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Ensino Superior Matemática Básica Unidade 7 – Funções Exponencial Amintas Paiva Afonso

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Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 7 – Funções Exponencial

Amintas Paiva Afonso

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Função ExponencialFunção Exponencial

DefiniçãoDefinição

DomínioDomínio ImagemImagem

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Função ExponencialFunção Exponencial

x

1234... ..x

Representação GráficaRepresentação Gráfica

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Função ExponencialFunção Exponencial

Representação GráficaRepresentação Gráfica

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Função ExponencialFunção Exponencial

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Função ExponencialFunção Exponencial

Representação GráficaRepresentação Gráfica

1x

1,5x2x4x10x0,25x

0,5x

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Equação ExponencialEquação Exponencial

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Equação ExponencialEquação Exponencial

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Equação ExponencialEquação Exponencial

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Equação ExponencialEquação Exponencial

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Inequação ExponencialInequação Exponencial

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Inequação ExponencialInequação Exponencial

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Inequação ExponencialInequação Exponencial

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Inequação ExponencialInequação Exponencial

– – – – – –+ ++ ++ ++ +

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Inequação ExponencialInequação Exponencial

Verificação se 0 ou 1 Verificação se 0 ou 1 são soluçõessão soluções

FFVV

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Inequação ExponencialInequação Exponencial

– – – – – –+ ++ ++ ++ +

ComoComo

Supondo que Supondo que

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Inequação ExponencialInequação Exponencial

Supondo que Supondo que

– – – – – –+ ++ ++ ++ +

ComoComo

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Inequação ExponencialInequação Exponencial

Solução da inequação seráSolução da inequação será

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Exemplo 1Exemplo 1

Uma aplicação da função exponencial – 1.º ExemploConsidere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. Suponha que colhendo amostras da população em certos intervalos de tempo fique determinado que a população dobra a cada uma hora. Se o número de bactérias no instante t for p(t), onde t é medido em horas, e a população inicial for de p(0) = 1000 bactérias, então:

Após 1h p(1) = 2.p(0) = 2.1000 = 2000;

Após 2h p(2) = 2.p(1) = 2.2.1000 = 22.1000 = 4000;

Após 3h p(3) = 2.p(2) = 2.22.1000 = 23.1000 = 8000;

Após th p(t) = 2.p(t-1) = .... = 2t.1000 = 2t.1000.

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Exemplo 1Exemplo 1

Portanto, a função exponencial para este caso é definida por:

p(t) = 2t.1000. Assim, se quisermos saber de quanto será a população de

bactérias após 10 horas, basta substituir 10 na equação:

p(10) = 210.1000 = 1024.1000 = 1.024.000 bactérias. Por outro lado, se a pergunta for: quanto tempo levará para a

população de bactérias chegar 128.000? Basta substituir p(t) por 128.000 e encontrar o valor de t.

128.000 = 2t.1000 128.000/1000 = 2t 27 = 2t,

portanto, t = 7 horas.

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Exemplo 2Exemplo 2

A importância do número “e” Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há

uma que é mais conveniente. Essa escolha leva em conta o coeficiente angular da reta tangente

ao gráfico da função exponencial. O que desejamos é um coeficiente angular exatamente m = 1, pois

facilitaria muito cálculos futuros. Para obtermos um coeficiente angular m = 1 para a reta tangente

à função exponencial, a base mais conveniente é o número “e”. O gráfico da função y = ex fica entre os gráficos das funções y = 2x

e y = 3x.

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Exemplo 2Exemplo 2

Gráfico de y = ex

Coeficiente angular: m = 1

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Exemplo 2Exemplo 2

Quem é “e”?

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Empréstimo de R$ 800,00 para pagar depois de 3 meses, à taxa de 5% am.

tempo (meses)

Montante (R$)

1

y = 800 (1,05)t

y = 800 (1 + 0,05 . t)

2 3

882880

920

840

800

926

Exemplo 3Exemplo 3

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Exemplo 4Exemplo 4

Crescimento da Indústria do turismo nos últimos 50 anos.

tempo (ano)

Turis

tas

inte

rnac

iona

is(e

m m

ilhõe

s)

60 65 70

360

480

240

120

75 80 85 90 95

y = ax

a > 1

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Exemplo 5Exemplo 5

Crescimento da população brasileira nos últimos 35 anos.

tempo (ano)

Popu

laçã

o br

asile

ira(e

m m

ilhõe

s)

70 80 90

169,1

185

166,1

90

99

y = 90 000 000 (1,018)t

05

y = k.ax

a > 1

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Exemplo 6Exemplo 6

Depreciação de 15%, a cada ano, de um veículo com valor de R$ 35 000,00.

tempo (ano)

Valo

r do

veíc

ulo

(R$)

1 2 3

29 750

35 000

25 287

21 494

y = 35 000 (0,85)t

y = k.ax

0 < a 1

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Proposta de Atividades PráticasProposta de Atividades Práticas

A empresa e o lucro L(t) = 3000 (1,5)t

A população de uma cidade P = P0.ei.n

A planta cresce A = 40 (1,1)t

A máquina desvaloriza D = K (0,8)t

O líquido e seu PH O terremoto e a escala Richter A escala temperada da música e Bach

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