Equações de Maxwell

Apostila de Guias e Ondas

Volume I

Equações de Maxwell

Sérgio Antenor de Carvalhoc©2007

1

PrefácioEsta apostila foi preparada para facilitar o aluno no acompanhamento da aula, evitando

o esforço feito para anotar os desenvolvimentos e discussões em sala de aula e, assim, permi-tir uma maior participação. Como ocorre em todo texto erros e omissões ocorrem e desde jáagradeço as sugestões construtivas que cheguem dos alunos com a finalidade de melhorar otexto e a sua compreensão.

A apostila foi dividida em cinco volumes, cada um cobrindo um assunto da disciplina.

• volume I - Equações de Maxwell

• volume II - Equação de Onda

• volume III - Linhas de Transmissão

• volume IV - Guias de Onda Retangulares e Cilíndricos

• volume V - Fibras Ópticas

No final de cada volume são propostos exercícios para que o estudante possa fixar conceitose aplica-los na solução de problemas de interesse da engenharia elétrica e de telecomunicações.

Referências são dadas no final de cada volume para que o estudante possa complementar oseu estudo com a leitura de textos que apresentam o conteúdo da apostila com outra abordageme/ou exemplos.

Conteúdo

1 Equações de Maxwell 51.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Equações de Maxwell na forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Lei de Gauss para campos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Lei de Gauss para campos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.5 Lei da conservação da carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Equações de Maxwell na forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.4 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.5 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.6 Lei da conservação da carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Relações e parâmetros constitutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5.1 Condição de fronteira para o campo ~E tangencial . . . . . . . . . . . . . 311.5.2 Condição de fronteira para o campo ~H tangencial . . . . . . . . . . . . . 321.5.3 Condição de fronteira para o campo ~D normal . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.4 Condição de fronteira para o campo ~B normal . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6 Potência e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.7 Campos Harmônicos no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.7.1 Equações integrais para campos harmônicos . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7.2 Equações diferenciais para campos harmônicos . . . . . . . . . . . . . . . 461.7.3 Condições de Fronteiras para campos harmônicos . . . . . . . . . . . . . 471.7.4 Vetor de Poynting complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2

Lista de Figuras

1.1 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Geração de uma fem pela rotação de um laço sob um campo magnético constante 71.3 Geração de uma fem por uma barra condutora sob um campo magnético constante 71.4 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Capacitor Genérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Tensão no capacitor genérico variando σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Tensão no capacitor genérico variando ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8 Linha de transmissão coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9 Campo Hφ de uma linha de transmissão coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10 Lei de Gauss para campos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.11 Campo Elétrico gerado por uma distribuição de carga . . . . . . . . . . . . . . . 141.12 Região no espaço onde ~D = 3 ρ (z+1) cos φ~aρ−ρ (z+2) sen φ~aφ+ρ3 cos φ~azµ C/m2 151.13 Lei de Gauss para campos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.14 Fluxo magnético gerado por uma linha infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.15 Fluxo magnético entre dois condutores infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.16 Geometria para dedução da lei da conservação da carga . . . . . . . . . . . . . . 181.17 Região em que foi introduzida uma carga q0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.18 Fronteira entre dois meios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.19 Geometria para aplicação do teorema da divergência . . . . . . . . . . . . . . . . 211.20 Região no espaço onde ~D = 2 ρ (z+1) cos φ~aρ−ρ (z+2) sen φ~aφ+ρ2 cos φ~azµ C/m2 221.21 Geometria para aplicação do teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.22 Condutor cilíndrico onde ~H = 4, 77× 104

(ρ2− ρ2

3×10−2

)~aφ A/m . . . . . . . . . . 24

1.23 Caminho fechado englobando dois meios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.24 Geometria para a dedução da condição de fronteira - componente tangencial . . 321.25 Geometria para a dedução da condição de fronteira - componente normal . . . . 341.26 Três regiões no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.27 Campos elétrico e magnético dentro de uma região com fonte . . . . . . . . . . . 381.28 Interpretação do Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.29 Volume retangular no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.30 Espectro de Fourier discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.31 Espectro de Fourier contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.32 Antena dipolo na origem do sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3

Lista de Tabelas

1.1 Classificação pela densidade de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2 Classificação pela variação dos parâmetros constitutivos . . . . . . . . . . . . . . 30

4

Capítulo 1

Equações de Maxwell

1.1 IntroduçãoEm geral campos elétricos e magnéticos são quantidades vetoriais que possuem magnitude e

direção. As relações e variações dos campos elétrico e magnético, cargas e correntes associadascom ondas eletromagnéticas são governadas por leis físicas, as quais são conhecidas como asEquações de Maxwell . Essas equações podem ser escritas na forma integral ou na formadiferencial. Qual forma utilizar para modelar e solucionar um problema dependerá da geometriado problema e do comportamento dos campos e fontes.

1.2 Equações de Maxwell na forma integralDescrevem as relações dos vetores campo, densidades de cargas e densidade de corrente em

uma região do espaço, são mais gerais que as equações de Maxwell na forma diferencial,porque não exigem que os campos sejam bem comportados, isto é, sejam funções contínuas etenham derivadas contínuas, mas só podem ser resolvidas, com certa facilidade, em problemasque possuam simetria, ex. retangular, cilíndrica, esférica, etc. São aplicadas a qualquer fenô-meno eletromagnético em escala macroscópica , isto é, dimensões grandes se comparadas asdimensões atômicas e magnitudes de carga grandes se comparadas as cargas atômicas.

5

Equações de Maxwell na forma integral 6

1.2.1 Lei de Faraday

A lei de Faraday Estabelece que

"A força eletromotriz ( fem) total induzida num circuito fechado é igual a taxa de decréscimo,em relação ao tempo, do fluxo magnético total que enlaça o circuito."

A sua forma matemática é ∮c

~E · ~dl = − d

dt

∫s

~B · ~dS, (1.1)

os elementos desta equação estão definidos na figura 1.1

Figura 1.1: Lei de Faraday

No caso de campos estáticos , isto é, invariantes no tempo, temos∮

c~E · ~dl = 0, o que implica

que o campo ~E é um campo conservativo , isto é, o trabalho realizado para deslocar uma cargaelétrica num percurso fechado é nulo.

Exemplo 1.1 Um alternador básico consiste em um único laço girando em um campo mag-nético estático. Na figura 1.2 temos um laço condutor girando em torno do eixo y na velocidadede ω rad/s e sob um campo magnético constante na direção +z. Como mostrado na figura ovetor unitário normal ~n ao plano do laço faz um ângulo ω t em relação a direção do campo ~B.Se o fluxo magnético positivo é quando ~B · ~n é positivo e se fem positiva é como indicada nafigura, a fem está aumentando quando o laço começa o seu giro. Aplicando a lei de Faraday,equação (1.1) temos

fem = − d

dt

∫s

~B · ~dS,

como o campo ~B é uniforme temos

fem = − d

dt~B · ~n s = − d

dt

[| ~B| s cos ω t

]= ω B s sen ω t = V0 sen ω t V,

sendo s é a área total do laço e V0 é a amplitude da fem. Na figura 1.2 também temos a variaçãoda fem com o giro do laço condutor.


Figura 1.2: Geração de uma fem pela rotação de um laço sob um campo magnético constante

Exemplo 1.2 Determine a fem induzida no circuito da figura 1.3 sabendo que está sob a açãode um campo ~B estático e que a barra condutora que fecha o circuito desliza numa velocidade~v.

Solução 1.2 O fluxo que atravessa a superfície dentro do circuito fechado pela barra condutora,em qualquer tempo t, é

Φ = B y d,

a partir da equação (1.1) obtemos

fem = −d Φ

dt= −B

d y

dtd = −B v d V.

Figura 1.3: Geração de uma fem por uma barra condutora sob um campo magnético constante


1.2.2 Lei de Ampère

A lei de Ampère diz que

"A integral de linha de ~H, ao longo de um único caminho fechado, força magneto-motriz, éigual a corrente envolvida pelo caminho."

A sua forma matemática é∮c

~H · ~dl =d

dt

∫s

~D · ~dS +

∫s

~J · ~dS, (1.2)

os elementos desta equação estão ilustrados na figura 1.4. O termo ddt

∫s

~D · ~dS é a corrente dedeslocamento, termo proposto por Maxwell para satisfazer a equação da conservação de carga,este termo implica na existência de uma onda eletromagnética.

Figura 1.4: Lei de Ampère

Exemplo 1.3 Um capacitor genérico se descarrega através da sua resistência de fuga R, apartir da tensão inicial V0. Calcular a tensão v(t), a corrente de condução i e a corrente dedeslocamento id, sabendo que a permissividade do dielétrico vale ε e a condutividade σ.

Solução 1.3 Na figura 1.5 temos o capacitor genérico. A superfície gaussiana tracejada emtorno do condutor com cargas positivas fornece

q =

∫~D · ~dS =

∫ε ~E · ~dS =

∫ε

~J

σ=

ε

σ

∫~J · ~dS =

εi

σ,

onde usamos as relações constitutivas ~D = ε ~E, ~J = σ ~E que serão discutidas na seção 1.4. ~Jé o vetor densidade de corrente.

A corrente de deslocamento id e a corrente de condução i são obtidas fazendo-se

dq

dt=

∫∂ ~D

∂t· ~dS =

∫~Jd · ~dS = id =

ε

σ

di

dt,

i = −dq

dt= −id = − ε

σ

di

dt.


Resolvendo a equação diferencial para i obtemos

di

i= −σ

εdt ∴ ln i = −σ

εt + cte,

considerando que em t = 0 temos uma corrente I0 = V0/R determinamos o valor da constante,assim

i(t) = I0 e−σε

t =V0

Re−

σε

t A,

v(t) = V0 e−σε

t V.

Figura 1.5: Capacitor Genérico

Nas figuras 1.6 e 1.7 temos a variação da tensão com o tempo para quatro valores de σ(ε = 20 ε0) e para quatro valores de ε (σ = 10−6 S/m), respectivamente, observamos quequando a condutividade aumenta o capacitor descarrega mais rapidamente e quando a constantedielétrica aumenta a descarga é mais lenta.

Figura 1.6: Tensão no capacitor genérico variando σ


Figura 1.7: Tensão no capacitor genérico variando ε

Exemplo 1.4 Uma linha de transmissão coaxial infinitamente longa é formada por dois cilin-dros concêntricos cujos eixos estão ao longo do eixo z. Na figura 1.8 temos a linha e a suaseção reta. O condutor interno tem raio a e é percorrido por uma corrente I A e o condutorexterno tem raio b e é percorrido por uma corrente −I A. Considerando que as correntes sãouniformes determine o campo magnético ~H em todas as regiões.

Figura 1.8: Linha de transmissão coaxial

Solução 1.4 Assumimos que a distribuição de corrente está uniformemente distribuída noscondutores. Aplicaremos a lei de Ampère ao longo de um caminho amperiano, que é umacircunferência em torno do eixo z, nas quatro regiões: interna ao condutor de raio a, 0 ≤ ρ ≤ a;entre os condutores, a ≤ ρ ≤ b; interna ao condutor de raio b, b ≤ ρ ≤ b + t e externa a linha,ρ ≥ b. Na região 0 ≤ ρ ≤ a aplicamos a lei de Ampère na circunferência de raio ρ, temos então∮

c

~H · ~dl = Ienv,


Ienv é a corrente envolvida pelo caminho. Como a corrente está uniformemente distribuídasobre a seção reta temos que a densidade de corrente ~J é igual a

~J =I

π a2~az A/m2,

os elementos diferenciais de comprimento e área são dados, respectivamente, por~dl = ρ dφ~aφ e ~ds = ρ dφ dρ~az,

foi obedecida a regra da mâo direita na orientação de ~ds em relação a ~dl. O campo magnéticosó possui a componente Hφ e é função da coordenada ρ. Com estas considerações e substituindoos elementos definidos anteriormente na equação da lei de Ampère, obtemos∫ 2 π

0

Hφ ~aφ · ρ dφ~aφ =

∫ ρ

0

∫ 2 π

0

I

π a2~az · ρ dφ dρ~az,

Hφ =I ρ

2 π a2.

Na região a ≤ ρ ≤ b o caminho amperiano envolve toda a corrente I, assim

Hφ 2 π ρ = I,

Hφ =I

2 π ρ.

Na região b ≤ ρ ≤ b + t a corrente envolvida Ienv é dada por

Ienv = I +

∫~Jb · ~ds,

~Jb é a densidade de corrente no condutor externo, definida por

~Jb = − I

π [(b + t)2 − b2]~az,

calculando a Ienv obtemos

Ienv = I − I

π [(b + t)2 − b2]

∫ 2 π

o

∫ ρ

b

ρ dρ dφ,

= I

[1− ρ2 − b2

t2 + 2 b t

],

e o campo magnético é

Hφ =I

2 π ρ

[1− ρ2 − b2

t2 + 2 b t

]Na região ρ ≥ b + t a corrente envolvida pelo caminho amperiano é nula, assim, o campomagnético na região externa é nulo.

Do exposto anteriormente o campo magnético é dado por

~H =

I ρ2 π a2 ~aφ A/m, 0 ≤ ρ ≤ a

I2 π ρ

~aφ A/m, a ≤ ρ ≤ b

I2 π ρ

[1− ρ2−b2

t2+2 b t

]~aφ A/m, b ≤ ρ ≤ b + t

0 A/m, ρ ≥ b + t.

Na figura 1.9 temos o campo Hφ em função da distância d da linha para os parâmetrosa = 1 cm, b = 3 cm, t = 1, 5 cm e I = 1 A.


Figura 1.9: Campo Hφ de uma linha de transmissão coaxial


1.2.3 Lei de Gauss para campos elétricos

O enunciado da lei de Gauss para campos elétricos é

"A integral de superfície da componente normal da densidade de fluxo elétrico ~D, sobrequalquer superfície fechada, é igual à carga englobada por esta superfície."

A forma matemática para esta proposição, contribuição do matemático Gauss, é∮s

~D · ~dS =

∫v

ρ dv, (1.3)

na figura 1.10 temos a geometria considerada.

Figura 1.10: Lei de Gauss para campos elétricos

Exemplo 1.5 Uma nuvem esférica de raio a possui uma distribuição de carga dada por ρv =ρ0 (r/a)3/2 C/m3, ρ0 é uma constante. Calcular a distribuição de campo elétrico em todo oespaço, justificando o comportamento do campo elétrico.

Solução 1.5 Podemos aplicar a lei de Gauss para resolver este problema porque a distribuiçãode cargas possui simetria esférica, assim, a superfície gaussiana é uma superfície esférica deraio r e o campo só possui componente ~ar. Como a fonte (distribuição de cargas) é uma funçãoda coordenada r o campo elétrico também só será função desta coordenada. Do exposto temos

~D = Dr ~ar, Dr = f(r)

~dS = r2 sen θ d θ d φ~ar∮s

~D · ~dS = Dr

∫ π

0

∫ 2 π

0

r2sen θd θd φ = Dr 4 π r2

para r ≤ a (região interna)∫v

ρvdv =

∫ r

0

∫ π

0

∫ 2 π

0

ρ0 (r/a)3/2 r2 sen θ d θ d φ d r =8 π

9

r9/2

a3/2ρ0

Dr =2

9ρ0

√r5

a3

~E =2

9 ε0

ρ0

√r5

a3~ar V/m,


para r > a (região externa)

a carga total é∫

v

ρvdv =

∫ a

0

∫ π

0

∫ 2 π

0

ρ0 (r/a)3/2 r2 sen θ d θ d φ d r

=8 π

9

a9/2

a3/2ρ0 =

8 π

9ρ0 a3 C

assim,

Dr 4 π r2 =8 π

9ρ0 a3 → Dr =

2

9ρ0

a3

r2

~E =2

9 ε0

ρ0a3

r2~ar V/m.

Na figura 1.11 temos o gráfico do módulo do campo ~E para 2 ρ0/(9 ε0) = 10 ea = 1. A intensidade do campo aumenta dentro da nuvem porque quando aumentamos r en-volvemos uma maior quantidade de carga, a partir de r = a a quantidade de carga é a mesmae o campo decresce com o quadrado da distância r.

Figura 1.11: Campo Elétrico gerado por uma distribuição de carga

Exemplo 1.6 Na região definida por 0 < ρ < 3 m, 0 < φ < π/2 e 0 < z < 4 m temos o campo~D = 3 ρ (z + 2) cos φ~aρ − ρ (z + 2) sen φ~aφ + ρ3 cos φ~az µ C/m2. Determine a carga elétricadentro desta região.

Solução 1.6 Calculando o lado esquerdo da equação 1.3, que representa o fluxo elétrico pelasuperfície fechada, obteremos a carga elétrica líqüida na região. Na figura 1.12 temos a regiãoe a superfície que a limita, com os fluxos elétricos assinalados. Expandindo o lado esquerdo daequação 1.3 obtemos

Ψ =

∮s

~D · ~dS = Ψ1 + Ψ2 + Ψ3 + Ψ4 + Ψ5,

os fluxos elétricos por cada parte da superfície são dados por:

• região 1 - ~ds1 = ρ dφ dz~aρ

Ψ1 =

∫ z=4

0

∫ φ=π/2

0

~D · ~ds1 =

∫ z=4

0

∫ φ=π/2

0

3 (ρ = 3)2 (z + 2) cos φ dφ dz = 432 µ C;


• região 2 - ~ds2 = dρ dz (−~ax)

Ψ2 =

∫ ρ=3

0

∫ z=4

0

~D · ~ds2 =

∫ ρ=3

0

∫ z=4

0

[−3 ρ (z + 2) cos2φ + ρ (z + 2) sen2φ

]|φ=π/2

dρ dz

=

[ρ2

2

]3

0

[z2

2+ 2 z

]4

0

= −72 µ C;

• região 3 - ~ds3 = ρ dρ dφ~az

Ψ3 =

∫ ρ=3

0

∫ φ=π/2

0

~D · ~ds3 =

∫ ρ=3

0

∫ φ=π/2

0

ρ3 cos φ ρ dρ d φ

=

[ρ5

5

]3

0

[sen φ]π/20 =

243

5µ C;

• região 4 - ~ds4 = dρ dz (−~ay)

Ψ4 =

∫ ρ=3

0

∫ z=4

0

~D · ~ds2

=

∫ ρ=3

0

∫ z=4

0

[−3 ρ (z + 2) cos φ sen φ + ρ (z + 2) sen φ cos φ]|φ=0 dρ dz = 0;

• região 5 - ~ds5 = ρ dρ dφ (−~az)

Ψ5 =

∫ ρ=3

0

∫ φ=π/2

0

~D · ~ds3 =

∫ ρ=3

0

∫ φ=π/2

0

−ρ3 cos φ ρ dρ d φ

=

[ρ5

5

]3

0

[sen φ]π/20 = −243

5µ C.

A carga elétrica líqüida dentro da região será q = Ψ = Ψ1 + Ψ2 + Ψ3 + Ψ4 + Ψ5 = 360 µ C.

Figura 1.12: Região no espaço onde ~D = 3 ρ (z+1) cos φ~aρ−ρ (z+2) sen φ~aφ+ρ3 cos φ~azµ C/m2


1.2.4 Lei de Gauss para campos magnéticos

Estabelece que o fluxo magnético líquido (positivo ou negativo) que emana de qualquersuperfície fechada s, no espaço, é sempre zero, isto é, o fluxo magnético não tem fonte, as linhasdo campo ~B não podem ter início ou fim, figura 1.13, na forma matemática temos∮

s

~B · ~dS = 0, (1.4)

o que implica que, até agora, não foi observado a existência de fonte (cargas ou corrente mag-nética) de campo magnético.

Figura 1.13: Lei de Gauss para campos magnéticos

Exemplo 1.7 Para o campo magnético ~H = 103 ~aφ A/m gerado por uma linha infinita decorrente posicionada no eixo z, encontre o fluxo magnético que passa através da superfícieplana definida por s : (2 ≤ y ≤ 4 m), (−2 ≤ z ≤ 2 ).

Solução 1.7 Na figura 1.14 temos a linha infinita e a superfície plana. O fluxo magnético éobtido pela integração do vetor densidade de fluxo magnético ~B na área assinalada, usando arelação constitutiva ~B = µ0

~H, que será discutida na seção 1.4, encontramos

Φs =

∫s

~B · ~dS, ~ds = dy dz (−~ax) e ~B = 103 µ0 (−~ax)

=

∫ 2

−2

∫ 4

2

µ0 103 dy dz = 8× 103 µ0 Wb.

Exemplo 1.8 Dois condutores infinitos, de seção transversal circular com 2 mm de raio temseus eixos localizados no plano x = 0 nas coordenadas y = −2 cm e y = 2 cm, nestes condutoresflui uma corrente uniformemente distribuída de 5~az A e −5~az A, respectivamente. Determineo fluxo magnético total por unidade de comprimento passando entre os condutores.

Solução 1.8 Na figura 1.15 temos os dois condutores infinitos. O fluxo magnético total éobtido pela integração do vetor densidade de fluxo magnético ~B na região entre os condutores.Uma linha infinita no eixo z gera um campo magnético ~H = I

2 π ρ~aφ A/m, com a corrente na

direção ~az, assim cada condutor gera, na região entre eles, os seguintes campos magnéticos

~H1 =−5

2 π (0, 02 + y)~ax, ~H2 =

−5

2 π (0, 02− y)~ax,


a coordenada y é em relação a origem do sistema de coordenadas. Como ~B = µ0~H temos que

o fluxo magnético total é dado por

φ =

∫s

~B · ~dS =

∫ z=l/2

z=−l/2

∫ 0.018

−0.018

4 π × 10−7

(−5~ax

2 π (0, 02 + y)+

−5~ax

2 π (0, 02− y)

)· dy dz (−~ax)

= l

∫ 0.018

−0.018

10−6

(5

0, 02 + y+

5

0, 02− y

)dy

= l 10−6[

ln(0, 02 + y)]0.018

−0.018−

[ln(0, 02− y)

]0.018

−0.018= l 10−6 (ln 19− ln 1/19)

φ = 5, 89 µ Wb/m,

onde dividimos por l para obtermos o fluxo total por metro.

Figura 1.14: Fluxo magnético gerado por uma linha infinita

Figura 1.15: Fluxo magnético entre dois condutores infinitos


1.2.5 Lei da conservação da carga elétrica

A lei da conservação da carga elétrica estabelece que

"A corrente líquida devida ao fluxo de cargas emanando de uma superfície fechada s, é iguala taxa de decréscimo, em relação ao tempo, da carga dentro do volume v limitado por s."

ou

"A carga elétrica total num sistema isolado, isto é, a soma algébrica das cargas positivas enegativas, em qualquer instante, é constante."

Vamos deduzir a sua forma matemática, a partir das equações de Maxwell, com a ressalvaque ela foi estabelecida independentemente e que foi para satisfaze-la que Maxwell introduziuo termo da corrente de deslocamento.

Consideremos dois caminhos fechados, c1 e c2, tocando-se e limitando as superfícies s1 e s2,que juntas formam uma superfície fechada s, como mostrado na figura 1.16.

Figura 1.16: Geometria para dedução da lei da conservação da carga

Aplicando a lei de Ampère, equação (1.2) a c1 e s1 obtemos∮c1

~H · ~dl =d

dt

∫s1

~D · ~dS1 +

∫s1

~J · ~dS1, (1.5)

similarmente para c2 e s2 temos∮c2

~H · ~dl =d

dt

∫s2

~D · ~dS2 +

∫s2

~J · ~dS2, (1.6)

Somando-se as equações (1.5) e (1.6), levando em conta os sentidos de integração de c1 e c2

encontramos0 =

d

dt

∮s

~D · ~dS +

∮s

~J · ~dS,

o que leva ad

dt

∮s

~D · ~dS = −∮

s

~J · ~dS, (1.7)

usando a lei de Gauss, equação (1.3), na equação (1.7) obtemos a forma matemática da lei daconservação da carga, dada por ∮

s

~J · ~dS = − d

dt

∫v

ρ dv, (1.8)


A integral do vetor densidade de corrente ~J pela superfície fechada s, lado esquerdo daequação 1.8, é igual a corrente pela superfície s e a integral de volume da distribuição de cargaρ, lado direito da equação 1.8, é igual a carga líqüida no volume, assim a equação 1.8 torna-se

I = −dq

dt, (1.9)

que é a expressão matemática da primeira definição da lei de conservação da carga.

Exemplo 1.9 Uma certa quantidade de carga q0 C é colocada dentro de uma região condutora,figura 1.17. Determine a expressão de variação da carga no ponto em que foi posicionada. Aregião possui condutividade σ e permissividade dielétrica ε.

Solução 1.9 Das equações 1.8 e 1.9 temos∮s

~J · ~dS = −dq

dt,

agora usamos as relações constitutivas ~J = σ ~E e ~D = ε ~E, que serão discutidas na seção 1.4,para obter ∮

s

~J · ~dS =

∮s

σ ~E · ~dS =

∮s

σ~D

ε· ~dS =

σ

ε

∮s

~D · ~ds =σ

εq,

substituindo na equação anterior temos a seguinte equação diferencial

dq

dt= −σ

εq → dq

q= −σ

εdt → ln q = −σ

εt + k,

em t = 0 temos a carga q0, assim a constante de integração é k = ln q0 e obtemos

q = q0 e−σε

t C,

a razão ε/σ é denominada de constante de tempo de relaxação, neste tempo a carga cai a 1/edo seu valor inicial, aproximadamente 36, 78%.

Figura 1.17: Região em que foi introduzida uma carga q0

Equações de Maxwell na forma diferencial 20

1.3 Equações de Maxwell na forma diferencialDescrevem as relações dos vetores campo, densidades de carga e densidades de corrente

em um ponto no espaço e num instante de tempo, são mais usadas para resolver problemaseletromagnéticos com condições de fronteira. Para serem válidas é assumido que os vetorescampo são funções contínuas, limitadas, de valor único da posição e tempo, com derivadas con-tínuas. Os vetores campo associados com ondas eletromagnéticas possuem estas características.

Quando existem interfaces, isto é, transição entre meios, figura 1.18, as equações de Maxwelldiferenciais não são válidas porque os campos serão descontínuos e distribuições descontínuasde cargas e corrente podem ocorrer. Neste caso há necessidade das condições de fronteirapara relacionar os campos ( ~E1, ~H1, ~D1, ~B1) ↔ ( ~E2, ~H2, ~D2, ~B2), estas condições são deduzidasaplicando-se as equações de Maxwell na forma integral, serão discutidas na seção 1.5.

Figura 1.18: Fronteira entre dois meios

Para se obter as equações diferenciais de Maxwell, a partir das equações integrais de Maxwellque são mais gerais, dois teoremas são necessários:

• teorema da divergência

• teorema de Stokes


1.3.1 Teorema da Divergência

O teorema da divergência estabelece que, se v é um volume limitado por uma superfície s,e se ~V é um campo vetorial com derivadas parciais contínuas na região definida pela superfícies, então

"A integral da componente normal de qualquer campo vetorial, sobre uma superfície fechada,é igual à integral da divergência desse campo através do volume envolvido pela superfíciefechada."

na forma matemática temos ∮s

~V · ~ds =

∫v

∇ ·−→V dv. (1.10)

Figura 1.19: Geometria para aplicação do teorema da divergência

Exemplo 1.10 Na região definida por 0 < ρ < 2 m, 0 < φ < π/2 e 0 < z < 4 m,~D = 2 ρ (z + 1) cos φ~aρ − ρ (z + 1) sen φ~aφ + ρ2 cos φ~az µ C/m2. Calcule ambos os lados doteorema da divergência nesta região.

Solução 1.10 Na figura 1.20 temos a região de interesse. Começamos calculando o divergentedo vetor densidade de fluxo elétrico, obtemos

∇ · ~D =1

ρ

∂

∂ ρ(ρ Dρ) +

1

ρ

∂ Dφ

∂ φ+

∂ Dz

∂ z

= 4 (z + 1) cos φ− (z + 1) cos φ + 0 = 3 (z + 1) cos φ µ C/m3,

substituindo no lado direito da equação 1.10 obtemos∫v

∇ · ~Ddv =

∫ 2

0

∫ 4

0

∫ π/2

0

3 (z + 1) cos φ 10−6 ρ dφ dρ dz = 3ρ2

2

∣∣∣40

(z2

2+ z

)4

0

senφ∣∣∣π/2

010−6

= 6 (8 + 4) (1− 0) 10−6 = 72 µ C.

Para avaliar o lado esquerdo da equação 1.10 assinalamos todas a superfícies que limitam aregião, figura 1.20, obtemos então∮

s

~D · ~ds =

∫s1

~D1 · ~ds1 +

∫s2

~D2 · ~ds2 +

∫s3

~D3 · ~ds3 +

∫s4

~D4 · ~ds4 +

∫s5

~D5 · ~ds5,

avaliando cada integral obtemos


• região 1 - ~ds1 = ρ dφ dz~aρ

R1 =

∫ z=4

0

∫ φ=π/2

0

2 (ρ = 2)2 (z + 1) cos φ dφ dz = 8

(z2

2+ z

)4

0

(senφ

)π/2

0= 96 µ C;

• região 2 - ~ds2 = ρ dφ dρ (−~az)

R2 = −∫ ρ=2

0

∫ φ=π/2

0

ρ3 cosφ dφ dρ = −(

ρ4

4

)2

0

(senφ

)π/2

0= −4 µ C;

• região 3 - ~ds3 = ρ dφ dρ~az

R3 =

∫ ρ=3

0

∫ φ=π/2

0

ρ3 cosφ dφ dρ =

(ρ4

4

)2

0

(senφ

)π/2

0= 4 µ C;

• região 4 - ~ds4 = dρ dz (−~ax)

R4 = −∫ ρ=2

0

∫ z=4

0

ρ (z + 1) sen2(π/2) 10−6 dρ dz =−ρ2

2

∣∣∣20

(z2

2+ z

)4

0

= −24 µ C;

• região 5 - ~ds5 = dρ dz (−~ay)

R5 =

∫ ρ=2

0

∫ z=4

0

ρ (z + 1) sen(φ = 0o) dρ dz = 0,

somando a contribuição de cada região obtemos∮s

~D · ~ds = 96 µ− 4 µ + 4 µ− 24 µ + 0 = 72 µ C,

igual, como esperado, ao valor do lado direito da equação 1.10.

Figura 1.20: Região no espaço onde ~D = 2 ρ (z+1) cos φ~aρ−ρ (z+2) sen φ~aφ+ρ2 cos φ~azµ C/m2


1.3.2 Teorema de Stokes

O teorema de Stokes estabelece que

"A integral da componente tangente de qualquer campo vetorial, sobre uma linha fechada, éigual à integral da componente normal do rotacional do campo vetorial sobre a superfície."na forma matemática temos ∮

c

~V · ~dl =

∫s

(∇× ~V ) ·−→ds. (1.11)

Figura 1.21: Geometria para aplicação do teorema de Stokes

Exemplo 1.11 Um condutor cilíndrico com 10−2m de raio possui um campo magnético internodado por ~H = 4, 77× 104

(ρ2− ρ2

3×10−2

)~aφ A/m. Calcule ambos os lados do teorema da Stokes

nesta região.

Solução 1.11 Na figura 1.22 temos a região de interesse. Começamos calculando o rotacionaldo campo magnético, obtemos

∇× ~H =1

ρ

[∂(ρHφ)

∂ρ

]~az =

1

ρ

(4, 77× 104

) [ρ− ρ2

10−2

]~az = 4, 77× 104

[1− ρ

10−2

]~az,

usando este resultado para avaliar o lado direito da equação 1.11, na seção transversa do con-dutor (0 < ρ < 10−2, 0 < π < 2 π), encontramos∫ 10−2

0

∫ 2 π

0

4, 77× 104[1− ρ

10−2

]~az · ρ dφ dρ~az = 4, 77× 104(2 π)

[ρ2

2− ρ3

3× 10−2

]10−2

0

≈ 5 A.

Para avaliar o lado esquerdo da equação 1.11 escolhemos o percurso que envolve todo o condutor(ρ = 10−2, 0 < π < 2 π), figura 1.22, obtemos então∫ 2 π

0

4, 77× 104

(ρ

2− ρ2

3× 10−2

)~aφ · ρdφ~aφ = 4, 77× 104(2 π)10−2

(10−2

2− 10−4

3× 10−2

)≈ 5 A.


Figura 1.22: Condutor cilíndrico onde ~H = 4, 77× 104(

ρ2− ρ2

3×10−2

)~aφ A/m


1.3.3 Lei de Faraday

Aplicando o teorema de Stokes, equação (1.11), na equação (1.1), obtemos∮c

~E · ~dl =

∫s

(∇× ~E) · ~dS = − d

dt

∫s

~B · ~dS,

considerando que a superfície s não varia com o tempo, podemos levar a derivada para dentroda integral, tornando-a derivada parcial, assim temos∫

s

(∇× ~E) · ~dS = −∫

s

∂

∂t~B · ~dS,

o que leva a

∇× ~E = −∂ ~B

∂t. (1.12)

Exemplo 1.12 Numa região do espaço temos um campo elétrico variante no tempo dado por~E = 10 cos(ω t − 100 z)~ax V/m, determine o vetor densidade de fluxo magnético ~B associadocom este campo elétrico.

Solução 1.12 O campo ~B é obtido usando-se a equação 1.12, observando que o campo elétricosó tem a componente ~ax, o lado esquerdo da equação 1.12 torna-se

∇× ~E =

(∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z

)~ax +

(∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x

)~ay +

(∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y

)~az

=∂Ex

∂z~ay −

∂Ex

∂y︸︷︷︸0

~az =∂Ex

∂z~ay,

porque a componente x do campo ~E só depende da coordenada z, substituindo a componenteEx, obtemos

∇× ~E =∂Ex

∂z~ay = 1000 sen(ω t− 100 z)~ay,

integrando em relação ao tempo e observando que se o lado esquerdo da equação 1.12 só possuia componente y o lado direito também só possui esta componente, obtemos

1000 sen(ω t− 100 z) = −∂By

∂t→ By =

1000

ωcos(ω t− 100 z),

assim o campo ~B associado com o campo elétrico ~E = 10 cos(ω t− 100 z)~ax V/m é

~B =1000

ωcos(ω t− 100 z)~ay Wb/m2.


1.3.4 Lei de Ampère

Aplicando o teorema de Stokes, equação (1.11), na equação (1.2) e fazendo as mesmasconsiderações feitas para se obter a equação (1.12), encontramos

∇× ~H = ~J +∂ ~D

∂t. (1.13)

Exemplo 1.13 No espaço livre temos um campo magnético variante no tempo por ~H = 10 cos(ω t−100 z)~ay A/m, determine o campo elétrico associado com este campo magnético.

Solução 1.13 No espaço livre não temos elétrons livres, assim a condutividade σ = 0 de formaque ~J = 0. Neste espaço a relação entre ~D e ~E, que será discutida na seção 1.4, é dada por~D = ε0

~E. Com estas considerações partimos calculando o lado direito da equação 1.13, obtemos

∇× ~H =

(∂Hz

∂y− ∂Hy

∂z

)~ax +

(∂Hx

∂z− ∂Hz

∂x

)~ay +

(∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y

)~az

= −∂Hy

∂z~ax +

∂Hy

∂x︸︷︷︸0

~az = −∂Hy

∂z~ax,

porque a componente y do campo ~H só depende da coordenada z, substituindo a componenteHy, obtemos

−1000 sen(ω t− 100 z) = ε0∂Ex

∂t→ Ex =

1000

ω ε0

cos(ω t− 100 z),

assim o campo ~E associado com o campo magnético ~H = 10 cos(ω t− 100 z)~ay A/m é

~E =1000

ω ε0

cos(ω t− 100 z)~ax V/m.


1.3.5 Lei de Gauss

Aplicando o teorema da divergência, equação (1.10), nas equações (1.3) e (1.4), obtemos

∇ · ~D = ρ, (1.14)

∇ · ~B = 0 (1.15)

1.3.6 Lei da conservação da carga

Usando a forma integral da lei da conservação da carga, equação (1.8), e o teorema da divergên-cia, equação (1.10), obtemos ∮

s

~J · ~dS =

∫v

∇ · ~J = − d

dt

∫v

ρ dv,

considerando que o volume v não varia com o tempo, podemos levar a derivada para dentro daintegral, tornando-a derivada parcial, assim temos

∇ · ~J = −∂ρ

∂t. (1.16)

Esta equação também pode ser deduzida usando as equações (1.13) e (1.14).

Relações e parâmetros constitutivos 28

1.4 Relações e parâmetros constitutivosToda matéria é composta de cargas elétricas discretas, elétrons e prótons , os elétrons

podem se movimentar e os prótons estão presos no núcleo do átomo. Quando aplicamos umcampo eletromagnético (elétrico e/ou magnético) as cargas elétricas interagem produzindo dis-tribuições de cargas e correntes, que serão fontes de outros campos que se somarão ao campoaplicado.

Para considerar, em escala macroscópica, a presença e comportamento das cargas elétricas,temos um grupo de três expressões que relacionam ~E com ~D, ~H com ~B e ~E com ~J , estasexpressões são denominadas relações constitutivas .

A expressão que relaciona o vetor densidade de fluxo elétrico ~D com o vetor campo elétrico~E é dada por

~D = ε ~E, (1.17)

ε é a permissividade do meio, indica que o campo elétrico aplicado irá orientar dipolos elétricos,isto é, polarizar o meio. Para o espaço livre, que não tem dipolos elétricos, o seu valor é

ε = ε0 ≈ 8, 854× 10−12 ≈ 109

36πF/m (farads/metro). (1.18)

O relacionamento entre o vetor densidade de fluxo magnético ~B e o vetor campo magnético~H é expresso por

~B = µ ~H, (1.19)

µ é a permeabilidade do meio, indica que o campo magnético aplicado irá orientar dipolosmagnéticos (laços de corrente), isto é, magnetizar o meio. Para o espaço livre, que não temdipolos magnéticos, o seu valor é

µ = µ0 ≈ 4π × 10−7 H/m (hernies/metro). (1.20)

O vetor densidade de corrente ~J e o vetor campo elétrico ~E estão relacionados pela equação

~J = σ ~E, (1.21)

σ é a condutividade do meio, indica que o campo elétrico aplicado irá movimentar os elétronslivres do material, isto é, formar a corrente de condução. Para o espaço livre, que não possuicargas elétricas, o seu valor é

σ = σ0 = 0 S/m (siemens/metro). (1.22)

As equações (1.17), (1.19) e (1.21) são denominadas de relações constitutivas e, ε, µ e σsão denominados de parâmetros constitutivos . Estes parâmetros são, em geral, funções daintensidade do campo aplicado, a posição dentro do material, a direção do campo aplicado, e afreqüência de operação.

Os parâmetros constitutivos são usados para caracterizar as propriedadeselétricas de um material. Em geral, os materiais são classificados como dielétricos , mag-néticos e condutores , dependendo se o fenômeno de polarização (densidade de corrente dedeslocamento), de magnetização (densidade de corrente de deslocamento magnético), ou con-dução (densidade de corrente de condução) é predominante. Uma outra classe de material éa dos semicondutores, os quais ocupam o espaço entre condutores e dielétricos, já que nem acorrente de condução ou a corrente de deslocamento são, em geral, predominante. Na tabela1.1 temos esta classificação.


Os materiais são classificados como linear × não linear , homogêneos × não homogê-neos , isotrópicos × não isotrópicos (anisotrópicos), e dispersivo × não dispersivode acordo com a sua estrutura e comportamento. Se os parâmetros constitutivos de um dadomaterial (meio) não são funções da intensidade do campo aplicado, o material é conhecido comolinear. Meios em que os parâmetros constitutivos não são funções da posição são denominadoshomogêneos. Materiais isotrópicos são aqueles cujos parâmetros constitutivos não são funçõesda direção do campo aplicado. Quando os parâmetros constitutivos são funções da freqüênciao meio é denominado de dispersivo, todos os materiais usados em nosso dia a dia exibem algumgrau de dispersão, embora as variações para alguns possam ser desprezadas e, para outros, ésignificativa. Um exemplo de aplicação de um meio dispersivo e não linear e a fibra óptica, nestemeio, sob certas condições, os efeitos da dispersão são compensados pelos efeitos da não lineari-dade, e uma onda de luz, denominada sóliton , pode propagar sobre distâncias extremamentelongas (centenas de quilómetros) sem qualquer distorsão. Na tabela 1.2 temos esta classificação.

Fenômeno que predomina no material Classificação

polarizaçãodensidade de corrente dielétrico

de deslocamento elétrico

magnetizaçãodensidade de corrente magnético

de deslocamento magnético

conduçãodensidade de corrente condutor

de condução

não há predominância semicondutorde nenhuma densidade de corrente

Tabela 1.1: Classificação pela densidade de corrente


Parâmetros constitutivos ε, µ e σ Classificação

não linearfunções da intensidade do campo

sim não linear

não homogêneofunções da posição

sim não homogêneo

não isotrópicofunções da direção do campo

sim não isotrópico

não não dispersivofunções da freqüência

sim dispersivo

Tabela 1.2: Classificação pela variação dos parâmetros constitutivos

Condições de Fronteira 31

1.5 Condições de FronteiraAs equações de Maxwell na forma diferencial requerem que os campos sejam

quantidades de valor único, limitadas e possuam (junto com as suas derivadas) distribuiçõescontínuas. Em fronteiras, onde o meio envolvido exibe descontinuidades nas propriedades elétri-cas, ou existam fontes ao longo destas fronteiras, os vetores campo são também descontínuos eseu comportamento transverso às fronteiras é governado pelo que chamamos de condições defronteiras . Estas condições são um conjunto de equações que relacionam as componentes docampo em um ponto adjacente e sobre um lado da fronteira com as componentes do campo nocorrespondente ponto adjacente e sobre o outro lado da fronteira, figura 1.18.

As condições de fronteiras decorrem do fato que as equações integrais de Maxwell envolvemcaminhos fechados e superfícies. As equações devem ser satisfeitas para todos os possíveiscaminhos fechados e superfícies, estando estes inteiramente em um meio ou englobando umaparte da fronteira entre dois diferentes meios, figura 1.23. No último caso devem ser satisfeitaspelos campos em ambos os lados da fronteira, resultando nas condições de fronteira.

Figura 1.23: Caminho fechado englobando dois meios

1.5.1 Condição de fronteira para o campo ~E tangencial

Aplicando a lei de Faraday, equação (2.1) ao caminho abcda, mostrado na figura 1.24 obtemos

limad → 0bc → 0

∮

abcda

~E ·−→dl = − d

dt

∫ ∫area abcda

~B ·−→dS

, (1.23)

para a integral de linha temos

limad → 0bc → 0

∮abcda

~E ·−→dl = ( ~E1 − ~E2) ·∆x ~ax, (1.24)

e para o termo a direita da equação (1.23) encontramos

limad → 0bc → 0

d

dt

∫ ∫area abcda

~B ·−→dS

= lim∆y→0

d

dt

∫ ∫area abcda

~B · dS ~az

= 0, (1.25)

substituindo (1.24) e (1.25) na equação 1.23) obtemos(~E1 − ~E2

)· ~ax = 0, (1.26)


Figura 1.24: Geometria para a dedução da condição de fronteira - componente tangencial

~ax é o vetor unitário tangencial a fronteira, assim

~Et1 = ~Et

2, (1.27)

a forma geral da equação (1.27) é escrita, em termos da normal ~n a fronteira, como

~n×(

~E2 − ~E1

)= 0 (1.28)

1.5.2 Condição de fronteira para o campo ~H tangencial

Da mesma forma que a feita para obter a condição de fronteira para o campo ~E tangencial,usamos a geometria definida na figura 1.24. Aplicando a lei de Ampère, equação (1.2), aocaminho abcda mostrado na figura 1.24 obtemos

limad → 0bc → 0

∮

abcda

~H ·−→dl =

∫ ∫area abcda

~J ·−→dS − d

dt

∫ ∫area abcda

~D ·−→dS

, (1.29)

O lado esquerdo da equação (1.29) reduz-se a

limad → 0bc → 0

∮

abcda

~H ·−→dl

=(

~H1 − ~H2

)· ~ax ∆x, (1.30)

Como a densidade de corrente elétrica ~J está confinada sobre uma camada muito fina ao longoda interface, o primeiro termo do lado direito da equação (1.29) pode ser escrito como

limad → 0bc → 0

∫ ∫area abcda

~J ·−→dS = lim

∆y → 0

[~J · ~az ∆x ∆y

]= lim

∆y → 0

[( ~J∆y) · ~az ∆x

]

= ~Js · ~az ∆x, (1.31)


~Js é o vetor densidade de corrente elétrica de superfície.O segundo termo do lado direito da equação (1.29) é nulo porque o fluxo elétrico cruzando

a área abcda tende a zero quando a área tende a zero, na forma matemática temos

limad → 0bc → 0

d

dt

∫ ∫area abcda

~D ·−→dS = lim

ad → 0bc → 0

d

dt

∫ ∫area abcda

~D · ~az dS = 0. (1.32)

Substituindo as equações (1.30), (1.31)e (1.32) na equação (1.29) obtemos(~H1 − ~H2

)· ~ax − ~Js · ~az = 0,

como ~ax = ~ay × ~az, a equação anterior pode ser escrita como(~H1 − ~H2

)· (~ay × ~az)− ~Js · ~az = 0,

usando a identidade vetorial ~A · ~B × ~C = ~C · ~A × ~B no primeiro termo da equação anterior,obtemos

~az ·[(

~H1 − ~H2

)× ~ay

]− ~Js · ~az = 0[

~ay ×(

~H2 − ~H1

)− ~Js

]· ~az = 0,

esta equação é satisfeita quando

~ay ×(

~H2 − ~H1

)= ~Js, (1.33)

da geometria da figura 1.10 podemos escrever (1.33) como

~n×(

~H2 − ~H1

)= ~Js, (1.34)

~n é a normal a interface entre os meios 1 e 2, na forma escalar temos

~H t2 − ~H t

1 = Js (1.35)

As equações (1.34) e (1.35) estabelecem que em qualquer ponto da fronteira entre os meios1 e 2, as componentes tangenciais do campo magnético são descontínuas por uma quantidadeigual a densidade de corrente elétrica de superfície.

1.5.3 Condição de fronteira para o campo ~D normal

Consideremos um paralelepípedo abcdefgh de volume infinitesimal, com as super-fíciesfechadas abcda e efghe paralelas a fronteira entre dois meios, como mostrado na figura 1.25.Aplicando-se a lei de Gauss, equação (1.3) a este paralelelípedo, no caso limite em que as suassuperfícies laterais Sl tendem a zero, mas com os lados abcda e efghe permanecendo em ambosos lados da fronteira, nós temos

limSl→0

{ ∮Sl

~D ·−→ds =

∫v

ρ dv

}. (1.36)


No limite as contribuições das superfícies laterais do paralelepípedo (abefa, adgfa, bcheb, dchgd)para a integral de superfície são nulas. Para a soma das contribuições das superfícies abcda, efghetemos

limSl→0

∮Sl

~D ·−→ds = ~D2 · ~ay A0 − ~D1 · ~ay A0 = ( ~D2 − ~D1) · ~ay A0, (1.37)

A0 é a área dos lados abcda e efghe.O lado direito da equação (1.36) não será nulo, porque, fazendo o volume do paralelepípedo

tender a zero, com os lados abcda e efghe permanecendo em ambos os lados da fronteira,existirá uma contribuição de carga elétrica de superfície, isto é, a contribuição de uma densidadesuperficial de carga, ρs, assim temos

limSl→0

∫v

ρ dv =

∫s

ρs ds = ρs A0. (1.38)

Substituindo as equações (1.37) e (1.38) na equação (1.36)(~D2 − ~D1

)· ~ay = ρs, (1.39)

da figura 1.25, podemos escrever a equação anterior como

~n ·(

~D2 − ~D1

)= ρs, (1.40)

ou, na forma escalar, comoDn

2 −Dn1 = ρs. (1.41)

As equações (1.40) e (1.41) estabelecem que, em qualquer ponto na fronteira, as componentesnormais de ~D são descontínuas por uma quantidade igual a densidade superficial de cargaelétrica.

Figura 1.25: Geometria para a dedução da condição de fronteira - componente normal


1.5.4 Condição de fronteira para o campo ~B normal

Aplicando a lei de Gauss para campo magnético na mesma geometria mostrada na figura1.25 e com o mesmo procedimento feito para o caso ~D tangencial, obtemos

~n ·(

~B2 − ~B1

)= 0 (1.42)

Bn2 = Bn

1 (1.43)

As equações (1.42) e (1.43) estabelecem que as componentes normais de ~B são sempre contínuasnas interfaces, isto é conseqüência da não existência de cargas magnéticas.


Exemplo 1.14 Considere que o meio 1 da figura 1.23 é um condutor perfeito, isto é, possuauma condutividade elétrica infinita σ = ∞ assim temos

σ1 = ∞→ ~E1 = 0 → ~D1 = 0

∇× ~E1 = 0 = −∂ ~B1

∂t→ ~B1 = 0 → ~H1 = 0

As condições de fronteira tornam-se

~n× ~E2 = 0

~n× ~H2 = ~Js

~n · ~D2 = ρs

~n · ~B2 = 0

estas equações fornecem a densidade de carga na fronteira ρs e a corrente superficial ~Js, induzi-das pela presença dos campos eletromagnéticos e estabelecem que na frontei-ra o campo elétricoé normal. Num problema de campos variantes no tempo a condição ~n × ~E2 = 0 é a únicaexigida num condutor perfeito, a condição ~n · ~B2 = 0 serve como verificação.

Exemplo 1.15 Na figura 1.26, a região x < 0 é um condutor perfeito, a região 0 < x < d éum dielétrico perfeito com ε = 2ε0 e µ = µ0, e a região x > d é o espaço livre. Os camposelétrico e magnéticos na região 0 < x < d são dados em um instante de tempo particular por

~E = E2 cosπx sen2πz ~ax + E1 senπx cos2πz ~az V/m

~H = H2 cosπx sen2πz ~ay A/m.

Queremos determinar: a) ρs e ~Js na superfície x = 0; b) os campos ~E e ~H para d+, isto é,imediatamente adjacente ao plano x = d e no lado do espaço livre.

Solução 1.15a) denominando o meio dielétrico perfeito de meio 2 e o condutor perfeito de meio 1, nós temosque ~n = ~ax e todos os campos no meio 1 são nulos, assim temos

[ρs]x=0 = ~n · [ ~D2]x=0 = ~ax · 2 ε0 E2 sen2πz ~ax

= 2 ε0 E2 sen2πz[~Js

]x=0

= ~n× [ ~H2]x=0 = ~ax ×H2 sen2πz~ay

= H2 sen2πz~az

b) denominando o meio dielétrico perfeito de meio 1 e o espaço livre de meio 2, e como ρs = 0nós obtemos, das equações (1.27) e (1.41), que

[Ey]x=d+ = [Ey]x=d− = 0

[Ez]x=d+ = [Ez]x=d− = E1 senπd cos2πz

[Dx]x=d+ = [Dx]x=d− = 2ε0 [Ex]x=d−

= 2ε0E2 cosπd sen2πz

[Ex]x=d+ =1

ε0

[Dx]x=d+ = 2E2 cosπd sen2πz,

então[E]x=d+ = 2E2 cosπd sen2πz ~ax + E1 senπd cos2πz ~az.


Fazendo ~Js = 0 e usando as equações (1.35) e (1.43), nós obtemos

[Hy]x=d+ = [Hy]x=d− = H2 cosπd sen2πz

[Hz]x=d+ = [Hz]x=d− = 0

[Bx]x=d+ = [Bx]x=d− = 0

então[H]x=d+ = H2 cosπd sen2πz ~ay.

Figura 1.26: Três regiões no espaço

Potência e Energia 38

1.6 Potência e EnergiaAs ondas eletromagnéticas transportam energia através de qualquer meio (espaço livre,

água, terra, etc.) ou através de estruturas (guias de onda, linha de transmissão, fibra óptica,etc.). O fluxo de potência através de uma superfície fechada, na região em que propaga a ondaeletromagnética, é obtido de uma integral de superfície de um vetor ~P = ~E × ~H, conhecidocomo vetor de Poynting . O procedimento descrito é justificado por um teorema devido a J.H. Poynting, demonstrado em 1884, e denominado de Teorema de Poynting .

Para derivar as equações que indicam que energia está associada com ondas eletromag-néticas, vamos considerar uma região de volume V caracterizada por ε, µ, σ e definida pelasuperfície S, figura 1.27. Dentro da região existe fonte, representada pela densidade de cor-rente ~J . Os campos elétrico e magnético, dentro de S, são gerados pela fonte ~J e obedecem asequações de Maxwell (1.12) e (1.13), então temos

∇× ~E = −∂ ~B

∂t, (1.44)

∇× ~H = ~J +∂ ~D

∂t. (1.45)

Figura 1.27: Campos elétrico e magnético dentro de uma região com fonte

Fazendo a multiplicação escalar da equação (1.44) por ~H e da equação (1.45) por ~E obtemos

~H · (∇× ~E) = − ~H · ∂~B

∂t, (1.46)

~E · (∇× ~H) = ~J · ~E + ~E · ∂~D

∂t. (1.47)

Subtraindo a equação (1.46) da (1.47) encontramos

~H · (∇× ~E)− ~E · (∇× ~H) = − ~H · ∂~B

∂t− ~J · ~E − ~E · ∂

~D

∂t, (1.48)

usando a identidade vetorial ∇ · ( ~A × ~B) = ~B · (∇ × ~A) − ~A · (∇ × ~B) podemos escrever aequação (1.48) como

∇ · ( ~E × ~H) = − ~H · ∂~B

∂t− ~J · ~E − ~E · ∂

~D

∂t. (1.49)


Substituindo as relações constitutivas, dadas pelas equações (1.17), (1.19) e (1.21), naequação (1.49) encontramos

∇ · ( ~E × ~H) = −µ ~H · ∂~H

∂t− ~J · ~E − ε ~E · ∂

~E

∂t, (1.50)

integrando esta equação no volume V, figura 1.13, obtemos∫V

∇ · ( ~E × ~H) dv = −∫

V

{~H ·

[µ

∂ ~H

∂t

]+ ~E ·

[~J + ε

∂ ~E

∂t

]}dv. (1.51)

Aplicando o teorema da divergência, equação (1.10), no lado esquerdo da equação (1.51),separando os termos e considerando que o volume V não varia com o tempo, obtemos∮

S

( ~E × ~H) · ~ds = −∫

V

{~H ·

[µ

∂ ~H

∂t

]+ ~E ·

[~J + ε

∂ ~E

∂t

]}dv

∮S

( ~E × ~H) · ~ds = −∫

V

[~E · ~J

]dv − ∂

∂t

∫V

[µ

2~H2 +

ε

2~E2

]dv. (1.52)

As equações (1.50) e (1.52) podem ser interpretadas como as formas diferencial e integral,respectivamente, para a conservação da energia. Para entender isto, vamos considerar cadatermo da equação (1.52).

O integrando do lado direito da equação (1.52) é um vetor da forma

~P = ~E × ~H, (1.53)

o qual tem unidades de densidade de potência (watts/m2), desde que ~E(V/m) e ~H(A/m). Ovetor ~P é denominado de vetor de Poynting e define o fluxo instantâneo de energia, a direçãodo fluxo é perpendicular a ~E e a ~H. A sua integração representa a potência total deixando aregião definida pela superfície, S, potência evadida, Pe, assim

Pe =

∮S

( ~E × ~H) · ~ds =

∮S

~P · ~ds. (1.54)

A primeira integral do lado direito da equação (1.52) pode ser escrita como

−∫

V

[~E · ~J

]dv = −

∫V

[~E · ( ~Ji + ~Jc)

]dv = Pf + Pd, (1.55)

sendoPf = −

∫V

[~E · ~Ji

]dv, (1.56)

a potência gerada pela fonte, que impõe um vetor densidade de corrente ~Ji no meio, e

Pd =

∫V

[~E · ~Jc

]dv, (1.57)

a potência dissipada dentro da região devido a existência de cargas livres, que sob a ação docampo elétrico geram o vetor densidade de corrente de condução ~Jc no meio. A segunda integraldo lado direito da equação (1.52) é escrita como

∂

∂t

∫V

[µ

2~H2 +

ε

2~E2

]dv =

∂We

∂t+

∂Wm

∂t,


sendoWe =

∫V

ε

2~E2 dv, (1.58)

a energia armazenada no campo elétrico, e

Wm =

∫V

µ

2~H2 dv, (1.59)

a energia armazenada no campo magnético. Substituindo as equações (1.56), (1.57), (1.58) e(1.59) na equação (1.52) nós obtemos

Pe = Pf − Pd −∂(We + Wm)

∂t, (1.60)

ouPf = Pe + Pd +

∂(We + Wm)

∂t, (1.61)

a qual é a lei de conservação da potência, estabelece que dentro de uma região V limitada poruma superfície S, a potência fornecida pela fonte Pf é igual a potência evadida da região Pe,mas a potência dissipada dentro da região Pd, mais a taxa de variação (positiva se aumenta)das energias elétrica We e magnética Wm armazenadas dentro desta região. Na figura 1.28temos a interpretação dos termos que aparecem no teorema de Poynting, ressaltamos que estainterpretação é arbitrária, mas, baseada em casos estudados na teoria eletromagnética.

Figura 1.28: Interpretação do Teorema de Poynting

Exemplo 1.16 Uma onda eletromagnética é constituída pelos seguintes campos

~E(~r, t) = E0 cos(ωt− kz)~ax V/m, k = ω√

µ ε,

~H(~r, t) =E0

ηcos(ωt− kz)~ay A/m, η =

√µ/ε,


a) determine o vetor de Poynting e as densidades de energia elétrica e magnética armazenadasna região, we e wm;b) assumindo um volume retangular V de dimensões a, b e c, figura 1.29, verifique o teoremade Poynting.

Figura 1.29: Volume retangular no espaço

Solução 1.16 dos campos dados obtemosa) calculando ~P , we e wm obtemos

~P = ~E × ~H = (~ax × ~ay)E2

0

ηcos2(ωt− kz) =

E20

ηcos2(ωt− kz)~az W/m2

we =ε

2| ~E|2 =

ε

2E2

0 cos2(ωt− kz) W/m3

wm =µ

2| ~H|2 =

µ

2

E20

η2cos2(ωt− kz) =

ε

2E2

0 cos2(ωt− kz) W/m3

b) como não há fontes ou perdas não temos Pf e Pd, integrando o vetor de Poynting ~P nasuperfície que define a região, obtemos a potência que evade da região, como a direção de ~P éconstante e igual a ~az, só teremos os termos relativos as faces em z = 0 e z = c, figura 1.29,assim obtemos∮

S

~P · ~ds =

{∫ a

0

∫ b

0

~P (z = 0) · (~az) dxdy +

∫ a

0

∫ b

0

~P (z = c) · (~az) dxdy

}=

−E20

ηa b [cos2ωt− cos2(ωt− kc)], como cos2x = 2cos2x− 1

Pe =−E2

0

2ηa b [cos2ωt− cos2(ωt− kc)] W


a energia armazenada na região é∫V

(we + wm)dv =E2

0

2

∫ a

0

dx

∫ b

0

dy

∫ c

0

dz

(ε +

µ

η2

)cos2(ωt− kz)

=ε E2

0

2a b

∫ c

0

[1 + cos2(ωt− kz)] dz

∂

∂t(We + Wm)dv =

E20

2a b

∂

∂t

{sen2(ωt− kz)

2(−k)

∣∣∣∣c0

}=

−E20

2ka b ω [cos2(ωt− kc)− cos2ωt]

=E2

0

2ηa b [cos2ωt− cos2(ωt− kc)] W

substituindo as parcelas calculadas na equação (1.60) vemos que ela é satisfeita.

Exemplo 1.17 Uma onda eletromagnética propagando na água do mar (ε = 80ε0, σ = 4 S/meµ =µ0) possui os seguintes campos

~E = 1 e−0,628zcos(5× 104πt− 0, 628z)~ax V/m,

~H = 4, 502 e−0,628zcos(5× 104πt− 0, 628z − π/4)~ay A/m.

Determine o fluxo de potência instantânea por unidade de área normal a direção z.

Solução 1.17 O fluxo de potência instantânea por unidade de área normal a direção z é dadopela componente z do vetor de Poynting. O vetor de Poynting é dado por

~P = ~E × ~H

= 4, 502 e−1,256zcos(5× 104πt− 0, 628z) cos(5× 104πt− 0, 628z − π/4)~az W/m2,

assimPz = 2, 251 e−1,256z

[cos(π/4) + cos(105πt− 1, 256z − π/4)

]W/m2,

observe que este fluxo decresce na medida que a onda propaga, por que?

Campos Harmônicos no Tempo 43

1.7 Campos Harmônicos no TempoNas seções 1.2 e 1.3 as formas integral e diferencial das equações de Maxwell foram apresen-

tadas para campos eletromagnéticos com variações no tempo genéricas,entretanto, na maioria das aplicações, a função fonte ~J(x, y, z) é periódica no tempo, figura1.30.a. Tal função possui um espectro de freqüências de Fourier discreto, isto é, podem ser rep-resentadas por um somatório de funções senoidais, figura 1.30.b. No caso de uma função fontenão periódica, figura 1.31.a, temos um espectro de freqüência de Fourier contínuo, figura 1.31.b,isto é, podem ser representadas por uma soma contínua (integral) de funções senoidais. Comoas equações de Maxwell são lineares, no caso de meios lineares, podemos aplicar superposiçãode soluções , isto é, a soma de cada solução devido a uma fonte individual (ex. pulso periódicoou pulso não periódico) é igual a solução correspondente a uma combinação das funções indi-viduais presentes na fonte (ex. somatório ou integração das funções senoidais). Chegamos aconclusão que para estudar um campo eletromagnético genérico, podemos aplicar o teorema deFourier para decompor o campo em termos de funções harmônicas simples (monocromáticas)e, pela aplicação da superposição de soluções, é suficiente considerar a solução das equações deMaxwell para uma fonte harmônica simples. Por exemplo, considerando duas fontes ~J1 e ~J2

nas freqüências f1 e f2, respectivamente, teríamos{~J1 → ~E1, ~H1

~J2 → ~E2, ~H2

}⇒ ~J = ~J1 + ~J2 → ~E1 + ~E2, ~H1 + ~H2

Considerando que o campo eletromagnético possa ser transformado para o domínio da fre-qüência, usaremos os seguintes pares de transformadas de Fourier

E(~r, ω) =1

2π

∫ ∞

−∞

~E(~r, t) e−jωtdt H(~r, t) =1

2π

∫ ∞

−∞

~H(~r, t) e−jωtdt, (1.62)

~E(~r, t) =

∫ ∞

−∞E(~r, ω) ejωtdω ~H(~r, t) =

∫ ∞

−∞H(~r, ω) ejωtdω. (1.63)

Passando a equação (1.12) para o domínio da freqüência, usando o par dado na equação (1.63),encontramos

∇×{∫ ∞

−∞E(~r, ω)ejωtdω

}= − ∂

∂t

{∫ ∞

−∞µH(~r, ω)ejωt

},∫ ∞

−∞∇× E(~r, ω)ejωtdω = −j ω µ

∫ ∞

−∞H(~r, ω)ejωt,

então, temos que a primeira equação de Maxwell está operando sobre os campos complexosE(~r, ω) e H(~r, ω), e torna-se

∇× E = −j ωµH = −j ωB. (1.64)

Usar a transformada de Fourier para estabelecer as equações de Maxwell sobre campos efontes complexos é maneira mais geral, já que obtemos equações para


Figura 1.30: Espectro de Fourier discreto

qualquer campo e fonte em que seja possível definir os seus espectros de Fourier. Uma maneiramais particular é estabelecer que os campos e fontes possuem variação temporal da forma cosωt,dessa forma definimos que os campos instantâneos são dados por

~E(~r, t) = <e{E(~r) ejωt

}, (1.65)

~H(~r, t) = <e{H(~r) ejωt

}, (1.66)

~D(~r, t) = <e{D(~r) ejωt

}, (1.67)

~B(~r, t) = <e{B(~r) ejωt

}, (1.68)

~J(~r, t) = <e{J(~r) ejωt

}, (1.69)

ρ(~r, t) = <e{qe(~r) ejωt

}, (1.70)

ejωt = cos ωt + jsen ωt. Os termos entre { } são os campos e fontes na forma fasorial. Destasdefinições segue que o operador ∂/∂t que aparece nas equações de Maxwell será substituído porjω.


Figura 1.31: Espectro de Fourier contínuo

Exemplo 1.18 Determine as formas fasoriais dos seguintes campos instantâneos:(a) ~E(~r, t) = 2 sen ωt~ay; (b) ~E(~r, t) = cos(ωt− kz)~ax + 2 sen(ωt− kz)~ay.

Solução 1.18(a) para usar a convenção adotada temos que escrever o campo como

~E(~r, t) = 2 sen ωt~ay = 2 cos(ωt− π/2)~ay,

assim,

~E(~r, t) = <e{E(~r) ejωt

}= 2 cos(ωt− π/2)~ay = <e

{2 e−jπ/2 ejωt~ay

}E(~r) = 2 e−jπ/2 ~ay = −2 j ~ay,

observe que o termo ejωt fica implícito na resposta e que a defasagem inicial de −π/2 é repre-sentada pelo termo −j na notação fasorial

(b) da mesma forma que no caso (a) escrevemos o campo na seguinte forma

~E(~r, t) = cos(ωt− kz)~ax + 2 cos(ωt− kz − π/2)~ay


assim,~E(~r, t) = <e

{[e−jkz ~ax + 2 e−jπ/2 e−jkz ~ay

]ejωt

}E(~r) = (~ax − 2 j ~ay) e−jkz.

observe que o termo ejωt fica implícito na resposta e que a defasagem de −π/2 da componente~ay em relação a componente ~ax é representada pelo termo −j na componente ~ay, o que dáorigem a um vetor complexo.

Exemplo 1.19 Determine as formas instantâneas dos seguintes campos fasoriais: (a) E(~r, ω) =(~ax + 2 ejπ/4 ~ay)e

−j k z; (b) E(~r, ω) = (1− j)~ay e−j k x.

Solução 1.19 O processo de recuperar a forma instantânea é aplicar a operação ~A(~r, t) =<e {A(~r, ω) ejωt}.

(a)

~E(~r, t) = <e{[

(~ax + 2 ejπ/4 ~ay)e−j k z

]ejωt

}= cos(ωt− k z)~ax + 2cos(ωt− k z + π/4)~ay;

(b)

~E(~r, t) = <e{[

(1− j)~ay e−j k x]ejωt

}= [cos(ωt− k x) + cos(ωt− k x− π/2)]~ay

=√

2 cos(ωt− k x− π/4)~ay ou

= <e{[√

2 e−jπ/4~ay e−j k x]ejωt

}=√

2 cos(ωt− k x− π/4)~ay,

observe que o segundo procedimento é mais direto que o primeiro. Um vetor complexo significauma fase inicial diferente de zero na forma instantânea.

1.7.1 Equações integrais para campos harmônicos

São obtidas usando as transformadas de Fourier ou, de forma mais direta, usando-se asdefinições dos campos e fontes instantâneos em termos dos respectivos fasores, nas equaçõesintegrais de Maxwell, equações (1.1), (1.2), (1.3) e (1.4), assim obtemos∮

c

E · ~dl = −j ω

∫s

B · ~dS, (1.71)∮c

H · ~dl = j ω

∫s

D · ~dS +

∫s

J · ~dS, (1.72)∮s

D · ~dS =

∫v

qe dv, (1.73)∮s

B · ~dS = 0. (1.74)

1.7.2 Equações diferenciais para campos harmônicos

São obtidas da mesma forma que a feita para as equações integrais, assim, das equaçõesdiferenciais de Maxwell, equações (1.12), (1.13), (1.14) e (1.15), encontramos

∇× E = −j ω B, (1.75)∇×H = j ω D + J, (1.76)∇ ·D = qe, (1.77)∇ ·B = 0. (1.78)


1.7.3 Condições de Fronteiras para campos harmônicos

As condições de fronteira para campos harmônicos no tempo, são obtidas da mesma formaque a feita para as equações de Maxwell, e, das equações 1.28, 1.34, 1.40 e 1.42, são dadas por

~n× (E2 − E1) = 0, (1.79)~n× (H2 −H1) = Js, (1.80)~n · (D2 −D1) = qe, (1.81)~n · (B2 −B1) = 0. (1.82)

1.7.4 Vetor de Poynting complexo

Na seção 1.6 foi mostrado que potência e energia estão associadas a campos eletromagnéticosvariantes no tempo. A equação da conservação da energia, na forma diferencial e integral,foi estabelecida nas equações (1.50) e (1.52), respectiva-mente. Equações similares podemser deduzidas para campos harmônicos no tempo, primeiro escreveremos o vetor de Poyntinginstantâneo ~P em termos dos vetores campo eletromagnético complexo, das equações (1.65) e(1.66) temos

~E(x, y, z; t) =1

2

[E ej ω t + E e−j ω t

], (1.83)

~H(x, y, z; t) =1

2

[H ej ω t + H e−j ω t

], (1.84)

assim o vetor de Poynting é dado por

~P =1

2

[E ej ω t + E e−j ω t

]× 1

2

[H ej ω t + H e−j ω t

], (1.85)

desenvolvendo a equação (1.85) chegamos a

~P =1

2

{1

2

[E×H + (E×H)

]+

1

2

[E×H ej 2 ω t + (E×H) e−j 2 ω t

]},

que pode ser escrita como

~P =1

2

[<e(E×H) + <e(E×H ej 2 ω t)

]. (1.86)

Analisando a equação (1.86) vemos que a primeira parcela não é função do tempo, e asegunda varia com o dobro da freqüência dos campos, isto significa que a primeira parcelarepresenta a densidade de potência real, potência média , associada com os campos eletro-magnéticos e a segunda parcela representa a potência armazenada, potência reativa . Usandoa definição de valor médio de uma função

< f(t) > =1

T

∫ T

0

f(t) dt, (1.87)

na equação (1.86), reconhecemos que o seu primeiro termo é o vetor de Poynting médio, isto é,o vetor densidade cuja integração fornece a densidade de potência média, é dado por

~Pm =1

2<e(E×H). (1.88)

Exemplo 1.20 Obter o valor médio no tempo de | ~E|2 com ~E = E1 cos ω t~ax + E2 cos ω t~ay +E3 cos ω t~az.


Solução 1.20 Aplicando a definição de valor médio de uma função obtemos.

< | ~E|2 > =1

T

∫ T

0

[(E1 cos ω t)2 + (E2 cos ω t)2 + (E3 cos ω t)2

]dt

=1

2(E2

1 + E22 + E2

3)

Exemplo 1.21 Os campos eletromagnéticos de uma onda eletromagnética são dados por ~E =100 sen(ω t− 2z)~ax e ~H = 0, 265 sen(ω t− 2z)~ay. Calcule a densidade de potência média.

Solução 1.21 Usando campos fasoriais poderemos aplicar a equação (1.88), eles são dados porE = 100 e−j 2 z ~ax e H = 0, 265 e−j 2 z ~ay, assim obtemos

~Pm =1

2<e(E×H) =

100

2e−j 2 z ~ax × 0, 265 ej 2 z ~ay = 13, 25~az(W/m2).

a densidade de potência média é o módulo do vetor ~Pm, então, 13, 25 (W/m2).

Exemplo 1.22 Os campos eletromagnéticos distantes emitidos por uma antena dipolo são da-dos, em coordenadas esféricas, por

~E =I0 ω µ

4πrcos(ω t− kr + π/2) senθ~aθ e ~H =

I0 k

4πrcos(ω t− kr + π/2) senθ~aφ.

Calcule a potência media emitida por esta antena.

Solução 1.22 A potência média emitida pela antena é a integração do vetor de Poynting médionuma esfera de raio r que envolve a antena, figura 1.32. Novamente usamos campos fasoriais(caminho mais fácil), eles são dados por

E = j I0 ω µe−jkr

4πrsenθ~aθ e H = j I0 k

e−jkr

4πrsenθ~aφ,

assim obtemos~Pm =

1

2<e (E×H) =

1

2I20

ω µ k

16π2r2sen2θ~ar (W/m2),

integrando o vetor de Poynting obtemos

Pm =1

2

∫ π

0

∫ 2π

0

(I20

ω µ k

16π2r2sen2θ~ar · r2 senθ dθ dφ~ar

)=

ω µ k

12πI20 (W )


Figura 1.32: Antena dipolo na origem do sistema de coordenadas

Exercícios 50

1.8 ExercíciosEquações de Maxwell

1. Leia a seção 2.5 da referência [1] e escreva um resumo das experiências que fundamentama teoria eletromagnética, associando com as equações de Maxwell.

2. Para cada equação de Maxwell, nas formas integral e diferencial, escolha e resolva doisproblemas. Sugestão: escolha problemas propostos nas referências.

3. Obter a lei de Ampère e a lei de Gauss, nas suas formas diferenciais, a partir das equaçõesintegrais de Maxwell.

4. Obter a lei de conservação da carga na sua forma diferencial, a partir das equaçõesdiferenciais de Maxwell.

5. Em uma região do espaço livre (ε0, µ0) o campo elétrico vale~E = E0 cos(ωt − kx)~az. Determine o campo magnético nesta região.Resp. ~H = −E0 k

ω µ0cos(ωt− kx)~ay.

Condições de Fronteira

6. Na interface plana de dois dielétricos, um campo elétrico tem a intensidade E1 = 10 V/me faz um ângulo θ1 = 30o com a normal da interface. Se ε2 = ε1/2, calcule E2 e θ2, campona região 2 e o ângulo que faz com a normal. Resp. E2 = 18 V/m e θ2 = 16, 1o.

7. O plano y + z = 1 divide o espaço em duas regiões. A região 1, que contém a origemdo sistema de coordenadas, possui µr1 = 4. Na região 2 µr2 = 6. Sabendo que ~B1 =2~ax+1~ayT , encontre ~B2 e ~H2. Resp. ~B2 = 3~ax+1, 25~ay−0, 25~azT e ~H2 = 1/µ0 (0, 5~ax+0, 21~ay − 0, 04~az) A/m.

8. A região x > 0 é um dielétrico perfeito com permissividade 2ε0, e a região x < 0 é umdielétrico perfeito com permissividade 4ε0. Considere que as componentes de campo numponto sobre o lado da fronteira x+ são de índice 1 e sobre o lado x− são de índice 2. Se~E1 = E0 (2~ax + ~ay + ~az), determine: (a) Ex1/Ex2; (b) E1/E2; e (c) D1/D2. Resp. 2;

√2;

1/√

2.

9. O plano x = 0 forma a fronteira entre o espaço livre (x > 0) e um outro meio. Determine:(a) ~Js se x < 0 é um condutor perfeito e ~H(0+, 0, 0) = H0 (3~ay − 4~az); (b) ~H(0+, 0, 0) sex < 0 é um material magnético com µ = 10µ0 e ~H(0−, 0, 0) = H0 (~ax + 10~ay); (c) a razãoB(0−, 0, 0)/B(0+, 0, 0) se x < 0 é um material magnético com µ = 10µ0 e ~H(0−, 0, 0) =H0 (~ax + 10~ay). Resp. (a) H0 (4~ay + 3~az); (b) 10H0 (~ax + ~ay); (c) 7,1063.

10. Uma película plana de corrente, ~K = 6, 5~az A/m, flui no plano x = 0 que separa asregiões 1, x > 0, onde ~H1 = 10~ay A/m, e a região 2, x < 0. Determine ~H2 em x = 0+.Resp. ~H2 = 16, 5~ay A/m.

Campos Harmônicos no Tempo

11. Deduza as equações de Maxwell para campos harmônicos no tempo.

12. Determine os vetor de Poynting médio para os seguintes pares de campos:(a) ~E = 5 sen(ωt + 50o)~az e ~H = 3 sen(ωt + 30o)~ax;(b) ~E = 10 sen(ωt)~ax e ~H = 2 cos(ωt)~ay. Resp. (a) 7, 05~ay; (b) 0

Exercícios 51

13. Em um guia retangular temos que o campo eletromagnético é dado porEy = (C ω µ0 a)/π sen(πx/a) sen(ωt − kz), Hx = −C β a/π sen(πx/a) sen(ωt − kz) eHz = C cos(πx/a) cos(ωt − kz). Expresse estes campos na forma fasorial. Resp. Ey =(C ω µ0 a)/π sen(πx/a) e−j β z, Hx = j C β a/π sen(πx/a) e−j β z, Hz = C cos(πx/a) e−j β z.

14. Encontre os valores médios no tempo das seguintes funções: (a) Acos3 ω t; (b) A(cos2ω t+cos22ω t); e (c) Acos6ω t. Resp. (a) 0; (b) A; (c) 5

16A.

15. Determine o vetor de Poynting médio do exemplo 1.4.Resp. ~Pm = 1, 59 e−1,256z ~az

16. O campo eletromagnético distante de uma antena dipolo que está no espaço livre e colo-cada na origem do sistema de coordenadas é dado por~E = 100/r senθ cos(ωt− kr)~aθ V/m e ~H = 0, 265/r senθ cos(ωt− kr)~aφ A/m. Calcule apotência média que atravessa uma casca hemisférica definida por r = 1Km, 0 ≤ θ ≤ π/2.Compare com a potência total emitida pela antena. Resp. Pm ≈ 55, 5W , Pm/P t

m = 1/2.

17. Supondo que uma lâmpada de 100W emita toda a sua energia em forma de luz (de-sprezamos as outras perdas), uniformemente em todas as direções, estime os valoresmédios quadráticos dos campos | ~E| e | ~H| a uma distância de 1m da lâmpada. Resp.| ~E|2 ≈ 54, 4V/m e | ~H|2 ≈ 0, 15A/m.

18. O campo magnético de uma onda eletromagnética propagando na direção +z em um meionão magnético (µ = µ0) é dado por ~H = 0, 1 e−z cos(6π×107t−

√3z)~ay A/m. Determine:

(a) o fluxo de potência instantâneo e o fluxo de potência média cruzando uma superfíciede 1m2 de área no plano z = 0; (b) o fluxo de potência média cruzando uma superfíciede 1m2 de área no plano z = 1. Resp. (a) 1, 026W , 0, 513W ; (b) 0, 069W .

19. O campo eletromagnético de uma onda plana na forma fasorial é definido por E =50 ej(ω t−β z) ~ax V/m e H = (5/12 π) ej(ω t−β z) ~ay A/m. Determine a potência média queatravessa uma área circular de 2, 5 m de raio pertencente a um plano z = constante.Resp. Pm = 65, 1 W .

20. No espaço livre temos ~E(z, t) = 150 sen(ω t− β z)~ax V/m. Calcule a potência média queatravessa uma área retangular de lados 30 mm e 15 mm. situada no plano z = 0. Resp.Pm = 13, 4 mW .

Referências 52

1.9 Referências1. Paris Paris, D. T. e Hurd, F. K., "Teoria Eletromagnética Básica", Guanabara Dois, 1984.

2. Kraus Kraus, D. e Carver, K.R., "Eletromagnetismo", Guanabara Dois, 1978.

3. Hayt Hayt, William H. Jr., "Eletromagnetismo", 4a Ed., Livros Técnicos e Científicos.

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Equações de Maxwell