Éograudeassociaçãoentreduasou viali/sociais/mat02214/material/laminaspi/... · 2 Prof. Lorí Viali,

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Prof. Lor Viali, Dr.Prof. Lor Viali, Dr.Prof. Lor Viali, Dr.Prof. Lor Viali, Dr.viali@mat.ufrgs.brviali@mat.ufrgs.brviali@mat.ufrgs.brviali@mat.ufrgs.br

http://www.mat.ufrgs.br/~viali/http://www.mat.ufrgs.br/~viali/http://www.mat.ufrgs.br/~viali/http://www.mat.ufrgs.br/~viali/Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

o grau de associao entre duas ou

mais variveis. Pode ser:

correlacionalcorrelacionalcorrelacionalcorrelacional

ou

experimentalexperimentalexperimentalexperimental.

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Numa relao experimental os valores de

uma das variveis so controlados.

No relacionamento correlacional, por

outro lado, no se tem nenhum controle sobre

as variveis sendo estudadas.

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O Estoque de Moeda (M1) est

relacionado com a variao dos preos.

Verifique se existe correlao entre o IPC

americano com a oferta monetria,

considerando dados do perodo de 1960 a

2003.

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Ano Y = M1 X = IPC1960 140,7 29,61961 145,2 29,91962 147,8 30,21963 153,3 30,61964 160,3 31,51965 167,8 32,4

... ... ...2000 1172,9 177,12002 1210,4 179,92003 1287,1 184,0

2

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O primeiro passo para determinar se

existe relacionamento entre as duas

variveis obter o diagramadiagramadiagramadiagrama dededede dispersodispersodispersodisperso

(scatter diagram).

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20

60

100

140

180

100 300 500 700 900 1100 1300

M1

IPC

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O diagrama de disperso fornece

uma ideia do tipo de relacionamento entre

as duas variveis. Neste caso, percebe-se

que existe um relacionamentorelacionamentorelacionamentorelacionamento linearlinearlinearlinear.

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Quando o relacionamento entre

duas variveis quantitativas for do tipo

linearlinearlinearlinear, ele pode ser medido atravs do:

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Observado um relacionamentorelacionamentorelacionamentorelacionamento linearlinearlinearlinear

entre as duas variveis possvel determinar

a intensidade deste relacionamento. O

coeficiente que mede este relacionamento

denominado de Coeficiente de Correlao

(linear).

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Quando se est trabalhando com amostras

o coeficiente de correlao indicado pela letra

rrrr e uma estimativa do coeficiente de

correlao populacional que representado por

(rho).

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Para determinar o coeficiente de

correlao (grau de relacionamento linear

entre duas variveis) vamos determinar

inicialmente a variao conjunta entre elas,

isto , a covarincia.

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A covarincia entre duas variveis X e Y,

representada por CovCovCovCov(X(X(X(X;;;; Y)Y)Y)Y) e calculada por:

1n

)YY)(XX()Y,X(Cov ii

=

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Mas

=

=+ =

=+ =

=+ =

=+ =

=

YXnYX

YXnYXnYXnYX

YXXYYXYX

YXYXYXYX

]YXYXYXYX[

)YY)(XX(

ii

ii

iiii

iiii

iiii

ii

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Ento:

1n

YXnYX

1n

)YY)(XX()Y,X(Cov

ii

ii

=

=

=

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A covarincia poderia ser utilizada

para medir o graugraugraugrau e o sinalsinalsinalsinal do

relacionamento entre as duas variveis, mas

ela difcil de interpretar por variar de - a

+. Assim mais conveniente utilizar o

coeficiente de correlao linear de Pearson

(momento produto).

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O coeficiente de correlao linear

(de Pearson) definido por:

SS

)Y,X(Cov r

YX

=

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Onde:

1nYnY S

1nXnX S

1n

YXnYX )Y,X(Cov

22i

Y

22i

X

ii

=

=

=

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Esta expresso no muito prtica para

calcular o coeficiente de correlao. Pode-se

obter uma expresso mais conveniente para o

clculo manual e o clculo de outras medidas

necessrias mais tarde.

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Tem-se:

( )( )

=

=

=

==

YnYXnX

YXnYX

1nYnY

1nXnX

1n

YXnYX

SS

)Y,X(Cov r

22i

22i

ii

22i

22i

ii

YX

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Fazendo:

S.S

S r :seTem

YnYS

XnXS

YXnYXS

YYXX

XY

22iYY

22iXX

iiXY

=

=

=

=Fa

z

e

n

d

0

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A vantagem do coeficiente de

correlao (de Pearson) ser adimensional e

variar de 1 a + 1, que o torna de fcil

interpretao.

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Assim se r = -1, temos uma

relacionamento linear negativo perfeito, isto ,

os pontos esto todos alinhados e quando X

aumenta Y decresce e vice-versa.

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0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

1r =

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Se r = +1, temos uma relacionamento

linear positivo perfeito, isto , os pontos

esto todos alinhados e quando X aumenta Y

tambm aumenta.

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0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

1r +=

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Assim se r = 0, temos uma ausncia de

relacionamento linear, isto , os pontos no

mostram alinhamento.

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0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

0r =

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Assim se 1 < r < 0, temos uma

relacionamento linear negativo, isto , os

pontos esto mais ou menos alinhados e

quando X aumenta Y decresce e vice-versa.

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0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

0r1

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Observada uma amostra de seis pares,

pode-se perceber que a correlao quase um,

isto , rrrr 1111. No entanto, observe o que ocorre

quando mais pontos so acrescentados, isto ,

quando se observa a populao!

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0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

r r r r 1111

0000

Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

Determinar o grau de relacionamento

linear entre as variveis X = ndice de

Preos ao Consumidor versus Y = Estoque de

Moeda, para os valores da Economia

Americana de 1960 a 2003.

Ano X Y XY X2 Y2

1960 140,7 29,6

1961 145,2 29,91962 147,8 30,21963 153,3 30,61964 160,3 31,51965 167,8 32,4

... ... ...2000 1172,9 177,12002 1210,4 179,92003 1287,1 184,0Total 25894,5 4102,9 3295760,69 21856837,21 503187,97

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Vamos calcular r utilizando a

expresso em destaque vista anteriormente,

isto , atravs das quantidades, SxY, SXX e

SYY.

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