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Ensino Superior 2.1 – Introdução aos Sistemas de Controle Amintas Paiva Afonso Modelagem Matemática

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Ensino Superior

2.1 – Introdução aos Sistemas de Controle

Amintas Paiva Afonso

Modelagem Matemática

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Sumário

2.1.1 O Problema da Modelagem

2.1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas

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1.1 O Problema da Modelagem

Modelar um sistema físico qualquer significa obter uma representação matemática que permita um estudo analítico coerente com o comportamento do sistema na prática.

A complexidade de se modelar um sistema dinâmico depende fundamentalmente do conhecimento que se tem desse sistema.

A fase de modelagem é vital, uma vez que o compromisso entre precisão e complexidade do modelo em relação à dificuldade de obtenção da resposta deve ser assumido.

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1.1 O Problema da Modelagem

Exemplo 1:

Um corpo se movimenta a uma velocidade v1 (m/s), com massa m1 (kg) se choca com um outro corpo em repouso, de massa m2. A quantidade de movimento medida no instante do choque é dada por: Q = m1.v1 (kg.m/s).

(causa) (efeito)

FF

aa

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

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1.1 O Problema da Modelagem

Se o modelo for ideal, essa mesma quantidade de movimento será transferida ao corpo de massa m2 (kg), de forma que este se deslocará com uma velocidade v2 dada por v2 = Q/m2 (m/s).

(causa) (efeito)/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

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1.1 O Problema da Modelagem

Exemplo 2:

Determinar a força que se deve aplicar a um caixote de massa m = 50 kg, para que a aceleração obtida seja igual a 10 m/s2. O atrito entre a superfície e o corpo não é desprezível, e é dado por = 0,1.

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Força de Atrito

Denomina-se atrito a resistência que os corpos em contato oferecem ao movimento. Temos os seguintes casos:

Força de atrito estática:

Reação normal do apoio

N

P

F at F

fat = µe .Nµe Coeficiente atrito estático

N

N (Sentido da eminência movimento)

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Força de atrito dinâmica

OBS: A força de atrito entre dois corpos em contato é tangente à superfície de contato e tem sentido oposto ao do movimento (ou à “tendência” de movimento) relativo entre as superfícies.

P

fatF Fat = µd . N

µd Coeficiente atrito dinâmico

N

N

Reação normal do apoio(Sentido do Movimento)

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1.1 O Problema da Modelagem

Voltando ao Exemplo 2:

Determinar a força que se deve aplicar a um caixote de massa m = 50 kg, para que a aceleração obtida seja igual a 10 m/s2. O atrito entre a superfície e o corpo não é desprezível, e é dado por = 0,1.Resolução:

A somatória das forças é F = F1 - N

F = F1 – 0,1 . 50 . 10

F = F1 – 50

Esta resultante deve ser igual à massa do corpo multiplicada pela aceleração do mesmo.

F1 = 500 + 50 F1 = 500 N

a = 10 m/s²

F = ?m = 50 kg

1 N = 1 kg x 1 m / s²

Fat

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1.1 O Problema da Modelagem

Basicamente, os estudos de sistemas dinâmicos que iremos apresentar se dividem nas seguintes fases:

• Modelagem. Descrita anteriormente, consiste em representar o sistema físico através de um modelo matemático.

• Determinação das características dinâmicas, que implica em um levantamento prévio de dados, já que propriedades intrísecas do sistema são consideradas (inércia, amortecimento, atrito, etc.).

• Análise. Consiste em, através de uma metodologia qualquer, analisar a resposta do sistema a uma entrada, excitação ou distúrbio.

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1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas

São variáveis que, para todo e qualquer instante de tempo, têm valor definidos.

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1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas

O objetivo é analisar se a variável contínua de interesse tende a um valor finito após a aplicação de uma excitação ou distúrbio. Mais que isso, deseja-se que qualquer componente transitória desapareça o mais rápido possível. A forma como o sistema reage a alguns tipos de distúrbios define a robustez desse sistema dinâmico.

Deseja-se, na verdade, que o sistema atinja um ponto de equilíbrio estável o mais rápido possível, ao mesmo tempo em que algumas características da resposta devem ser satisfeitas.

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1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas

Assim, a resposta dinâmica de um sistema pode ser dividida em duas parcelas:

1) Componente de regime permanente, também chamada de valor final. É a componente obtida quando o tempo tende a um valor suficiente para a resposta se acomodar. Portanto, representamos esta componente como: .)(lim)(

ttyy

Nota: observe que na expressão acima, a resposta em um instante qualquer é dada por y(t).

2) Componente transitória. É a parcela da resposta observada imediatamente após a aplicação de um distúrbio. Seu valor é dado por: )()()(1 ytyty

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1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas

A classificação dos tipos de respostas é também um conceito importante:

• RESPOSTA LIVRE: É a saída obtida quando não é considerada qualquer excitação ao sistema.

• RESPOSTA FORÇADA: É a resposta obtida para uma determinada excitação, considerando nulas as condições iniciais.

• RESPOSTA TOTAL: É a união das respostas anteriores.

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