Ensino Superior 4 – Argumento, Validade e Tautologia Amintas Paiva Afonso Lógica Matemática e Computacional

Ensino Superior

4 – Argumento, Validade e Tautologia

Amintas Paiva Afonso

Lógica Matemática e Computacional

Argumento

• Um argumento é uma seqüência de proposições na qual uma delas é a conclusão e as demais são premissas. As premissas justificam a conclusão. Proposições: sentenças afirmativas que podem ser

verdadeiras ou falsas. Premissas: afirmações disponíveis.

Exemplo:Todo aluno de Computação precisa estudar Lógica. (premissa)José é aluno de Computação. (premissa)Logo, José precisa estudar Lógica. (conclusão)

Argumento

• O objetivo de um argumento é justificar uma afirmação que se faz, ou dar as razões para uma certa conclusão obtida.

Exemplo:Você me traiu. Pois, disse que ia estudar e meu irmão lhe viu na boate.

Um argumento demonstra/prova como a partir dos dados de um problema chegou-se a uma conclusão.

Argumento:Raciocínio e Inferência

• Exercício 1:

Um turista está andando pela terra dos honestos e mentirosos. Lá, as pessoas são radicais, umas só falam a verdade e outras só falam mentiras. Chegou a hora do almoço e o turista encontra-se numa estrada com uma bifurcação. O turista sabe que um dos caminhos é para um restaurante e o outro para um abismo, mas não sabe distingui-los. Nesta bifurcação ele encontra um homem nativo. Naturalmente o turista não sabe se ele é honesto ou mentiroso. Como o turista descobre o caminho para o restaurante fazendo uma única pergunta a esse nativo?

• Exercício 2:

Um rei resolveu dar a liberdade a um de seus três prisioneiros. Mandou trazer três chapéus brancos e dois vermelhos. Vendou os olhos dos prisioneiros, colocou um chapéu em cada um e depois foi retirando a venda dos olhos deles. Ganharia a liberdade aquele que soubesse dizer, de forma convincente, a cor do seu próprio chapéu olhando para os outros prisioneiros. Os dois primeiros não souberam dizer. O terceiro, antes que o rei lhe tirasse a venda dos olhos, afirmou com toda certeza a cor do seu chapéu.

Qual a cor do chapéu do terceiro prisioneiro? Justifique.


• Para convencer que você sabe a resposta (que não é um chute) você tem de expor as razões que o levaram a conclusão (justificar).

Pontos de Partida

Caminhos Seguidos

Conclusão

• Um argumento poderia ser considerado uma reconstrução explícita do raciocínio efetuado.

Raciocínio ou

Processo de Inferência

Argumento: Raciocínio e Inferência

• Inferência é a relação que permite passar das premissas para a conclusão (um “encadeamento lógico”).

• A palavra inferência vem do latim, Inferre, e significa “conduzir para”.


Argumento

• O objeto de estudo da lógica é determinar se a conclusão de um argumento é ou não decorrente das premissas (uma inferência).

Validade de um Argumento

• Em um argumento válido, as premissas são consideradas provas evidentes da verdade da conclusão, caso contrário não é válido.

• Quando é válido, podemos dizer que a conclusão é uma conseqüência lógica das premissas, ou ainda que a conclusão é uma inferência decorrente das premissas.

• Exemplo 1: O argumento que segue é válido?

Se eu ganhar na Loteria, serei rico. Eu ganhei na Loteria. Logo, sou rico.

É Válido

(a conclusão é uma decorrência lógica das duas

premissas).



• Exemplo 2: O argumento que segue é válido?

Se eu ganhar na Loteria, serei rico Eu não ganhei na Loteria Logo, não sou rico

Não é Válido (a conclusão não é uma

decorrência lógica das duas premissas).


• A lógica se preocupa com o relacionamento entre as premissas e a conclusão, ou seja, com a estrutura e a forma do raciocínio. A verdade do conteúdo de cada premissa e da conclusão é estudo das demais ciências.

• A validade do argumento está diretamente ligada à forma pela qual ele se apresenta.

(Lógica Formal – estuda a forma dos argumentos).

Dedução e Indução

• A Lógica dispõe de duas ferramentas que podem ser utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução, que dão origem a dois tipos de argumentos: Dedutivos e Indutivos.

Argumentos Dedutivos

• Os Argumentos Dedutivos pretendem que suas premissas forneçam uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. Podem ser: Válidos: quando suas premissas, se

verdadeiras, fornecem provas convincentes para a conclusão. Isto é, se as premissas forem verdadeiras, é impossível que a conclusão seja falsa;

Inválidos: não se verifica a característica anterior.

• Exemplos de argumentos dedutivos:

Ela toca piano ou violão.Ela toca piano.Logo, ela não toca violão.

Todo homem é mortal.Sócrates é um homem.Logo, Sócrates é mortal.

Argumento Inválido

Argumento Válido


Argumentos Indutivos

• Os Argumentos Indutivos não pretendem que suas premissas forneçam provas cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que forneçam indicações dessa veracidade (possibilidade, probabilidade).

Seguem do Raciocínio Indutivo, isto é, obtém conclusões baseada em observações/experiências. Enquanto que um Raciocínio Dedutivo exige uma prova formal sobre a validade do argumento.

• Os termos válidos e inválidos não se aplicam para os argumentos indutivos. Eles são avaliados de acordo com a maior ou a menor probabilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas.

Exemplo 1:

Joguei uma pedra no lago, e ela afundou;

Joguei outra pedra no lago e ela também afundou;

Joguei mais uma pedra no lago, e ela também afundou;

Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela

vai afundar.


• Exemplo 2:A vacina funcionou bem nos ratos.A vacina funcionou bem nos macacos. Logo, vai funcionar bem nos humanos.

• Exemplo 3: 80% dos entrevistados vão votar no candidato X.

Logo, o candidato X vai vencer as eleições.


A Lógica Formal Clássica só estuda Argumentos Dedutivos, verificando se são ou não válidos.


Validade e Verdade

• Verdade e Falsidade: são propriedades das proposições, nunca dos argumentos.

• Validade ou Invalidade: são propriedades dos argumentos dedutivos que dizem respeito a inferência ser ou não válida (raciocínio ser ou não correto).

• Exemplo 1

Toda baleia é um mamífero. ( )

Todo mamífero tem pulmões. ( )

Logo, toda baleia tem pulmões. ( )

Argumento válido e a conclusão verdadeira.

Validade e Verdade

VVV

• Exemplo 2

Toda aranha tem seis pernas. ( ) Todo ser de seis pernas tem asas. ( ) Logo, toda aranha tem asas. ( )

Argumento válido e a conclusão falsa

Validade e Verdade

FFF

• Os conceitos de argumento válido ou inválido são independentes da verdade ou falsidade de suas premissas e conclusão.

• Qualquer combinação de valores verdade entre as premissas e a conclusão é possível, exceto que nenhum argumento dedutivo válido tenha as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

• Um argumento dedutivo no qual todas as premissas são verdadeiras é dito Argumento Correto, evidentemente sua conclusão também é verdadeira.

Validade e Verdade

Lógica Clássica e Lógica Simbólica

• A Lógica Informal formula os argumentos em linguagem natural, mas enfrenta problemas de ambigüidade e de construções confusas.

• A Lógica Simbólica ou Lógica Matemática utiliza símbolos de origem matemática para formular os argumentos. Tabalho iniciado pelo matemático inglês George Boole (1815 – 1864) – Algebra Booleana. e consolidado pelo filósofo e matemático alemão Goottlob Frege (1848 – 1895) – Regras de Demonstração Matemática.

• Uma vez que , a Lógica Simbólica tem sua própria linguagem técnica, é um instrumento poderoso para a análise e a dedução dos argumentos, especialmente com o uso do computador (Prova Automática de Teoremas).

• Tradicionalmente a Lógica tem sido estudada para orientações filosóficas e matemáticas. Na computação, ela é utilizada para representar problemas e para obter suas soluções.

Lógica Clássica e Lógica Simbólica

A disciplina lhe dará base para...

• Argumentos (estrutura, formalização e validade).

• Sistemas Lógicos (Lógica Proposicional e Lógica de 1ª ordem) e provas de suas propriedades básicas (teoremas).

• Métodos Algorítmicos para testar se uma fórmula de um sistema lógico é verdadeira ou não (Prova Automática de Teoremas).

• Aplicações de Prova Automática de Teoremas na resolução de problemas em áreas da computação.

• Um pouco de Programação em Lógica.

Argumento - Definição

• Chama-se de Argumento toda afirmação de uma dada sequência finita P1, P2, P3 … Pn (n 1) de

proposições que tem como consequência ou acarreta uma proposição final Q.

• As proposições P1, P2, P3 … Pn (n 1) dizem-se

as premissas do argumento, e a proposição final Q diz-se a conclusão do argumento.

Argumento - Definição

• Um argumento de premissas P1, P2, P3 … Pn e de

conclusão Q indica-se por:

P1, P2, P3 … Pn ׀─ Q

• E se lê de uma das seguintes maneiras:

“P1, P2, P3 … Pn acarretam Q”

“Q decorre de P1, P2, P3 … Pn”

“Q se deduz de P1, P2, P3 … Pn”

“Q se infere de P1, P2, P3 … Pn”


• Um argumento é uma série de sentenças (premissas) que podem ser simbolizadas por P1, P2,..., Pn seguidas de uma conclusão Q.

Notação: P1 P2 ..., Pn Q.

Um argumento P1 P2 ..., Pn Q diz-se um argumento válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1 P2 ..., Pn são TODAS verdadeiras.

• Portanto, todo argumento válido goza da seguinte propriedade: “A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.”

• Um argumento não válido é chamado de sofisma.

Validade Mediante Tabelas-Verdade

• Página 99, Edgard de Alencar Filho


• Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, digamos V se é válido (correto, legítimo) ou F se é um sofisma (incorreto, ilegítimo).

• As premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo menos admitidas como tal. Aliás, a lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou falsidade das premissas e das conclusões.

• A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas são verdadeiras.

Critérios de Validade de um Argumento

• Teorema – Um argumento P1, P2, …, Pn ׀─ Q é válido se e somente se a condicional:

(P1 ^ P2 ^…^ Pn) Q (1)

é tautológica.

• Exemplificando, do argumento válido p ׀─ p V q (1) segue-se a validade dos argumentos:

(~p ^ r) ׀─ (~p ^ r) V (~s r)

(p r v s) ׀─ (p r v s) V (~r s)

pois ambos têm a mesma forma de (1).

• Portanto, a validade ou não de um argumento depende apenas da sua forma e não do seu conteúdo ou da verdade ou falsidade das proposições que o integram.

Argumentos Válidos Fundamentais

• Os argumentos válidos abaixo, são conhecidos como argumentos fundamentais:

(a) Adição (AD)

(i) p p ν q (ii) p q ν p;

(b) Simplificação (SIMP)

(i) p Λ q p (ii) p Λ q q;

(c) Conjunção (CONJ)

(i) p, q p Λ q (ii) p, q q Λ p;

(d) Absorção (ABS)

p → q p → (p Λ q);

(e) Modus ponens (MP)

p → q , p q;

(f) Modus tollens (MT)

p → q , ~q ~p;

Argumentos Válidos Fundamentais

(g) Silogismo disjuntivo (SD)

(i) p ν q, ~p q (ii) p ν q, ~q p;

(h) Silogismo hipotético (SH)

p → q, q → r p → r;

(i) Dilema construtivo (DC)

p → q, r → s, p ν r q ν s;

(j) Dilema destrutivo (DD)

p → q, r → s, ~q ν ~s ~p ν ~r;

A validade dos dez argumentos pode ser verificada (faça isso) através da construção das tabelas-verdade de cada argumento. Os dez argumentos válidos fundamentais acima são também chamados de “regras de inferência”.

Podemos mostrar a validade de um argumento através da Construção de tabelas-verdade ou utilizando as regras de inferência.

Exemplo: Mostre que os argumentos abaixo são válidos, utilizando tabela-verdade e as regras de inferência:

(a)• Se o programa é eficiente, ele executará rapidamente. • O programa é eficiente ou tem um erro. • O programa não executa rapidamente. Portanto o programa tem um erro;

- Inicialmente, vamos traduzir o argumento para linguagem simbólica.

Consideremos as proposições simples p: O programa é eficiente,

q: O programa executa rápido e r: O programa tem um erro.

- Temos então, na linguagem simbólica, as premissas p → q, p r, ~q

e a conclusão r, ou seja,

(p → q) (p ν r) (~q) r

Validade mediante tabela-verdade

(p → q) (p ν r) (~q) r

p q r p → q p r ~q r

V V V V V F V

V V F V V F F

V F V F V V V

V F F F V V F

F V V V V F V

F V F V F F F

F F V V V V V

F F F V F V F

Validade mediante regras de inferência

As premissas são

(1) p → q

(2) p r

(3) ~q

(4) ~p 1,3 (MT), ou seja, modus tollens nas premissas (1) e (3)

(5) r 2,4 (SD), ou seja, silogismo disjuntivo nas premissas

(2) e (4);

Portanto, podemos concluir a proposição “r” das premissas

(1), (2) e (3), ou seja, o argumento é válido.

(b)• Se Graham está no campo de golfe, então Harvey está de

serviço no hospital e Ives deve ter mudado sua política. • Harvey não está de serviço no hospital. Portanto, Graham não está no campo de golfe;

Inicialmente, vamos traduzir o argumento para linguagem simbólica.

Consideremos as proposições simples

p: Graham está no campo de golfe, q: Harvey está de serviço no hospital, e r: Ives mudou sua política.

Temos então, na linguagem simbólica, as premissas p → (q Λ r), ~q e

a conclusão ~p, ou seja,

(p → (q Λ r) ~q ~p

Validade mediante tabela-verdade

(p → (q Λ r) ~q ~p

p q r q Λ r p → (q Λ r) ~q ~p

V V V V V F FV V F F F F FV F V F F V FV F F F F V FF V V V V F VF V F F V F VF F V F V V VF F F F V V V

Validade mediante regras de inferência

As premissas são

(1) p → q Λ R

(2) ~q

(3) ~q ν ~r 2 (AD), ou seja, adição na premissa (2);

(4) ~( q Λ r) 3 (De Morgan), ou seja, lei de De Morgan da disjunção na premissa (3); (5) ~p 1,4 (MT), ou seja, modus tollens nas premissas (1) e (4)

Portanto podemos concluir a proposição “~p” das premissas (1) e (2), ou seja, o argumento é válido

Exercícios• Mostre que os argumentos abaixo são válidos, utilizando

tabela-verdade e as regras de inferência:(a)• Se as leis são boas e seu cumprimento é rigoroso então a

criminalidade diminuirá.• Se o cumprimento rigoroso da lei faz a criminalidade diminuir

então o nosso problema é de caráter prático.• As leis são boas.

Portanto, nosso problema é de caráter prático;

(b)• Se Vera estudar então a prova será fácil e ela vai tirar uma boa

nota. • Se ela não estudar, então ela não fez uma boa escolha.

Portanto, se ela fizer uma boa escolha ela vai tirar uma boa nota.

Exercícios

(c)• Se o avião chegar atrasado e não houver táxis no aeroporto,

então Antônio Roberto chegará atrasado para sua reunião.• Antônio Roberto não chegou atrasado à reunião, mas seu

avião chegou atrasado.Portanto, havia táxis no aeroporto.

(d)• Ela não está em casa e não está falando ao telefone. • Se ela não está em casa, então ela foi seqüestrada. • E se ela não está falando ao telefone, ela está correndo

algum outro perigo. Portanto, ela foi seqüestrada ou ela está correndo algum outro perigo.


• Para julgar a validade ou não de um argumento, é necessário que a sentença que os constituem não tenham mais de um sentido. Segundo Aristóteles, isso é possível se enunciarmos as sentenças na forma categórica. Exemplos:

Todos os brasileiros são técnicos de futebol.

Nenhum gato sabe latir.

Algumas pessoas gostam de comer fígado.

Existem caubóis que não sabem andar a cavalo.

Tipos de raciocínio ou argumentação

• Dedutivo

Toda mulher gosta de chocolate

Regina é mulher

Logo, Regina gosta de chocolate.

• Indutivo

O cobre é condutor de calor

O cobre é um metal

Todo metal é condutor de calor

• Falacioso (falácia, sofisma, paralogismo)

Sofisma- intenção de enganar o interlocutor, paralogismo-erro, equívoco.)

• Todos cães são vegetarianos.

• Dálmatas são cães.

• Logo, dálmatas são vegetarianos.

• Todos cães comem carne.

• Nenhum cão é peixe.

• Logo, nenhum peixe come carne.

Raciocínios inválidos

Tipos de argumentação

• Analógico Comparação

• Vagner é aluno da FPT e é inteligente.• X é aluno do FPT então...

• Tautológico – o que alguns alunos fazem provas. Encher lingüiça

• Repetir o enunciado da pergunta• O triângulo tem três ângulos.

Argumento

• Aristóteles tentou sistematizar as regras lógicas e dedicou atenção especial a um tipo de argumento, com duas proposições iniciais e uma conclusão. Exemplos: Premissas:

• Alguns alemães são loiros.• Todos os alemães são europeus.

Conclusão:• Alguns europeus são loiros.

Premissas:• Alguns médicos são poliglotas.• Alguns professores são poliglotas.

Conclusão:• Alguns médicos são professores.

Argumento

Premissas:

• Alguns atleticanos não são chatos.

• Todos os atleticanos são fanáticos. Conclusão:

• Alguns fanáticos não são chatos.

• Aristóteles classificou os silogismos entre os que são válidos e os que não são válidos. Exemplo de silogismo que não é válido, portanto, é um sofisma:

• Premissas:• Todos os alemães são europeus.• Alguns alemães são loiros.

• Conclusão:• Nenhum europeu é loiro.

Lógica Matemática e Computacional

Falácias: Conceitos, Tipos e Exemplos

Argumento Falacioso ou Sofisma

• Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos básicos de argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que são válidos daqueles que não o são. Estes últimos são chamados de “falácias” ou “sofismas”. Exemplos: Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou

a vida inteira e morreu com 87 anos. Todas as pessoas que morreram de câncer nos

últimos 50 anos bebiam água, logo…

A Lógica de Aristóteles

• Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas, trabalhando apenas com as que não deixassem dúvida quanto ao seu significado. Exemplos: “Pássaros comem insetos”, por “Todos os

pássaros comem insetos” ou “Alguns pássaros comem insetos”.

“Índios não são carecas”, por “Nenhum índio é careca” ou “Alguns índios não são carecas”

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