Upload
feoras
View
30
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Ensino Superior. Cálculo 2. 2. Integral Definida. Amintas Paiva Afonso. Notação para a Integral Definida. limite superior de integração. Simbolo de Integração (integral). integrando. Variável de integração (diferencial). Limite inferior de integração. )dx. -5/2. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Ensino Superior
2. Integral Definida
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
b
af x dx
Simbolo de Integração(integral)
Limite inferior de integração
limite superior de integração
integrandoVariável de integração
(diferencial)
Notação para a Integral Definida
)dx
-5/2
b
adxxfS )(
3
1
4 dx
2
1
4y
Avalie as seguintes integrais definidos usando fórmulas de área geométrica.
2
1
22
-2
4 x dx2 2 24 4y x x y
Metade superior só!
3
0
( 2)x dx
2
1
2y x
Teorema: Se f(x) é contínua e não negativa em [a, b], então a integral definida representa a área da região sob a curva e acima do eixo x entre as linhas verticais x = a e x = b .
a b
A Integral de uma Constante
Se F(x) = c, onde c é a constante, no intervalo [a, b], então
b
a
b
ao abccdxdxxf )()(
( ) ( )b b
a a
f x dx g x dx
( ) 0b
a
f x dx
Se f é integrável e não negativa em [a, b] então
Se f e g são integráveis e não negativa em [a, b] e f (x) < g (x) para todo x em [a, b], então
Usando regras de integrais definidas
Avaliar a usar os seguintes valores:
4
3
2
2x dx
4 4 4
3 3
2 2 2
2 2x dx x dx dx
4 4 4
3 3
2 2 2
2 2x dx x dx dx = 60 + 2(2) = 64
Quando as funções são não-negativos, as somas de Riemann representam as áreas sob as curvas, acima do eixo x, sobre algum intervalo [a, b].
Quando as funções são negativos, no entanto, as somas de Riemann representam o negativo (ou oposto) os valores das referidas zonas. Em outras palavras, as somas de Riemann NÃO tem sentido e pode assumir valores negativos.
18
f
a bA
Adxxfb
a )(
a b
fA1
A2
A3
231)( AAAdxxfb
a
= área superior - área abaixo
Para resumir esse pensamento ...
ax3 + bx2 + cx + d = 0
2
1
4dxx65
198
2
1
34 dx)x8x5(2437
2
0dx)x2sen(
2
2
23
dx1x7x23x
4
0dx)1x2(
2
1dx)1x6(
2
1
3 dx)x1(x1081
1) Calcule as integrais definidas abaixo:
- 6,667
8,667
8
0
.a.u673
.a.u38
xy .a.u3
16
.a.u3
16
2) Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4; y = 0; x = 0 e x = 5.
3) Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às abcissas x = 0 e x = 2.
4) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções ; y = 0 e a reta x = 4
5) Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 1. R: 23,2 u.a 6) Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1].
7) Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = x – 3 . R: 1,86 u.a.
Relações de GirardRelações de Girard
02 cbxax
abxx 21
acxx 21
PolinômiosPolinômios
Relações de GirardRelações de Girard
023 dcxbxax
abxxx 321
acxxxxxx 323121
adxxx 321
PolinômiosPolinômios
Relações de GirardRelações de Girard
0...22
110
nnnn axaxaxa
0
1321 ...
aaxxxx n
0
21413121 ...
aaxxxxxxxx nn
0
312421321 ...
aaxxxxxxxxx nnn
0
321 1...aaxxxx nn
n
PolinômiosPolinômios