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8/19/2019 Equação diferencial parcial: equação de fourier
1/18
EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIALEQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL
PROBLEMA UNIDIMENSIONAL TRANSIENTE
B
A
T L xt T
T xt T
T xt T dx
T d K
dt
dT c
==
==
==
=
),(
)0,(
),0( 0
2
2
ρ
Condição inicial
Condições de contorno
?),( = xt T
0T
x
t
BT
AT
0=t
t t ∆=
( ) t jt ∆1−=
1= j
2= j
j
1 2 1−i i 1− N N 1+i
jiT ,
jiT ,
Ponto i Tempo j
8/19/2019 Equação diferencial parcial: equação de fourier
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Discretização no espaço:2
11
2
22
x
T T T
x
T iii
i ∆
−+ +−
≈∂
∂
Equação diferencial deve ser satisfeita em todos os pontos i :
B N
A
iiii
T T T T
N i x
T T T
c
k
dt
dT
=
=
−=+−
= −+
1
2
11 1,,2;2
Κ∆ ρ
Uma vez discretizada as derivadas em relação a x, obtém-se umsistema de equações diferenciais ordinárias em t (prob. de valor inicial):
=
+−=
+−=
=
B N
A
T T
x
T T T
c
k
dt
dT
x
T T T
c
k
dt
dT
T T
Μ
2
2343
2
1232
1
2
2
∆ ρ
∆ ρ
)(,,)(,)( 21 t T t T t T N Κ
Incógnitas do problema:
8/19/2019 Equação diferencial parcial: equação de fourier
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Método Explícito jiT ,
Ponto i Tempo j
1,,2;2
2
,1,,1,11,−=
+−=
−≈
−++ N i
x
T T T
c
k
t
T T
dt
dT ji ji ji j jiiΚ
∆ ρ ∆
Lado direito da EDO avaliada no instante anterior
[ ] 1,,2;2,1,,12,1,
−=+−+=−++
N iT T T
c
k
x
t T T ji ji ji ji ji Κ
ρ ∆
∆
Quando um método explícito é usado, as temperaturas em todos os pontos i
no intante j+1 são calculadas diretamente em função das temperaturas nos
pontos i no instante j, conhecidas.
O método de Euler explícito é instável se 2
22
1
2
1 x
c
k t
c
k
x
t ∆
ρ ∆
ρ ∆
∆>⇒>
O passo de tempo tem que ser muito pequeno e função da discretização em x
8/19/2019 Equação diferencial parcial: equação de fourier
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B
A
T L xt T
T xt T
T xt T
dxT d K
dt dT c
==
==
==
=
),(
)0,(
),0( 0
2
2
ρ
Exemplo usando Excel:
1;2;0
1.0;1;1
0 ===
===
B A T T T
x Lc
k ∆
ρ
[ ] 1,,2;2 ,1,,12,1, −=+−+= −++ N iT T T ck
x
t T T ji ji ji ji ji Κ
ρ ∆
∆
Planilha do
Microsoft Excel
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2
11
01.0;1.0;1
2 >=
===
c
k
x
t
t xc
k
ρ ∆
∆
∆∆ ρ
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
T
t = 0
t=0.03
t=0.05
2
1
005.0;1.0;1
2 =
===
c
k
x
t
t xc
k
ρ ∆
∆
∆∆ ρ
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
T
t = 0
t=0.15
t=0.025
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0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
T
t = 0
t=0.15
t=0.025
t=0.1
t=0.15
t=0.4
Solução em regime permanente
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Método Implícito jiT ,
Ponto i Tempo j
1,,2;2
2
1,11,1,1,1,−=
+−=
−≈
+−++++ N i
x
T T T
c
k
t
T T
dt
dT ji ji ji ji jiiΚ
∆ ρ ∆
Lado direito da EDO avaliada no instante atual
Conhecida as temperaturas no instante j,
deseja-se determinar as temperaturas no instante j+1.
B j N
ji ji ji ji
A j
T T
N i
T
t
T
xc
k T
xc
k
t
T
xc
k
T T
=
−=
=
−+
++
−
=
+
+−+++
+
1,
,1,121,21,12
1,1
1,,2
;11211
Κ
∆∆ ρ ∆ ρ ∆∆ ρ
Sistema de equações linear.
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Para cada instante de tempo, deve-se resolver um sistema de equações linear.
f x A =
Função das temperaturas no instante anterior
Vetor com as temperaturas em todos os nós no instante atual.
Matriz dos coeficientes
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PROBLEMA BIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE
0),(
)0,(
),(
),0(
02
2
2
2
==
∂
∂
==
==
==
=∂
∂+
∂
∂
L y x y
T
T y xT
T y L xT
T y xT
y
T
x
T
C
B
A
Parede isolada
AT BT
C T
?),( = y xT
i 1+i1−i
j1+ j
1− j
jiT ,
Coord x Coord y
Nx1=i
Ny
1= j
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),( ji
)1,( + ji
),1( ji − ),1( ji +
)1,( − ji2
1,,1,
,
2
2
2
,1,,1
,
2
2
2
2
y
T T T
y
T
x
T T T
x
T
ji ji ji
ji
ji ji ji
ji
∆
∆
−+
−+
+−≈
∂
∂
+−≈
∂
∂
Equação algébrica resultante no ponto (i,,j) :
011
21111
,221,21,2,12,12 =
+−
+
+
+
−+−+ ji ji ji ji ji T
y x
T
y
T
y
T
x
T
x ∆∆∆∆∆∆
1,21,,2
−=−=
Ny j Nxi
ΚΚ
Condições de contorno:
1,,2;0
1,,2;
,,1;,,1;
1,,
1,
,
,1
−==−
−==
====
− NxiT T
NxiT T
Ny jT T Ny jT T
Nyi Nyi
C i
B j Nx
A j
Κ
Κ
ΚΚ
8/19/2019 Equação diferencial parcial: equação de fourier
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As equações algébricas devem ser escritas em forma matricial
f x A =
Termo independente
Vetor com as temperaturas em todos os nós.
Matriz dos coeficientes
=
=
==
=
× Ny Nx Ny Nx T T
T T
T T T T
x
,
3,13
2,12
1,11
Μ
As incógnitas do problema devem ser numeradas de forma sequencialpara escrevermos o sistema de equações em forma matrical.
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1
2
5
4
3
6
7
10
9
8
21
22
25
24
23
Exemplo de uma numeração sequencial:
Ny Nx Ny Nx
ji j Nyi
Ny
Ny Ny
T T
T T
T T
T T
T T
T T
,
,)1(
1,21
,1
2,12
1,11
=
=
=
=
=
=
×
+×−
+
Μ
Μ
Μ
13
Seguindo esta regra, a numeração sequencial do nó (i,j) é dada por:
),( ji
i-1 colunas de nós a esquerda do nó (i,j) ; cada coluna possui Ny nós:
{ j Nyi ji +×−⇒
434 21 )1(),(
Número de nós nas colunas anteriores Número de nós na coluna i
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Equação relativa ao nó # 8:
0
11
2
1111
011
21111
822729232132
3,2222,224,223,123,32
=
+−
+
+
+
=
+−
+
+
+
T y xT yT yT xT x
T y x
T y
T y
T x
T x
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
3,28 T T ⇔
0000000000
251413121110987654321
Κ
Κ
A BC B A
= ALinha 8
Matrix é pentadiagonal
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18/18
0
0. 5
1
1. 5
2
0
0. 5
1
1. 5
2
-5
0
5
10
15
20
25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0. 2
0. 4
0. 6
0. 8
1
1. 2
1. 4
1. 6
1. 8
2
0),(
0)0,(
20),(
10),0(
==∂
∂===
===
===
L y x y
T T y xT
T y L xT
T y xT
C
B
A
Gráfico de iso-linhas contourf
Gráfico 3D - superfície surf