Equações Diferenciais na Física - Diferenciais... · 2.1 Sistemas de EDO lineares homogéneas de…

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  • Equaes Diferenciais na Fsica

    Carla Alexandra Estima Simes

    Dissertao apresentada na Universidade de vora para a obtenodo grau de Mestre em Matemtica para o Ensino sob

    orientao Professor Doutor Lus Miguel Zorro Bandeiraco-orientao Professor Doutor Carlos Correia Ramos

    Departamento de MatemticaUniversidade de vora

    2014

    Maro de 2014

  • Equaes Diferenciais na Fsica

    Dissertao de Mestrado

    Carla Alexandra Estima Simes

    Dissertao apresentada na Universidade de vora para a obteno dograu de Mestre em Matemtica para o Ensino sob a

    orientao Professor Doutor Lus Miguel Zorro Bandeira eco-orientao Professor Doutor Carlos correia Ramos

    Departamento de MatemticaUniversidade de vora

    2014

  • Um agradecimento especial:Aos meus pais por tudo o que sou!

    Ao meu namorado pelo apoio e pacincia.Ao Professor Lus Bandeira pela

    orientao, disponibilidade e motivaopara nalizar o trabalho.

  • Equaes Diferenciais na Fsica

    Resumo

    A modelao matemtica fornece modelos que permitem descrever, inter-pretar e prever a evoluo de situaes reais nas mais diversas reas doconhecimento.As equaes diferenciais so uma das ferramentas matemticas usadas namodelagem de fenmenos fsicos. O estudo da segunda lei de Newton e alei de Hooke permite deduzir que certos sistemas envolvendo massas e molasapresentem um comportamento de oscilador harmnico.O estudo de mltiplos osciladores acoplados e a ligao ao problema da cordavibrante leva-nos ao estudo das equaes diferenciais parciais, das sries deFourier e do mtodo da separao das variveis.

  • 6

    Dierential equations in Physics

    Abstract

    The mathematical modeling oer us models that allow us to describe, inter-pret and predict the evolution of real situations in various elds of knowledge.The dierential equations are one of the mathematic tools when modelingphysic phenomena. The study of Newton's second law and Hooke's law allowus to deduct that certain systems which involve masses and springs show anoscillator and harmonious behaviour.The study of multiple coupled oscillators and the connection to the vibratingstring lead us to the study of the partial dierential equations, the series ofFourier and to the method of the separation of variables.

  • Contedo

    Introduo 11

    Nota histrica 13

    1 Equaes Diferenciais 17

    1.1 Classicao das equaes diferenciais . . . . . . . . . . . . . 181.2 Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 Soluo de uma equao diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Equaes diferenciais de primeira ordem . . . . . . . . . . . . 23

    1.4.1 Anlise qualitativa de equaes autnomas . . . . . . 251.4.2 Aproximao de solues . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Equaes Diferenciais Separveis . . . . . . . . . . . . 33

    2 Equaes Diferenciais Lineares Homogneas de Coecientes

    Constantes 37

    2.1 Sistemas de EDO lineares homogneas de coecientes constantes 382.2 Equaes diferenciais lineares homogneas de segunda ordem

    com coecientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.1 Mtodo de reduo de ordem . . . . . . . . . . . . . . 492.2.2 Sistemas de equaes diferenciais lineares homogneas

    de segunda ordem com coecientes constantes . . . . . 51

    3 Movimento Harmnico 63

    3.1 Oscilador harmnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.1 Oscilador harmnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.2 Pndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.3 Oscilador harmnico com amortecimento . . . . . . . 71

    3.2 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    7

  • 8 CONTEDO

    4 Sries de Fourier 89

    4.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.1.1 Continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade de

    funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.1.2 Funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.3 Convergncia de sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    4.2 Coecientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3 Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.4 Estimativa dos coecientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . 1104.5 Sries de Fourier para funes pares e mpares . . . . . . . . . 1134.6 Forma complexa da srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 1164.7 Convergncia das sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 118

    4.7.1 Convergncia pontual das sries de Fourier . . . . . . . 1184.7.2 Convergncia uniforme das sries de Fourier . . . . . . 125

    4.8 Integrao de sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    5 Equaes Diferenciais Parciais de Segunda Ordem 133

    5.1 Equao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.1.1 Denies e generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.1.2 Deduo da equao do calor . . . . . . . . . . . . . . 1355.1.3 Soluo da equao do calor . . . . . . . . . . . . . . . 1375.1.4 Discretizao da equao do calor . . . . . . . . . . . . 144

    5.2 Equao da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2.1 Denies e generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.2.2 Equao geral das ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.2.3 Equao da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2.4 Corda com extremidades xas . . . . . . . . . . . . . . 1525.2.5 Discretizao da equao da onda . . . . . . . . . . . . 157

    6 Osciladores Harmnicos na Sala de Aula 159

    6.1 Plano de aula: Oscilador harmnico . . . . . . . . . . . . . . 1596.1.1 Atividade Laboratorial - Pndulo gravtico . . . . . . . 1606.1.2 Atividade Prtica - Pndulo . . . . . . . . . . . . . . . 161

    6.2 Plano de aula: Sistema massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . 1656.2.1 Atividade Laboratorial - Lei de Hooke . . . . . . . . . 1666.2.2 Atividade Prtica - Sistema massa-mola . . . . . . . . 167

    Consideraes Finais 173

    Bibliograa 175

  • Lista de Figuras

    1.1 Exemplo de um pndulo de comprimento L e massa m. . . . . 18

    1.2 Representao grca da soluo 1.16 no caso de a > 0 e a < 0. 23

    1.3 Representao grca dos diferentes pontos de equilbrio. . . . 25

    1.4 Decomposio do intervalo [t0, tn] . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.5 Aproximao pela rea do retngulo. . . . . . . . . . . . . . . 30

    1.6 Aproximao pela rea do trapzio. . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.1 Classicao do ponto de equilbrio no caso de valores prprioscomplexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    2.2 Classicao do ponto de equilbrio no caso em que o valorprprio real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.1 Exemplo de oscilador harmnico massa-mola . . . . . . . . . . 65

    3.2 a) Representao grca do deslocamento de um osciladorharmnico com v0 < 0 e v0 > 0. b) Retrato de fase de umoscilador harmnico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.3 Exemplo de um pndulo simples de comprimento L e massa m 70

    3.4 Exemplo de um oscilador amortecido. . . . . . . . . . . . . . . 72

    3.5 a) Representao grca do comportamento da soluo de umoscilador com amortecimento forte para diversas condies ini-ciais. b) Retrato de fase de um oscilador com amortecimentoforte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    3.6 a) Representao grca do comportamento da soluo dooscilador com amortecimento crtico para diversas condiesiniciais. b) Retrato de fase do oscilador com amortecimentocrtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    9

  • 10 LISTA DE FIGURAS

    3.7 a) Representao grca do comportamento da soluo de umoscilador com amortecimento fraco para diversas condiesiniciais. b) Retrato de fase de um oscilador com amorteci-mento fraco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.8 Representao grca dos diferentes tipos de amortecimento. 783.9 Exemplo de dois osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . 793.10 Exemplo de trs osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . 843.11 Exemplo de n osciladores acoplados. . . . . . . . . . . . . . . 85

    5.1 Conduo de calor numa barra de metal. . . . . . . . . . . . . 1355.2 Malha de discretizao temporal e espacial . . . . . . . . . . . 1455.3 Exemplo de um pedao de corda de comprimento L. . . . . . 1505.4 Discretizao temporal e espacial. . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    6.1 Representao grca do comportamento do pndulo: ampli-tude constante e variao do comprimento do o. . . . . . . . 162

    6.2 Representao grca do comportamento do pndulo: com-primento constante e variao da amplitude. . . . . . . . . . . 163

    6.3 Representao grca do comportamento do pndulo: varia-o da acelerao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    6.4 Retrato de fase de um pndulo no linear. . . . . . . . . . . . 1656.5 Exemplo sistema massa mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.6 Retrato de fase da aplicao do mtodo de Euler para w = 1 . 1696.7 Representao grca do comportamento da soluo de um

    oscilador com amortecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.8 Retrato de fase de oscilador com amortecimento a) w =

    5 e

    b) w = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

  • Introduo

    Amodelao matemtica consiste num conjunto de ferramentas matemticasque permitem descrever diversos fenmenos da realidade.As equaes diferenciais so um dos ramos da matemtica mais usados naaplicao e modelao de fenmenos fsicos.A temtica proposta para a presente dissertao passa pela abordagem dealguns problemas fsicos, tais como, o movimento de osciladores simples eacoplados, equao do calor e equao das ondas, aplicando a teoria dasequaes diferenciais.O presente trabalho comea com uma pequena nota histrica da ev