Episdios de Equaes Diferenciais, 2014 - Tcnico e Equaes Diferenciais no IST/TagusPark. Nesta terceira iterao, decidi separar a anlise complexa das equaes diferenciais. Podero encontrar

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    EPISDIOS DE EQUAES DIFERENCIAIS,2014

    JOO PEDRO BOAVIDA

    http://web.tecnico.ulisboa.pt/joao.boavida/2014/ACED/

  • EPISDIOS DE EQUAES DIFERENCIAIS, 2014Copyright c 2014, Joo Pedro Boavida

    Este trabalho (tanto esta verso como a verso atual) pode ser encontrado emhttp://web.tecnico.ulisboa.pt/joao.boavida/2014/ACED/.

    Este trabalho licenciado sob uma Licena Creative Commons Atribuio-NoComercial-SemDerivados 3.0 Portugal. Para ver uma cpia desta licena,visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/pt/.

    http://web.tecnico.ulisboa.pt/joao.boavida/2014/ACED/http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/pt/

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    APRESENTAO

    Estes apontamentos foram sendo escritos ao longo dos semestres em que dei Anlise Com-plexa e Equaes Diferenciais no IST/TagusPark. Nesta terceira iterao, decidi separar aanlise complexa das equaes diferenciais. Podero encontrar informao atualizada emhttp://web.tecnico.ulisboa.pt/joao.boavida/2014/ACED/.

    Quis que o resultado final ficasse relativamente curto ( volta de 70 pginas para cadaassunto), pois fcil ser-se inundado com imensa informao e perder de vista as ideiascentrais. Assim, tentei evitar detalhes exagerados e deixei alguns tpicos para os exerccios(isto no significa que esses tpicos so menos importante; s significa que explicar os deta-lhes por escrito no ia acrescentar muito quilo que conseguiriam fazer sozinhos, seguindoos passos sugeridos).

    falta de melhor nome, chamei episdio a cada conjunto de apontamentos, corres-pondente a uma ou duas semanas de aulas. Tentei escrever informalmente, como se estivs-semos a conversar (da usar o plural da primeira pessoa). Como no um monlogo, comoa ideia que participem ativamente na viagem, deixei algumas perguntas e exerccios pelocaminho. Quando algum exerccio for inesperadamente exigente, eu assinalo-o com ?.

    Ao contrrio de anlise complexa (em que as ideias centrais so to surpreendentes quese justifica comear a explor-las desde logo, em vez de s as descobrir mesmo no final), emequaes diferenciais possvel comear a utilizar as concluses imediatamente. Em geral,a ordem lgica coincide com a ordem natural, e por isso eu vou normalmente segui-la.Os dois primeiros episdios so a nica exceo relevante: a ordem lgica seria comearpelas demonstraes no episdio 2, enquanto que a ordem mais intuitiva comear pelosexemplos no episdio 1.

    Nada do que aqui lerem original; estas ideias j estavam arrumadas, aproximadamenteno formato atual, h mais de meio sculo.

    UMA EQUAO DIFERENCIAL uma equao cuja incgnita uma funo y(t) e em que apa-recem derivadas de y . Por exemplo,

    y t y = 0

    uma equao diferencial de primeira ordem (a ordem a ordem da derivada mais altaque aparece). Substituindo, podemos verificar que y(t) = t2 no uma soluo, pois

    (t2) t (t2) 6= 0.

    Por outro lado, y(t) = 0 uma soluo, pois

    (0) t 0= 0.

    comum omitir a varivel dependente na equao (ou seja, escrever y em vez de y(t)). claro que isso no causa ambiguidade, pois o facto de escrevermos y sugere imediatamente

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  • que y depende da outra varivel, e no o contrrio. Por vezes, usamos a notao maisexplcita dy

    dt, para indicar claramente qual a varivel dependente e a varivel independente.

    Tambm distinguimos entre equaes diferenciais ordinrias (EDOs, as que s tm umavarivel independente) e as equaes diferenciais parciais (EDPs, as com mais que uma va-rivel independente, e que portanto envolvem derivadas parciais). Vamos trabalhar quases com EDOs; s no ltimo episdio que faremos alguma coisa com EDPs.

    A priori, no nada bvio como encontrar solues para uma equao diferencial. verdade que algumas equaes diferenciais podem ser resolvidas de forma relativamentesimples; para dar um exemplo extremo, podemos usar integrao para resolver

    y = t2, com y(0) = 2.

    Aqui, y(0) (ou y noutro ponto especfico, se for isso que temos) a condio inicial.Mas esse mtodo s raramente funciona. Por exemplo, no funciona com a equao

    x y 2y y + y = 0, y(0) = 3.

    O episdio 1 dedicado a vrias estratgias para resolver EDOs de primeira ordem. razovel querer um critrio simples para determinar a priori se uma EDO tem soluo,

    e se, fixada a condio inicial, a soluo nica. que em geral esperamos que, se doiscarros comeam a viagem lado a lado e as suas velocidades variam da mesma forma aolongo do tempo, ento deveriam continuar lado a lado ao longo de toda a viagem. Noepisdio 2 discutimos um critrio.

    Se tivermos um sistema como(

    x 1 = x2,

    x 2 =42x1+ 13x2,podemos escrev-lo na forma matricial

    x1x2

    =

    0 142 13

    A

    x1x2

    ,

    obtendo x = Ax. Imaginemos que x = Su uma mudana de varivel (exigimos emparticular que a matriz S seja invertvel), permitindo escrever Su = ASu. Se escolhermosJ = S1AS, temos SJ = AS, ou seja, a equao fica Su = SJu ou (multiplicando esquerdapor S1, de ambos os lados, e simplificando) u = Ju. Acontece que todas as matrizes tmuma forma cannica de Jordan J , para a qual u = Ju fcil de resolver. A partir dessasoluo u, podemos obter a soluo x = Su. No episdio 3 vamos discutir essas e outrasEDOs lineares em Rn.

    Uma EDO de ordem superior pode ser transformada numa EDO em Rn. Por exemplo,f 13 f + 42 f = 0 (a varivel independente continua a ser t) pode ser simulada usandox1 = f e x2 = f . O sistema fica ento(

    x 1 = f = x2,

    x 2 = f =42 f + 13 f =42x1+ 13x2,

    ou

    x1x2

    =

    0 142 13

    A

    x1x2

    .

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    Obtemos precisamente a mesma equao de h pouco, o que significa que os mtodos paraequaes lineares em Rn so suficientes para resolver equaes de ordem superior. Porm,raramente so convenientes, e por isso no episdio 4 vamos discutir outros mtodos, comespecial nfase no mtodo dos aniquiladores.

    Entre outras propriedades, a transformada de Laplace converte solues de EDOs deordem superior em funes no plano complexo com um nmero finito de polos, e possvelusar o teorema dos resduos para recuperar a funo original. Isto s por si no seria muitointeressante. O que interessante que a transformada converte equaes diferenciais emequaes algbricas, mais fceis de resolver. Vamos falar de tudo isto no episdio 5.

    Finalmente, imaginem que querem resolver esta equao diferencial parcial:

    u

    t= 2u

    x2,

    com 0 x 1 e t 0. Como que algum poderia resolver uma equao desse gnero?Na falta de outras ideias, uma opo tentar encontrar solues por tentativa e erro. Porexemplo, podemos substituir u(t, x) = T (t) X (x). Com algum cuidado, acabamos porconcluir que

    X (x) = C1 cos(kx) + C2 sin(kx), onde k Z.De facto, para as condies de fronteira (isto , condies para u ou u

    xem x = 0 e x = 1)

    que vamos considerar, possvel mostrar que a soluo geral da forma

    u(t, x) =

    k0ak(t) cos(kx) +

    k>0

    bk(t) sin(kx),

    onde as funes ak e bk podem ser obtidas (com as tcnicas dos episdios anteriores) apartir da condio inicial u(0, x). No episdio 6, vamos falar das sries de Fourier (isto ,sries semelhantes de u(t, x)) e algumas variantes, e aplic-las resoluo de algumasEDPs.

    Joo Pedro Boavida < . @ . . >a a i a e i i ao o o t o u s o tj b v d cn c l b p ,Departamento de Matemtica, Instituto Superior Tcnico,Universidade de Lisboa,Abril de 2014

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  • CONTEDO

    EPISDIO 1: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS . . . . 8

    (1.1) ALGUNS EXEMPLOS . . . 8

    (1.5) AS EQUAES SEPARVEIS . . . 10

    (1.11) EQUAES EXATAS. . . . 11

    (1.14) EQUAES REDUTVEIS A EXATAS. . . . 12

    (1.22) EQUAES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM. . . . 16

    (1.25) MUDANA DE VARIVEL. . . . 19

    (1.30) RESPOSTAS DE EXERCCIOS. . . . 20

    EPISDIO 2: EXISTNCIA DE SOLUES DE EDO . . . . 21

    (2.1) RETRATOS DE FASE. . . . 21

    (2.3) O TEOREMA DE PICARDLINDELF . . . 22

    (2.21) PROLONGAMENTO DE SOLUES. . . . 26

    (2.29) COMPARAO DE SOLUES. . . . 28

    (2.34) RESPOSTAS DE EXERCCIOS. . . . 29

    EPISDIO 3: EDO EM Rn E EXPONENCIAIS DE MATRIZES . . . . 30(3.1) EXPONENCIAL DE MATRIZES. . . . 31

    (3.3) A FRMULA DE VARIAO DAS CONSTANTES . . . 32

    (3.6) CLCULO DE eAt . . . . 33

    (3.18) A FORMA DE JORDAN DE UMA MATRIZ. . . . 37

    (3.26) COEFICIENTES NO CONSTANTES. . . . 46

    (3.31) RESPOSTAS DE EXERCCIOS. . . . 49

    EPISDIO 4: EQUAES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR . . . . . 50

    (4.5) DERIVADAS E ANIQUILADORES. . . . 51

    (4.12) O MTODO DOS ANIQUILADORES. . . . 53

    (4.18) COEFICIENTES NO CONSTANTES. . . . 55

    (4.22) RESPOSTAS DE EXERCCIOS. . . . 57

    EPISDIO 5: TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . 58

    (5.1) FUNES DEFINIDAS POR TROOS. . . . 58

    (5.5) A TRANSFORMADA DE LAPLACE. . . . 59

    (5.18) RE

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