Equações Diferenciais às Derivadas Parciais - ipb.pt balsa/teaching/edps.pdf · Equações Diferenciais

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  • Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisMtodos Numricos para PDEs

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais

    Carlos Balsabalsa@ipb.pt

    Departamento de MatemticaEscola Superior de Tecnologia e Gesto de Bragana

    Matemtica Aplicada - Mestrados Eng. Qumica e Industrial

    Carlos Balsa Matemtica Aplicada 1/ 41

  • Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisMtodos Numricos para PDEs

    Outline

    1 Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisEquaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    2 Mtodos Numricos para PDEsProblemas Dependentes do TempoProblemas Independentes do TempoSistemas Esparsos

    Carlos Balsa Matemtica Aplicada 2/ 41

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    1 Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisEquaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    2 Mtodos Numricos para PDEsProblemas Dependentes do TempoProblemas Independentes do TempoSistemas Esparsos

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais(EDPs) envolvemderivadas parciais relativamente a mais do que uma varivelindependente

    Geralmente, as variveis independentes so uma ou maisdimenses espaciais e possivelmente tambm o tempoQuantas mais dimenses mais complexa a formulao doproblema: podemos ter problemas de valor inicial puros,problemas de fronteira puros ou uma mistura de ambos osproblemas

    Equaes e valores fronteira podem eventualmente ser relativosa domnios irregulares

    Carlos Balsa Matemtica Aplicada 3/ 41

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais(EDPs) envolvemderivadas parciais relativamente a mais do que uma varivelindependenteGeralmente, as variveis independentes so uma ou maisdimenses espaciais e possivelmente tambm o tempo

    Quantas mais dimenses mais complexa a formulao doproblema: podemos ter problemas de valor inicial puros,problemas de fronteira puros ou uma mistura de ambos osproblemas

    Equaes e valores fronteira podem eventualmente ser relativosa domnios irregulares

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais(EDPs) envolvemderivadas parciais relativamente a mais do que uma varivelindependenteGeralmente, as variveis independentes so uma ou maisdimenses espaciais e possivelmente tambm o tempoQuantas mais dimenses mais complexa a formulao doproblema: podemos ter problemas de valor inicial puros,problemas de fronteira puros ou uma mistura de ambos osproblemas

    Equaes e valores fronteira podem eventualmente ser relativosa domnios irregulares

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais(EDPs) envolvemderivadas parciais relativamente a mais do que uma varivelindependenteGeralmente, as variveis independentes so uma ou maisdimenses espaciais e possivelmente tambm o tempoQuantas mais dimenses mais complexa a formulao doproblema: podemos ter problemas de valor inicial puros,problemas de fronteira puros ou uma mistura de ambos osproblemas

    Equaes e valores fronteira podem eventualmente ser relativosa domnios irregulares

    Carlos Balsa Matemtica Aplicada 3/ 41

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais, continuao

    Para simplificar, vamos lidar apenas com problemas PDEssimples (e no com sistemas de vrias PDEs) com apenas duasvariveis independentes, nomeadamente

    Duas variveis espaciais designadas por x e y , ouUma varivel espacial designada por x e uma variveltemporal designada por t

    derivadas parciais relativamente a variveis independentes sodesignadas atravs de subscitros, como por exemplo

    ut = u/tuxy = 2u/xy

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Equaes Diferenciais s Derivadas Parciais, continuao

    Para simplificar, vamos lidar apenas com problemas PDEssimples (e no com sistemas de vrias PDEs) com apenas duasvariveis independentes, nomeadamente

    Duas variveis espaciais designadas por x e y , ouUma varivel espacial designada por x e uma variveltemporal designada por t

    derivadas parciais relativamente a variveis independentes sodesignadas atravs de subscitros, como por exemplo

    ut = u/tuxy = 2u/xy

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Exemplo: Equao da Adveco

    Equao da Advecout = cux

    com c uma constante no nula

    Soluo nica determinada pela condio inicial

    u(0, x) = u0(x), < x 0, ou para a esquerda se c < 0

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Exemplo: Equao da Adveco

    Equao da Advecout = cux

    com c uma constante no nulaSoluo nica determinada pela condio inicial

    u(0, x) = u0(x), < x 0, ou para a esquerda se c < 0

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    Exemplo: Equao da Adveco

    Equao da Advecout = cux

    com c uma constante no nulaSoluo nica determinada pela condio inicial

    u(0, x) = u0(x), < x 0, ou para a esquerda se c < 0

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    Exemplo: Equao da Adveco

    Equao da Advecout = cux

    com c uma constante no nulaSoluo nica determinada pela condio inicial

    u(0, x) = u0(x), < x 0, ou para a esquerda se c < 0

    Carlos Balsa Matemtica Aplicada 5/ 41

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Exemplo: Equao da Adveco

    Equao da Advecout = cux

    com c uma constante no nulaSoluo nica determinada pela condio inicial

    u(0, x) = u0(x), < x 0, ou para a esquerda se c < 0

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Exemplo, continuao

    Soluo tpica da equao de adveco. A funo inicial transladada com o tempo

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Caractersticas

    Caractersticas de uma EDP so curvas de nvel da soluo

    Para a equao da adveco ut = cux as caractersticas solinhas rectas com declive c

    Caractersticas determinam aonde as condies de fronteiradevem ou podem ser definidas para que o problema seja bemposto

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Caractersticas

    Caractersticas de uma EDP so curvas de nvel da soluoPara a equao da adveco ut = cux as caractersticas solinhas rectas com declive c

    Caractersticas determinam aonde as condies de fronteiradevem ou podem ser definidas para que o problema seja bemposto

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Caractersticas

    Caractersticas de uma EDP so curvas de nvel da soluoPara a equao da adveco ut = cux as caractersticas solinhas rectas com declive c

    Caractersticas determinam aonde as condies de fronteiradevem ou podem ser definidas para que o problema seja bemposto

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Classificao das EDPs

    Ordem de uma EDP a ordem da derivada parcial de maiorordem que aparece na equao

    Por exemplo, a equao da adveco de primeira ordemAlgumas equaes de segunda ordem importantes so

    Equao do calor: ut = uxxEquao da onda: utt = uxxEquao de Laplace: uxx + uyy = 0

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    Equaes Diferenciais s Derivadas ParciaisCaractersticasClassificao das EDPs

    Classificao das EDPs

    Ord