Ensino Superior 2.3. Aplicações das Integrais Simples Resumo Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Ensino Superior

2.3. Aplicações das Integrais SimplesResumo

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Comprimento de um ArcoComprimento de um Arco

A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.

Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.

Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.


Considere uma função f(x) tal que f(x) e f’(x) (isto é a derivada em

relação a x) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico

de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:

a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

dxxfsabb

a 2'1


Se isolarmos y

2

33 24 xxy

2

Exemplo 1:

Calcule o comprimento da curva y2 = 4x3 entre os pontos (0, 0) e (2, 4 )

Logo,2 x

y

0

42

2

1

3' xdx

dyy

O comprimento do arco será:

dxdx

dydsab

b

a

2

1 dxxdsab

2

0

2

2

1

31


dxxds

2

0

2

2

1

31 duu 9

1 2

0

2

1

xu 91

dxx 2

091

1191927

291

27

2

3

2

9

12

0

2

319

1

2

3

xu

9

dudx

dxdu 910/ uxp

192 ux


Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva .30 ,12

xx

y


Exemplo 3: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 2 a x = 4.

4824 4 xxy


Exemplo 4: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 0 a x = 5.

2/3

3

1xy


Exemplo 5: Determinar o comprimento de arco da curva ,

de x = 0 a x = 1.

2/1

2

3xy


)ln(senxy Exemplo 6: Determinar o comprimento de arco da curva , de

x = /4 a x = /2.

Volume de SólidosVolume de Sólidos

Volume de um sólido de revolução, obtido pela

rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.

Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução

Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r.

Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).

Introdução:

a



Cálculo do volume

Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x) 0 para todo x, tal que a x b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.

A

x1=a x2=b

B

Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x:


Cálculo do volume

– A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo:

– Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos em certas

situações especiais.

A

x1=a x2=b

B

dxxfVb

a

n 2)]([




Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b].

- A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2.

(b)

(a) O sólido gerado pela rotação da figura (a)

é o mesmo gerado pela rotação da figura (b).

(b)


Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela

revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2].

De acordo com a definição: dxxfVb

a 2)]([


Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado

ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-1, 1].

- De acordo com a definição: dxxfVb

a 2)]([

15

561

3

2

5

11

3

2

5

1

3

2

5

1

)12(

]1[

1

1

35

1

1

24

1

1

22

xxx

dxxx

dxxV


Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x [a, b]. Calcule o volume do sólido

gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região

delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = . O volume do sólido é dado por:

0 0

C4

2xsen

2

xxsen2

0

2 dxxsenV

24

0

24

2

2

2

00

2

xsenxdxxsenV

Integral Indefinida

Sejam as identidades trigonométricas:

2

cos2x1xcos

2

cos2x1xsen 22

Assim,

dxcos2x2

1dx

2

1dx

2

cos2x1dxxsen2

2

sen2x

2

1

10

x

2

1 10

Cusen2

1

duucos2

1dxcos2x

dx2

du2

dx

du

2xu

dxcos2x

C4

2xsen

2

xxsen2

Revisão

INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)


Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y.

- Neste caso, temos: dyygVd

c

)]([ 2



Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da

região limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.


Exercício 5: Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o

gráfico de y = x, para 0 x 2, sendo girada primeiro ao redor do

eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados.

a) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para

é girada ao redor do eixo x:O volume do sólido é dado por:

0 2 0 2


Exercício 5:

b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para

é girada ao redor do eixo y:

O volume do sólido é dado por:

2

0

2

0

2

0

42

0

22 dyydyy


Exercício 5:

b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para

é girada ao redor do eixo y:

O volume do sólido é dado por:

2

0

2

0


Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região compreendida pelo gráfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y.

a)

1

1

1/2 3

S1

S2 V1

V2


Logo, o volume do sólido é:

Efetuando os últimos cálculos, temos:

Exemplo 6:


Exemplo 6:

b)

1

1

1/2 3

S1

S2


Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas, é:

Efetuando os últimos cálculos, temos:


Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b:

Supondo f(x) g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:

dxxgxfxVb

a

)()( )( 2 2

2 2 )()()( xgxfxA


dxxgxfxVb

a

)()( )( 2 2

2 2 )()()( xgxfxA





Exercício 6: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região

limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.


Exercício 7: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola

e pela reta

De acordo com a definição: dxxgxfVb

a 22 )]([)]([

dxxxV })]5(2

1[ )]13(

4

1{[ 222

1

3

)13(4

1 2xy

)5(2

1 xy

dxxxxx

V ]}4

25

4

10

4[)]

1616

26

16

169({[

2421

3

dxxxxx

V ]}16

10040426169{[

1

3

242

dxxxx

V ]16

694030[

1

3

24


Exercício 7: dxxxxV )694030(16

1

3

24

)3()1(|692

40

3

30

516

1

3

235

FFx

xxxV

1

3

235

|692010516

xxxx

V

)3(69)3(20)3(10

5

)3(692010

5

1

1623

5V

207180270

5

2436930

5

1

16

V

117

5

24339

5

1

16

V


156

5

244

16

V

5

780244

16

V

80

1024

5

1024

16

V

Exercício 7:



Exercício 8: A região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo

dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. De acordo com a definição:

dyygVd

c

.)]([ 2

dyyV .][8

0

23

dyyV .8

0

3

2

)0()8(|5

3.

8

0

3

5

FFyV

5

96

5

32.3

5

)2(3

5

830)8.(

5

3

3 35

3 53

5

V


Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.

a b

y = f(x)

AdxLxfV

b

a

])([ 2

Se o eixo de revolução

for a reta y = L, temos:

L


Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.

c

d

y = f(x)

A

Se o eixo de revolução

for a reta x = M, temos:

M

dyMygVd

c

])([ 2



Volume de um sólido pelo método dos invólucros

cilíndricos.


Cálculo do volume

Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas.

O volume de cada uma das cascas é dado por:

ou ainda, colocando e ,


Cálculo do volume

Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.

Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular.

onde

indica o raio de cada invólucro

e indica sua altura.


Exercício 10: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0 x 2, ao redor do eixo y.

Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos:


Exemplo 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0 x 1, ao redor do eixo y.

As duas funções se encontram

nos pontos (0,0) e (1,1).

O volume do sólido pode ser

calculado pelo método das

cascas e, portanto, é igual a:


Exemplo 12: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 x y e x2 + y2 2.


Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência, sendo x 0:

Logo, x = 1:

Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:


Exemplo 13: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto x2 + (y – 2) 1.

Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.


Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos gráficos das funções:

Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:


Vamos calcular o mesmo volume pelo método dos invólucros cilíndricos:

Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral:

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