Pontifcia Universidade Catlica do Rio de JaneiroDepartamento de Engenharia CivilPrograma de Ps-graduao

Equaes diferenciais-Notas de aulaMETODOS MATEMATICOS ENG. CIVIL (CIV 2101)Professor: Raul Rosas

Rodrigo Nascimento Barros - 1412828

Rio de Janeiro, 1 de maio de 2015.

SumrioI.Aula 0141Equaes Diferenciais ordinrias41.1Origem41.2Dependncia de taxa de variao41.3Determinar a constante A.41.4Exemplo:5Material Visco elstico551.5Condies de valor inicial ()61.6Modelo de Maxwell62Equao diferencial de 2 Ordem82.1Equao geral82.1.1Homognea82.2Formula de Euler92.2.1Equao geral92.3Vibrao livre92.3.1Caracterstica92.3.2Condies iniciais92.3.3Frequncia fundamental102.3.4Frequncia angular103Tipos de EDO113.1Ordem113.2Linear ou No-Linear113.3Homognea ou No-Homognea1141 Ordem114.1Wranskiano114.2Tipos de Problemas124.2.1Valor Inicial124.2.2Valores de Contorno124.3Soluo Geral de EDO lineares124.3.1Soluo Homognea124.3.2Soluo Particular da equao no homognea124.3.3Soluo Geral124.4Exemplo 01134.5Exemplo 02155Mtodo de Soluo185.1Sries de Potencias185.2Srie de Taylor185.3Srie Trigonomtricas195.3.1Em seno195.3.2Em cossenos195.4Funes No-Ortogonais205.5Strang215.5.1Funes ortogonais215.6Transformada de Laplace225.6.1Tabela de transforadas (Ver livro do Kreyseig)225.7Transformadas de Derivadas23

I. Aula 011. Equaes Diferenciais ordinriasOrigem

Dependncia de taxa de variao

Equao linear, de 1 ordem, com coeficientes constantes e variveis separveis. Onde,

Dessa forma, tem-se que

Onde vai ser o inicio da dietaDeterminar a constante A.

Para e sabendo que , ento para , conclui-se que

Onde K vai possuir valor negativo quando houver perda de massa.

Podemos ter equaes com variveis separveis, exatas e no lineares. Quando ocorre isto, pode-se utilizar o fator integrante para transformar em equaes com variveis separveis.Exemplo: Material Visco elstico

Onde as foras sero: Onde a equao diferencial de 1 ordem, de coeficientes constantes, ser

Tomamos a soluo a soluo geral da parte homognea, no formato: . Substituindo, tem-se que

Onde a soluo geral da homognea ser . Ento, aplicando que ,a soluo particular pode ser encontrada e ter valor de.

Logo, para a soluo geral, tem-se que

Condies de valor inicial ()

Modelo de Maxwell

Logo, (relao diferencial). Dado.

A soluo da equao homognea , ento tem-se que

A soluo particular da equao no homognea , em , ento . Deste modo, tem-se que.

Observao 1: Modelo de Kelvin para slidos e o Modelo de Maxwell para lquidos.

Observao 2: se tivermos no modelo de Maxwell, tem-se uma equao diferencial para .

A equao caracterstica ser . Para a condio inicial .Ento, tem-se que

Deste modo, a soluo homognea ser uma constante (A) e a soluo particular possui valor de

Com os valores da soluo homognea e a particular, a equao geral possui valor de

Equao diferencial de 2 OrdemEquao geral

Homognea

O valor de delta () ser , substituindo na expresso anterior, tem-se que a equao geral possui o seguinte formato.

Onde, deduz-se que

Deste modo, a equao caracterstica possui a seguinte cara

Formula de EulerEquao geral

Equao Caracterstica

Deste modo,

Vibrao livreCaracterstica

`

Condies iniciais

Deste modo, tem-se que para a equao caracterstica

De posse da constante , a equao geral ser

Para a condio inicial de , tem-se que

Frequncia fundamental

Frequncia angular

II. Aula 02Tipos de EDOOrdemPode ser de 1, 2, ..., n ordemLinear ou No-LinearQuando for linear, os coeficientes so constantes. Quando for no-linear os coeficientes so variveis.Homognea ou No-Homognea

Ser homognea quando , por exemplo. E sero no-homognea quando , por exemplo.

Obs1: Tambm existe a equao homognea, do tipo onde dita homognea porque a ordem dos coeficientes so iguais a ordem das derivadas.

Obs2: Polinmio homogneo em x, y. 1 Ordem

Wranskiano

Dados

; Exemplo

Tipos de ProblemasValor Inicial

Valores de Contorno

Soluo Geral de EDO linearesCom coeficientes constantes

Substituir na equao homognea.Ento, simplificando, tem-se que a equao caracterstica

Soluo Homognea

Soluo Particular da equao no homogneaPor observao (coeficientes a determinar) e variao de parmetros, tem-se que

Soluo Geral

Exemplo 01

EquilbrioObtemos queEnto, tem-se que

ou

Fazendo a verificao, tem-se que

Pelo Mtodo Geral

Onde,

Por fim,

Condies de Contorno Determinar Para o caso

Logo,

Sabendo os valores de e , podemos encontrar e , os quais tero valor de

e A expresso geral e final do deslocamento ser

Exemplo 02

Equao Diferencial

Ou

Soluo

Onde

Onde

`Sendo assim, a equao da homognea ser

Onde alfa possui valor de

Formula de Euler

Ento, podemos reescrever da seguinte maneira

Ou ento

Onde

III. Aula 03Mtodo de SoluoSries de Potencias

Exemplo

Onde sabe-se que

Ento, pode-se montar a seguinte expresso

Logo,

Srie de Taylor

Tambm pode ser escrita da seguinte maneira

Que coincide com

Obs.: Sendo assim, a equao caracterstica ser

Srie Trigonomtricas

Obs.: Srie de Fourier converge se as descontinuidades so finitas

Em seno

Em cossenos

Podemos fazer tambm

Porm

Obs.: Logo,

Obs.: Temos um conjunto de funes ortogonaisFunes No-Ortogonais

Vemos que leva

Pergunta: H inversivel? bem condicionada? Exemplo: Sries de Potencias

[H]Matriz de Vondermonde (no caso de ajuste de curva).

StrangPodemos ter ortogonalidade em relao a uma funo peso.

Funes ortogonais

Em certas aplicaes a ortogonalidade deve existir entre derivadas de funo de ordem 1 e 2. Exemplo

Energia de deformao

Transformada de LaplaceEquao diferencial Transformao em equaes algbricas

Obs.: Nmero algbrico Soluo de equaes algbricas. Nmero transcendental No soluo de equaes algbricas. Exemplo:

Se

Ento, fazemos

Exemplo

Tabela de transforadas (Ver livro do Kreyseig)

1

Transformadas de Derivadas

Recordando

Em geral, temos que

Exemplo

Pois