EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

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    2. EQUAES DE DIFERENAS E EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS

    Equaes de diferenas e equaes diferenciais ordinrias representam uma verstil ferramenta para a anlise de sistemas dinmicos,

    Possuem uma grande riqueza terica e uma excelente representao de muitos

    sistemas dinmicos,

    Por enquanto, ser abordado apenas o caso uni-varivel, entretanto, a teoria associada fornece subsdios bsicos para uma teoria mais geral envolvendo sistemas multi-variveis.

    2.1 Equaes de diferenas Suponha uma varivel y(k) de um sistema dinmico representado uma sequencia de pontos representados de maneira discreta e equiespaadas no tempo indexado por k. Esta varivel y(k) representa um nmero real associado com cada um destes pontos. Uma equao de diferenas permite a relao do valor y(k), no instante k, com outros pontos, usualmente na vizinhana de y(k). Exemplos de equaes de diferenas:

    )()1( kayky ,2,1,0k (2.1)

    )1()(21)1()2( kykykaykky ,2,1,0k (2.2)

    A ordem de uma equao de diferenas definida pela diferena entre o maior e o menor ndice que aparecem na equao. Uma equao de diferenas linear possui a seguinte forma,

    )()()()1()()1()()()( 011 kgkykakykankykankyka nn (2.3) onde os termos skan

    ')( so os coeficientes (ou parmetros) da equao a diferenas. Se eles no dependem de k, so chamados invariantes no tempo e )(kg denota o termo fora ou simplesmente lado direito. Solues Uma soluo de uma equao de diferenas uma funo )(ky que reduz a equao (2.3) a uma identidade. Exemplo 1- Seja a seguinte equao de diferenas )()1( kayky para

    2,1,0k , a soluo desta equao ,

    kCaky )(

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    onde C uma constante. Para mostrar que kCaky )( realmente a soluo da equao acima, basta substituir como,

    11 kkk CaaCaCa (identidade) Exemplo 2 Seja a seguinte equao de diferenas 1)()1()1( kkykyk para

    2,1,0k , a soluo para tal equao a seguinte,

    kAky 1)(

    sendo A uma constante. Basta substituir a soluo na equao a diferenas acima para comprovar a identidade.

    Exemplo 3 A equao de diferenas no linear )(1

    )()1(ky

    kyky

    possui a seguinte

    soluo,

    AkAky

    1)(

    sendo A uma constante. Substitua e comprove que a soluo acima realmente procede. Exemplo 4 A equao a diferenas no linear 1)()1( 22 kyky por sua vez no possui soluo. 2.2 Teoremas da Existncia e Unicidade das Solues

    Como com qualquer conjunto de equaes, uma equao de diferenas no necessariamente pode possuir uma soluo, e se ela possuir, tal soluo pode no ser nica. Ser abordado agora a um exame geral das questes da existncia e unicidade das solues das equaes de diferenas. Condies Iniciais: representa uma caracterstica essencial de uma equao de diferenas. Exemplo: Seja a seguinte equao de diferenas )(2)1( kyky . Ento, para 1,0k

    )1(2)2()0(2)1(

    yyyy

    tem-se duas equaes para trs incgnitas, )0(y )1(y e )2(y .

    Agora para 2,1,0k tem-se,

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    )2(2)3()1(2)2()0(2)1(

    yyyyyy

    tem-se agora trs equaes para quatro incgnitas.

    De maneira geral, existe n incgnitas a mais que equaes, sendo n a ordem da equao de diferenas. Para especificar os primeiros n valores de y(k), so usadas as condies iniciais )0(y , )1(y , ..., )1( ny . Exemplo5: Equao de diferenas linear de primeira ordem.

    )()1( kayky A soluo da equao acima kaCky )( , impondo a condio inicial

    0)0( yy para 0k na soluo, implica que Cy 0 , logo,

    kayky 0)( Exemplo 6: Mostre que a equao a diferenas linear de segunda ordem )()2( kyky com condies iniciais )0(y e )1(y possui a seguinte soluo,

    2

    )1()0()1(2

    )1()0()( yyyyky k

    Teorema da Existncia e Unicidade das Solues Seja uma equao de diferenas da forma,

    0),(,),1()( kkynkyfnky (2.4) onde f uma funo real arbitrria, definida sobre uma seqncia finita ou infinita de valores consecutivos de k. A equao possui uma e apenas uma soluo correspondente para cada especificao arbitrria de n condies iniciais )( 0ky , )1( 0 ky ,...,

    )1( 0 nky . 2.3 Equaes de Diferenas de Primeira Ordem Seja a equao de diferenas de primeira ordem,

    bkayky )()1( (2.5) onde a um coeficiente constante e b chamado termo fora. A equao acima pode ser usada em muitas situaes como: juros e amortizaes, modelos populacionais, modelo de oferta e procura, etc. Seja a seguinte condio inicial Cy )0( . Vai-se usar o mtodo recursivo para obter a soluo de (2.5). Substituindo diversos valores de k em (2.5), obtm o seguinte,

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    Cy )0(

    baCbayy )0()1( babCabayy 2)1()2(

    babbaCabayy 23)2()3( Assim, continuando com o procedimento acima, obtm-se a forma geral da soluo de (2.5) como,

    baaaCaky kkk 1)( 21 (2.6)

    Mas a

    aaaak

    kk

    1

    1121 , logo a equao acima se reduz a,

    baaCaky

    kk

    1

    1)(

    Para 1a implica que kbCky )( . Para 1a implica que baaCaky

    kk

    11)( .

    2.4 Modelo de Oferta e Procura Trata-se de um modelo de oferta e procura. Seja d uma varivel que representa a demanda, s a oferta e p o preo de certa mercadoria.

    A dependncia da demanda com o preo d(p), do ponto de vista do consumidor a seguinte,

    apdpd 0)( (2.7) onde 0d e a so constantes maiores que zero. Isto , a quantidade de mercadorias comprada pelos consumidores decresce quando o preo aumenta. A dependncia da oferta com o preo s(p), do ponto de vista do produtor, pode ser modelada pela como,

    bpsps 0)( (2.8) onde 0s uma constante positiva ou negativa e b uma constante positiva. Isto , a oferta aumenta com o preo pelo produtor. A Figura 1 mostra um grfico tpico de oferta e procura usando as equaes (2.7) e (2.8). Neste caso foram usados os seguintes parmetros 100000 d , 120a ,

    1000 s , 70b , sendo que o preo mximo do bem assumido igual a 100 unidades financeiras.

    A condio de equilbrio sugere que a oferta seja igual a procura. O preo nesta condio de equilbrio chamado preo de equilbrio.

    Seja que no instante k exista um preo p(k). O produtor baseia sua produo futura no instante k+1 como,

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    )()1( 0 kbpsks

    A procura no instante k+1 por sua vez o seguinte,

    )1()1( 0 kapdkd

    Impondo a condio de equilbrio para o instante k+1, isto )1()1( kskd , obtm o seguinte,

    )1()( 00 kapdkbps

    ou

    asdkp

    abkp 00)()1( (2.9)

    Figura 1 Grfico da oferta e procura de um bem. O preo de equilbrio obtido impondo a seguinte condio )1()( kpkp , que resulta em,

    basdkp

    00)( (2.10)

    A soluo geral para (2.9) a seguinte,

    )(1)0()( 00 sdbaabp

    abkp

    kk

    (2.11)

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    Se ab , para k , .)( eqpkp . A Figura 2 mostra uma situao onde o preo converge para um valor de equilbrio usando a Equao (2.11), para uma condio inicial 90)0( p unidades financeiras. Os dados para a realizao desta simulao foram os mesmos usados para gerar as curvas de oferta e procura da Figura (1). O cdigo usado (em Matlab) apresentado tambm. Compare que o preo de equilbrio pode ser verificado tambm pela Figura (1).

    Por outro lado, se ab , )(kp diverge.

    Figura 2 Evoluo temporal de preo.

    clear all clc d0=input('de o valor de d0 procura inicial '); a=input('de o valor do parametro a '); s0=input('de o valor de s0 oferta inicial '); b=input('de o valor do parametro b '); pmax=input('de o valor do preo maximo '); p0=input('de o valor do preo inicial do bem '); N=input('de o nuero de pontos para os graficos de oferta e procura '); dp=pmax/N; for i=1:N p(i)=dp*(i-1); d(i)=d0-a*p(i); s(i)=s0+b*p(i); end Np=input('de o numero de pontos para curva do preo de equilibrio '); for k=1:Np P(k)=(-b/a)^k*p0+((1-(-b/a)^k)/(a+b))*(d0-s0); index(k)=k; end figure(1) plot(p,d,p,s)

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    xlabel('preo') ylabel('oferta e procura') legend('demenda','oferta') grid figure(2) plot(index,P) xlabel('instante k') ylabel('preo') grid 2.5 Equaes de Diferenas Lineares At aqui foi considerado apenas o mtodo recursivo para resolver as equaes de diferenas. Este assunto ser tratado de maneira mais sistemtica a partir deste ponto. Uma equao de diferenas linear com parmetros variantes no tempo possui a seguinte forma,

    )()()()1()()1()()()( 011 kgkykakykankykankyka nn (2.12)

    Expresses analticas para as solues, Mesmo quando tais solues no so obtidas, a teoria de equaes de diferenas

    lineares fornece importantes informaes estruturais. Tais informaes sero apresentadas em termos de teoremas que seguem.

    A Equao Homognea Se o termo 0)( kg para qualquer instante k, ento a equao (2.12) chamada homognea. Se 0)( kg para algum k, ento (2.12) no homognea. A equao de diferenas homognea associada a (2.12) , portanto,

    0)()()1()()1()()()( 011 kykakykankykankyka nn (2.13) A equao homognea desempenha um papel fundamental na especificao das solues para a equao no homognea. Teorema 1: Seja )(ky uma dada soluo para equao (2.12). Ento a coleo de todas as solues desta equao a coleo de todas as funes da forma, )()()( kzkyky onde z(k) uma soluo da correspondente homognea associada com (2.13). Demonstrao do teorema, vide Luenberger. Exemplo 7: Considere a equao de diferenas linear com parmetros variantes com o tempo,

    1)()1()1( kkykyk 1k

    Por inspeo uma soluo para esta equao de diferenas 1)( ky .

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    A homognea associada obtida anulando o lado direito (ou termo fora) como,

    0)()1()1( kkzkzk cuja soluo possui a seguinte forma,

    kAkz )( Assim, com base no Teorema 1, a soluo geral (o