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Informática Educativa I :: Tarefa Final da Disciplina

Aluno: Kelly Cristina santos Alexandre de Lima

Pólo: Campo Grande

0. Introdução

Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII, com o

filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650). A Geometria Analítica

é um tema da Matemática muito importante que, por vezes, não tem recebido a

atenção necessária por alunos e professores. Ela destina-se ao estudo das relações

existentes entre a Álgebra e a Geometria: um ponto, uma reta, uma circunferência

têm suas propriedades estudadas através de métodos algébricos e geométricos.

O software Régua e Compasso, de autoria de René Grothmann, permite um

estudo motivador deste tema. Segundo Barcelos e Batista (2008, p.1),

É um programa de Geometria Dinâmica, isto é, sua função é possibilitar o trabalho com construções geométricas que podem ser alteradas movendo um dos pontos básicos, permitindo a preservação das propriedades originais. Dessa forma, permite explorar diversos aspectos relativos à Geometria Plana Euclidiana e

à Geometria Analítica.

As novas tecnologias, incluindo os softwares e jogos, tem-se constituído um

dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que

exercem nos meios de produção e por suas conseqüências no cotidiano das

pessoas. Segundo Barros e Brighenti,

[...] o grande desenvolvimento tecnológico e científico atual

impulsiona mudanças no desenvolvimento intelectual, social e cultural de todos envolvidos com o processo educativo, pois a sociedade contemporânea exige a formação global dos indivíduos para que se adaptem facilmente às freqüentes e rápidas mudanças tecnológicas (2004, p.125).

Cada vez mais, pesquisadores reforçam a idéia de que a matemática não

pode ser reduzida a um conjunto de procedimentos mecânicos e repetitivos. O que

se propõe hoje é que o ensino de Matemática possa aproveitar ao máximo os

recursos tecnológicos, tanto pela sua receptividade social como para melhorar a

linguagem expressiva e comunicativa dos alunos.

Entretanto, a simples menção de “recursos” e/ou “caminhos” ao lado de

“matemática” ou “educação” não promove novas posturas. É preciso não confundir

meios e mediações: objetos técnicos e trabalho com eles. A entrada de um ou

mais recurso na sala de aula ocorre, em muitos casos, sem um intuito educacional,

e é neste ponto que meios e mediações costumam confundir-se. A utilização

dessas “tecnologias”, por parte dos educadores torna possível o conhecimento dos

objetos técnicos, mas nem sempre estes objetos serão utilizados para a reflexão

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do conteúdo, para auxílio na aprendizagem. É preciso cuidado para não utilizá-los

como meros instrumentos de saída da rotina.

Este projeto destina-se a um aprendizado significativo da Geometria

Analítica, em especial o ponto e os conceitos a ele relacionados, mais do que uma

simples transferência de informação, objetiva-se a construção de um conhecimento

de forma prazerosa e coletiva.

1. Definição do projeto – What (4,0 pontos): defina o conteúdo que será

estudado/desenvolvido. Isso envolve definir um título.

Conteúdo a ser estudado:

Geometria Analítica

Pontos no plano cartesiano

Distância entre dois pontos

Ponto médio entre dois pontos

Conceito de reta

Título do projeto:

“Entre a régua e o compasso: o ponto na Geometria Analítica”

2. Objetivos e metas do projeto – Why (10,0 pontos): descreva os objetivos

do projeto, encaixando-o nas teorias pedagógicas estudadas e condizentes com o

currículo aplicável ao ensino da Matemática. Esta é a justificativa do seu projeto. Espera-se com este projeto, o aluno seja capaz de:

Conceituar ponto e reta;

Identificar a localização de pontos no plano cartesiano;

Construir, com o auxílio do software ou não, pontos a partir das

coordenadas cartesianas;

Reconhecer as propriedades dos pontos (ponto médio e distância).

3. Público alvo – Who (1,5 pontos): descreva a quem se destina o projeto,

incluindo faixa etária, ano ou série. O projeto destina-se a alunos do terceiro ano do Ensino Médio que estejam

iniciando os estudos em Geometria Analítica. Foi elaborado para turmas com dois

encontros semanais cada um com 2 horas/aula, totalizando 200 minutos semanais

e um total geral de 800 minutos (o projeto tem duração de um mês).

4. Quando utilizar – When (1,5 pontos): significa em que momento do curso o

projeto será utilizado, e onde se encaixa na grade de conteúdos da disciplina (num

enfoque mais tradicional), ou relacionado a algum tema que será desenvolvido

(num enfoque mais construtivista). Por se tratar de um conteúdo inicial da série a qual se destina, este projeto foi

pensado para o início do ano letivo. Recomenda-se que este seja um de vários

outros projetos para o estudo de Geometria Analítica, que englobem os outros

tópicos deste tema (como estudo da reta e da circunferência).

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5. Local a usar – Where (1,5 pontos): defina se haverá atividades em sala, nos

laboratórios e em casa. O projeto será realizado em três espaços da escola: a sala de aula, o

laboratório/sala de informática e a quadra (ou pátio). Haverá também atividades

para que os alunos realizem fora do espaço escolar.

6. Custo do projeto – How much (1,5 pontos): especifique se haverá

necessidade de equipamentos e software especiais. Não é necessário definir preço.

Obs.: Indicamos que no caso de ser um projeto mais formal, com pedido de verba

para algum órgão de fomento, será preciso definir isso. Materiais necessários:

*Para os encontros em sala de aula: papel quadriculado, data show, quadro (de giz

ou piloto).

*Para os encontros no laboratório de informática: Software Régua e Compasso e

computadores (estes deverão possuir a linguagem Java habilitada, que pode ser

instalada gratuitamente pelo endereço:

http://java.sun.com/j2se/1.4.2/download.html ou, ainda, no endereço)

Observação: como o software a ser utilizado é do tipo livre (disponível no

endereço: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/2180) não haverá

despesas para adquiri-lo;além disso, é um software que roda em diversas

plataformas como Microsoft Windows©, Linux, Macintosh©, etc; partindo do

pressuposto que a escola já possua um laboratório de informática não será preciso

comprar as máquinas, mas recomenda-se uma vistoria nas mesmas, para que

todas estejam funcionando em ótimo estado quando os alunos estiverem

utilizando-as.

7. Descrição da forma de emprego do projeto - How (20,0 pontos):

descreva detalhadamente as atividades e as etapas que devem ser desenvolvidas

para que os objetivos do projeto sejam atingidos. Aqui você pode seguir o roteiro

que disponibilizamos na semana.

O projeto constará de oito dias de aula, segue abaixo uma idéia para cada uma

destas aulas.

Aula 1/8

Esta é uma aula de introdução ao tema e estão previstas para ela três atividades.

Atividade 1: Dinâmica de apresentação do tema – Jogo “Pontos Humanos”

Na quadra, trace com os alunos uma espécie de malha quadriculada no chão

utilizando giz (ou leve um “tabuleiro gigante” quadriculado e com eixos

coordenados, em um material resistente como E.V.A).

Cada aluno será um Ponto. Vá dando instruções para que eles se posicionem na

malha. Por exemplo: Fulano vá para o quadrado da terceira coluna e quarta linha.

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Motive-os a fazerem suas próprias colocações e a expor isso aos colegas. Observe

que a frase “coluna tal e linha tal” torna a comunicação mais demorada, incentive-

os a criarem novas formas de nomear suas posições.

Esta atividade deve durar o tempo necessário para que os alunos possam

construir o conceito de localização no ponto cartesiano (a necessidade de duas

coordenadas)

Atividade 2: (em sala de aula)Definição dos conceitos primitivos

Exponha e construa com os alunos o conceito de plano cartesiano e ponto.

Atividade 3: Aspectos Históricos da Geometria Analítica

Leitura e discussão do texto no anexo 1.

Após a discussão do texto, proponha uma atividade de pesquisa aos alunos: como

surgiu a geometria analítica, qual a sua importância, as aplicações no dia a dia. O

ideal é que esta atividade seja em pequenos grupos (4 a 5 componentes) e tenha

um prazo de uma semana para a entrega.

Aula 2/8:

Atividades com papel quadriculado

Esta é uma aula em que os conceitos da Geometria Analítico serão trabalhados a

partir da construção em papel quadriculado. Leve para a aula mapas e plantas de

construções. Proponha atividades inicialmente com as plantas e mapas; por

exemplo, divida a turma em grupos peça para quadricularem um mapa do Brasil e

localizarem o Rio de Janeiro por coordenadas cartesianas.

Proponha ainda a localização de pontos no papel somente com eixos cartesianos,

sem a malha quadriculada. E a construção de um plano de vôo simplificado.

Esta é uma aula de descobertas. Deixe o ambiente propício a criação.

Peça para os alunos fazerem anotações das observações e descobertas, e

socializem para toda a turma ao final.

Aula 3/8

Software Régua e Compasso

Esta aula deverá ocorrer no Laboratório de Informática. É importante reservar um

tempo inicial da aula para apresentar o software e familiarizá-los com os alunos.

Proponha atividades dirigidas, como a construção de pontos e retas, um exemplo

na figura abaixo. Outras atividades, para iniciar o trabalho com o software, podem

ser vista no anexo 2.

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Faça questionamentos que levem os alunos a perceberem que para traçar uma

reta são necessários dois pontos.

Aula 4/8

Esta é uma aula voltada para exercícios sobre o que já foi construído até então.

Confeccione uma lista (com no máximo 6 exercícios, ver anexo 3). Selecione dois

para exemplificar. Dê tempo para que possam resolver os demais em aula (este

exercício pode ser feito em duplas). É importante que se faça a correção dos

exercícios coletivamente com os alunos.

Obs.: Nesta aula deve ocorrer a entrega dos trabalhos solicitados na Aula 1.

Aula 5/8

Software Régua e Compasso

Atividades sobre Ponto Médio de um Segmento

Esta aula destina-se ao estudo do ponto médio de um segmento de reta ou entre

dois pontos. Peça para que os alunos construam pontos médios como na figura

abaixo (o software possui esta função)

Deixe que os alunos façam várias construções. Indague sobre o que é necessário

para encontrar um ponto médio.

Defina formalmente ponto médio.

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Aula 6/8

Software Régua e Compasso

Atividades sobre Distância entre Dois Pontos. Esta é uma função também

disponível no software. Deixe que os alunos construam pontos livremente peça

para que descubram a distância entre eles (dois a dois) com o Régua e Compasso.

Defina a distância entre dois pontos.

Selecione pontos e peça para que os alunos calculem os pontos médios e as

distâncias entre os pontos sem usar o software. Depois solicite que façam as

construções no computador verificando as respostas dadas e fazendo a

representação geométrica.

Exercícios: Elabore uma lista de exercícios para ser resolvida em casa (ou utilize os

propostos no Livro Didático) com os novos conceitos elaborados nesta aula e na

anterior.

Aula 7/8

Utilize os minutos iniciais para corrigir os exercícios deixados na aula anterior.

Para esta aula prepare uma apresentação em power point, com base nas pesquisas

dos alunos, procure destacar aquilo que aparece com mais freqüência. Discuta

tanto os aspectos históricos quanto a aplicabilidade, acrescentando dados as

pesquisas quando necessário.

Proponha um debate na turma: divida-os em dois grupos – um defende que a

geometria analítica (pela sua aplicabilidade e importância, por exemplo), deve ser

estudada por eles, o outro nega tal afirmação (pela dificuldade, ou outros

argumentos). Escolha também um grupo para mediar o debate.

Aula 8/8

Avaliação e verificação dos objetivos

Para avaliar o desenvolvimento do projeto, proponha que os alunos escrevam um

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texto sobre os conceitos de Geometria Analítica estudados.

Referências Bibliográficas:

BARCELOS, Gilmara Teixeira; BATISTA, Silvia Cristina Freitas. Geometria

Dinâmica utilizando o Software Régua e Compasso. Disponível em:

http://www.es.cefetcampos.br/softmat/download/atividades1/apostila_ReC_2008_

1.pdf. Acesso em: 27 out 2009.

BARROS, D. M. V.; BRIGHENTI, M. J. L. Tecnologias da informação e comunicação

& formação de professores: tecendo algumas redes de conexão. In: RIVERO, C. M.

L.; GALLO, S. (orgs.). A formação de Professores na sociedade do

conhecimento. Bauru: EDUSC, 2004, p. 125-144.

Geometria analítica. Disponível em:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%Adtica. Acesso em: 27 out 2009.

IEZZI, Gelson, et al. Matemática: ciência e aplicações, 3° série, ensino médio. 2 ed.

São Paulo: Atual, 2004.

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Anexo 1

Geometria Analítica

Em 1637, o matemático e filósofo francês René Descartes publicou seu

grande trabalho O Discurso sobre o Método, em que são estabelecidas as bases

filosóficas de seu método para o estudo das ciências, o chamado método

cartesiano, até hoje presente na organização do conhecimento em muitas áreas. No

apêndice, Descartes ilustra o seu método apresentando a “Géométrie”, que foi o

passo inicial no estabelecimento de relações mais estreitas entre a Álgebra e a

Geometria. O trabalho contém uma teoria para equações algébrica associadas a

curvas planas – por exemplo, equações de segundo grau associadas a parábolas.

Alguns anos mais tarde, um outro matemático francês, Pierre Fermat,

publicou um trabalho onde também relacionou equações a retas, às curvas que

chamamos cônicas e a outras curvas até então pouco conhecidas. Tem-se registros

de que as idéias iniciais de Fermat sobre a Geometria Analítica são, na verdade,

anteriores ao trabalho de Descartes, mas esses registros só foram encontrados e

publicados em 1769, após a sua morte.

A Geometria Analítica trata, portanto, desde a sua origem, das relações

entre as equações algébricas e os objetos geométricos, buscando a simplificação

técnica dos problemas geométricos e a interpretação geométrica dos resultados

obtidos nos cálculos algébricos. Os cálculos e a descrição dos objetos geométricos

ficam mais simples com os recursos algébricos da teoria das matrizes associados

aos processos de resolução de equações.

As técnicas da Geometria Analítica desempenham um papel fundamental

ainda hoje, por exemplo, no desenvolvimento da Computação Gráfica. As telas dos

nossos computadores são modelos da estrutura do plano cartesiano com um

número finito de pontos, que é sempre mencionado quando escolhemos a

configuração da tela. Aumentando o número de pontos, melhoramos a qualidade da

imagem do monitor ou da impressão dessa imagem. Nas muitas utilizações de

recursos de imagens, como na tomografia ou na localização por satélite, essa

organização é fundamental para uma interpretação precisa dos resultados obtidos.

Geometria analítica. Disponível em:

http://www.cienciamao.if.usp.br/tudo/exibir.php?midia=pu&cod=_geometriaanaliti

ca. Acesso em 01 nov 2009.

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Anexo 2

Atividades com o Software Régua e Compasso

Atividade 1

1. Crie um ponto livre.

2. Crie um ponto livre com uma forma de apresentação diferente do ponto

criado no item anterior.

3. Apague os pontos que você criou.

4. Construa uma reta e marque alguns pontos pertencentes a ela.

5. Construa uma outra reta, escolhendo previamente uma cor e uma

“espessura” para a linha da construção, dentre as opções existentes.

6. Comece uma Nova Construção

7. Construa um segmento de reta, utilizando a ferramenta.Solicite que a

medida desse segmento apareça.

Atividade 2

1. Crie um ponto.

2. Trace duas retas diferentes passando por ele.

3. Crie outro ponto.

4. Construa o máximo de retas passando pelos dois pontos ao mesmo tempo.

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Anexo 3

Exercícios

1. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A (1,0), B(2,2), C(-

2,0), D(0,4), E (-2,4). Escreva, a seguir, o quadrante ou o eixo a que cada

um dos pontos pertence.

2. Situe no sistema de eixos cinco pontos que tenham a abscissa como metade

da respectiva ordenada.

3. Como podem ser representadas de uma forma geral, as coordenadas de um

ponto:

a) 3 unidades à esquerda do eixo y?

b) 4 unidades acima do eixo x?

c) 5 unidades abaixo do eixo das abscissas?

d) 2 unidades á direita do eixo das ordenadas?

4. Sabendo que o ponto P(k²-1, 1-2k) pertence ao segundo quadrante,

determine os possíveis valores de k.

5. A abscissa de p vale o dobro da ordenada de Q. Se Q está acima do eixo x

tanto quanto está à esquerda do eixo y e P dista 5 unidades do eixo das

ordenadas, quais são as coordenadas de Q?

6. A que distância da origem está o ponto (3,0)? E o ponto (0,2)?