Equações Diferenciais Matemática Aplicadaltodi.est.ips.pt/matapl/material/sebentasDMAT/eqdif14.pdf · 2 Equações de 1a ordem para as quais existem soluções exactas 7 ... 3

Equações Diferenciais

Matemática Aplicada

Ana Duarte e Luís RendasRevisto em 2004/2005

Conteúdo

1 Introdução 21.1 O que é uma equação diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Soluções de uma equação diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Interpretação geométrica de uma equação diferencial e das

suas soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Problemas de valores iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Equações de 1a ordem para as quais existem soluções exactas 72.1 Equação linear de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Equação diferencial total exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Equação de variáveis separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Equações homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Edo’s lineares de ordem n, com coeficientes constantes 183.1 Resolução da equação homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Caso particular: edo’s lineares de 2a ordem com coefi-cientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.2 Caso geral: edo’s lineares de ordem n com coeficientesconstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Solução geral da equação completa . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Obtenção da solução particular da equação completa . . . . . 22

3.3.1 Casos em que f(x) assume formas especiais . . . . . . 223.3.2 Caso geral: Método das Constantes Arbitrárias de La-

grange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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1 Introdução

A teoria das equações diferenciais constitui um dos campos mais importantesda matemática dos nossos dias, pois encontra aplicações em todos os ramosda ciência e da técnica.

A história das equações diferenciais remonta ao século XVII quando Newton,Leibniz e Bernoulli resolveram algumas equações diferenciais simples surgidasem problemas de geometria e mecânica.

Estas primeiras descobertas pareciam sugerir que as soluções de todasas equações diferenciais podiam ser expressas por funções elementares docálculo.

Durante o século XVIII métodos mais sistemáticos de resolução de equa-ções diferenciais foram desenvolvidos por Euler, Lagrange e Laplace, co-meçando a ficar claro que poucas equações diferenciais podiam ser resolvidaspor métodos elementares; daí que uma das grandes preocupações passou a serencontrar condições de existência e unicidade de soluções,1 e deduzir proprie-dades da solução através da análise da própria equação diferencial (análisequantitativa).

Em 1841, Liouville provou que, em certos casos, não é possível obter asolução de uma equação diferencial por métodos elementares mesmo sabendoque a solução existe e é única. Daí a importância da análise quantitativa edos métodos numéricos em equações diferenciais.

No que se segue, começaremos por introduzir a noção de equação dife-rencial e fixar alguma da terminologia habitualmente usada. Depois veremoscomo resolver algumas equações de 1a ordem e apresentaremos as técnicaspara encontrar as soluções de equações lineares de ordem n com coeficientesconstantes.

1.1 O que é uma equação diferencial

Definição 1 Chama-se equação diferencial a uma equação em que a incóg-nita é uma função (variável dependente) de uma ou mais variáveis (indepen-dentes), envolvendo derivadas da variável dependente em relação a uma oumais variáveis independentes.

Exemplo 1

1. xy′′ + 2y′ + 3xy = ex, com y = f(x).

2. 4d3xdt3

+ d2xdt2

− 5x2 = 0, com x = g(t).

1O primeiro teorema de existência de soluções para uma equação diferencial foi esta-belecido em 1820 por Cauchy.

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3. ∂x∂t

+ ∂x∂s

= x2, com x = φ(t, s).

4. ∂2v∂x2

+ 2∂2v∂y2

+ 6∂2v∂t2

= 0, com v = ψ(x, y, t).

Definição 2 Uma equação diferencial diz-se ordinária2 se a incógnita éuma função de uma só variável. Caso contrário, a equação diz-se com deri-

vadas parciais.

Exemplo 2 No exemplo 1, as equações (a) e (b) são equações diferenciaisordinárias e as equações (c) e (d) são equações com derivadas parciais.

Definição 3 Uma equação diferencial diz-se de ordem n sen for a derivadade maior ordem das derivadas nela envolvidas.

Exemplo 3 No exemplo 1, (a) e (d) são de 2a ordem, (b) é de 3a ordem e(c) de 1a ordem.

Definição 4 Uma equação diferencial ordinária de ordem n diz-se linear seé da forma

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn−1y

dxn−1+ ...+ an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = b(x),

onde a0(x), a1(x), ..., an(x) e b(x) são funções reais de variável real, sendoa0(x) não idênticamente nula.

Exemplo 4 No exemplo 1, (a) é uma equação diferencial ordinária linear de2a ordem e (b) não é uma equação diferencial linear por aparecer x2 (que éneste caso o quadrado da variável dependente, x = g(t)).

Definição 5 Uma equação diferencial linear diz-se de coeficientes cons-

tantes, se os coeficientes a0(x), a1(x), . . . , an(x) são funções constantes;caso contrário diz-se de coeficientes variáveis.

1.2 Soluções de uma equação diferencial

Definição 6 Considere-se a equação diferencial ordinária de ordem n,

F(x, y, y′, y′′, ...y(n)

)= 0, (1)

onde F é uma função real de n+ 2 variáveis.

2É costume utilizar a abreviatura edo quando nos referimos a uma equação diferencialordinária.

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1. Uma função f definida num intervalo I, com derivadas de ordem nnesse intervalo, diz-se solução da equação diferencial se satisfazas seguuintes condições:

(a) F[x, f(x), f ′(x), f ′′(x), ..., f (n)(x)

]está definida para todo o x per-

tencente ao intervalo I.

(b) F[x, f(x), f ′(x), f ′′(x), ..., f (n)(x)

]= 0, para todo o x pertencente

ao intervalo I.

2. Uma relação g(x, y) = 0 é chamada uma solução implícita da equaçãodiferencial se define implicitamente uma função f nalgum intervalo I,que seja solução de (1) no sentido atribuido em (a).

Exemplo 5 A equação diferencial y′ = 2x é do tipo de equações mais simplesque existem. Resolver esta equação consiste apenas em determinar umafunção y = f(x) cuja derivada seja igual a 2x. Assim, uma família desoluções desta equação será

y = x2 + C,

em que C é um parâmetro real.

Exemplo 6 A função f(x) = 2 sinx+ 3 cosx é uma solução da equação

d2y

dx2+ y = 0

em todo o IR. De facto, f ′(x) = 2 cosx − 3 sinx e f ′′(x) = −2 sinx −3 cosx,donde, substituindo na equação dada y′′ por f ′′(x) e y por f(x),obtém-se

−2 sinx− 3 cosx+ 2 sinx+ 3 cosx = 0,∀x ∈ R.

Exemplo 7 A relação x2 + y2 = 25 define implicitamente uma solução daequação diferencial x+y dy

dx= 0 no intervalo ]−5, 5[ . De facto, neste intervalo

aquela relação define duas funções

f1(x) =√25− x2 e f2(x) = −

√25− x2

que satisfazem a equação dada.

Exercício 1 Prove que:

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1. f(x) = 11+x2 é uma solução da equação diferencial

(1 + x2)d2y

dx2+ 4x

dy

dx+ 2y = 0

no intervalo a < x < b;

2. x3 + 3xy2 = 1 define uma solução implicita da equação diferencial

2xydy

dx+ x2 + y2 = 0

no intervalo 0 < x < 1;

3. Toda a função f(x) = 2 + Ce−2x2

, onde C é uma constante arbitrária,é solução da equação diferencial dy

dx+ 4xy = 8x.

1.3 Interpretação geométrica de uma equação diferen-

cial e das suas soluções

A equação diferencial ordinária de 1a ordem

y′ = f(x, y) (2)

pode ser interpretada geometricamente como definindo um declive f(x, y)em cada ponto (x, y) no qual f está definida. Supondo que (2) admite umafamília de soluções

y = F (x,C),

em que C é uma constante real, esta igualdade corresponde, geometrica-mente, a uma família de curvas no plano XOY , cujos declives em cada pontosão dados pela equação (2). Estas curvas são designadas habitualmente porcurvas integrais da equação (2).

Exemplo 8 Consideremos de novo a equação diferencial y′ = 2x. Estaequação pode ser interpretada como definindo, em cada ponto (x, y), o declivedos gráficos de y = x2 + C, em que C é uma constante arbitrária. Estasfunções são representadas geometricamente por uma família de parábolas, asquais são as curvas integrais da equação diferencial dada (ver figura 1).

Exercício 2 Construa as curvas integrais da equação y′ = 1 + y2.

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420-2-4

10

8

6

4

2

0 X

Y

Figura 1: Exemplo de curvas integrais.

1.4 Problemas de valores iniciais

A equação diferencial y′ + 4xy = 8x admite uma família de soluções

y = 2 + Ce−2x2 (3)

em que C uma constante arbitrária.O problema que consiste em determinara função y(x) tal que {

dy

dx+ 4xy = 8x

y(0) = 3, (4)

diz-se um problema de valores iniciais (ou de condições iniciais). Nestecaso tem-se que a função y = 2 + e−2x2

é solução do problema (4) visto que,fazendo x = 0 e y = 3 em (3), vem C = 1.

Definição 7 Considere-se a equação diferencial de 1a ordem

y′ = f(x, y), (5)

onde f é uma função definida num rectângulo abertoD ⊂ IR2 e seja (x0, y0) ∈D. O problema de valores iniciais associado a (5) consiste em determinaruma solução y(x) desta equação (definida num intervalo real que contenhax0) que satisfaça y(x0) = y0. Geralmente este problema escreve-se de formaabreviada do seguinte modo: {

dy

dx= f(x, y)

y(x0) = y0. (6)

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De notar que, geometricamente, o problema de valores iniciais consistena determinação da curva integral da equação que passa pelo ponto (x0, y0).

A questão que naturalmente se coloca é a de saber se, dado um problemade valores iniciais, existe solução e se esta é única. O teorema seguinte, queapresentaremos sem demonstração, estabelece as condições que garantem aexistência e a unicidade da solução de um problema de valores iniciais.

Teorema 1 (Existência e Unicidade) Considere-se o problema de valo-res inicias (6) e suponha-se que a função f(x, y) satisfaz as seguintes condi-ções:

1. f é contínua num aberto D ⊂ IR2;

2. ∂f

∂ycontínua em D.

Então, para todo o (x0, y0) ∈ D, existe uma única solução y = y(x) daequação diferencial num intervalo [x0 − h, x0 + h], com h > 0, satisfazendoy(x0) = y0.

Exemplo 9 Considere-se o seguinte problema de valores iniciais{y′ + 4xy = 8xy(0) = 3

.

Como f(x, y) = 8x− 4xy tem-se que f(x, y) e ∂f

∂y= 4x são funções contínuas

em IR2. Então, existe uma única solução y = y(x) tal que y (0) = 3, definidaem [−h, h], com h > 0. Como vimos anteriormente, a solução do problemanas condições indicadas é a função y = 2 + e−2x2

, que se encontra definidaem IR.

2 Equações de 1a ordem para as quais exis-

tem soluções exactas

2.1 Equação linear de 1a ordem

Definição 8 Uma equação diferencial de 1a ordem diz-se linear se pode serescrita na forma

dy

dx+A(x)y = B(x)

em que A e B são funções contínuas num intervalo I. Se B (x) = 0 em I aequação diz-se homogénea.

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A expressão anterior diz-se forma canónica de uma edo linear de 1a ordem.

Teorema 2 Sejam A(x) e B(x) funções contínuas num intervalo real I.Então, uma família de soluções da equação y′ +A(x)y = B(x) é dada por:

y = e−P [A(x)]{P[eP [A(x)]B(x)

]+ C

},

onde C é uma constante arbitrária e P designa primitiva.

Dem. Consideremos a equação diferencial y′ +A(x)y = B(x). Multipli-cando ambos os membros por eP [A(x)], obtém-se

eP [A(x)] dy

dx+A(x)eP [A(x)]y = eP [A(x)]B(x). (7)

O primeiro membro é a derivada de eP [A(x)]y. Assim, (7) escreve-se na forma(eP [A(x)].y

)′= eP [A(x)]B(x)

donde, primitivando ambos os membros, sai que

eP [A(x)]y = P[eP [A(x)]B(x)

]+ C,

em que C é uma constante arbitrária. Finalmente, multiplicando ambos osmembros desta última igualdade por e−P [A(x)], vem

y = e−P [A(x)].{P[eP [A(x)]B(x)

]+ C

},

como se queria.

Exemplo 10 Resolver a equação diferencial dy

dx+ 2xy = 2xe−x2

.Estamos na presença duma equação diferencial linear de 1a ordem, em queA(x) = 2x e B(x) = 2xe−x2

. Logo, pelo teorema anterior,

y = e−P (2x){P[eP (2x)2xe−x2

]+ C

}= e−x2

[P(ex

2

2xe−x2)+ C

]= e−x2

. [P (2x) + C] = e−x2(x2 + C).

Exercício 3 Resolver o problema de valores iniciais y′ + 2xy = e−x2 sec4 x,

tal que y(0) = 1.[R : y(x) = e−x2(tgx+ 1

3tg3x+ 1)

].

Exercício 4 Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:

1. dy

dx+ y

x= 2x cosx.

[R : y(x) = 2x sinx+ 4 cosx− 4

xsinx+ C

x

].

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2. (1 + x)y′ + y = 0.[R : y(x) = C

1+x

].

Exercício 5 Admitindo que o declive de uma curva em qualquer ponto (x, y)é 2x+3y, determine a equação da curva supondo que passa pelo ponto

(0, 1

3

).[

R : y(x) = 59e3x − 2

3x− 2

9

].

Exercício 6 A taxa de crescimento radioactivo de uma substância é pro-porcional à massa existente. Supondo que metade da massa se desintegrouao fim de 1500 anos, determine:

1. que percentagem de massa original restará ao fim de 4500 anos? [R : 12, 5%] .

2. ao fim de quantos anos restará 110

damassa original?[R : 1500 ln 10

ln 2≈ 4983

].

2.2 Equação de Bernoulli

Definição 9 Chama-se equação de Bernoulli3 a uma equação da forma

dy

dx+A(x)y = B(x) ya,

em que A e B são funções contínuas num intervalo real I e a é uma constantereal.

Teorema 3 Seja a �= 0 e a �= 1. A mudança de variável v = y1−a transformaa equação de Bernoulli numa equação linear de 1a ordem em v.

Dem. Multiplicando ambos os membros da equação por y−a, obtém-se

y−a dy

dx+A(x) y1−a = B(x). (8)

Por outro lado, da mudança de variável v = y1−a sai que

dv

dx= (1− a)y−a dy

dx⇔ y−a dy

dx=

1

1− a

dv

dx.

3Porque a sua resolução foi proposta por Jakob Bernoulli (1654—1705), matemáticosuiço, professor em Basileia, conhecido pelas suas contribuições para as teorias da elastici-dade e das probabilidades. O método para resolver a equação de Bernoulli foi descobertopor Leibniz em 1696. Entre os discípulos Jakob Bernoulli contavam-se o seu sobrinhoNiklaus Bernoulli (1687—1759), conhecido pelos seus contributos para as teorias das pro-babilidades e das séries, e o seu irmão mais novo Johann Bernoulli (1667—1748), que teveuma influência profunda no desenvolvimento da análise matemática. O filho deste último,Daniel Bernoulli (1700—1705), é conhecido pelos seus trabalhos na teoria cinética dos gases.

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Substituindo esta última expressão em (8) obtém-se

1

1− a

dv

dx+A(x)v = B(x) ⇔ dv

dx+ (1− a)A(x) v = (1− a)B(x),

ou seja, a equação de Bernoulli foi transformada numa equação linear de 1a

ordem.

Observação 1 De notar que, se a = 0 ou a = 1, a equação de Bernoulli éuma equação linear de 1a ordem.

Exemplo 11 Resolver a equação diferencial

(1 + x2)dy

dx+ xy = x3y3.

Dividindo ambos os membros por 1 + x2, vem

dy

dx+

x

1 + x2y =

x3

1 + x2y3.

Trata-se, assim, de uma equação de Bernoulli em que a = 3. Multiplicandoambos os membros por y−3 obtém-se

y−3 dy

dx+

x

1 + x2y−2 =

x3

1 + x2

e, fazendo y−2 = v, vem

−1

2

dv

dx+

x

1 + x2v =

x3

1 + x2,

ou seja,dv

dx− 2x

1 + x2v = − 2x3

1 + x2,

atendendo a que v′ = −2y−3y′. Consequentemente, está-se em presença deuma equação linear de 1a ordem, ficando a sua resolução ao cuidado do leitor.

Exercício 7 Resolver as seguintes equações diferenciais:

1. y′ cosx+ y senx = −y3.[R: y (x) =

1

cos2 x(2 sinx+ C) e y (x) = 0)

].

2. dxdt

= ax− bx2.[R : x (t) = a/(Cae−at + b), x (t) = 0 se a �= 0.Se a = 0, x (t) =

1

bt+ C

].

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2.3 Equação diferencial total exacta

Definição 10 A expressão M(x, y)dx + N(x, y)dy é chamada uma forma

diferencial total exacta num abertoD ⊂ IR2 se existe uma função, F (x, y),tal que o diferencial dF (x, y) é igual à expressão dada em todos os pontos deD, isto é,

dF (x, y) =∂F

∂xdx+

∂F

∂ydy = M(x, y)dx+N(x, y)dy

em que, evidentemente, ∂F∂x

= M(x, y) e ∂F∂y

= N(x, y).

Definição 11 Uma equação diferencial da forma

y′ = −M (x, y)

N (x, y)

em que M e N são funções contínuas com derivadas parciais num abertoD ⊆ IR2, N �= 0 tal que a forma diferencial

M(x, y)dx+N(x, y)dy

é exacta, diz-se uma equação diferencial total exacta ou simplesmenteequação total exacta.

Exemplo 12 A equação y2dx+ 2xydy = 0 é uma equação diferencial totalexacta pois y2dx+ 2xydy é uma forma diferencial total exacta. Com efeito,se considerarmos F (x, y) = xy2 temos ∂F

∂x= y2 e ∂f

∂y= 2xy e, portanto,

dF (x, y) = y2dx+ 2xydy.

Teorema 4 Considere-se a equação

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (9)

onde M(x, y) e N(x, y) são funções de classe C1 num rectângulo D = ]a, b[×]c, d[ ⊂ IR2. É condição necessária e suficiente para que a equação (9) sejatotal exacta que

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x, ∀(x, y) ∈ D. (10)

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Dem. Comecemos por provar a condição necessária, isto é, se (9) é totalexacta, então (10) é válida.

Com efeito, se (9) é total exacta, existe uma função F (x, y) definida emD tal que

∂F (x, y)

∂x= M(x, y) e

∂F (x, y)

∂y= N(x, y).

Consequentemente,

∂M(x, y)

∂y=

∂

∂y

(∂F (x, y)

∂x

)=

∂2F (x, y)

∂y∂x(11)

e∂N(x, y)

∂x=

∂

∂x

(∂F (x, y)

∂y

)=

∂2F (x, y)

∂x∂y. (12)

Como as derivadas parciais de M e N são contínuas em D, pelo teorema deSchwarz, verifica-se que

∂2F (x, y)

∂y∂x=

∂2F (x, y)

∂x∂y, ∀(x, y) ∈ D,

e, portanto, de (11) e (12) sai que

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x, ∀(x, y) ∈ D.

Provemos agora a condição suficiente isto é, que (10) implica que (9) é totalexacta.

Pretende-se então determinar uma função F (x, y) definida em D tal que{∂F (x,y)

∂x= M(x, y)

∂F (x,y)∂y

= N(x, y), ∀(x, y) ∈ D. (13)

Da primeira equação de (13) conclui-se que F (x, y) deve satisfazer

F (x, y) = PxM(x, y) + φ(y) (14)

em que Px designa a primitiva em ordem a x e φ é uma qualquer função dey. Então, para que a segunda equação de (13) se verifique é obrigatório quese tenha

∂

∂y[PxM(x, y) + φ(y)] = N(x, y),

ou seja,

φ′(y) = N(x, y)− ∂

∂y[PxM(x, y)] . (15)

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Vejamos que φ′(y) é uma função apenas da variável y, para o que bastaverificar que a sua derivada parcial em ordem a x é nula. De facto,

∂

∂x

[N(x, y)− ∂

∂y(PxM(x, y))

]=

∂N(x, y)

∂x− ∂2

∂x∂y(PxM(x, y))

=∂M(x, y)

∂y− ∂N(x, y)

∂x= 0,

porque, por hipótese, ∂M(x,y)∂y

= ∂N(x,y)∂x

, ∀(x, y) ∈ D.

Então, como φ′(y) em é apenas função de y, obtemos por primitivação de(15) em ordem a y,

φ(y) = Py

[N(x, y)− ∂

∂y(PxM(x, y))

]+ C

em que C é uma constante real arbitrária. Substituindo esta expressão em(14) obtém-se

F (x, y) = PxM(x, y) + Py

[N(x, y)− ∂

∂y(PxM(x, y))

]+ C

o que prova que a equação (9) é total exacta pois F (x, y) foi construída demodo a verificar (13).

Teorema 5 Considere-se a equação

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (16)

onde M(x, y) e N(x, y) são funções de classe C1 num rectângulo D = ]a, b[×]c, d[ ⊂ R2. Então, se F (x, y) é uma função satisfazendo

∂F (x, y)

∂x= M(x, y) e

∂F (x, y)

∂y= N(x, y), (17)

uma familia de soluções de (16) é dada por

F (x, y) = C,

onde C é uma constante arbitrária.

Dem. Como a equação (16) é total exacta, existe F (x, y) tal que

dF (x, y) = M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0,

isto é, dF (x, y) = 0, ou seja, F (x, y) = C , ∀(x, y) ∈ D.

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Exemplo 13 Resolver a equação diferencial

(y3 + 2xy)dx+ (x2 + 3xy2)dy = 0 (18)

Sejam M(x, y) = y3 + 2xy e N(x, y) = x2 + 3xy2. Como ∂M(x,y)∂y

= ∂N(x,y)∂x

, a

equação diferencial é total exacta, ∀(x, y) ∈ IR2. Procuramos então F (x, y)tal que {

∂F (x,y)∂x

= y3 + 2xy∂F (x,y)

∂y= x2 + 3xy2

.

Da primeira igualdade sai que

F (x, y) = Px(y3 + 2xy) + φ(y) = y3x+ x2y + φ(y).

Derivando em ordem a y vem ∂F (x,y)∂y

= 3y2x+ x2 + φ′(y) e, atendendo a que∂F (x,y)

∂y= x2 + 3xy2, vem

3y2x+ x2 + φ′(y) = x2 + 3xy2 ⇒ φ′(y) = 0 ⇒ φ(y) = D,

ondeD é uma constante arbitrária. Finalmente, substituindo φ(y) em F (x, y),obtém-se

F (x, y) = y3x+ x2y +D.

Então y3x+x2y+D = E (E é uma constante arbitrária), ou seja, y3x+x2y =C (em que C = E −D) é uma família de soluções de (18).

Exercício 8 Determinar as famílias de soluções de cada uma das seguintesequações diferenciais:

1. sin θ cosφdθ + sinφ cos θdφ = 0. [R : cosφ cos θ = C].

2. (x2 + y) dx+ (x− 2y) dy = 0.[R : x3

3+ xy − y2 = C

].

3. (y3 − x) dy

dx= y.

[R : y4

4− xy = C

].

4. (x− y2x) dx+ (y − x2y) dy = 0. [R : (1− x2) (1− y2) = C].

2.4 Equação de variáveis separáveis

Definição 12 Uma equação da forma

dy

dx= A (x)B (y) , (19)

comA eB funções contínuas, diz-se uma equação de variáveis separáveis.

14 1/Agosto/2005

Se y0 é um zero da função B então a recta y = y0 é uma solução particularde 19. Com efeito,

dy0dx

= 0 e A (x)B (y0) = 0.

Se B (y) �= 0, então

dy

dx= A (x)B (y) ⇔ −A (x) dx+

1

B (y)dy = 0.

Ora a equação diferencial

−A (x) dx+1

B (y)dy = 0 (20)

é total exacta pois

∂

∂y[−A (x)] =

∂

∂x

[1

B (y)

]= 0.

Para obter a família de soluções de (20) determina-se uma função U(x, y) talque {

∂U∂x

= −A (x)∂U∂y

= 1B(y)

. (21)

Da primeira igualdade de (21) segue-se imediatamente que

U(x, y) = Px (−A (x)) + τ(y). (22)

Então, ∂U∂y

= τ ′(y) e combinando esta igualdade com a segunda igualdade de

(21) conclui-se que

τ ′(y) =1

B (y)⇒ τ(y) = Py

(1

B (y)

).

Consequentemente, atendendo a (22), tem-se

U(x, y) = Px (−A (x)) + Py

(1

B (y)

).

donde, a solução geral da equação (20) é dada por U(x, y) = C.

Exemplo 14 Resolver a equação

dy

dx=

(x− 4)

x3

y4

(y2 − 3). (23)

15 1/Agosto/2005

Trata-se, evidentemente de uma equação de variáveis separáveis. Supondoy �= 0, obtém-se

x− 4

x3dx− y2 − 3

y4dy = 0 ⇔ (x−2 − 4x−3)dx+ (−y−2 + 3y−4)dy = 0.

Então, a família de soluções desta última equação é

U(x, y) = C, (24)

em que

U(x, y) = Px(x−2 − 4x−3) + Py(−y−2 + 3y−4)

= −1

x+

2

x2+

1

y− 1

x3.

Como y = 0 anula B (y) = y4

(y2−3)a função y = 0 é uma solução particular do

problema que não é membro da família de soluções (24). é solução de (23)como se comprova facilmente se escrevermos esta equação na forma

dy

dx=

(x− 4)y4

x3(y2 − 3).

Tem-se, assim, que esta solução foi perdida no processo de separação dasvariáveis.


1. y′ = e2x+y.[R : −e−y − e2x

2= C

].

2. (1 + y2) dx+ (1 + x2) dy = 0. [R : arctg x+ arctg y = C].

3. (y − 2)dx+ x2dy = 0.[R : ln |y − 2| − 1

x= C e y = 2

].

4. (1 + x2)dy −√1− y2dx = 0. [R : arcsin y − arctg x = C e y = ±1].

2.5 Equações homogéneas

Definição 13 Uma equação diferencial ordinária de 1a ordem diz-se ho-mogénea se pode ser escrita na forma

dy

dx= g

(yx

), (25)

em que g (t) é uma função contínua num intervalo I.

16 1/Agosto/2005

De referir que a função g(y

x

)é homogénea4 de grau zero nas variáveis x

e y.

Teorema 6 A mudança de variável, y = vx, transforma a equação homogé-nea de 1a ordem numa equação com variáveis separáveis.

Dem. Sendo y = vx, tem-se y′ = xv′ + v e v = y

x. Substituindo na

equação (25), obtém-se

xdv

dx+ v = g(v) ⇔ x

dv

dx+ (v − g(v)) = 0 ⇔ 1

v − g(v)dv − 1

xdx = 0,

que é uma equação com variáveis separáveis, cuja família de soluções é

Pv

(1

v − g(v)

)+ Px

(1

x

)= C.

Exemplo 15 Resolver a equação

(x+ y)dx+ (x− y)dy = 0. (26)

Resolvendo a equação em ordem a dy

dx, obtemos

dy

dx=

x+ y

y − x⇔ dy

dx=

1 + y

xy

x− 1

.

O último membro da 2a equação é da forma dy

dx= g

(y

x

), logo (26) é ho-

mogénea. Fazendo a mudança de variável y = vx obtém-se, atendendo a quey′ = xv′ + v,

xdv

dx+ v =

1 + v

v − 1⇔ x

dv

dx=

1 + v

v − 1− v ⇔ x

dv

dx=

v2 − 2v − 1

1− v,

que é uma equação de variáveis separáveis, cuja resolução fica ao cuidado doleitor.


1. (2xy + 3y2)dx− (2xy + x2)dy = 0.[R : y

x2+ y2

x3= C

].

2. (x tg y

x+ y)dx− xdy = 0.

[R : sen y

x= Cx

].

4Uma função g diz-se homogénea de grau n na variável x se g (λx) = λng (x).

17 1/Agosto/2005

3 Edo’s lineares de ordem n, com coeficientes

constantes

Nesta secção apresentaremos somente os aspectos práticos essenciais paraas aplicações, relativos à resolução de equações lineares de ordem n comcoeficientes constantes. Para um tratamento pormenorizado deste tema, oleitor pode consultar, por exemplo, [1], [4] ou [6].

Consideremos a equação

a0y(n) + a1y

(n−1) + ...+ an−1y′ + any = f(x) (27)

em que a0, a1, ..., an são constantes reais. A equação

a0y(n) + a1y

(n−1) + ...+ an−1y′ + any = 0 (28)

é chamada a equação homogénea associada à equação (27).Considerando o operador de derivação D que a cada função y faz cor-

responder a sua derivada y′, isto é, tal que Dy = y′, a equação (27) podeescrever-se na forma

a0Dny + a1D

n−1y + ...+ an−1Dy + anD0y = f(x), (29)

em que Dn, Dn−1, D, D0 têm o seguinte significado:

D0y = y, Dy = y′, . . . , Dny = y(n).

Assim, de (29), segue-se que (27) pode representar-se por

(a0Dn + a1D

n−1 + ...+ an−1D + an)y = f(x)

ou, equivalentemente, porP (D)y = f(x),

onde P (D) é o polinómio

P (D) = a0Dn + a1D

n−1 + ...+ an−1D + an.

P (D) é designado por polinómio característico da equação (28). A razãoda consideração deste polinómio deve-se a que a solução geral (isto é, a famíliade soluções) de (28) pode ser obtida a partir do conhecimento dos zeros deP (D); encontrada a solução geral de (28), ela possibilita, como veremos, aobtenção da solução geral de (27).

Vamos então começar por ver como se resolve a equação homogénea (28),a qual se pode agora escrever na forma P (D)y = 0.

18 1/Agosto/2005

3.1 Resolução da equação homogénea

3.1.1 Caso particular: edo’s lineares de 2a ordem com coeficientesconstantes


ay′′ + by′ + cy = 0 (30)

a que corresponde o polinómio característico P (D) = aD2 + bD + c. Então,três situações distintas podem colocar-se:

1a Situação P (D) tem 2 zeros reais e distintos, r1 e r2.

Então, a solução geral de (30) é dada por

y = C1er1x + C2e

r2x,

onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exemplo 16 Seja a equação y′′ − y′ − 6y = 0. Como P (D) = D2 −D− 6 e

D2 −D − 6 = 0 ⇒ D = 3 ∨D = −2

tem-se que a solução geral da equação dada é

y = C1e3x + C2e

−2x,


2a Situação P (D) tem 1 zero real r de multiplicidade 2.


y = erx(C1x+ C2),


Exemplo 17 Seja y′′ − 6y′ + 9y = 0. Como P (D) = D2 − 6D + 9 e

D2 − 6D + 9 = 0 ⇒ (D − 3)2 = 0 ⇒ D = 3, com mult. 2,


y = e3x(C1x+ C2),


19 1/Agosto/2005

3a Situação P (D) tem 2 zeros complexos conjugados, α± βi.


y = eαx(C1 cosβx+ C2 senβx),


Exemplo 18 Seja y′′ − y′ + y = 0. Como P (D) = D2 −D + 1 e

D2 −D + 1 = 0 ⇒ D =1

2± i

√3

2,


y = e1

2x

(C1 cos

√3

2x+ C2 sen

√3

2x

)


3.1.2 Caso geral: edo’s lineares de ordem n com coeficientes cons-tantes


a0y(n) + a1y

(n−1) + ...+ an−1y′ + any = 0 (31)

que tem como polinómio característico

P (D) = a0Dn + a1D

n−1 + ...+ an−1D + an.

Diferentes situações podem colocar-se relativamente às raízes deste polinó-mio:

1a Situação P (D) tem n zeros reais e distintos, r1, r2, ..., rn.


y = C1er1x + C2e

r2x + ...+ Cnernx,

onde C1, C2, . . . , Cn são constantes arbitrárias.

20 1/Agosto/2005

Exemplo 19 A equação diferencial y′′′ − 7y′ + 6y = 0 tem como polinómiocaracterístico P (D) = D3 − 7D + 6. Ora P (D) = (D − 1)(D − 2)(D + 3),admitindo, portanto, os zeros 1, 2 e −3 todos reais e distintos. A soluçãogeral da equação dada será então

y = C1ex + C2e

2x + C3e−3x,

onde C1, C2, . . . , Cn são constantes arbitrárias.

2a Situação P (D) tem m zeros reais e múltiplos, r1, r2, ...rm (m < n) demultiplicidade k1, k2, ..., km, respectivamente.

Então a solução geral de (31) é dada por

y = er1xPk1−1(x) + er2xPk2−1(x) + · · ·+ ermxPkm−1(x)

onde Pki−1(x), i = 1, ...,m, é um polinómio de grau ki − 1 com coeficientesarbitrários.

Exemplo 20 Supondo que o polinómio característico de uma equação dife-rencial é P (D) = (D+3)(D−2)2, os seus zeros são 2 e −3 de multiplicidade2 e 1, respectivamente. A solução geral da equação será então

y = C1e−3x + C2e

2x + C3xe2x,

onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

3a Situação P (D) admite zeros complexos.

Suponhamos que P (D) admite o zero α + βi com multiplicidade k. EntãoP (D) admite também o zero α−βi com a mesma multiplicidade. A parte dasolução geral correspondente a estes zeros α ± βi deve conter 2k constantesarbitrárias e é dada por

eαx(Pk−1(x) cosβx+Qk−1(x) senβx),

onde Pk−1(x) e Qk−1(x) são polinómios de grau k − 1 com coeficientes arbi-trários.

Exemplo 21 Considere-se a equação y′′′ − 2y′′ + 4y′ − 8y = 0. O respectivopolinómio característico P (D) = D3 − 2D2 + 4D − 8 admite como zeros 2,2i e −2i, todos de multiplicidade 1. Então, a solução geral é

y = C1e2x + C2 cos 2x+ C3 sen 2x,

onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

21 1/Agosto/2005

3.2 Solução geral da equação completa

Até agora referimos apenas a forma de obter as soluções gerais de equaçõesdiferenciais lineares homogéneas. Vamos seguidamente relacionar as soluçõesda equação homogénea (28) com as soluções da equação completa (27).

Teorema 7 A solução geral de uma equação diferencial linear completa, y,é dada pela soma da solução geral da equação homogénea associada, ysgh,com uma solução particular da equação completa, yspc, isto é,

y = ysgh + yspc.

Dem. Uma vez que yspc satisfaz (27), tem-se que

P (D)yspc = f(x). (32)

Sendo y uma qualquer solução de (27) é igualmente válido que

P (D)y = f(x). (33)

Subtraindo (33) de (32) obtém-se

P (D)(yspc − y) = 0,

o que mostra que yspc − y é uma solução da equação homogénea associada(28). Consequentemente, como y é qualquer, conclui-se que yspc − y = ysgh,ou seja,

y = ysgh + yspc,

como se queria.Em seguida serão apresentados alguns métodos para determinar uma so-

lução particular da equação completa (27).

3.3 Obtenção da solução particular da equação com-

pleta

3.3.1 Casos em que f(x) assume formas especiais

1o Caso f(x) = eαxQn(x), em que Qn(x) é um polinómio de grau n.

Neste caso uma solução particular de (27) é dada por

yspc =

{eαxRn(x), se α não é zero de P (D)xkeαxRn(x), se α é zero de P (D) de multiplicidade k

,

em que Rn(x) designa um polinómio de grau n, de coeficientes arbitrários.

22 1/Agosto/2005

Exemplo 22 Determinar a solução geral da equação y′′ − 3y′ + 2y = ex.O polinómio característico P (D) = D2 − 3D + 2 tem como zeros D = 1 eD = 2. Logo

ysgh = C1ex + C2e

2x.

Como f(x) = ex, tem-se que α = 1 donde,

yspc = xAex,

atendendo a que 1 é zero do polinómio característico de multiplicidade k = 1.Para determinar a constante A, basta substituir yspc, y

′spc e y′′spc na equação

diferencial dada, obtendo-se então,

(2 + x)Aex − 3(1 + x)Aex + 2xAex = ex ⇒ A = −1.

Assim, yspc = −xex, donde a solução geral da equação dada é

y = C1ex + C2e

2x − xex,


2o caso f(x) = eαx [Qn(x) cosβx+Rm(x) senβx] ,em que Qn(x) e Rm(x)são polinómios de graus m e n, respectivamente.

Neste caso uma solução particular de (27) é dada por

yspc =

eαx [SN(x) cosβx+ TN(x) senβx] , se α± βi não é zero de P (D)

xkeαx [SN(x) cosβx+ TN(x) senβx] ,se α± βi é zero de P (D)de multiplicidade k

,

em que SN(x) e TN(x) são polinómios de grau N, com N = max {n,m}.Exemplo 23 Resolver a equação y′′ − 2y′ + 10y = cos 3x.O polinómio característico terá como zeros D = 1± 3i. Logo

ysgh = ex (C1 cos 3x+ C2 sen 3x) .

Sendo f(x) = cos 3x, tem-se α = 0, β = 3, Qn(x) = 1 e Rm(x) = 0. Como1 ± 3i não são zeros do polinómio característico, a solução particular serádada por

yspc = A cos 3x+B sen 3x.

Calculando y′spc e y′′spc e substituindo na equação dada, obtém-se A = 137

eB = − 6

37. Consequentemente a solução geral da equação dada é

y = ex (C1 cos 3x+ C2 sen 3x) +1

37cos 3x− 6

37sen 3x.

23 1/Agosto/2005

3.3.2 Caso geral: Método das Constantes Arbitrárias de Lagrange

Vamos agora apresentar um método que permite determinar a solução geralda equação diferencial linear completa (27), qualquer que seja o tipo de funçãof(x) do segundo membro.

Suponha-se que a solução geral da equação homogénea (28) é

y = C1y1(x) + C2y2(x) + ...+ Cnyn(x)

em que C1, C2, . . . , Cn, são constantes arbitrárias. O método consiste em con-siderar estas constantes como funções de x e determinarC1(x), C2(x), ..., Cn(x)de modo que

y = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + ...+ Cn(x)yn(x)

seja solução da equação completa.Demonstra-se que as derivadas C ′

1(x), C′2(x), ..., C

′n(x), devem satisfazer

o seguinte sistema de n equações a n incógnitas, que é sempre possível edeterminado:

C ′1(x)y1(x) + C ′

2(x)y2(x) + ...+ C ′n(x)yn(x) = 0

C ′1(x)y

′1(x) + C ′

2(x)y′2(x) + ...+ C ′

n(x)y′n(x) = 0

...........................................................................

C ′1(x)y

(n−2)1 (x) + C ′

2(x)y(n−2)2 (x) + ...+ C ′

n(x)y(n−2)n (x) = 0

C ′1(x)y

(n−1)1 (x) + C ′

2(x)y(n−1)2 (x) + ...+ C ′

n(x)y(n−1)n (x) = f(x)

a0

Exemplo 24 Resolver a equação y′′ − 5y′ + 6y = ex.A solução geral da equação homogénea é y = C1e

2x+C2e3x. Vamos procurar

C1(x) e C2(x) de modo que

y = C1(x)e2x + C2(x)e

3x (34)

seja solução da equação dada. Com efeito, as derivadas C ′1(x) e C

′2(x) devem

satisfazer {C ′

1(x)e2x + C ′

2(x)e3x = 0

2C ′1(x)e

2x + 3C ′2(x)e

3x = ex.

Resolvendo este sistema e primitivando C ′1(x) e C ′

2(x) obtém-se{C1(x) = e−x + k1C2(x) = −1

2e−x + k2

.

24 1/Agosto/2005

Substituindo estas expressões em (34) tem-se, finalmente, a solução geral daequação dada,

y = k1e2x + k2e

3x + ex − 1

2ex.


1. y′′ − 2y′ + 2y = 0. [R : y(x) = ex (A cosx+B sinx)].

2. 2y′′ + 3y′ = 0, y(0) = 1 e y′(0) = 1.[R : y = −2

3e−

3x2 + 5

3

].

Exercício 12 Determinar a solução geral de cada uma das seguintes equaçõesdiferenciais:

1. 3y′′ + 4y′ + y = e−x.[R : y = Ae−x +Be−

1

3x − x

2e−x

].

2. y′′′−7y′′+15y′−9y = x2.[R : y = Aex +Be3x + Cxe3x +

(−19x2 − 10

27x− 4

9

)].

Exercício 13 Sabendo que as funções ex e ex+sinx são soluções da equaçãodiferencial y(4) − 3y′′ − 4y = −6ex, determinar a sua solução geral. Qual aordem mínima que uma equação diferencial linear de coeficientes constan-tes pode ter para que as funções anteriores sejam duas soluções? Porquê?[R : y = Ae2x +Be−2x + C sinx+D cosx+ ex].

Exercício 14 Considere-se a equação diferencial linear de coeficientes cons-tantes y′′ + ay′ + by = 0 e suponha-se que ex cos 2x é uma solução. Deter-minar a e b e indicar a solução que satisfaz as condições iniciais y(0) = 2 ey′(0) = −1.

[R : y = −3

2ex sin 2x+ 2ex cos 2x

].

Exercício 15 Formar a equação diferencial de segunda ordem completa queadmite como polinómio característico (D − 3)2 e como solução particular(3x+ 1) ex. Determinar a solução que satisfaz as condições y(0) = 1 e y′(0) =−2. [R : y = −6xe3x + (3x+ 1)ex].

25 1/Agosto/2005

Referências

[1] Apostol, T., Calculus, Vols. 1 e 2, Reverté, 1975.

[2] Demidovitch, B., Problemas e exercícios de análise matemática, MIR,1977.

[3] Goode, S., An introduction to differential equations and linear algebra,Prentice-Hall, Inc.,1991.

[4] Piskounov, N., Cálculo diferencial e integral, Vol. 2, Edições Lopes daSilva, 1998.

[5] Ray Wile, C. e Barret, L. C., Advanced Engineering Mathematics,McGraw-Hill, 1982.

[6] Sarrico, C., Análise Matemática, leituras e exercícios, Gradiva, 1997.

[7] Segurado, M. A., Biomatemática, Vol II, Plátano Editora, 1980.

26 1/Agosto/2005

Exercícios propostos

Noções básicas

1. Verifique que as funções da forma φ (x) = − 1x+c

(c constante) são so-luções da equação

y′ = y2

em intervalos que não contenham −c.

2. Sabe-se que o modelo de crescimento populacional é dado pela equaçãodiferencial

y′ = y.

Prove que y = cex é solução desse modelo.

3. Prove que:

(a) y = x2 é solução da equação xy′ = 2y ∀x ∈ IR.

(b) y = ex + ax2 + b x+ c (a, b, c constantes) é solução da equação

y′′′ = ex

4. Mostre que:

(a) x2+y2 = 1 (y > 0) define implicitamente uma solução da equaçãodiferencial

x+ yy′ = 0.

(b) x2 − y2 = 1 define implicitamente uma solução de uma certaequação diferencial.

5. Construa as curvas integrais da equação

y′ = cosx.

6. Verifique se x4+ y4 = C define implicitamente uma família de soluçõesda equação diferencial

x3 + y3y′ = 0.

Determine a constante C de forma a que a condição inicial y(0) = 1seja satisfeita.

27 1/Agosto/2005

Equações diferenciais lineares de 1a ordem

1. Determine a solução geral das seguintes equações:

(a) y′ + 2y = e−x;

(b) xy′ − 2y = x3 cosx;

(c) y′ + 2xy = e−x2

;

(d) y′ + xexy = e(1−x)ex.

2. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais:

(a) x2 + xy′ = y y (1) = 0;

(b) y′ + y cosx = cosx y (0) = 1.

3. Suponha que desliga o aquecimento da sua casa todas noites 2 horasantes de se deitar (t = 0). Admita igualmente que a temperatura T , dacasa nesse instante, é 66◦F e que quando se deita esta já desceu para63◦F. Qual a temperatura esperada de manhã quando acorda, ao fimde 8 horas de sono, sabendo que a temperatura do ambiente exterior é32◦F e se manteve constante?

Note que a taxa de variação da diferença de temperatura entre o quartoe o ambiente exterior é proporcional a esta diferença.

4. Admitindo que o declive de uma curva em qualquer ponto (x, y) é2x+3y. Determine a equação da curva, supondo que passa pelo ponto(0, 1

3

).

5. Um trabalhador experimentado consegue produzir um máximo de 30peças por dia, numa determinada fábrica. A taxa de crescimento donúmero de peças y produzidas por um novo trabalhador ao fim de t diasé proporcional a (30− y). Determine o número de unidades produzidaspelo novo trabalhador em função de t.

6. Admita que a taxa de crescimento de uma população relativamente aotempo é proporcional à dimensão dessa população. Sabendo que em1987 existiam, num certo país, 10 milhões de habitantes e em 2000, 11milhões, determine a lei de crescimento da população e o número dehabitantes que existirão no ano 2100. Discuta a validade desta lei decrescimento.

28 1/Agosto/2005

7. Suponha que a taxa de crescimento de uma população relativamente aotempo é proporcional à dimensão dessa população. Admita, no entantoa existência uma taxa temporal C de migração, suposta constante.

(a) Determine a solução geral do problema anterior;

(b) Supondo que a população em 1969 e 1979 tinha respectivamente1 milhão e 2 milhões de habitantes, determine o número de ha-bitantes que deverão existir em 2003, admitindo que emigram dopaís 10000 habitantes anualmente.

8. A velocidade v de queda livre de um paraquedista de massa m emqueda livre satisfaz a seguinte equação diferencial

mdv

dt+ cv = mg

em que g representa a aceleração da gravidade e c > 0 a resistência doar. Admite-se g e c constantes e a utilização de unidades SI.

(a) Determine a solução geral do problema anterior;

(b) Qual a velocidade terminal de queda do paraquedista?

(c) Suponha que o paraquedista no instante inicial de queda se en-contra à velocidade mg

c. Qual será a sua velocidade passados 2

segundos?

(d) Supondo que c = 700 Ns

me v0 = 0 represente graficamente a velo-

cidade de queda do paraquedista. Qual a velocidade de queda aofim de 10 segundos.

Soluções

1a) y = e−x + Ce−2x; 1b) y = x2 sinx + Cx2; 1c) y = (x+ C) e−x2

; 1d)y = e(1−x)ex (x+ C); 2a) y = x − x2; 2b) y = 1; 3) T ≈ 53, 46◦F ; T =32 + 34e−0.046t; 4) y = −2

3x− 2

9+ 5

9e3x; 5) y = 30− Ce−kt;

Equação de Bernoulli

Resolva as seguintes equações diferenciais:

1. y + 2xy = 2y2ex2

;

2. y′ + 13y = 1

3(1− 2x) y4;

3. y′ − 2yex = 2√yex;

4. y′ − y cosx = y2 cosx.

29 1/Agosto/2005

Soluções

1) y = 1

ex2(C−2x)

; 2) y = 13√Cex−2x−1

; 3)√y + 1 = Cee

x

; 4)√y + 1 = Cee

x

;

Equação diferencial total exacta

Resolva as seguintes equações diferenciais:

1. (x3 + xy2) dx+ (x2y + y3) dy = 0;

2. x (2x2 + y2) + y (x2 + 2y2) y′ = 0;

3.(2x+ x2+y2

x2y

)dx = x2+y2

xy2dy;

4.(

sin 2xy

+ x)dx+

(y − sin2 x

y2

)dy = 0.

Soluções

1) x4 + 2x2y2 + y4 = C; 2) x4 + x2y2 + y4 = C; 3) x3y + x2 − y2 = Cxy; 4)sin2 x

y+ x2+y2

2= C.

Equação de variáveis separáveis

Resolva as seguintes equações separáveis:

1. yy′ + 25x = 0;

2. y′ = xy

2;

3. (1 + y2) dx+ (1 + x2) dy = 0;

4. ey (1 + x2) dy − 2x (1 + ey) dx = 0;

5. 2x√1− y2 = y′ (1 + x2).

Soluções

1) 25x2 + y2 = C; 2) −x2 + 4 ln |y| = C; 3) arctanx + arctan y = C; 4)ln(1+ey

1+x2

)= C; 4) ln (1 + x2)− arcsin y = C.

30 1/Agosto/2005

Equações homogéneas

Integre as seguintes equações diferenciais:

1. xy′ =√x2 − y2 + y;

2. xy′ = y + x cos2 y

x;

3. xy′ = y (ln y − lnx).

Soluções

1) arcsin y

x− ln |x| = C; 2) tan y

x+ ln |x| = C; 3) ln

∣∣∣ ln y

x−1

x

∣∣∣ = C.

Edo´s lineares de ordem n com coeficientes constantes

1. Resolva:

(a) y′′ + y′ − 2y = 0;

(b) y′′ − 9y = 0;

(c) y′′ − 4y′ = 0;

(d) y′′ − 2y′ + y = 0;

(e) 3y′′ − 2y′ − 8y = 0;

(f) y′′ + y = 0;

(g) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0;

(h) yIV + 2y′′′ + y′′ = 0.

2. Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferen-ciais:

(a) 2y′′ + y′ − y = 2ex;

(b) y′′ − 7y′ + 6y = sinx;

(c) y′′ + 2y′ + 5y = e−x cos (2x).

3. Considere a equação diferencial linear completa, cujo polinómio carac-terístico é

P (D) =(D2 + 4

)(D − 1)

e que tem como solução partícular

yp =1

6(sinx− cosx)

Determine a equação e a sua solução geral.

31 1/Agosto/2005

4. Determine a equação diferencial de 2a ordem não homogénea com coe-ficientes constantes tais que y = x2

4e−x seja uma solução particular e

y = e−x (C1 + C2x) seja a solução geral da homogénea associada, sendoC1 e C2 constantes arbitrárias.

5. Determinar a solução particular do seguinte problema de Cauchy:

y′′ − y = 4ex y (0) = 0; y′ (0) = 1

6. Considere o sistema mecânico não forçado com um grau de liberdade

mx+ kx = 0,

em que m > 0 e k > 0 são parâmetros constantes que representamrespectivamente a massa e a rigidez do sistema.

(a) Determine a solução geral do problema e a frequência angular ωdo movimento;

(b) Se a equação diferencial anterior modelar o camportamento vi-bratório das cordas de uma guitarra clássica, justifique a dependên-cia que se verifica entre a altura do som produzido, a massa decada corda e a respectiva tensão;

(c) Suponha que a posição e velocidades iniciais são respectivamentex (0) = 1 e x (0) = 1. Qual é a solução deste problema de valoresiniciais? Se x (0) = 0 e x (0) = 0, qual será a solução correspon-dente?

7. Considere o sistema mecânico não forçado e amortecido com um graude liberdade

mx+ cx+ kx = 0,

em que m > 0, c ≥ 0 e k > 0 são parâmetros constantes que repre-sentam respectivamente a massa, o coeficiente de amortecimento e arigidez do sistema.

(a) Determine e represente graficamente as soluções gerais do sistemasupondo que c = 0 e ccr = 2

√mk.

(b) Determine para que valores do coeficiente de amortecimento aresposta do sistema é oscilatória e determine a correspondentesolução geral do problema. Represente-a graficamente.

32 1/Agosto/2005

Soluções

1a) y = C1ex + C2e

−2x; 1b) y = C1e−3x + C2e

3x; 1c) y = C1 + C2e4x; 1d)

y = ex (C1x+ C2); 1e) y = C1e2x + C2e

− 4

3x; 1f) y = C1 cosx + C2 sinx;

1g) y = ex (C1x2 + C2x+ C3); 1h) y = C1 + C2x + C3e

−x + C4xe−x; 2a)

y = C1e2x + C2e

−x + ex; 2b) y = C1e6x + C2e

x + 5 sinx+7cosx74

; 2c) y =(C1 cos 2x+ C2 sin 2x) e

−x + 14xe−x sin 2x; 3) y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = cosx;

ysgc = C1 cos 2x+C2 sin 2x+C3ex + 1

6(sinx− cosx); 4) y′′ +2y′ + y = 1

2e−x;

5) y = −12ex + 1

2e−x + 2xex.

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