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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. CURVAS INTEGRAIS. CAMPO DE DIREÇÕES. PROBLEMA COM VALOR INICIAL (pvi). CAMPO DE DIREÇÕES E CURVAS INTEGRAIS. y´ = 3 + 2y. CAMPO DE DIREÇÕES E CURVAS INTEGRAIS. y’ = -1- 2y. CAMPO DE DIREÇÕES E CURVAS INTEGRAIS. y’=y 2. CAMPO DE DIREÇÕES E CURVAS INTEGRAIS. - PowerPoint PPT Presentation
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
, :
:
( ) :
(́ ) ( )
(́ ) ( )
(́ ) ( )
(́
equaçao que relaciona uma funçao com suas derivadas
x t variaveis independentes
y variavel dependente
Problema de um corpo em queda livre
y t velocidade no instante t
my t mg y t
y t g y tm
y t y t gm
y
) ( )
(́ )
( )
| ( ) |
mt y t g
m
y tm my t g
integrando
mln y t g t c
m
| |
| |
mln y g t c t tcm m m
tm
tm
tm
calculando a ex ponencial
e e e e ce
my g ce
m my g y g ce
m my g y g ce
5
5
ˆ :
10
2
9,8
49 , 49
49 , 49
t
t
para parametros terrestres
m
g
y ce y
y ce y
CURVAS INTEGRAIS
CAMPO DE DIREÇÕES
PROBLEMA COM VALOR INICIAL (pvi)
0
5
5
(0) 0
0 49 49
49(1 )t
suponha para o problema que y
ce c
y e
CAMPO DE DIREÇÕES E CURVAS INTEGRAIS
y´ = 3 + 2y
CAMPO DE DIREÇÕES E CURVAS INTEGRAIS
y’ = -1- 2y
CAMPO DE DIREÇÕES E CURVAS INTEGRAIS
y’=y2
CAMPO DE DIREÇÕES E CURVAS INTEGRAIS
y’ = y(y - 2)2
METODO DE EULER
0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 1 1 1 1 1
:
( ) (0) 1
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( , ) 1 (0 1)0,1 1,1
( ) ( ) ( ) ( ( ))
considere a equaçao
y x y y x y
o me todo de Euler consiste em calcular valores aproximados para y
y y x y y x h y x x y x h y x F x y h
y y x y y x h y x x y x h y
1 1 1
3 3 2 2
1
2
3
( ) ( , ) 1,1 (0,1 1,1)0,1 1,22
( ) ( ) 1,22 (0,2 1,22)0,1 1,362
...
:
2 1
1,110342
1,242806
1,399718
x
x F x y h
y y x y y x h
comparando com os valores da soluçao simbo lica
y e x
y
y
y
EQUAÇÕES SEPARÁVEIS
2
2
2 2
2 2
3 3
3 1/3
1
( ) ( )
( ) ( )
1 1
3 3
( )
aequaçao diferencial de ordem
h y dy g x dx
h y dy g x dx
exemplo
dy x
dx y
y dy x dx
y dy x dx
y x c
y x c
APLICAÇÕES
, ,
.
.
) ( )
Um jovem sem capital inicial investe k reais por ano a uma
taxa anual de rendimento r Suponha que os investimentos
sao feitos continuamente e que o rendimento e composto
continuamente
a Determine a quantia S t acumulada em qualque
) 7,5%,
$1 40
) $2000 / ,
$1 40 .
r instante
b Se r determine k de modo que esteja disponivel
R milhao para a aposentadoria apo s anos
c Se k R ano deternine a taxa de rendimento r que
precisa ser aplicada para se ter R milhao apos anos
0 0
0
0,075*40 0,075*40
*40 *
( ) 1
( )
:
) ( ) (e 1)
)1.000.000 (0) ( 1) $3930,000,075
2.000)1.000.000 (0) (
ntrt
n
rt
rt rt
r r
rS t lim S S e
n
dSrS e rS t
dtcom os depositos a equaçao passa a ser
dSrS k
dtk
a S t cer
kb S e e k R
c S e er
40 1) 9,77%r
