, que nos permite descobrir quais serão os seus próximos elementos. Nem sempre, porém, isso ocorre. Imagine que a sequência (3, 0, 2, 1, 1, 2) seja o número de gols que uma equipe marcou nos 6 primeiros jogos de um campeonato. É possível sabermos o próximo elemento dessa sequência apenas observando os anteriores? EXERCÍCIOS: 1) Observe a sequência abaixo: Desenhe o próximo termo da sequência. 2) A medida do lado de cada um dos polígonos regulares abaixo é 1 cm. a) Encontre o perímetro de cada figura. b) Os números encontrados formam uma sequência? 3) Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida por an = n – 2, com n IN*. 4) Escreva os seis primeiros termos da sequência definida por an = 2n, com n IN*. 5) Escreva os quatro primeiros termos da sequência definida por an = 2n + 1, com n IN*.

24

Progressões Aritméticas

Definição Progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado de razão da progressão (indica-se por r). Exemplos: (2, 5, 8, 11, 14...) r = 5 - 2 r = 3 PA crescente (-5, -1, 3, 7, 11...) r = - 1 - (-5) = -1 + 5 r = 4 PA crescente ( 7, 7, 7, 7) r = 7- 7 = 0 r = 0 PA constante (15, 13, 11, 9, 7...) r = 13 - 15 r = - 2 PA decrescente

Representação de uma progressão aritmética (PA)

A representação matemática de uma progressão aritmética (PA) é: (a1, a2, a3, ..., an, an+1)

Logo: an+1 = an + r ou a razão: r = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 Exemplos: 1. Calcular r e a5 na PA (3, 9, ...) r = 9 – 3 a1

= 3 r = 6 a2 = 9 a3 = a2 + r = 9 + 6 = 15 a4 = a3 + r = 15 + 6 = 21 a5 = a4 + r = 21 + 6 = 27 Exercícios 6) Escreva: a) uma PA de 5 termos em que o 1º termo (a1) é 10 e a razão (r) é 3. b) uma PA de 8 termos em que a1 = 6 e r = – 4. c) uma PA de 6 termos em que a1 = – 3 e r = 5. d) uma PA de 4 termos em que a1 = – 2 e r = – 7.

Termo geral da PA

Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer da PA conhecendo apenas o 1º termo e a razão. Seja (a1, a2, a3, ..., an) uma PA de razão r. Temos: a2 – a1 = r a2 = a1 + r a3 – a2 = r a3 = a2 + r a3 = a1 + 2r a4 – a3 = r a4 = a3 + r a4 = a1 + 3r De modo geral: an = a1 + (n – 1) . r

25

Assim, por exemplo, podemos escrever: a4 = a1 + 3r a12 = a1 + 11r a32 = a1 + 31r Exemplos: 1. Encontre o termo geral da PA (4, 7, ...) a1 = 4 an = a1 + (n - 1) r an = an an = 4 + (n - 1) 3

r = 7 – 4 = 3 an = 4 + 3n - 3 n = n an = 3n + 1 2. Qual é o vigésimo termo da PA (3, 8, ...)

a1 = 3 an = a1 + (n - 1) r an = a20 a20 = 3 + (20 - 1) . 5 r = 8 - 3 = 5 a20 = 3 + 95 n = 20 a20 = 98 Exercícios 7) Encontre o oitavo termo da PA (2, 7, ...) 8) Qual é o décimo quinto termo da PA (4, 10, ...) ? 9) Numa P.A. a1 = 20 e r = 5. Calcule a26. 10) Qual é o 42º termo da PA (– 31, – 25, – 19, – 13, ...) ? 11) Em uma PA, o 7º termo vale – 49 e o primeiro vale – 73. Qual é a razão dessa PA?

Soma dos n termos de uma PA

Considerando a PA (a1, a2, a3, ..., an) a soma Sn de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

Sn = 2

).( 1 naa n

Exemplos: 1) Determine a soma dos trinta primeiros termos da PA (- 4, - 2, 0, 2, ...)

a1 = – 4 an = a1 + (n – 1) r Sn = 2

).( 1 naa n

n = 30 a30 = – 4 + (30 –1) . 2 S30 = 2

30).544(

r = 2 – 0 = 2 a30 = – 4 + 58 S30 = 2

30.50

S30 = ? a30 = 54 S30 = 750

26

n

n

aa

1

fatoresn

n aaaaa ...

Exercícios 12) Calcule a soma dos quinze primeiros termos da PA (– 45, – 41, – 37, – 33, ...). 13) Calcule a soma dos vinte primeiros termos da PA (15, 40, 65, 90, ...). 14) Em uma cidade, 1.200 famílias carentes inscreveram-se em um programa social desenvolvido pela prefeitura. Por não haver a verba total imediata necessária para implementar o programa, decidiu-se atender 180 famílias no primeiro mês e, em cada mês subseqüente, 15 famílias a menos que o número correspondente às famílias assistidas no mês anterior. a) Quantas famílias foram atendidas nos três primeiros meses do programa? b) Quantas famílias inscritas foram assistidas ao final de um ano? OBSERVAÇÃO: Antes, de iniciarmos o estudo das progressões geométricas, vamos revisar potenciação.

Revisão de Potenciação

Sendo dados um número real a e um número natural n, com n ≥ 2, chama-se potência de base a e expoente n o número an que é o produto de n fatores iguais a a. Exemplos:

a) 23 = 2.2.2 = 8 c) 14 = 1.1.1.1 = 1

b) 25

1

5

1

5

1

5

12

d)

27

8

3

2

3

2

3

2

3

23

Considera-se por definição que a1 = a e que a0 = 1 (sendo a ≠ 0). Exemplos:

a) 20 = 1 c) 31 = 3

b) 13

50

d)

5

1

5

11

Potência de expoente inteiro negativo Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, chama-se potência de base a e

expoente – n o número a- n, que é o inverso de an.

27

am.an = am + n

n

m

a

a= a m – n

n aaaa ...

nma = am.n

(a . b)m = am.bm m

mm

b

a

b

a

Exemplos:

a) 2

1

2

12

1

1 c) 49

1

7

1

7

17

2

2

2

b) 82.2.222

1 3

3

d) 25

9

5

3

3

522

Exercícios 15) Resolva as potências:

a) 24 = b) (- 2)3 = c) (- 2)2 = d) 30 = e) 5

2

1

=

f) 31 = g)1

5

1

h) (- 2)1 = i) 0

7

3

= j) (- 4)3 =

k) 2

3

2

l) 2

5

3

= m) 2

2

1

= n) 3

2

1

= o) 2- 3 =

p) (- 2)- 3 = q) 2- 1 = r) 3- 4 = s) 3

4

3

= t) 6

2

1

=

Propriedades da potência 1) 2) 3) 4) 5) Exemplos:

a) 27.23 = 27 + 3 = 210 d) 243 = 34 . 2 = 38 g) 3

33

2

5

2

5

b) 7

9

5

5= 59 – 7= 52 e) x52 = 25x h) 331 22

c) a7 : a4 = a7 – 4 = a3 f) 3x.3 = 3x + 1 i) 2

27

7

7 xx

Exercícios 16) Reduza a uma única potência:

a) 56.52.5 = b) 323 c) 8

3

2

2

d) 210.25 e) 8

34

7

1.7

f) 59 : 52

g) 4

10

3

3 h)

5

8

2

.2

i) 3

8

2

1.2

28

Progressão Geométrica (PG)

Definição Progressão geométrica (PG) é uma sequência de números não nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado de razão da progressão (indica-se por q). Exemplo:

(4, 12, 36, ...) q = 4

12 = 3 Crescente

(-3, -15, -75, ...) q = 3

15

= 5 Decrescente

(27, 9, 3, ...) q = 27

9 =

3

1 Decrescente

Representação de uma progressão geométrica (PG)

A representação matemática de uma progressão geométrica (PG) é: (a1, a2, a3, ..., an, an+1)

Logo:

an + 1 = an . q ou

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a 1

3

4

2

3

1

2 .... q (razão)

Exemplos: 1. Escrever uma PG de 4 termos em que a1 = 2 e q = 3. a1 = 2 a2 = a1 . q = 2 . 3 = 6 a3 = a2 . q = 6 . 3 = 18 (2, 6, 18, 54) a4 = a3 . q = 18 . 3 = 54 Exercícios 17) Determine a razão de cada uma das seguintes PG. a) (3, 12, 48, ...) b) (10, 15, ...) c) (5, – 15, ...) d) (10, 50, ...) e) (– 2, – 6, ...) 18) Escreva: a) uma PG de quatro termos em que a1 = 5 e q = 3. b) uma PG de seis termos em que a1 = – 2 e q = 2.

c) uma PG de cinco termos em que a1 = 540 e q = 3

1 .

Termo geral de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, ..., an) de razão q. a1 = a1 . q

0 a2 = a1 . q

1

29

a3 = a2 . q = a1 . q1 . q = a1 . q

2 a4 = a3 . q = a1 . q

2 . q = a1 . q3

Assim, podemos afirmar que: onde: an = termo geral an = a1 . q

n-1 a1 = 1º termo n = nº de termos q = razão Exemplos:

1. Vamos determinar o 10º termo da PG (3

1, 1, 3, 9, ...)

a1 = 3

1 an = a1 . q

n - 1

an = a10 a10 = 3

1 . 310 - 1

q =

3

1

1 = 1.

1

3 = 3 a10 = 3-1 . 39

a10 = 38 a10 = 6561 2. Determine quantos termos tem a PG (6, 18, ..., 1458). a1 = 6 an = a1 . q

n - 1 an = 1458 1458 = 6 . 3n - 1

q = 6

18 = 3

6

1458 = 3n - 1 3n - 1 = 3 5

n = n 3n - 1 = 243 n – 1 = 5 n = 6 Exercícios: 19) Encontre o sétimo termo da PG (2, 4, ...). 20) Ache o décimo termo da PG (2, 6, ...). 21) Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. Calcule o primeiro termo da PG. 22) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último termo é 486. Calcule a razão dessa PG. 23) Encontre o quinto termo da PG (1, 5, ...). 24) O número de consultas a um site de comércio eletrônico aumenta semanalmente (desde a data em que o portal ficou acessível), segundo uma PG de razão 3. Sabendo-se que na 6ª semana foram registradas 1458 visitas, determine o número de visitas ao site registrado na 3ª semana.

Soma dos termos de uma PG

Seja a PG finita (a1, a2, a3, ..., an) de razão q, a soma de todos os termos (Sn) é encontrada através da fórmula:

30

Sn = 1

)1(1

q

qa n

Obs.: q ≠ 1

Exemplos: 1) Calcule a soma dos seis primeiros termos da PG (-2, 4, -8, ...).

a1 = - 2 S6 = 12

]1)2[(2 6

q = 2

4

= - 2 S6 =

3

]164[2

n = 6 S6 = 3

]63[2

S6 = ?

S6 = 3

126

S6 = 42 Exercícios 25) Calcule a soma dos seis primeiros termos da PG (1, 3, ...). 26) Determine a soma dos oito primeiros termos da PG (– 3, 6, ...). 27) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (3, 6, ...). 28) Uma pessoa aposta na Mega-Sena durante 6 semanas, de tal forma que em cada semana, sua aposta é o dobro da aposta da semana anterior. Se a aposta da primeira semana for R$ 2,50 qual foi o total apostado após as 6 semanas?

CHAVE DE CORREÇÃO DOS EXERCÍCIOS 1) 2) a) 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm b) Sim 3) (– 1, 0, 1, 2, 3) 4) (2, 4, 6, 8, 10, 12) 5) (3, 5, 7, 9) 6) a) (10, 13, 16, 19, 22) b) (6, 2, – 2, – 6, – 10, – 14, – 18, – 22) c) (-3, 2, 7, 12, 17, 22) d) ( –2, – 9, – 16, – 23)

7) a8 = 37 8) a15 = 88 9) a26 =145 10) 215 11) r = 4 12) – 255 13) 5050 14) a) 495 b) 1170

15) a) 16 b) – 8 c) 4

31

d) 1 e) 32

1 f) 3

g) 5

1 h) – 2 i) 1

j) – 64 k) 9

4 l)

9

25

m) 4 n) – 8 o) 8

1

p) 8

1 q)

2

1 r)

81

1

s) 27

64 t) 64

16) a) 5

9 b) 3

6 c) 2

-5

d) 215

e) 74 f) 5

7

g) 36 h) 2

13 i) 2

5

17) a) 4 b) 2

3 c) – 3

d) 5 e) 3

18) a) (5, 15, 45, 135) b) (– 2, – 4, – 8, – 16, – 32, – 64)

c) (540, 180, 60, 20, 3

20)

19) a7 = 128 20) a10 = 2. 3

9 ou 39366

21) a1 = 3 22) q = 3 23) a5 = 625

24) 54 25) 364 26) 255 27) 3069 28) R$ 157,50

MATRIZES

Conceito de Matriz Matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos. Nas matrizes, cada número é chamado elemento da matriz, as filas horizontais são chamadas de linhas e as filas verticais são chamadas de colunas. Representaremos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou colchetes, ou ladeando a tabela, à esquerda e à direita, por duas barras verticais. Exemplos:

1)

1328711

69401

7510320

Matriz com 3 linhas e 5 colunas. Dizemos que essa é uma matriz do

tipo 3 x 5. (lê-se: três por cinco)

2)

13

26 É uma matriz 2 x 2.

3) 531 É uma matriz 1 x 3.

32

Indicaremos uma matriz por letra maiúscula e um elemento qualquer da matriz por letra minúscula munida de dois índices: o primeiro indica a linha em que está o elemento e o segundo a coluna à qual o elemento pertence. Convencionando que as linhas sejam numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita, podemos representar uma matriz A do tipo m x n, da seguinte forma:

A =

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

...

...

...

321

2232221

1131211

i = linha j = coluna Exemplo: Construir a matriz A = (aij)2x4 sabendo-se que aij = 3i + j

A =

24232221

14131211

aaaa

aaaa

Se aij = 3i + j a11 = 3.1 + 1 = 4 a21 = 3.2 + 1 = 7 a12 = 3.1 + 2 = 5 a22 = 3.2 + 2 = 8 a13 = 3.1 + 3 = 6 a23 = 3.2 + 3 = 9 a14 = 3.1 + 4 = 7 a24 = 3.2 + 4 = 10 Portanto

A =

10987

7654

Exercícios 1) Dê a ordem de cada uma das seguintes matrizes:

a) A =

24

27

31

d) D =

692

413

751

b) B = 9243 e) E =

2

1

1

c) C =

dc

ba f) F =

5093

1072

3241

m x n

33

2) Determine a matriz em que: a) A = (aij)4x4 e aij = 3i – 2j b) B = (bij)3x3 e bij = i + j c) C = (cij)2x3 e cij = i – j2 Matrizes especiais

1) Matriz Linha: é uma matriz formada por uma única linha. Ex.: A = ( 0 2 4 ) é uma matriz linha 1x3 2) Matriz Coluna: é uma matriz formada por uma única coluna.

Ex.: B =

8

6

4

2

é uma matriz coluna 4x1

3) Matriz Nula: é uma matriz onde todos elementos são zero.

Ex.:

00

00 é uma matriz nula 2x2

4) Matriz Quadrada: é uma matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.

Ex.:

987

654

321

é uma matriz quadrada 3x3. Dizemos que B é quadrado de ordem 3.

Obs.: Os elementos aij de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal

nxmmnmm

n

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

21

33231

22221

11211

...

...

...

diagonal secundária diagonal principal A outra diagonal é chamada de diagonal secundária. 5) Matriz Unidade ou Identidade: é uma matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a um (1) e os demais elementos são iguais a zero (0).

34

t

Ex.:

10

01 é uma matriz unidade de ordem 2 (indicaremos por I2)

6) Matriz Transposta: se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca das linhas por colunas. Indica-se a transposta de A por At.

Ex.: A =

2302

13

21

x

A = 32

012

231

x

Igualdade de matrizes

Duas matrizes A e B, de mesmo tipo, são iguais entre si se, e somente se, os elementos da mesma posição são iguais. Indicaremos por A = B. Exemplo: 1) Determine a, b, c, d para que A = B

A =

b

a

2

1 e B =

5

3

c

d a = 3 c = 2

b = - 5 d = 1

Exercícios

3) Determine a, b, c de modo que a matriz A =

1c

ba seja igual à matriz identidade.

4) Sendo

43

12=

xy

x

3

2, calcule x e y.

5) Considere a matriz A =

124

310

205

para responder as perguntas abaixo.

a) Qual é o elemento a23? b) Qual o valor da expressão 5. a11 + 4. a21 + 2. a31?

35

Operações com Matrizes

Adição e subtração A adição ou a subtração de duas matrizes, A e B, do mesmo tipo é efetuada somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes. Exemplo:

1) Sendo A =

12

34 e B =

75

21, temos:

a) A + B =

12

34 +

75

21 =

7152

2314 =

83

15

b) A – B =

12

34 -

75

21 =

7152

)2(314=

67

53

Observe que: A – B = A + (- B) matriz oposta de B

Multiplicação de um número real por uma matriz Para multiplicar uma matriz por um número real basta multiplicar todos os seus elementos pelo número, e o resultado é uma matriz de mesma ordem. Exemplo:

1) Calcular: 5.

634

012=

5.65.35.4

5.05.15.2=

301520

0510

2) Calcular:2

1 .

2002

6620

8104

=

2

120

2

10

2

12

2

16

2

16

2

120

2

18

2

110

2

14

=

1001

3310

452

Exercícios

6) Calcule A + B, sabendo que A =

242

301 e B =

523

211.

36

7) Sabendo que (1 x y+2) + (2 3 -1) = (3 5 0), calcule x e y.

8) Sabendo A =

41

31

02

, B =

23

02

51

e C =

54

63

10

, dê a matriz A + B – C.

9) Dadas as matrizes A =

826

240, B =

0621

963 e C =

211

010

calcule:

a) 2A – B + 3C b) 2

1A -

CB

3

1

Multiplicação de Matrizes

A multiplicação é efetuada multiplicando-se linha por coluna, isto é, cada elemento de uma linha é multiplicado pelo elemento correspondente de uma coluna e, em, seguida, os produtos são adicionados. Cuidado: O número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. A matriz resultante será de ordem m (número linhas de A) por n (número colunas de B). Amxn . Bnxp = (A . B)mxp

tem que serem iguais Exemplo

1. Efetue A = 22

43

21

x

. B =

424001

1232

x

Teremos uma matriz 2 x 4. 1 . - 2 + (-2) . (-1) = - 2 + 2 = 0 3 (-2) + 4 . (-1) = - 6 - 4 = -10 1 . 3 + (-2) . 0 = 3 + 0 = 3 3 . 3 + 4 . 0 = 9 + 0 = 9 1 . 2 + (-2) . 0 = 2 + 0 = 2 3 . 2 + 4 . 0 = 6 + 0 = 6 1 (-1) + (-2) (-4) = - 1 + 8 = 7 3 .(-1) + 4 . (-4) = - 3 - 16 = -19 Portanto

A = 42

196910

7230

x

37

Exercícios 10) Efetue:

a)

41

35.

2

3 c)

21

53.

04

12

61

e)

41

25.

30

12

b) (1 3 5) .

3

0

2

d)

1

2

3

. ( 0 -3 2) f)

110

011

001

.

212

221

122

Determinantes

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se determinante da matriz A, e se indica por det A, o número obtido a partir da operação entre os elementos de A, de modo que: Se A é de ordem n = 1, então det A é o único elemento de A. Exemplo: A = (5) det A = 5 B = (-3) det B = -3 Se A é de ordem n = 2, então det A é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal de A e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Exemplo: A =

72

31 det A = 1 . 7 – (2 . 3) = 7 – 6 = 1

B =

12

45 det B = 5.(-1) – [4.(-2)] = -5 + 8 = 3

Podemos também indicar o determinante de uma matriz colocando uma barra vertical em cada um de seus lados.

Assim: 105

13 = 30 - 5 = 25

Se A é de ordem n = 3, utilizamos o seguinte procedimento para obter o valor do det A. 1º passo: Copiamos ao lado da matriz A as suas duas primeiras colunas; 2º passo: Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Seguindo a direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas “diagonais”; 3º passo: Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido. Seguindo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas “diagonais”, também trocando o sinal dos produtos. 4º passo: Somamos todos os resultados obtidos no 2º e no 3º passos. Esse procedimento é conhecido como REGRA DE SARRUS. Exemplo:

38

Calcule o determinante da matriz A =

114

642

531

1º passo:

2º passo: 1. 4 . (-1) + 3 .6. (-4) + 5 . 2 . 1 = – 4 – 72 + 10 = – 66 3º passo: – (-4 . 4 . 5) – (1 . 6. 1) – (-1 . 2 . 3) = 80 – 6 + 6 = 80 4º passo: - 66 + 80 = 14 Exercícios 11) Determine o valor dos determinantes abaixo:

a) 7 b) 73

92 c)

22

11

d)

210

431

225

e)

472

315

432

Sistemas Lineares

Sistemas de equações, como

3

53

yx

yx e

6

32

22

zyx

zyx

zyx

, constituídos apenas por equações do

1º grau nas incógnitas x, y ou z são chamados de sistemas lineares. Solução de um sistema As soluções de um sistema linear com duas incógnitas são pares ordenados da forma (x, y) e com três incógnitas são ternos ordenados da forma (x, y, z). A ênupla ( ),...,, 321 n é uma

solução de um sistema linear (S) se ela é solução de cada uma das n equações de (S). Assim:

a) A solução do sistema

3

53

yx

yx é o par ordenado (2, 1), pois:

312

51.32.

b) A solução do sistema

6

32

22

zyx

zyx

zyx

é o terno ordenado (1, 2, 3) pois:

6321

3322321.2

234132.21

.

39

Matrizes de um sistema a) Matriz incompleta: A matriz incompleta, representada por M.I., associada a um sistema, é a matriz cujos elementos são ordenadamente, os coeficientes das incógnitas. Se M.I. é quadrada, diz-se que o seu determinante é o determinante do sistema (D). b) Matriz Completa: A matriz completa, representada por M.C., associada a um sistema, é a matriz que, além dos elementos de M.I., possui mais uma coluna constituída pelos segundos membros de cada equação do sistema.

No sistema linear

6

32

22

zyx

zyx

zyx

, as matrizes incompletas e completa são:

M.I. =

111

112

121

e M.C. =

6111

3112

2121

Sistema Normal Um sistema linear de n equações e n incógnitas é normal se o determinante D do sistema for diferente de zero. Regra de Cramer Esse método de resolver sistemas, só pode ser utilizado em sistemas cujas matrizes incompletas possuem determinantes não nulos (D ≠ 0). Satisfeita esta condição, obtemos: Dx : determinante da matriz que se obtém da matriz incompleta trocando-se a coluna dos coeficientes da variável x pelos termos independentes do sistema. Dy : determinante da matriz que se obtém da matriz incompleta trocando-se a coluna dos coeficientes da variável y pelos termos independentes do sistema. Dz : determinante da matriz que se obtém da matriz incompleta trocando-se a coluna dos coeficientes da variável z pelos termos independentes do sistema. Assim sendo, consideremos: a) o sistema nas incógnitas x e y. Seja D o determinante da matriz incompleta (M.I.) dos coeficientes do sistema. Se D ≠ 0, então o sistema é possível e determinado e sua solução (x, y) é dada por: b) o sistema nas incógnitas x, y e z. Seja D o determinante da matriz incompleta (M.I.) dos coeficientes do sistema. Se D ≠ 0, então o sistema é possível e determinado e sua solução (x, y, z) é dada por:

Exemplo:

1) Resolver o sistema

1332

93

yx

yx pela Regra de Cramer:

x = D

Dx e y = D

Dy

x = D

Dx , y = D

Dy e z =

D

Dz

40

Resolução:

D = 32

13 = 9 – 2 = 7 Dx =

313

19 = 27 – 13 = 14 Dy =

132

93 = 39 – 18 = 21

x = D

Dx x = 7

14 = 2 e y =

D

Dy y =

7

21 = 3

Assim: S = {(2, 3)}

2) Resolver o sistema

132

122

2

zyx

zyx

zyx

pela Regra de Cramer:

Resolução:

D =

312

221

111

= – 6 + 4 + 1 – (– 4 – 2 – 3) = – 1 – ( – 9) = – 1 + 9 = 8

Dx =

311

221

112

= 12 + 2 – 1 – (– 2 + 4 + 3) = 13 – ( 5 ) = 13 – 5 = 8 x =

D

Dx x = 8

8 = 1

Dy =

312

211

121

= – 3 + 8 + 1 – (– 2 – 2 – 6) = 6 – ( – 10) = 6 + 10 = 16 y =

D

Dy y =

8

16 = 2

Dz =

112

121

211

= – 2 + 2 – 2 – (8 – 1 – 1) = – 2 – ( 6 ) = – 2 – 6 = – 8 z =

D

Dz y = 8

8 = – 1

Assim: S = {(1, 2, – 1)} Exercícios 12) Resolva os sistemas, abaixo, pela Regra de Cramer.

a)

432

32

yx

yx b)

523

04

yx

yx

c)

132

2

122

zyx

zyx

zyx

d)

18325

6

1132

zyx

zyx

zyx

41

CHAVE DE CORREÇÃO DOS EXERCÍCIOS

PORCENTAGEM

Quase todos os dias vemos ou ouvimos a expressão por cento, indicando acréscimo ou desconto, ou noticiando situações do nosso dia a dia. Por isso, precisamos conhecer o conceito matemático de porcentagem para saber interpretá-lo e aplicá-lo corretamente sempre que for necessário.

Porcentagem é uma forma usada para representar uma fração de denominador 100.

Assim, ao escrevermos p%, estamos representando a fração 100

p.

As porcentagens podem ser expressas de duas maneiras: na forma de fração com denominador 100 ou na forma decimal, dividindo-se o numerador pelo denominador.

1) a) A = (aij)3x2 b) B = (bij)1x4

c) C = (cij)2x2 d) D = (dij)3x3 e) E = (eij)3x1 f) F = (fij)3x4

2) a) A =

46810

1357

2024

5311

b) B =

654

543

432

c) C =

721

830

3) a = 1, b = 0, c = 0 4) x = 1 y = 3 5) a) 3 b) 33

6) A + B

721

510

7) x = 2 y = -1

8)

30

34

41

9) a)

2273

1313 b)

242

411

10) a)

11

21 b) ( 17 )

c) Não existe produto d)

230

460

690

e)

132

110 f)

433

343

122

11) a) -7 b) -13 c) 4 d) -52 e) 56 12) a) S= {(– 1, – 2)}

b) S =

2

1,2

c)S= {(1, 2, -1)} d) S = {(1, 2, 3)}

42

Exemplos:

a) 30% = 100

30 = 0,30 b) 4% =

100

4 = 0,04

c) 135% = 100

135 = 1,35 d) 27,9% =

100

9,27 = 0,279

e) Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito. A razão entre o número de lâmpadas

defeituosas e o total de lâmpadas é dado por: %26100

26

50

13 , ou seja, se o lote tivesse 100

lâmpadas, 26 estariam com defeito. O número 26% é a taxa percentual de lâmpadas defeituosas. Exercícios 1) A quantia de R$ 36,00 corresponde a quanto por cento de R$ 120,00? 2) Em um curso de matemática estão matriculados 30 alunos. No primeiro dia de aula 27 alunos compareceram. Qual a porcentagem de alunos ausentes? 3) Um objeto foi comprado por R$ 20,00 e vendido por R$ 25,00. Qual foi a porcentagem de lucro? 4) Uma máquina produz 300 peças em 1 hora. Após ser recondicionada passa a produzir 360 peças por hora. Qual a porcentagem de aumento da produção? 5) Uma classe é constituída de moças e rapazes, num total de 30 alunos. Qual a porcentagem de rapazes se há seis moças nessa classe? 6) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina. Qual a porcentagem de gasolina na mistura? 7) Uma empresa produziu 120.000 toneladas de certo produto, no ano de 2007 e em 2008 a produção desse produto aumentou para 147.000 toneladas. Baseado nessas informações determine a porcentagem de aumento da produção desse produto. 8) O preço de uma blusa de malha é de R$ 90,00. Em uma liquidação, ela é vendida por R$ 63,00. Qual é a taxa percentual de desconto nessa liquidação? 9) Um objeto que custava R$ 700,00 teve seu preço aumentado em R$ 105,00. O acréscimo percentual em relação ao custo anterior foi de: a) 12% b) 15% c) 18% d) 20% 10) Em uma residência, a conta de luz baixou de R$ 60,00 para R$ 52,50 em um mês. Qual é a taxa percentual de decréscimo no valor da conta?

43

11) (ENEM – MEC) – A água é um dos componentes mais importantes das células. A tabela abaixo mostra como a quantidade de água varia em seres humanos, dependendo do tipo de célula. Em média, a água corresponde a 70% da composição química de um, indivíduo normal.

Tipo de célula Quantidade de água

Tecido nervoso - substância cinzenta 85%

Tecido nervoso - substância branca 70%

Medula óssea 75%

Tecido conjuntivo 60%

Tecido adiposo 15%

Hemácias 65%

Ossos (sem medula) 20%

(Fonte L.C. Junqueira e J. Carneiro. Histologia Básica. 8. ed., Rio de Janeiro : Guanabara Koogan,1985.)

Durante uma biópsia, foi isolada uma amostra de tecido para análise em um laboratório. Enquanto intacta, essa amostra pesava 200 mg. Após secagem em estufa, quando se retirou toda a água do tecido, a amostra passou a pesar 80 mg. Baseado na tabela pode-se afirmar que essa é uma amostra de: a) tecido nervoso - substância cinzenta. b) tecido nervoso - substância branca. c) hemácias d) tecido conjuntivo e) tecido adiposo Porcentagem de uma quantia Para calcularmos a porcentagem de uma quantia, devemos multiplicar a fração que representa a porcentagem, ou o número decimal correspondente, por esta quantia. Exemplos:

a) 10 % de 50 = 100

10. 50 = 0,10.50 = 5

b) 30 % de 900 = 100

30. 900 = 0,30.900 = 270

c) 25 % de 400 = 100

25. 400 = 0,25.400 = 100

Exercícios 13) Em um exame de habilitação de motoristas participaram 380 candidatos. Sabe-se que taxa de reprovação foi de 15%. Quantos candidatos foram reprovados? 14) Numa pesquisa sobre leitura de jornais foram entrevistadas 450 pessoas. Verificou-se que 32% dessas pessoas têm preferência pelo jornal A. Quantas dessas pessoas preferem o jornal A? 15) Em 150 mililitros de uma mistura de leite e água, 20 % é de água. Quantos mililitros de leite há na mistura? 16) Uma liga de latão é formada com 65% de cobre e o restante de zinco. Que quantidade de cobre e de zinco é necessária para produzir uma peça de latão de 8 Kg?

44

17) Sobre o salário bruto do Sr. Joaquim incide um desconto de 11% referente ao INSS. Se o salário bruto do Sr. Joaquim é igual a R$ 760,00, então esse desconto em reais é de: a) R$ 76,00 b) R$ 83,60 c) R$ 76,60 d) R$ 116,00 e) R$ 86,60 18) (ENCCEJA) - Todo ano os brasileiros precisam acertar as contas com o Leão, ou seja, com o Imposto de Renda (I R). Suponha que, se a faixa salarial anual de um contribuinte está entre R$ 15.085,45 e R$ 30.144,96, então ele deve pagar 15% de I R. Logo, para verificar o valor devido, basta multiplicar a renda total no ano por 0,15. Nessa situação, se uma pessoa teve uma renda anual de R$ 20.000,00, o valor devido a título de I R é de: a) R$ 120,00 b) R$ 300,00 c) R$ 1.200,00 d) R$ 3.000,00 19) Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e consegui vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi? 20) Uma empresa selecionou 640 pessoas para participarem de um processo seletivo para preenchimento das vagas de trabalho disponíveis. Na primeira fase do processo, 85% dos candidatos foram reprovados; entre os que participaram da fase seguinte, 31,25% foram aprovados e contratados. Quantos candidatos não foram escolhidos nesse processo seletivo? 21) (ENCCEJA) – Uma empregada doméstica tem salário mensal de R$ 700,00. Todo mês, sua patroa recolhe ao Instituto Nacional de Seguros Sociais (INSS) o percentual de 19,65% sobre o valor do seu salário. Esse percentual é dividido em duas parcelas. Uma delas é de 12%, que compete à patroa recolher, e a outra é descontada do salário da empregada. O salário líquido dessa empregada é a) R$ 646,45, porque são descontados 7,65% do seu salário mensal. b) R$ 616,00, porque a patroa paga 12% de INSS do seu salário mensal. c) R$ 562,45, porque a patroa recolhe 19,65% do seu salário mensal. d) R$ 560,00, porque são descontados cerca de 20% do seu salário mensal. 22) (ENEM – MEC) – Uma pesquisa sobre orçamentos familiares realizada recentemente pelo IBGE mostra alguns itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias com rendas mensais bem diferentes.

Tipo de despesa

Renda até R$ 400,00

Renda maior ou igual a R$ 6000,00

Habitação 37% 23%

Alimentação 33% 9%

Transporte 8% 17%

Saúde 4% 6%

Educação 0,3% 5%

Outros 17,7% 40%

Considere duas famílias com renda de R$ 400,00 e R$ 6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores, em reais, gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são aproximadamente: a) dez vezes maiores. e) nove vezes menores. b) quatro vezes maiores. c) equivalentes. d) três vezes menores.

45

23) (UNAMA - PA) - O psiquiatra Içami Tiba diz que amor em excesso não é bom na educação dos filhos. A revista Veja quis saber se os leitores concordam com essa afirmação. O resultado está representado no diagrama baixo:

Considerando que o diagrama representa os percentuais de respostas de 3700 pessoas, o número de pessoas que concordam com o psiquiatra é: a) 3145. b) 2960. c) 2886 d) 2775. 24) (ENEM – MEC) – O tabagismo (vício do fumo) é responsável por uma grande quantidade de doenças e mortes prematuras na atualidade. O Instituto Nacional do Câncer divulgou que 90% dos casos diagnosticados de câncer de pulmão e 80 % dos casos de enfisema pulmonar estão associados ao consumo de tabaco. Paralelamente, foram mostrados os resultados de uma pesquisa realizada em um grupo de 2.000 pessoas com doenças de pulmão, das quais 1.500 são casos diagnosticados de câncer e 500 são casos diagnosticados de enfisema. Com base nessas informações, pode-se estimar que o número de fumantes desse grupo de 2.000 pessoas é, aproximadamente: a) 740 b) 1 100 c) 1 310 d) 1 620 e) 1 750 Aumento e Desconto Observe os exemplos a seguir: 1) Um tênis é vendido por R$ 280,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar? 1º) o aumento seria 20% de 280,00 0,20.280,00 = R$ 56,00; 2º) o novo preço seria de 280,00 + 56,00 = R$ 336,00. Para responder a pergunta do problema, poderíamos fazer simplesmente: 280.(100% + 20%) = 280.(1 + 0,20) = 280. 1,20 = R$ 336,00 Portanto, se o aumento for de: a) 10% multiplicamos a quantia original por 1,10. b) 6% multiplicamos a quantia original por 1,06. c) 60% multiplicamos a quantia original por 1,60.

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2) Um tênis é vendido por R$ 280,00. Se numa liquidação, fosse anunciado um desconto de 20%, quanto passaria a custar? 1º) o desconto seria 20% de 280,00 0,20.280,00 = R$ 56,00; 2º) o novo preço seria de 280,00 – 56,00 = R$ 224,00. Para responder a pergunta do problema, poderíamos fazer simplesmente: 280.(100% – 20%) = 280.(1 – 0,20) = 280. 0,80 = R$ 224,00 Portanto, se o desconto for de: a) 10% multiplicamos a quantia original por 0,90. b) 6% multiplicamos a quantia original por 0,94. c) 60% multiplicamos a quantia original por 0,40. Exercícios 26) Um litro de leite custava R$ 1,20 e sofreu acréscimo de 15%. Qual será o novo valor do litro desse leite? 27) O preço de um par de sapatos é de R$ 140,00. Em uma liquidação, ele é vendido com 35% de desconto. Quanto passará a custar? 28) Uma tevê cujo preço é de R$ 900,00 está sendo vendida, em uma promoção, com desconto de 12%. Por quanto ela está sendo vendida? 29) Se uma empresa possui 360 funcionários e 25% deles utilizam transporte próprio, qual o número de funcionários dessa empresa que utiliza outros meios de transporte? 30) Suzana abriu com R$ 500,00 uma caderneta de poupança no dia 2 de maio. Não fez nenhum outro depósito durante o mês. Se o rendimento nesse mês foi de 0,7%, qual será o saldo de Suzana no dia de 3 de junho? a) R$ 503,50 b) R$ 507,70 c) R$ 535,00 d) R$ 570,00 Aumentos e descontos sucessivos Vamos analisar algumas situações: 1ª) Uma loja de material esportivo estava vendendo uma camisa de um time de futebol por R$ 100,00 no mês de janeiro e aplicou um aumento de 10% no mês de abril. Como no mês de junho o time ganhou um torneio e as vendas aumentaram, resolveu aplicar outro aumento de 10%. Qual a porcentagem total de aumento aplicado à camisa desse time durante esse 1º semestre? Alguma situação semelhante a essa já ocorreu com você? Será que o aumento foi de 20%? Como você faria os cálculos para descobrir a porcentagem total do aumento? Pra resolver o problema existem vários procedimentos corretos que levam ao resultado. Você deve escolher a forma que achar mais apropriada, mais conveniente ao seu modo de interpretar e resolver. No entanto, observe o seguinte modo:

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100. 1,10.1,10 = 100. 1,21 = 121 Como o número decimal 1,21 representa 121% e 121% = 100% + 21%, obtemos então, o aumento de 21%. 2ª) Algumas lojas de roupas e acessórios costumam fazer no mês de março uma liquidação dos seus artigos de verão para, então colocar nas vitrines a nova coleção de inverno. Flávia, sabendo dessa liquidação, não comprou uma blusa que custava R$ 50,00 em janeiro. Ela teve sorte, pois sobre esse valor, foram aplicados dois descontos sucessivos, um em fevereiro de 10% e outro em março de 20%. Qual o desconto total aplicado sobre o valor da blusa? Como na situação anterior, você pode resolver o problema de várias maneiras diferentes. No entanto, observe o seguinte modo: 50. 0,90.0,80 = 50.0,72 = 36 Como o número decimal 0,72 representa 72% e 72% = 100% – 28 %, obtemos então, o desconto total de 28%. 3ª) Uma mercadoria custava R$ 80,00 e seu preço foi reajustado (aumentado) em 10%. Se ao novo preço for dado um desconto de 10% ele voltará a custar R$ 80,00? Por quê? Como nas situações anteriores, você pode resolver o problema de várias maneiras diferentes. No entanto, observe o seguinte modo: 80. 1,10.0,90 = 80.0,99 = 79,20 Como o número decimal 0,99 representa 99% e 99% = 100% – 1%, obtemos então, o desconto de 1%. Algumas pessoas erram a solução desse tipo de problema porque usam a soma. Mas, como você pôde observar utilizamos à multiplicação e não a soma, por isso, a ordem em que os aumentos ou descontos são calculados não altera os cálculos. Exercícios 31) Sobre uma mercadoria que custa R$ 200,00 houve um desconto de 20% e depois outro desconto de 30%. Qual a porcentagem final do desconto sobre essa mercadoria? 32) Se em um determinado país, a taxa de inflação no mês de maio foi de 2% e a do mês de junho foi de 5%, então a taxa de inflação acumulada nesses dois meses foi de: a) 7% b) 7,1% c) 8,2% d) 10% 33) Uma pessoa aplica R$ 1 000,00 a 10% ao ano. Ao final do terceiro ano, quanto por cento terá rendido a aplicação e qual o valor que esta pessoa terá? 34) (UCS - modificado) – O crescimento anual das vendas de computadores de uma fábrica é de 20%. Supondo que A represente o número de computadores vendidos no ano de 2006 e que o crescimento anual se mantenha o mesmo, o número de computadores que a fábrica venderá no ano de 2009 é dado pala expressão: a) 3,6.A b) (0,2)3.A c) (0,2.A)3 d) (1,2)3.A e) (1,2.A)3

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35) (UFRGS) – Uma mercadoria que custa R reais sofre um desconto de 60%. Um aumento de 60% sobre o novo preço fará com que a mercadoria fique custando, em reais; a) 0,36.R b) 0,40.R c) 0,60.R d) 0,64.R e) R 36) Karine tem duas opções de pagamento na compra de um fogão: sem juros, em quatro parcelas mensais iguais de R$350,00; ou à vista, com 15% de desconto. Nesse contexto, o preço desse fogão, à vista, é: a) R$ 1190,00. b) R$ 1100,00. c) R$ 1210,00. d) R$ 1090,00. e) R$ 1290,00.

CHAVE DE CORREÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA PORCENTAGEM 1) 30% 2) 10% 3) 25% 4) 20% 5) 80% 6) 40% 7) 22,5% 8) 30% 9) b 10) 12,5 % 11) d 13) 57 candidatos 14) 144 pessoas 15) 120 ml 16) 5,2 kg de cobre e 2,8 kg de zinco 17) b 18) d 19) 18 20) 610 21) a 22) b 23) c 24)e 26) R$ 1,38 27) R$ 91,00 28) R$ 792,00 29) 270 funcionários 30) a 31) 44% 32) b 33) 33,1% e R$ 1.331,00 34) d 35) d 36) a

Geometria Plana

e

Geômetra Espacial

GEOMETRIA PLANA

Vamos recordar alguns conceitos de geometria estudados no ensino fundamental, para aplicá-los na resolução de problemas de Geometria Espacial. Triângulos Os triângulos são figuras geométricas de três lados. Classificação dos triângulos Os triângulos podem ser classificados quanto às medidas dos lados e quanto às medidas dos ângulos.

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1) Quanto aos lados: a) Triângulo equilátero: os três lados são congruentes (mesma medida). b) Triângulo isósceles: dois lados são congruentes. c) Triângulo escaleno: os três lados têm medidas diferentes. 2) Quanto aos ângulos: a) Triângulo acutângulo: os três ângulos são agudos (menores que 90º). b) Triângulo retângulo: tem um ângulo reto (igual a 90º).

c) Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso (maior que 90º). Quadriláteros Os quadriláteros são figuras geométricas de quatro lados. Classificação dos quadriláteros 1) Paralelogramos: são os quadriláteros com dois pares de lados paralelos.

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Os paralelogramos podem ser: a) Retângulo: quando tem os quatro ângulos congruentes (retos, iguais a 90º).

b)Losango: quando tem os quatro lados congruentes.

c) Quadrado: quando tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes (retos, iguais a 90º). 2) Trapézios: são os quadriláteros com dois lados paralelos e os outros dois, não paralelos. Os trapézios podem ser: a) Trapézio isósceles: quando os lados não paralelos são congruentes. b) Trapézio escaleno: quando os lados não paralelos não são congruentes. c) Trapézio retângulo: quando tem dois ângulos retos (iguais a 90º).

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Teorema de Pitágoras Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. No triângulo retângulo da figura em que: a: hipotenusa, b: cateto, c: cateto, temos:

Exemplo: Calcule o valor de x, no triângulo retângulo abaixo: a²= b² + c² Resolução: x2 = 32 + 42

x2 = 9 + 16 x2 = 25

x = 25 x = 5 Exercícios 1) Usando o teorema de Pitágoras, calcule as medidas desconhecidas nos triângulos retângulos abaixo: a) b) c) d) 2) Pretendemos fazer em papel cartolina um chapéu de palhaço com as medidas indicadas na figura. Qual será a altura do chapéu?

a2 = b2 + c2

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3) Num triângulo retângulo isósceles (os catetos são congruentes), cada cateto mede 5 cm. Calcule a medida da hipotenusa. 4) Num triângulo isósceles, cuja base mede 24 cm, cada lado congruente mede 20 cm. Qual é a medida da altura relativa à base? 5) O perímetro de um retângulo mede 34 cm. Um dos seus lados mede 5 cm. Calcule a medida da sua diagonal. Aplicações importantes do teorema de Pitágoras 1) Cálculo da medida da diagonal de um quadrado : medida do lado do quadrado d: medida da diagonal

No triângulo retângulo ABC ( B é reto), temos: AC2 = AB2 + BC2 (Teorema de Pitágoras)

d2 = 22 d2 = 22 d = 22 Exemplo: Calcule a medida da diagonal de um quadrado que tem 40 cm de lado. Resolução:

Como d = 2 e = 40 cm temos: d = 240 cm 2) Cálculo da medida da altura de um triângulo equilátero : medida do lado do triângulo equilátero h: medida da altura H: ponto médio de BC

No triângulo retângulo AHC ( H é reto), temos: AC2 = AH2 + HC2 (Teorema de Pitágoras)

2 = h2 + 2

2

2 = h2 +

4

2 h2 = 2 –

4

2

h2 = 4

3 2 h =

4

3 2

Exemplo: Calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 50 cm de lado.

Resolução: Como h = 2

3e = 50 cm temos:

h = 2

350 h = 325 cm

d = 2

h = 2

3

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Exercícios 6) Calcule a medida da diagonal de um quadrado que tem 10 cm de lado. 7) O perímetro de um quadrado mede 20 cm. Calcule a medida da sua diagonal. 8) Calcule a medida da altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 8 cm. 9) O perímetro de um triângulo equilátero mede 18 cm. Calcule a medida de sua altura. Medida do comprimento de uma circunferência Seja a circunferência da figura:

A medida do segmento AB denomina-se medida da circunferência ou o comprimento de

AB que é o comprimento da circunferência. Quando dividimos o comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro (2r), obtemos uma constante. Esta constante é um número irracional de valor 3,1415692..., que é indicado pela lera grega (pi), e se escreve:

r

C

2 e

Exemplo: Qual é o comprimento de uma circunferência de raio r = 9 cm? Resolução: Como: C = 2 r e r = 9, temos: C = 2 . 3,14 . 9 C = 56,52 cm Exercícios 10) O diâmetro de uma circunferência mede 20 cm. Qual é o comprimento dessa circunferência? 11) O comprimento de uma circunferência é 37,68 cm. Quanto mede o raio dessa circunferência? 12) Quantos metros percorre uma pessoa que dá 10 voltas completas numa pista circular de raio 8 m? 13) Uma roda tem 0,40 m de raio. Quantas voltas completas essa roda dá numa distância de 7 536 m?

C = 2 r

d = 2r

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Áreas de figuras planas Área do triângulo Seja o triângulo ABC, de base b e altura h, representado na figura abaixo. A área (A) de um triângulo é igual à metade do produto da medida da base pela medida da altura, ou seja: Casos particulares Área do triângulo retângulo

Observe que, no triângulo ABC, o cateto c = AB é a altura relativa ao cateto b = AC ; logo: Área do triângulo equilátero Consideremos o triângulo equilátero ABC, em que é a medida do lado e h é a medida da altura. Como já vimos anteriormente à medida da altura em função da medida do lado do triângulo

equilátero é dada por h = 2

3. Logo, temos:

4

32A .

2

hbA

4

32A

2

cbA

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Área do retângulo A área de um retângulo é igual ao produto da medida da base pela medida da altura. Assim, no retângulo ao lado: A: área da superfície, b: medida da base, h: medida da altura, Área do quadrado Consideremos que todo quadrado é um retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura, aplicando-se a fórmula da área do retângulo para b = e h = , temos: Área do hexágono regular O hexágono regular é um polígono especial, pois é formado por seis triângulos equiláteros. Sendo a medida do lado do hexágono, sua área é dada por:

4

3.6

2A

Área do círculo Considere um círculo de raio r Exercícios 14) Calcule a área de um triângulo cuja base mede 26 cm e a altura relativa a esta base mede 8,5 cm. 15) Qual é a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm?

A = b.h

A = 2

2

33 2A

A = 2r

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16) A medida do lado de um triângulo equilátero é 16 cm. Calcule a área desse triângulo. 17) Qual é a área do pedaço de bandeirinha abaixo, formado por quatro triângulos equiláteros? 18) Qual é a área de um retângulo cujas medidas são 24 m por 12,5 m? 19) Um terreno retangular tem 8,4 m por 15 m e está sendo gramado. Sabendo que um quilo de semente de grama é suficiente para gramar 3 m2 de terreno, quantos quilos de semente de grama são necessários para gramar o terreno todo? 20) O perímetro de um quadrado mede 48 cm. Calcule a área desse quadrado. 21) Para ladrilhar totalmente uma parede de 27 m2 de área foram usadas peças quadradas de 15 cm de lado. Quantas peças foram usadas? 22) Na figura abaixo tem-se o esquema de um terreno plano com as dimensões indicadas. Determine a área do terreno. 23) Calcule a área de um hexágono regular de 10 cm de lado. 24) O piso (fundo) de uma piscina circular tem 2,80 m de diâmetro (internamente). Qual é a área do piso dessa piscina? 25) A figura abaixo nos mostra o tampo de uma mesa de madeira, com suas medidas. Qual é a área do tampo da mesa? 26) De uma chapa de aço retangular, foram recortadas figuras circulares, conforme nos mostra a figura abaixo. As medidas estão na figura. Calcule a área da parte que sobra da placa original.

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GEOMETRIA ESPACIAL Poliedros Denomina-se poliedro o sólido limitado por polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois, um lado comum. As figuras espaciais abaixo são exemplos de poliedros. Os principais elementos de um poliedro são as faces, as arestas e os vértices. Cada uma das regiões poligonais que limitam o poliedro é chamada de face do poliedro. A intersecção de duas faces dá origem a uma aresta do poliedro. A intersecção de três ou mais arestas dá origem a um vértice do poliedro. Entre os poliedros mais conhecidos, destacamos os prismas e as pirâmides. Prismas São poliedros que têm duas faces paralelas e congruentes, chamadas bases, e as demais faces têm a forma de paralelogramos e são chamadas faces laterais. O prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases e oblíquo quando não o são. No prisma reto, as faces laterais são retângulos e as arestas laterais têm a mesma medida da altura do prisma. De acordo com a região poligonal da base, o prisma recebe nomes especiais. Por exemplo:

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1º) Prisma reto de base triangular 2º) Prisma reto de base retangular ou paralelepípedo reto retangular, todas as faces são retângulos. 3º) Cubo, todas as suas faces são quadrados, também chamado de hexaedro regular (hexa: seis; edro: faces). Prisma regular Se um prisma reto tem, em cada base, um polígono regular, dizemos que ele é um prisma regular. Áreas e volume de um prisma

Em todo prisma, consideremos:

Área da base (Ab): é a área de uma das regiões poligonais da base. Área lateral ( A ): é soma das áreas de todas as faces laterais.

Área total (At): é a soma das áreas de todas as faces do prisma Volume (V): é igual ao produto da área da base pela medida da altura

At = 2Ab + A

V = Ab.h

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Exemplo:

Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3 m e a aresta da face lateral mede 6 m. Calcule a área total e o volume. Resolução: Na figura, temos: r = medida da aresta lateral = 6 cm s = medida da aresta da base = 3 cm Observando a figura, vemos que: Área lateral = A = 6.(r.s) = 6.(6.3) = 108 cm2

Área da base = área do hexágono regular que, como já vimos, é dada por:

2

33 2A , então temos:

2

33 2A

2

33.3 2

A 2

39.3A Ab =

2

327cm2

Área total = 2 . área da base + área lateral

At = 2 . Ab + A = 2.2

327 + 108 )108327( tA cm2.

Volume = V = Ab.h =2

327. 6= 381 cm3

Exercícios 1) Calcule a área da base, a área lateral e a área total de um prisma reto com 6 cm de altura e cuja base é um hexágono regular com 2 cm de aresta. 2) A altura de um prisma hexagonal regular é igual a 5 cm. Sendo 2 cm a aresta da base, calcule o volume do prisma. 3) Um prisma quadrangular regular tem 20 cm de perímetro da base. Se a altura do prisma mede 12 cm , calcule o seu volume. 4) Calcule a área lateral de um prisma reto cuja base é um triângulo de lados 4 cm, 6 cm e 8 cm e cuja altura mede 2 cm. 5) Num prisma regular de base quadrada, a aresta da base mede 4 cm e sua aresta lateral mede 8 cm. Qual é a sua área total? 6) Determine o volume de um prisma triangular regular no qual a aresta da base mede 4 cm e a

altura mede 10 3 cm.

60

Paralelepípedo retângulo Um paralelepípedo retângulo tem as seis faces retangulares e são inúmeros os objetos que têm a sua forma: um tijolo, uma caixa de sapatos, um livro, etc. As dimensões de um paralelepípedo são chamadas de comprimento, largura e altura, cujas medidas serão indicadas por a, b e c, respectivamente. ou ou Exemplo: 1) Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas de sabão com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, calcule, aproximadamente, quantos m2 de papelão serão necessários. Resolução: Área de cada caixa = Área total do paralelepípedo = At = 2.(ab + bc + ac) At = 2.( 14.20 + 20.40 + 14.40) = 2.(280 + 800 + 560) = 3 280 cm2 Como são 10 000 caixas, temos: A = 10 000. 3 280 = 32 800 000 cm2 = 3 280 m2

Portanto são necessários 3 280 m2 de papelão. Cubo O cubo tem seis faces quadradas de lado a, e um objeto típico tem sua forma: o dado

At = 2.(ab + bc + ac)

At = 2Ab + A

V = a.b.c

V = Ab.h

A = 4a2

Ab = a2

At = 6a2

V = a3

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Exemplo: Quantos cm2 de cartolina, aproximadamente, foram usados para montar um cubo de 10 cm de aresta? Resolução: At = 6a2 = 6.102 = 6. 100 = 600 cm2 Foram usados 600 cm2 de cartolina. Exercícios 7) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 20 cm, 8 cm e 5 cm. Calcule a área total e o volume desse paralelepípedo. 8) Calcule a área total e o volume de um cubo de 3 cm de aresta. 9) Uma laje é um bloco retangular de concreto de 6 m de comprimento por 4 m de largura. Sabendo que a espessura da laje é de 12 cm, calcule o volume de concreto usado na laje. 10) A piscina de um clube tem 1,80 m de profundidade, 14 m de largura e 20 m de comprimento. Calcule quantos litros de água são necessários para enchê-la totalmente. (1 m3 = 1 000 litros) 11) Determine quantos cm2 de madeira são necessários, aproximadamente, para fabricar uma caixa de forma cúbica com 22 cm de aresta.. 12) Três cubos de chumbo, com arestas de 5 cm, 10 cm e 20 cm, respectivamente, são fundidos numa peça única. Qual é o volume da peça? Corpos redondos Cilindro Denomina-se cilindro reto ou de revolução, o sólido gerado por uma rotação completa de um retângulo em torno de um eixo que contêm um de seus lados. Notamos que as bases de um cilindro são regiões circulares congruentes de raio r; o segmento de reta que une os centros das bases chama-se eixo.

62

A distância entre as bases chama-se altura do cilindro. Áreas e volume de um cilindro Vamos planificar o cilindro conforme a figura abaixo: A área total do cilindro é formada pela área lateral mais a área das duas bases. Assim: Área da base (Ab): é a área do círculo de raio r Área lateral ( A ): é um retângulo de dimensões 2. r. e h

Área total (At): é a soma da área lateral com as áreas das duas bases At = 2.Ab + A

Como: At = 2.Ab + A At = 2. r. .h + 2. 2.r At = 2. r. .(h + r).

ou Volume (V): é igual ao produto da área da base pela medida da altura ou Cilindro equilátero Chamamos de cilindro equilátero a um cilindro reto que tenha como secção meridiana um quadrado, ou seja, a medida da altura do cilindro é igual à medida do diâmetro da base.

Ab = 2.r

A = 2. r. .h

At = A + 2.Ab At = 2. r. .(h + r)

V = Ab.h V = 2.r .h

63

Observe que: Exemplo: Calcular a área total e o volume de um cilindro circular reto, cujo raio da base mede 6 cm e a altura , 5 cm. Resolução: a) a área da base (Ab):

Ab = 2.r Ab = 26. Ab = 36 A área da base é 36 cm2

b) a área lateral ( A ):

A = 2. r. .h A = 2. .6.5 A = 60

A área lateral é 60 cm2

c) a área total (At): At = A + 2. Ab At = 60 + 2. 36 At = 132

A área total é 132 cm2

d) o volume (V): V = Ab.h V = 36 .5 V = 180 O volume é 180 cm3 Exercícios 13) O raio da base de um cilindro mede 2 cm. Sabendo que a altura do cilindro mede 10 cm, calcule a área total do cilindro. 14) A área lateral de um cilindro é 20 cm2. Se o raio da base mede 5 cm, calcule a medida da altura desse cilindro. 15) Num cilindro, a altura é igual ao raio da base. Sabe-se também, que a área lateral desse cilindro é 16 cm2. Calcule a área total do cilindro. 16) Deseja-se construir uma caixa-d´água em forma de cilindro reto, de 1,6 m de raio e cuja capacidade seja 20 000 litros. A altura do cilindro deve ser de, aproximadamente: (use: 1 m3 = 1 000 ; = 3,14) a) 1,30 m. b) 1,60 m. c) 1,90 m. d) 2,20 m. e) 2,50 m. 17) Quantos litros comporta, aproximadamente, uma caixa-d´água cilíndrica com 2 m de diâmetro e 70 cm de altura? (use: = 3,14) a) 1 250. b) 2 200. c) 2 450. d) 3 140. e) 3 700.

h = 2r

64

Cone circular reto Um cone reto é o sólido gerado quando giramos uma região triangular cujo contorno é um triângulo retângulo em torno de uma reta que contém um dos catetos. Em um cone reto, destacamos: a) O círculo é a base do cone e seu raio r é chamado de raio do cone. b) A distância entre o vértice V e o plano é a altura do cone, e sua medida é expressa por h. c) A reta que passa pelo vértice V e o centro O da base chamam-se eixo do cone. d) Se P é um ponto da circunferência da base,

então o segmento VP é chamado de geratriz (g). Observa-se que num cone reto, pelo teorema de Pitágoras, pode-se estabelecer a seguinte relação:

Assim: Área da bse (Ab): é a área do círculo de raio r Área lateral ( A ): é a área do setor circular

Área total (At): é a soma da área lateral com a área da base ou Volume (V): é igual a um terço do produto da área da base pela medida da altura, ou seja: ou

g2 = h2 + r2

Ab = 2.r

A = r. .g

At = Ab + A

At = r. .(g + r)

V = hAb 3

1 V =

3

1 2.r .h

65

Exemplo: Um cone tem 6 cm de altura e raio da base igual a 8 cm. Calcule: a) a medida da sua geratriz; b) a área da base; c) a área lateral; d) a área total; e) o volume. Resolução:

a) g2 = h2 + r2 g2 = 62 + 82 g = 100 g = 10 cm

b) Ab = 2.r Ab = .82 Ab = 64 cm2

c) A = r. .g A = .8.10 A = 80 cm2

d) At = A + Ab At = 80 + 64 At = 144 cm2

e) V = hAb 3

1 V =

3

1.64 .6 V = 128 cm3

Exercícios

18) A geratriz de um cone circular reto mede 5 2 cm. Se a altura do cone é 7 cm, calcule a medida do raio da base. 19) Um cone circular reto tem 12 cm de altura e 13 cm de geratriz. Calcule o volume desse cone. 20) Calcule a área total de um cone equilátero de raio 4 cm. (um cone se diz equilátero quando g = 2r). 21) Qual é a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo diâmetro é 6 cm e cuja altura é 10 cm? (use: 1 cm3 = 1 m ; = 3,14) 22) Calcule o volume do sólido abaixo. Esfera Esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância ao ponto O seja menor ou igual a r.

66

O ponto O é chamado de centro da esfera, e r é a medida do seu raio. Uma esfera pode ser obtida pela rotação completa de um semicírculo em torno de seu diâmetro. Área da superfície esférica A área de uma superfície esférica de raio r é dada por: Volume da esfera O volume de uma esfera de raio r é dado por: Exemplos: 1) Calcule a área de uma superfície esférica de raio 6 cm. Resolução: Sendo r = 6 cm, temos: A = 4 r2 A = 4 62 A = 4 36 A = 144

A área da superfície esférica é 144 cm2

2) O raio de uma esfera é 3 cm. Calcule o volume dessa esfera. Resolução: Sendo r = 3 cm, temos:

V = 3

4r3 V =

3

433 V =

3

4.27 V = 36 cm3

Exercícios 23) Calcule a área de uma superfície esférica de raio 3 cm. 24) Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8 cm2, calcule o raio da esfera. 25) Quantos cm2 de plástico são usados para fazer um balão de gás que tem 12 cm de diâmetro? (use = 3,14) 26) O diâmetro de uma esfera de ferro fundido é 6 cm. Qual é o volume dessa esfera. (use = 3,14)

A = 4 r2

V = 3

4r3

67

CHAVE DE CORREÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA GEOMETRIA PLANA

1) a) 10 b) 3 c) 3 d) 58

2) 15 cm 3) 5 2 cm 4) 16 cm 5) 13 cm 6) 10 2 cm

7) 5 2 cm 8) 4 3 cm 9) 3 3 cm 10) 62,80 cm

11) 6 cm 12) 502,40 m 13) 3 000 voltas 14) 110,5 cm2 15) 30 cm

2

16) 64 3 cm2 17) 4 3 cm

2 18) 300 m

2 19) 42 Kg 20) 144 cm

2

21) 1 200 peças 22) 272 m2 23) 150 3 cm

2 24) 6,15 m

2

25) 3,785 m2 26) 10,32 m

2

GEOMETRIA ESPACIAL Prismas

1) Ab = 6 3 cm2 ; A = 72 cm

2; At = (72 + 12 3 ) cm

2 ou At = 12(6 + 3 ) cm

2

2) 30 3 cm3 3) 300cm

3

4) 36 cm2 5) 160 cm

2 6) 120 cm

3

7) At = 600 cm2; V = 800 cm

3 8) At = 54 cm

2; V = 27 cm

3

9) 2,88 m3 10) 504 000 litros 11) 2904 cm

2

12) 9 125 cm3 Cilindro 13) 48 cm

2 14) 2 cm 15) 32 cm

2 16) e 17) b

Cone

18) 1 cm 19) V = 100 cm3 20) At = 48 cm

2 21) 94,20 m 22) V = 84 cm

3

Esfera

23) 36 cm2 24) 2 cm 25) 452,16 cm

2

26) 113,04 cm3

BLIOGRAFIA Kátia / Roku – Matemática vol. 1 – Ed. Saraiva. Giovani / Bonjorno / Giovani Jr. – Matemática Fundamental – vol. único, FTD. Gelson Iezzi / Osvaldo Dolce – Matemátca ciência e aplicação – vol. 2, Ed. Atual.

Provas – Enceja e Enem

Kátia / Roku – Matemática – vol. 2 – Ed. Saraiva. Bianchini / Paccola – Curso de Matemática – vol. único, Ed. Moderna. NAME, Miguel Asis. Vencendo com a Matemática. 8ª série.1ª. ed.São Paulo : Editora do Brasil, 2005. BIANCHINI, Edwaldo, PACCOLA, Herval. Curso de Matemática. vol. único. 1ª. ed.. São Paulo : Moderna, 1996. IEZZI, Gelson, DOLCE, Osvaldo, DEGENSZAJN, David, PÉRIGO, Roberto e ALMEIDA, Nilze de. Matemática: Ciências e Aplicações, vol. 1. 4ª. ed. São Paulo: Atual, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos e Aplicações, vol. 1. 1ª. ed. São Paulo : Ática, 1999. MURRIE, Zuleika de Felice. Matemática e suas tecnologias : livro do estudante : ensino médio. 2. ed. Brasília : MEC : INEP, 2006