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Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 8.1 - Radiciação
Amintas Paiva Afonso
RADICIAÇÃOO que é uma Raíz?
A Definição de Raíz como Potência
Raíz Quadrada
Raíz Cúbica
O Índice Igual ao Expoente
Multiplicação de Raízes de Igual Índice
Divisão de Raízes de Igual Índice
Raíz de uma Raíz.
Decomposição de uma Raíz
Racionalização
Condições de Existência para as Raízes de Índice Par
Condições de Existência para as Raízes de Índice Impar
Equações IrracionaisCuriosidades
4
O que é uma Raíz?
Uma Raíz é uma expressão que consta de um ÍNDICE, um símbolo de raíz e um RADICANDO.
Índice, raíz, radicando?
24
ÍndiceRadicando
(-5,3)8
5
4
Símbolo de Raíz
2
Elementos de uma Raíz
m an
Expoente do radicandoÍNDICE
RADICANDOSímbolo de Raíz
_
_
O que significa a Raíz?
(-5,3)3
5
4 =
Obs: O Índice 2 não se escreve.
Uma Raíz é uma Potência com Exponente Fracionário.
425 =
5
2_4254
3
(-5,3)
_2
=3
(-5,3)
6
5
4 77
6
Raíz Potência=3
(-0,6)2
= (-0,6)23
2
_
7
2=6
7
277
6
Transforme as seguintes Potências em Raízes
Transforme as seguintes raízes em Potências
4
37
5
3
3
7
4
3 5
3 47
3
2
3
5
5m
m nd
2
1
6
2
5
3,0
2
9
5
2
3
2
4
7
1
3
6
5
7
b
c
a
2
1
4
2
3
7
2
1
5
3
2
3
7
4
3
1
5
3
4
7
3
2
3
5
m
n
d
2
5
m
6
53,0
9
5
2
3 24
73
6
5
7
b ca
_
Importante:
Leitura de uma Raíz.
- Índice 2, Raíz Quadrada. Ex: - Índice 3, Raíz Cúbica. Ex: - Índice 4, Raíz Quarta. Ex:
3 76
56
4 76
Em Geral
anb =
b
nanba
0 = 0ba a 1 = 1b
a ≥ 2
Mas é só uma aproximação decimal da Raíz, que não é exata. Porque a melhor forma de representar é como .
Raíz Quadrada
4 já que2 22 4
9 já que3 33 9
16 já que4 44 16
25 já que5 55 25
2 ...1688724273095048804142135623,1
2 2Isto acontece com muitas raízes quadradas
que não dão um resultado exato.
Raíz Cúbica
3 8 já que2 222 8
3 27 já que3 333 27
3 64 já que4 444 64
3 125 já que5 555 125
3 3 ...6163831077907408382324422495703,1
3 3 3 3
Mas é só uma aproximação decimal da Raíz, que não é exata. Porque a melhor forma de representar é como .
Isto acontece com muitas raízes cúbicas que não dão um resultado exato.
2
2
_
1 - Propriedade: O Índice Igual ao Expoente.
Sabendo que:7
23 =3
2 737
Qual será o resultado de?
525 =
5
2_555
=
_an =
a
nanaaEm Geral: = n
21
2=2
12)
7
5 (59
__
2
2
_
2 - Propriedade: Multiplicação de Raízes de Índice Igual.
Sabendo que:7
23 =3
2 737
Qual será o resultado de?
9=
9
2 2=
a n =nxaEn Geral:
57•
2•_
2 2( )1
7_
• =9
2(_2)1
5•7
29 7•5
• mya a nx•my
Resolver usando a Propriedade da Potência:
a)
b)
c) 33
16
9
4
3
33 366
28
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
5635 33
3333 9243
52,12,1
3
2
35
4
3
2
3
2
3 43 5 mm
57 nn
3 753 23 nnnn baba
6
4
4
3
15303
6
32,1
9
4
3m
6n
nnba 32
2 - Propriedade: Multiplicação de Raízes de Índice Igual.
12) ÷(777 5 (5
5__
2
7
_
3 - Propriedade: Divisão de Raízes de Índice Igual.
Sabendo que:7
23 =3
2 737
Qual será o resultado de?
5=
52
=
a n =nxEm Geral:
57÷72
_7
_2)1
=5
_2)1
57
75 75
mya a nx my
÷
÷
÷(
÷ ÷
Resolver usando a Propriedade da Potência:
a)
b)
d)
2
8
3
3
3
81
3 4
3 7
5
5c)
83
2813
3
e)
f)
h)
02,0
08,0
33
81
4
3
256
3 23 2
3 83 5
nm
nmg)
36
5
3
4
3 2 d
a
b
d
a
b
2
3
5
2
3
2
3
4
3mn
b
a
3 - Propriedade: Divisão de Raízes de Índice Igual.
21
••
(
4 - Propriedade: Raíz de uma Raíz.
( 77__
7
Sabendo que:
Qual será o resultado de?
5
52
=
a =En Geral:
=12
_21
= 7
mn b•a mn
)_25 _
45
754
( 77__
75
53
=
=12
_
= 7)_35 _
65
7563
b
32
)3
= 36
e2_
723 =
3
2 737
a)
b)
c)
e)
d)
f)
16
3 7
3 4 5
48nm
3 3 18
3 24
x
x
36
12
y
x
2
6 7
12 5
42nm
y
x2
2x
4 - Propriedade: Raíz de uma Raíz.
Resolver usando a Propriedade da Potência:
Decomposição de uma Raíz
nmnm Sabendo que:
Resolver
750x6225 xx
25
732x
5
6216 xx
4
16
2 x 6x2 x 3x 2 x 3x
xx 25 3 xx 24 3São termos semelhantes
xx 29 3
2 x 6x
Outro exemplo
45 20
São termos semelhantes
54
80 125
59 54
59
544 255
54 544 255
53 52 522 55
53 52 54 55
Decomposição de uma Raíz
Racionalização
Racionalizar é ampliar uma fração onde o denominador representa uma Raíz, com a
finalidade de que esta não apareça.
Exemplos:
2
1
2
2 3a
aa
3 23n
n
3
93 n
O que devemos saber?
ampliar:2
7
4
4
8
28
Multiplicar Raízes 82 41682
53 xx 4853 xxxx Potências
Raíz como Potência
Propriedade das Raízes: xxx nn
n n
Racionalizar Raízes Quadradas Simples da Forma aq
p
3
7
3
3
3
7
3337
23
37
3
37
xm
n
x
x
xm
n
xxm
xn
2xm
xn
mx
xn
7
52
7
7
7
52
77
752
27
7572
7
3572
aq
p a
a
aq
p
aaq
ap 2aq
ap
qa
apEn Geral
1)
2)
3)
5
7
n
14
7
nn
nn47
n
n
nn27
nn
n2
74)
3
7
n
n
Racionalize as seguintes Expressões
11
7
11
7
a
ax
a
ax
52
15
52
15
a
ba
a
ba
10
40
10
40 22
33 a
aa
a
aa
49
7
49
7
ab
ab
2
28
xyxy
yxxy
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Racionalizar Raízes Quadradas da Forma n kaq
p
3 4
7
3 2
3 2
3 4
4
4
7
3 2
3
44
47
3 3
3
4
47
4
474
4 3xm
n
4
4
4 3 x
x
xm
n
4 3
4
xxm
xn
4 4
4
xm
xn
mx
xn4
3 2
3
a
aa
3
3
3 2
3
3 a
a
a
aa
3 2
33
3 aa
aaa
3 3
33 2
3 a
aaa
a
aaa
3
33
n kaq
p
n kn
n kn
n k a
a
aq
p
n knk
n kn
aaq
ap
n n
n kn
aq
apEn Geral
1)
2)
3)
aq
ap n kn
3 74
74)
3 6 44
7
33 6 44
7
32 44
7.....
4
4
44
73 2
3 2
32
Racionalizar as seguintes Expressões
33 11
7
11
7
3 23 2 52
15
52
15
a
ax
a
ax
3 2
2
3 2
2
10
40
10
40
a
ba
a
ba
3 2
3
3 2
3
ba
aab
ba
aab
33 49
7
49
7
3 5ab
ab
4 3
4 74 11
2
22
7 69
7 623
yx
yxx
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Condições de Existência de Raízes Quadradase Índice Par
Como, por exemplo, 24 já que 422
então
e assim para todas as Raízes Quadradas de Números Positivos
NÃO SE PODE OBTER A RAÍZRAÍZ QUADRADAQUADRADA DE NÚMEROS
NEGATIVOS
Quer dizer:
4 Não Existe
2,0 Não Existe
36
25 Não Existe
Em Geral, Esta condição é própria de todas as Raízes de ÍNDICE PAR.
4 12,0 Não Existe
8
36
25 Não Existe
As Raízes que têm ÍNDICE IMPAR Não têm restrição
Quer dizer:
283 já que 222 8
3273 já que 333 27
3
2
27
83 já que
3
2
3
2
3
2
27
8
21287 já que 2222222 128
Condições de Existência de Raízes Quadradase Índice Impar
Equações Irracionais
Uma Equação Irracional é determinar o valor da incógnita que se encontra abaixo das raízes.
Exemplo de Equações Irracionais:
73 x
xx 213
13743 xxx
1375123 xx
Para resolvê-las os passos são muito simples:
i) Se há mais de uma raíz, se deve isolar em um dos lados da equação.
ii) Elevar ao quadrado ambos os lados da equação.
Obs. Com rigor, a solução da equação debe estar no seguinte conjunto:
Exemplo de Resolução de Equações Irracionais:
642 x
,2
Evitamos o passo i) já que a raíz já está isolada em um dos lados da equação.
642 x Aplicamos o passo ii) anterior. Elevar ambos os lados da igualdade a 2.
22642 x O elevar a raíz a 2, o Índice e o exponente
se simplifiquem.
3642 x Se resolve como uma equação de primeiro grau com uma incógnita.
20x
2/
Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
138 xxPasso i) Isolar uma das raízes de um dos dos
lados da equação.
Aplicamos o passo ii) anterior. Elevar ambos os lados da igualdade a 2.
El elevar la raíz a 2, o índice e o expoente de simplificam e no outro lado da igualdade
teremos que realizar o quadrado de um binômio.
xx 3182/
22318 xx
xxx 33218
x 324 Devemos voltar ao passo i), raíz isolada e elevamos ao quadrado ambos os lados da
igualdade.
2/ 22 324 x
x 3416
x41216
x1
Daqui para frente a Equação Irracional se transforma em uma equação de primeiro grau
com uma incógnita.
Curiosidades
...21
2
12
12
112
1)2) Algoritmo para determinar uma raíz.
