Eq Diferenciais Ordinarias

Embed Size (px)

Text of Eq Diferenciais Ordinarias

EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS E APLICAES Aluno: Marcelo Luiz Freitas Fogal Orientador: Ernandes Rocha de Oliveira Ilha Solteira, 1999 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JLIO DE MESQUITA FILHO Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemtica UNESP - FEIS Estudo de EquaesDiferenciais Ordinrias 1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAJLIO DE MESQUITAFILHO Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemtica UNESP - FEISIntroduo Estetrabalhoconsistedeumestudodeequaesdiferenciais ordinrias e de seus mtodos de determinao de suas solues. bem conhecido que muitos fenmenos que interessam s Engenharias e outras cincias podem ser estudadasatravsdemodelosmatemticosnosquaisaparecemdemodo importanteequaesordinrias.Processoscontnuosqueenvolvamaanlisede taxa de variao, so geralmente descritos por meio da noo da derivada. Entende-setambmqueoestudodemodelosmatemticossimples,pormsignificativos, permite ao iniciante na matria compreender melhor o poder e o limite dos mtodos matemticosutilizados,almdissotaismodelospodemservircomoumprimeiro passo na busca de formao matemtica necessria para que se possa desenvolver uma confiana na formulao e explorao de novos modelos. Estudo de EquaesDiferenciais Ordinrias 2 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAJLIO DE MESQUITAFILHO Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemtica UNESP - FEISObjetivos Oobjetivoprincipaldestetrabalhoodeestudar,tantodopontode vistaqualitativo,quantodopontodevistaquantitativo,asprincipaisclassesde equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem e as de segunda ordem lineares, alm de alguns problemas significativos modelados por tais equaes. A execuo deste trabalho dever proporcionar uma experincia inicial com a teoria de equaes diferenciais ordinrias, modelagem matemtica e o uso de um software para realizar simulaes e visualizao de solues. Estudo de EquaesDiferenciais Ordinrias 3 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAJLIO DE MESQUITAFILHO Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemtica UNESP - FEISObservaes Histricas Odesenvolvimentodasequaesdiferenciaisestdiretamenteligado comodesenvolvimentodamatemtica.Afimdeseterumacertaperspectiva histrica,vamostraaralgumastendnciasprincipaisnahistriadoproblemae identificar as personalidades contribuidoras mais eminentes. OestudodasEDO'sinaugurou-senoinciodoclculo,comIsaac Newton(1642-1727)eLeibniz(1646-1716),nosculoXVII.EmboraNewtontenha trabalhadorelativamentepouconocampodasequaesdiferenciais,o desenvolvimento que proporcionou ao clculo e elucidao dos princpios bsicos da mecnica construram a base para as aplicaes que se fizeram no sculo XVIII, por Euler. Newton classificou as equaes diferenciais de primeira ordem de acordo como as formas dy/dx = f(x), dy/dx = f(y) e dy/dx = f(x,y). Leibnizchegouaosresultadosfundamentaisdoclculoporvia independente,emboraumpoucoposterioraNewton,masfoioprimeiroapublic-los,em1684.Leibniztinhaplenaconscinciadopoderdeumaboanotao matemticaeanotaoqueusamosparaaderivada(dy/dx),eparaaintegrao, foramintroduzidasporele.Descobriuomtododeseparaodasvariveisem 1691,areduodeequaeshomogneaseequaesseparveis,eo procedimento de resoluo de equaes lineares de primeira ordem em 1694. OsirmosJakob(1654-1705)eJohann(1667-1748)Bernoulli, contriburammuitoparaodesenvolvimentodemtodosderesoluodeequaes diferenciais e para ampliar o campo de aplicao destas equaes. Com o auxlio do clculo formularam como equaes diferenciais muitos problemas de mecnica e os resolveram. Por exemplo, Jakob Bernoulli resolveu a equao diferencial y = [a/(by -a)]em1690e,nomesmoartigousoupelaprimeiravezotermo"integral"no sentidomoderno.Em1694,JohannBernoulliresolveuaequaody/dx=y/ax, embora no se soubesse na poca, que d(ln x) = dx/x. Eulerteveespecialinteressenaformulaodeproblemasde mecnica em linguagem matemtica e o desenvolvimento de mtodos de resoluo destesproblemasmatemticos,identificouacondiodeexatidodasequaes diferenciaisdeprimeiraordemem1734-1735,desenvolveuateoriadosfatoresde Estudo de EquaesDiferenciais Ordinrias 4 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAJLIO DE MESQUITAFILHO Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemtica UNESP - FEISintegrao e apresentou a soluo geral das equaes lineares com os coeficientes constantes em 1743. Noquesereferesequaesdiferenciaiselementares,Joseph-Louis Lagrange(1736-1813)mostrouem1762-1765queasoluodeumaequao diferencialhomogneadeordemnumacombinaolineardensolues independentes.Depois,em1774-1775,publicouodesenvolvimentocompletodo mtododavariaodeparmetros.Lagrangetambmconhecidopeloseu tratamentofundamentalnasequaesdiferenciaisparciaisenoclculodas variaes. AequaodeLaplacefundamentalemmuitosramosdafsica matemtica,ePierre-SimondeLaplaceestudou-aprofundamenteemsuas investigaes daatraogravitacional. A transformadade Laplace tambm recebeu onomeemsuahomenagem,emborasuautilidadeparaasoluodeequaes diferenciais s tenha sido reconhecida muito mais tarde. As diversas equaes diferenciais que resistiram resoluo por meios analticos levaram investigao de mtodos numricos de aproximao. Na altura de1900,mtodosdeintegraonumrica,muitoeficientes,jtinhamsido elaborados,masaimplementaodestesmtodosestavaseveramenterestringida pelanecessidadedeexecuodeclculosmanuaisoucomequipamentode computaomuitoprimitivo.Nosltimoscinqentaanos,odesenvolvimentode computadorescadavezmaispoderososeversteisampliouagamadeproblemas que podem ser investigados com eficincia por meio de mtodos numricos. Durante omesmoperodo,desenvolveram-seintegradoresnumricosmuitorefinadose robustos, que se encontram em todos os centros de computao cientfica. Umaoutra caractersticadasequaesdiferenciaisnosculoXXfoia criaodemtodosgeomtricosoutopolgicos,especialmenteparaasequaes no-lineares.Assim,emboraasequaesdiferenciaissejamumtemaantigo,a respeitodoqualsejagrandeoconhecimento,tornou-senofinaldosculoXXuma fonte de problemas fascinantes e importantes, ainda no resolvidos. Estudo de EquaesDiferenciais Ordinrias 5 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAJLIO DE MESQUITAFILHO Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemtica UNESP - FEISClassificao das EDO's Muitosproblemassignificativosdaengenharia,dascinciasfsicase das cincias sociais, formulados em termos matemticos, exigem a determinao de umafunoqueobedeceaumaequaoquecontmumaoumaisderivadasda funo desconhecida. Estas equaes so equaes diferenciais. Temosasequaesdiferenciaisordinriaseequaesdiferenciais parciais. Uma das classificaes se baseia em a funo desconhecida depender de umasvariveloudediversasvariveis.Noprimeirocaso,naequaodiferencial s aparecem derivadas ordinrias e a equao uma equao diferencial ordinria. No segundo caso, as derivadas so derivadas parciais, e a equao uma equao diferencial parcial. Como um exemplo para equaes diferenciais ordinrias, temos: ) () (t KRdtt dR = ,ondeKumaconstanteconhecida.Umexemplos tpico de equao diferencial parcial a equao do potencial: 0) , ( ) , (2222= +dyy x u ddxy x u d A equao do potencial aparece em muitosproblemasdeeletricidade e magnetismo. Sistemasdeequaesdiferenciaisumaoutraclassificaoque depende do nmero de funes desconhecidas que esto envolvidas. Quando forem duas ou mais as funes desconhecidas, necessrio ter um sistema de equaes. Aordemdeumaequaodiferencialaordemdederivadademaior ordemqueaparecenaequao.Deumaformamaisgeral,aequaoF[t,u(t), u(t),,u(n)(t)]=0umaequaodiferencialdeordemn.Estaequaopodeser escrita como F(t, y, y,, y(n)) = 0. Por exemplo, y + 2ety + yy = t4 uma equao diferencial de terceira ordem em y = u(t). Admitindo-se que sempre possvel resolver uma dada equao diferencialordinrianaderivadadeordemmaiselevadaetery(n)= f(t,y,y,y,, y(n-1)). Uma soluo desta equao no intervalo r=dsolve('Dr+3*r=t+exp(-2*t)','r(0)=0')%encontraasoluodaedo que em t=0 vale 0 =>figure (2), ezplot(r,[0 , 10]) =>figure(2),plot(x,y,'r')%plota na cor vermelha (red) Exemplo 1 Determine a soluo do problema de valor inicialEstudo de EquaesDiferenciais Ordinrias 26 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAJLIO DE MESQUITAFILHO Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemtica UNESP - FEISy'-y/2=exp(-t) y(0)=-1 y1=dsolve('Dy-y/2=exp(-t)','y(0)=-1'); y2=dsolve('Dy-y/2=exp(-t)','y(0)=1'); y3=dsolve('Dy-y/2=exp(-t)','y(0)=1/2'); y4=dsolve('Dy-y/2=exp(-t)','y(0)=0'); y5=dsolve('Dy-y/2=exp(-t)','y(0)=-1/2'); y6=dsolve('Dy-y/2=exp(-t)','y(0)=-2'); ezplot(y1) hold on ezplot(y2) ezplot(y3) ezplot(y4) ezplot(y5) ezplot(y6) axis([0 5 -4 4])%Define a variao dos eixos grid on hold off Exemplo 2 Achar a soluo do problema de valor inicial y'+2ty=t,y(0)=0 Plotar tambm o campo de direes para a equao. y=dsolve('Dy+2*t*y=t','y(0)=0') ezplot(y,[-1,4]) grid on dfield5 %campo de direes Dfield5,foiumprogramaencontradonaInternet.umexcelente programa para visualizar campos de direes. Estudo de EquaesDiferenciais Ordinrias 27 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAJLIO DE MESQUITAFILHO Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemtica UNESP - FEISEquaes de Variveis Separveis Podemos usar x em vez de t para designar a varivel independente de umaequaodiferencial,istoparasermaisconveniente.Nestecaso,aequao geral de primeira ordem assume a forma ) , ( y x fdxdy=Se esta equao no-linear, ou seja, se f no uma funo linear de varivel dependente y, no existe um mtodo geral para resolver a equao. Primeiramente, reescrevemos a equao) , ( y x fdxdy=na forma 0 ) , ( ) , ( = +dxdyy x N y x M ,podemosconseguirissofazendoM(x,y)=- f(x,y)eN(x,y)=1.CasoMsejaumafunoapenasdexeNsejaumafuno apenas de y, a equao0 ) , ( ) , ( = +dxdyy x N y x Mse torna 0 ) ( ) ( = +dxdyy N x M ,essaequaoditaseparvelpoispodeser escritanaformadiferencial0 ) ( ) ( = + dy y N dx x M .Estaformatambmmais simtricaetendediminuirasdiferenasentreasvariveisdependentese independentes. Exemplo: Resolver o problema de valor inicial ) 1 ( 22 4 32+ +=yx xdxdy,1 ) 0 ( = yInicialmente escrevemos a equao na formadx x x dy y ) 2 4 3 ( ) 1 ( 22+ + = ,agoraintegrandooprimeiromembroem relao a y e o segundo membro em relao a x, temos: c x x x y y + + + = 2 2 22 3 2,deformaquecumaconstantearbitrria. Fazendo x = 0 e y = -1, isto para satisfazer a condio inicial, t