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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisMtodos Numricos para PDEs
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais
Carlos Balsabalsa@ipb.pt
Departamento de MatemticaEscola Superior de Tecnologia e Gesto de Bragana
Matemtica Aplicada - Mestrados Eng. Qumica e Industrial
Carlos Balsa Matemtica Aplicada 1/ 41
Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisMtodos Numricos para PDEs
Outline
1 Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisEquaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
2 Mtodos Numricos para PDEsProblemas Dependentes do TempoProblemas Independentes do TempoSistemas Esparsos
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1 Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisEquaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
2 Mtodos Numricos para PDEsProblemas Dependentes do TempoProblemas Independentes do TempoSistemas Esparsos
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais(EDPs) envolvemderivadas parciais relativamente a mais do que uma varivelindependente
Geralmente, as variveis independentes so uma ou maisdimenses espaciais e possivelmente tambm o tempoQuantas mais dimenses mais complexa a formulao doproblema: podemos ter problemas de valor inicial puros,problemas de fronteira puros ou uma mistura de ambos osproblemas
Equaes e valores fronteira podem eventualmente ser relativosa domnios irregulares
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais(EDPs) envolvemderivadas parciais relativamente a mais do que uma varivelindependenteGeralmente, as variveis independentes so uma ou maisdimenses espaciais e possivelmente tambm o tempo
Quantas mais dimenses mais complexa a formulao doproblema: podemos ter problemas de valor inicial puros,problemas de fronteira puros ou uma mistura de ambos osproblemas
Equaes e valores fronteira podem eventualmente ser relativosa domnios irregulares
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais(EDPs) envolvemderivadas parciais relativamente a mais do que uma varivelindependenteGeralmente, as variveis independentes so uma ou maisdimenses espaciais e possivelmente tambm o tempoQuantas mais dimenses mais complexa a formulao doproblema: podemos ter problemas de valor inicial puros,problemas de fronteira puros ou uma mistura de ambos osproblemas
Equaes e valores fronteira podem eventualmente ser relativosa domnios irregulares
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais(EDPs) envolvemderivadas parciais relativamente a mais do que uma varivelindependenteGeralmente, as variveis independentes so uma ou maisdimenses espaciais e possivelmente tambm o tempoQuantas mais dimenses mais complexa a formulao doproblema: podemos ter problemas de valor inicial puros,problemas de fronteira puros ou uma mistura de ambos osproblemas
Equaes e valores fronteira podem eventualmente ser relativosa domnios irregulares
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais, continuao
Para simplificar, vamos lidar apenas com problemas PDEssimples (e no com sistemas de vrias PDEs) com apenas duasvariveis independentes, nomeadamente
Duas variveis espaciais designadas por x e y , ouUma varivel espacial designada por x e uma variveltemporal designada por t
derivadas parciais relativamente a variveis independentes sodesignadas atravs de subscitros, como por exemplo
ut = u/tuxy = 2u/xy
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais, continuao
Para simplificar, vamos lidar apenas com problemas PDEssimples (e no com sistemas de vrias PDEs) com apenas duasvariveis independentes, nomeadamente
Duas variveis espaciais designadas por x e y , ouUma varivel espacial designada por x e uma variveltemporal designada por t
derivadas parciais relativamente a variveis independentes sodesignadas atravs de subscitros, como por exemplo
ut = u/tuxy = 2u/xy
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Exemplo: Equao da Adveco
Equao da Advecout = cux
com c uma constante no nula
Soluo nica determinada pela condio inicial
u(0, x) = u0(x), < x 0, ou para a esquerda se c < 0
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Exemplo: Equao da Adveco
Equao da Advecout = cux
com c uma constante no nulaSoluo nica determinada pela condio inicial
u(0, x) = u0(x), < x 0, ou para a esquerda se c < 0
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Exemplo: Equao da Adveco
Equao da Advecout = cux
com c uma constante no nulaSoluo nica determinada pela condio inicial
u(0, x) = u0(x), < x 0, ou para a esquerda se c < 0
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Exemplo: Equao da Adveco
Equao da Advecout = cux
com c uma constante no nulaSoluo nica determinada pela condio inicial
u(0, x) = u0(x), < x 0, ou para a esquerda se c < 0
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Exemplo: Equao da Adveco
Equao da Advecout = cux
com c uma constante no nulaSoluo nica determinada pela condio inicial
u(0, x) = u0(x), < x 0, ou para a esquerda se c < 0
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Exemplo, continuao
Soluo tpica da equao de adveco. A funo inicial transladada com o tempo
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Caractersticas
Caractersticas de uma EDP so curvas de nvel da soluo
Para a equao da adveco ut = cux as caractersticas solinhas rectas com declive c
Caractersticas determinam aonde as condies de fronteiradevem ou podem ser definidas para que o problema seja bemposto
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Caractersticas
Caractersticas de uma EDP so curvas de nvel da soluoPara a equao da adveco ut = cux as caractersticas solinhas rectas com declive c
Caractersticas determinam aonde as condies de fronteiradevem ou podem ser definidas para que o problema seja bemposto
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Caractersticas
Caractersticas de uma EDP so curvas de nvel da soluoPara a equao da adveco ut = cux as caractersticas solinhas rectas com declive c
Caractersticas determinam aonde as condies de fronteiradevem ou podem ser definidas para que o problema seja bemposto
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Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs
Classificao das EDPs
Ordem de uma EDP a ordem da derivada parcial de maiorordem que aparece na equao
Por exemplo, a equao da adveco de primeira ordemAlgumas equaes de segunda ordem importantes so
Equao do calor: ut = uxxEquao da onda: utt = uxxEquao de Laplace: uxx + uyy = 0
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Classificao das EDPs
Ord
