Equacoes Diferenciais

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Resumo para equacoes diferenciais

Text of Equacoes Diferenciais

  • 1

    Modelagem Analtica

    Captulo I

    Equaes Diferenciais

    I.1 Introduo

    As Equaes Diferenciais so sentenas matemticas

    envolvendo derivadas ou diferenciais de funes. So denominadas

    de equaes diferenciais ordinrias quando contm derivadas em

    uma nica varivel independente. So denominadas de equaes

    diferenciais parciais se incluem termos envolvendo derivadas

    parciais de funes em mltiplas variveis independentes.

    Como exemplos de Equaes Diferenciais Ordinrias

    podem-se apresentar as sentenas matemticas:

    01xdx

    dy 2 (I.1)

    0dx)1y(dy)1x( 22 (I.2)

  • 2

    Exemplos de Equaes Diferenciais Parciais, por sua vez,

    seriam as sentenas matemticas:

    1yx)1t(t

    zx

    y

    z

    x

    z 22

    (I.3)

    t

    uc

    z

    u

    y

    u

    x

    u2

    2

    2

    2

    2

    2

    (I.4)

    A modelagem de muitas leis fsicas ligadas aplicao da

    Engenharia resulta em equaes diferenciais. Dentre os exemplos

    destacam-se: O fenmeno do escoamento em meio fluido; os

    problemas da difuso qumica e de calor; a flambagem de colunas;

    as deformaes estruturais; o adensamento das argilas saturadas; a

    propagao de ondas. . .

    Este captulo tratar essencialmente das equaes

    diferenciais ordinrias apresentando-se em seu contedo tcnicas

    de resoluo aplicveis aos tipos mais freqentes de equaes

    dessa natureza.

    Antes de dar prosseguimento abordagem do presente

    tema, convm, a priori, apresentar notaes de derivadas utilizadas

    nesse texto. Assim, por exemplo, y(k)

    representa a derivada de

    ordem k de uma funo y = f(x), em ralao varivel

    independente x. y(0)

    representa a derivada de ordem zero de

    uma funo f(x), em ralao varivel independente x, e,

    portanto, a prpria funo.

  • 3

    Uma equao da forma:

    0)y,...,y,y,y,x(F )n()2()1( (I.5)

    onde y e suas sucessivas derivadas y(k)

    so funes,

    exclusivamente, de uma nica varivel x, denominada de

    equao diferencial ordinria de ordem n.

    A ordem de uma equao diferencial definida como sendo a

    maior ordem das derivadas ou diferenciais que constam na referida

    equao assim x2y )1( , uma equao diferencial ordinria de

    primeira ordem enquanto 0y15]y[xy 2)1(2)2( , uma

    equao diferencial ordinria de segunda ordem.

    Se a funo F, equao I.5, uma funo polinomial

    ento, o seu grau o maior expoente associado derivada ou

    diferencial de maior ordem. Assim, a equao

    x5)2(24)3( exy4]y[x]y[ de quarto grau, ao passo que a

    equao )1(32)4( yx1]y[ de segundo grau.

    Uma funo f soluo de uma equao diferencial se,

    uma vez substituindo y = f(x) nessa equao diferencial, resulta

    uma identidade. Diante de tal definio, a funo cx)x(f 2 , por

    exemplo, soluo geral da equao diferencial 0x2y )1( . De

    fato, substituindo f(x) na equao diferencial resulta:

  • 4

    0x2dx

    )cx(d 2

    000x2x2 ,

    reduzindo-se, portanto, a uma identidade. Ou seja, 0 = 0.

    Tal verificao poderia seguir seqncia de raciocnio

    alternativa, como por exemplo:

    0x2dx

    )cx(d 2

    x2dx

    )cx(d 2

    x2x2

    Que, igualmente, reduziu-se identidade 2x = 2x.

    A funo soluo cx)x(f 2 , incluindo a constante c

    denominada soluo geral da equao diferencial. A constante c

    recebe a denominao de Constante de Integrao ou Constante

    Arbitrria. A funo soluo cx)x(f 2 , representada

    graficamente mediante uma famlia de parbolas, figura I.1, na qual

    cada membro caracterizado por um valor particular de c.

  • 5

    Figura III.1 Representao grfica da funo soluo

    Fixando-se um valor especfico para c a funo f(x) se

    transforma em uma soluo particular.

    A funo x21 e)xcosCsenxC()x(fy soluo da

    equao diferencial 0y2dx

    dy2

    dx

    yd2

    2

    , pois:

    x2121 e]xcos)CC(senx)CC[(

    dx

    dy e,

    x122

    2

    e)xcosCsenxC(2dx

    yd

    Levando-se y = f(x) e estas expresses de sua primeira e

    sua segunda derivada na equao diferencial resulta:

  • 6

    0e)xcosCsenxC(2

    e]xcos)CC(senx)CC[(2e)xcosCsenxC(2

    x21

    x2121

    x12

    0e]xcos)CCCC(senx)CCCC[(2 x22111212

    Uma vez que os termos no interior de ambos os parnteses

    so nulos resulta:

    00

    que uma identidade.

    A funo 2)x(fy , entretanto, no soluo da

    equao diferencial 0y2dx

    dy2

    dx

    yd2

    2

    , pois:

    04)2(2dx

    )2(d2

    dx

    )2(d2

    2

    -

    Uma soluo geral de uma equao diferencial deve conter

    tantas constantes arbitrrias independentes quanto for a sua ordem.

    Em assim sendo, as funes soluo das equaes diferenciais:

    y(1)

    = 2x; y(2)

    = 25y; e, y(4)

    = 100y + 1;

    precisam apresentar, respectivamente, uma, duas, e quatro

    constantes arbitrrias independentes para, desta forma,

    constiturem, solues gerais. Entenda-se que, as constantes

    arbitrrias de uma funo so independentes, quando no puderem

  • 7

    ser reduzidas a um total menor de constantes, sem induzir em

    alterao do contedo matemtico da funo. Em outras palavras,

    quando a funo soluo de uma equao diferencial de ordem n,

    puder ser escrita mediante a forma de uma combinao linear do

    tipo:

    nn2211 yc . . . . ycycy (I.6)

    sendo as funes y1, y2, . . ., yn, linearmente independentes, ou seja:

    nk1ni1kiCyy ki (I.7)

    ento tal funo soluo geral. Neste ponto, convm ressaltar,

    inclusive, que, se um conjunto de funes y1, y2, . . ., yn so solues

    de certa equao diferencial, ento, qualquer combinao linear

    envolvendo tais funes tambm soluo da referida equao

    diferencial.

    Exerccios Propostos:

    1 Verificar se as funes so soluo das equaes diferenciais

    ao lado apresentadas:

    a - ) x22x

    1 ecec)x(f 0y2dx

    dy3

    dx

    yd2

    2

    ; e,

    b - ) x3ce)x(f 0y3dx

    dy .

  • 8

    I.2 - Equaes Diferenciais Separveis

    Equaes diferenciais separveis so aquelas que se

    apresentam sob a forma de sentenas matemticas nas quais as

    variveis x e y podem ser isoladas em termos distintos, mediante

    transformaes algbricas elementares. Em suma, representa um

    grupo especial de equaes diferenciais que se apresentam

    mediante a forma:

    0y)y(N)x(M )1( (I.8)

    onde M e N so funes contnuas.

    Exerccio I.1: Encontrar a soluo geral da equao diferencial:

    0xdx

    dy

    Para resolver esta equao, procede-se inicialmente

    separao de variveis, isolando os termos na varivel "y" no

    primeiro membro, e, aqueles na varivel "x" no segundo membro.

    Desta forma, a equao diferencial poderia assumir a forma:

    xdxdy

  • 9

    Em seguida, aplica-se forma resultante, a integrao

    membro a membro, acompanhada da introduo da constante

    arbitrria de integrao. Assim procedendo ter-se-ia para soluo

    geral:

    cx2

    1y 2

    Exerccio I.2: Encontrar a soluo geral da equao diferencial:

    0y2dx

    dy

    Separando-se as variveis tem-se:

    dx2dyy

    10y2

    dx

    dy

    Integrando-se a segunda igualdade membro a membro e

    introduzindo-se a constante arbitrria apropriadamente, resulta:

    Cx2)ylog(

    Observe-se que o objetivo encontrar a funo y = f(x) que

    satisfaa a sentena matemtica definida pela equao objeto de

    resoluo. A forma acima ainda no apresenta tal funo de forma

    explcita. Para obt-la faz-se necessrio neutralizar a funo

    logartmica, o que se consegue a partir da aplicao da

    exponenciao membro a membro. Assim procedendo-se a funo

  • 10

    soluo da equao diferencial objeto de resoluo pode assumir a

    forma:

    Cx2)Cx2( e.eey

    Uma vez que c uma constante arbitrria eC tambm o

    ser, e, portanto:

    x2Cx2)Cx2( e.e.eey

    desde que = eC. A constante assim definida passa a

    desempenhar o papel de constante arbitrria.

    Se uma dada funo f soluo da equao diferencial

    (I.8), ento:

    0)x(f))x(f(N)x(M )1( (I.9)

    Se f(1)

    (x) contnua a integrao de (I.9) resulta em:

    C)x(f))x(f(Ndx)x(M)1( (I.10)

    c representa a constante de integrao. A equao (I.10) pode ser

    escrita alternativamente na forma:

    Cdy)y(Ndx)x(M (I.11)

  • 11

    Exerccios propostos:

    2 Resolver as equaes diferenciais:

    a - ) 0ydxxdy ; e, b - ) 0xdxcosdy .

    I.3 - Equaes Diferenciais Redutveis Forma Separvel

    So equaes que originalmente no so separveis,

    entretanto, mediante artifcio especial podem ser transformadas em

    equaes dessa modalidade. Para o seu reconhecimento vale

    ressaltar que elas apresentam, ou, mediante transformaes

    algbricas elementares pertinentes podem assumir, a forma especial

    de expresso do tipo:

    )x/y(gdx

    dy (I.12)

    Para sua resoluo consideremos a parametrizao

    x/yu . Ou seja:

    dx

    duxu

    dx

    dyuxy