Equação Dos 3M

VIGAS CONTÍNUAS

�EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANI SMO

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

�EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS

Para EI constante por trechos

Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira

2015

Equação dos três momentos

Conceitos preliminares

1) Deslocamento ampliado (não tem significado físico)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Adota-se para o problema uma constante arbitrária EcIc


δ = EC·IC· δ�

Deslocamento DeslocamentoAmpliado Verdadeiro


Obs → Só para ficar mais cômodo as contas....


2) Vão reduzido, ou comprimento fictício ou

índice de flexibilidade ( Lk´ )(não tem significado físico – puramente

matemático)matemático)


Lk´=

Ec·IcEIK

·Lk


Onde:Lk → Comprimento verdadeiro de uma barra qualquer k

EIk → Produto de rigidez de uma qualquer k


EIk → Produto de rigidez de uma qualquer k

EcIc → Produto de rigidez arbitrário adotado


3) Fatores de carga

É uma entidade puramente matemática (uma relação entre os fatores de forma)

Relacionada com o carregamento sobre a barra.


Equação dos três momentosEquação dos três momentos



A equação dos três momentos é uma especialização da aplicação do processo dos

esforços em vigas contínuas, adotando-se como esforços em vigas contínuas, adotando-se como incógnitas os momentos sobre os apoios




Para EI constante por trechos

Roteiro de cálculo

a) Determine o Grau de hiperestaticidade da viga → GH

b) Numeração das barras e nós



• O nó começa a numerar à partir do zero

• A barra começa a numerar à partir do um



c) Equação dos 3M para EI constante por trechos (aplicar n vezes, onde n=GH)


L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)


Para um estrutura GH=1

L’ M + 2(L’ +L’ )M + L’ M = - (DL’ + E L’ )


L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’1M 1-1+2(L’

1+L’1+1)M 1+L’

1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L

’1+1)

Aplica-se a equação 3M uma vez → i = 1

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2)



L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)


L i M i-1 + 2(L i+L i+1)M i + L i+1M i+1 = - (DiL i + Ei+1L i+1)

L’1M 1-1+2(L’

1+L’1+1)M 1+L’

1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L

’1+1)

Aplica-se a equação 3M DUAS vezes → i = 1

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2)


→ i = 2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )


L’2M 2-1+2(L’

2+L’2+1)M 2+L’

2+1M 2+1= - (D2L’2+E2+1L

’2+1)

L’2M 1+2(L’

2+L’3)M 2+L’

3M 3= - (D2L’2+E3L

’3)



L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)


L i M i-1 + 2(L i+L i+1)M i + L i+1M i+1 = - (DiL i + Ei+1L i+1)

L’1M 1-1+2(L’

1+L’1+1)M 1+L’

1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L

’1+1)

Aplica-se a equação 3M TRÊS vezes → i = 1

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2)


→ i = 2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )


L’2M 2-1+2(L’

2+L’2+1)M 2+L’

2+1M 2+1= - (D2L’2+E2+1L

’2+1)

L’2M 1+2(L’

2+L’3)M 2+L’

3M 3= - (D2L’2+E3L

’3)


→ i = 3

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )


L’3M 3-1+2(L’

3+L’3+1)M 3+L’

3+1M 3+1= - (D3L’3+E3+1L

’3+1)

L’3M 2+2(L’

3+L’4)M 3+L’

4M 4= - (D3L’3+E4L

’4)

Equação dos três momentosGeneralizando:

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2) → i = 1

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ ) → i = 2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)


L’2M 1+2(L’

2+L’3)M 2+L’

3M 3= - (D2L’2+E3L

’3) → i = 2

L’3M 2+2(L’

3+L’4)M 3+L’

4M 4= - (D3L’3+E4L

’4) → i = 3

L’4M 3+2(L’

4+L’5)M 4+L’

5M 5= - (D4L’4+E5L

’5) → i = 4


d) Defina os momentos fletores

•Mo → Momento no nó zero;

•M1 → Momento no nó um;

•M2 → Momento no nó dois;•M2 → Momento no nó dois;

•M3 → Momento no nó três;

•M4 → Momento no nó quatro;

Assim por diante...





e) Vão Reduzido => Adotar E cIc

Lk´=

Ec·Ic·Lk


Lk´= c c

EIK·Lk


f) Fatores de carga → Tabelado

g) Solução da equação dos 3M

h) Traçado dos diagramas M, V e Nh) Traçado dos diagramas M, V e N



Casos especiais1) BalançoO momento no balanço é conhecido, pois

ele é isostático.


ele é isostático.

Portanto, tira-se o balanço e coloca-se suas reações no nó a que ele pertence.




Convenção usual de sinais para momento fletor:

�Quando a tração for nas fibras de baixo o �Quando a tração for nas fibras de baixo o momento é positivo

�Quando a tração for nas fibras de cima o momento é negativo



2) Apoio de extremidade engastadoPara efeito de cálculo o engastamento deve

ser substituído por um tramo adicional bi-apoiado.


bi-apoiado.No equacionamento o comprimento desse

tramo fictício deve tender a zero.Desse modo, a viga real e a viga de cálculo

terão a mesma elástica e, portanto, os mesmos esforços.




Mesma elástica



3) Momento concentrado aplicado sobre um apoio intermediário

Para efeito de cálculo, deve-se escorregar


Para efeito de cálculo, deve-se escorregar M* para o tramo da direita ou para o tramo da esquerda.



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