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Universidade Estadual Paulista Instituto de Qu´ ımica de Araraquara Equa¸c˜ oes Diferenciais Ordin´ arias Jorge Manuel Vieira Capela Marisa Veiga Capela Material de apoio ` a disciplina Equa¸c˜ oes Diferenciais Ordin´ arias Curso Licenciatura em Qu´ ımica 2017

Equa˘c~oes Diferenciais Ordin arias - iq.unesp.br · Biologia, Economia, Engenharia, etc. Podemos ter, por exemplo, problemas envolvendo varia˘c~oes no tempo tais como a posi˘c~ao

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Universidade Estadual PaulistaInstituto de Quımica de Araraquara

Equacoes Diferenciais Ordinarias

Jorge Manuel Vieira CapelaMarisa Veiga Capela

Material de apoio a disciplina Equacoes Diferenciais Ordinarias

Curso Licenciatura em Quımica

2017

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Sumario

1 Equacoes Diferenciais de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Exemplos de Equacoes Diferenciais Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Equacoes Separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Equacoes Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Equacoes Diferenciais Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Trajetorias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Equacoes Diferenciais de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Existencia e Unicidade da Solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Equacoes Lineares Homogeneas com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Raızes reais distintas de a2m2 + a1m + a0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Raızes reais repetidas (raiz dupla) de a2m2 + a1m + a0 = 0 . . . . . . . 17

2.2.3 Raızes complexas (conjugadas) de a2m2 + a1m + a0 = 0 . . . . . . . . . 18

2.3 Metodo da Variacao dos Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Reducao de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Solucao em serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

A Numeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

B Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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Prefacio

Trata-se de uma disciplina que aborda os conceitos e procedimentos matematicos utilizados para

modelar os mais diversos fenomenos por meio da aplicacao de equacoes cujas incognitas sao taxas

de variacao. As equacoes diferenciais estao presentes no estudo de problemas da Fısica, Quımica,

Biologia, Economia, Engenharia, etc. Podemos ter, por exemplo, problemas envolvendo variacoes

no tempo tais como a posicao de um objeto, a temperatura de um material, a concentracao de

um agente quımico, a concentracao de um poluente ou nutriente em um meio, a umidade do ar,

o numero de habitantes de uma cidade, a densidade de bacterias de uma cultura, o valor de uma

mercadoria, o cambio entre moedas, o produto interno bruto de um paıs, etc.

O estudo de tais equacoes, alem de ser necessario no aprendizado de outras disciplinas,

tambem desenvolve no estudante a habilidade de compreender a modelagem matematica e

suas multiplas aplicacoes, colaborando de forma especial na formacao dos futuros professores

de Quımica.

A disciplina e dividida nos seguintes topicos:

1) Equacoes diferenciais ordinarias: definicao e classificacao. Solucoes. Problema de valor

inicial.

2) Equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem separaveis e lineares: definicao, metodos

de resolucao. Aplicacoes.

3) Equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem: equacoes diferenciais de segunda ordem

redutıveis a primeira ordem; equacoes diferenciais lineares homogeneas com coeficientes

constantes; equacoes diferenciais lineares homogeneas com coeficientes variaveis: solucao

por series de potencias. Aplicacoes.

Para a bibliografia da disciplina temos os seguintes livros:

1) BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equacoes Diferenciais Elementares e Proble-

mas de Valores de Contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010.

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2) BASSANEZI, Rodney C.; FERREIRA JR., Wilson C. Equacoes Diferenciais com Aplicacoes.

1.ed. Sao Paulo: Harbra, 1988.

3) ZILL, Denis G. Equacoes Diferenciais com Aplicacoes em Modelagem. 2.ed. Sao Paulo:

Cengage Learning, 2011.

4) SANTOS, Reginaldo de Jesus. Introducao as Equacoes Diferenciais Ordinarias. Livro em

arquivo pdf disponıvel em: www.mat.ufmg.br/ regi. Ultimo acesso em 20/01/2017.

5) SANTOS, Reginaldo de Jesus. Topicos de Equacoes Diferenciais. Arquivo pdf disponıvel

em: www.mat.ufmg.br/ regi. Ultimo acesso em 20/01/2017.

6) LEITHOLD, Louis. O Calculo com Geometria Analıtica - volume 2, 3.ed. Sao Paulo:

Harbra, 1994.

7) STEWART, James. Calculo - Volume 2. 7. ed. Sao Paulo: Cengage Learning, 2013.

8) SWOKOWSKI, Earl W. Calculo com Geometria Analıtica. Volume 2. 2. ed. Sao Paulo:

Makron Books, 1994.

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Capıtulo 1

Equacoes Diferenciais de Primeira

Ordem

Uma equacao diferencial ordinaria (edo) e uma equacao que envolve uma funcao desconhe-

cida e as suas derivadas ordinarias. As equacoes diferenciais sao de grande interesse em diversas

areas do conhecimento e sao frequentemente usadas para descrever processos nos quais a taxa

de variacao da medida de uma propriedade e causada pelo proprio processo.

Neste texto abordaremos especificamente as equacoes diferenciais ordinarias, isto e equacoes

que so apresentam derivadas ordinarias em relacao a uma unica variavel.

A equacao diferencial junto com uma condicao inicial, daremos o nome de problema de

valor inicial (pvi).

1.1 Exemplos de Equacoes Diferenciais Ordinarias

Exemplo 1.1.1 Problemas de crescimento ou decrescimento

Seja y = f(t) uma funcao que descreve a quantidade de uma substancia, em processo de decresci-

mento radioativo, sendo a variavel t o tempo. Uma das leis que descreve o decrescimento de uma

substancia radioativa e aquela que diz que a taxa de variacao da quantidade da substancia em

um dado instante t e proporcional a substancia presente nesse instante. Em termos matematicos

esta situacao e dada por: dy

dt= ky (ou y′ = ky)

y0 = f(0),

sendo k uma constante e y0 o valor inicial de y.

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Exemplo 1.1.2 Variacao da temperatura

A lei de variacao da temperatura de Newton estabelece que a taxa de variacao da temperatura

de um corpo e proporcional a diferenca entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio

ambiente.

Denotando por T a temperatura do corpo e por α a temperatura do ambiente, temos a

seguinte equacao diferencial:

dT

dt= −k (T − α) , k > 0,

no caso de um processo de resfriamento. Observe que T > α e o sinal negativo justifica-se pelo

fato dedT

dt< 0 (Temperatura decrescente ate a temperatura ambiente).

No caso de um processo de aquecimento tem-se

dT

dt= k (α− T ) , k > 0,

sendo T < α e entaodT

dt> 0.

Exemplo 1.1.3 Um problema de mistura

Seja V0 a quantidade (volume) inicial de salmoura dentro de um tanque que contem Q0 gramas

de sal. Despejamos no tanque outra solucao de salmoura, com Q1 gramas de sal por litro, a razao

de v litros por minuto. A mistura e mantida uniforme por meio de um agitador, enquanto ela

escoa a razao w litros por minuto. Sejam Q(t) a quantidade de sal presente na mistura no instante

t e V (t) a quantidade de salmoura no mesmo instante t. EntaoQ(t)

V (t)representa a concentracao

de sal na mistura no instante t e

dQ

dt= Q1v︸︷︷︸Entrada

− Q(t)

V (t)w︸ ︷︷ ︸

Saida

,

Q(0) = Q0

Observando que V (t) = V0 + tv − tw, obtemos o seguinte modelo matematico:

dQ

dt+

w

V0 + (v − w)tQ = Q1v,

Q(0) = Q0

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Exemplo 1.1.4 Um problema de queda vertical

Seja um corpo de massa m em queda vertical, influenciada pela acao da gravidade g e pela

resitencia do ar. De acordo com a segunda lei de Newton

~F = md~v

dt,

onde ~v representa a velocidade e ~F a resultante das forcas que atuam no corpo. Essas forcas sao

o peso ~F1 = mg e a resistencia do ar ~F2 = −k~v, k > 0.

Figura 1.1: Queda de um corpo de massa m, sob influencia da gravidade e da resistencia do ar.

Entao

mg − kv = mdv

dtou v′ +

k

mv = g,

que e a equacao do movimento.

1.2 Equacoes Separaveis

Sao equacoes diferenciais de primeira ordem dadas que podem ser escritas da seguinte forma:

dy

dx=f(x)

g(y)⇔ g(y)dy = f(x)dx, (1.1)

ou

dy

dx= f(x)g(y) ⇔ dy

g(y)= f(x)dx. (1.2)

sendo a solucao obtida por integracao direta de ambos os lados da igualdade:

∫g(y) dy =

∫f(x) dx ou

∫1

g(y)dy =

∫f(x) dx.

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Exemplo 1.2.1

Encontre a solucao geral de

dy

dx= 2y

Solucao:

Escrevemos a equacao na forma:

1

2ydy = dx ⇔

∫1

2ydy =

∫dx

e integramos para obter:

1

2ln |y| = x+ C1 ⇒ |y| = e2C1e2x ⇒ y = Ce2x

Exemplo 1.2.2

Encontre a solucao da equacao

y′ = −4x

9y, y 6= 0

Solucao:

Escrevemos a equacao na forma:

9ydy = −4xdx

e integramos para obter:

9y2

2= −4x2

2+ C ⇔ 2x2 +

9y2

2= C

Exercıcio 1.2.1

Resolva o problema de valor inicial:

dy

dx= 2xy

y0 = 1

Exercıcio 1.2.2

Sabe-se que uma cultura de bacterias cresce a uma taxa proporcional a quantidade presente em

cada instante. Apos 1 hora observam-se 1 000 fileiras de bacterias na cultura e apos 4 horas

observam-se 3 000 fileiras. Determine

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a) A expressao do numero de fileiras de bacterias presentes na cultura no instante t.

b) O numero aproximado de fileiras de bacterias no inıcio da cultura.

Exercıcio 1.2.3

Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional a quantidade presente. Se inicialmente

ha 100 miligramas e se apos 2 anos 5% do material decaiu, determine

a) A expressao para a massa em um instante t

b) O tempo necessario para o decaimento de 10% do material.

Exercıcio 1.2.4

Sabe-se que o Cs137 (Cesio 137) se desintegra a uma taxa proporcional a massa existente em

cada instante. Sua meia-vida e da ordem de 30 anos. Qual a porcentagem de Cesio 137 que se

desintegra em 1 ano?

Exercıcio 1.2.5

Um corpo a temperatura de 50oF e colocado em um forno cuja temperatura e mantida em 150oF .

Se apos 10 minutos a temperatura do corpo e de 75oF , determine o tempo necessario para que

o corpo atinja a temperatura de 100oF .

Exercıcio 1.2.6

Suponha que a taxa segundo a qual uma inovacao tecnologica se espalha em uma comunidade

com uma populacao fixa de n indivıduos e conjuntamente proporcional ao numero de pessoas

que a adotaram e ao numero de pessoas que nao a adotaram. Se y(t) for o numero de pessoas

que adotaram a inovacao no instante t, determine a equacao diferencial que descreve a situacao.

Exercıcio 1.2.7

Um corpo a temperatura de 50 oF e colocado ao ar livre , onde a temperatura e de 100 oF . Se

apos 5 minutos a temperatura do corpo e de 60 oF , determine

a) O tempo necessario para que o corpo atinja a temperatura de 75 oF

b) A temperatura do corpo apos 20 minutos.

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Exercıcio 1.2.8

Resolva o problema de valor inicial:

dy

dx= y sen x

y0 = 1

1.3 Equacoes Lineares de Primeira Ordem

Cada uma das situacoes dos exemplos da secao anterior foi modelada matematicamente por uma

equacao diferencial do tipo

y′ + a(x)y = b(x) (1.3)

onde as funcoes sao supostas contınuas. Essa equacao e denominada de equacao diferencial

linear de primeira ordem. Para resolver a equacao (1.3) multiplicamos ambos os lados da

equacao pelo fator integrante

e∫a(x) dx (1.4)

transformando-a em

d

dx

[ye

∫a(x) dx

]= b(x)e

∫a(x) dx. (1.5)

Integrando a equacao (1.5), obtemos a seguinte solucao geral para a equacao diferencial

linear de primeira ordem (1.3).

Exemplo 1.3.1

Resolver o seguinte problema de valor inicial:

( sen x)

dy

dx+ (cosx) y = cos 2x, 0 < x < π

y(π2 ) = 1

Solucao:

Escrevendo a equacao na forma (1.3) temos:

dy

dx+

cos(x)

sen (x)︸ ︷︷ ︸a(x)

y =cos(2x)

sen (x)︸ ︷︷ ︸b(x)

sendo o fator integrante dado por

e∫a(x)dx = exp

(∫cos(x)

sen (x)dx

)= exp [ln ( sen (x))] = sen x

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dy

dxsen x+ y cosx = cos 2x ⇔ d

dx(y sen x) = cos 2x

Portanto a solucao da EDO e dada por

y =1

sen (x)

[C +

sen (2x)

2

]

Impondo a condicao inicial encontramos C = 1. Entao a solucao particular e dada por:

y =1

sen (x)

[1 +

sen (2x)

2

]

Exemplo 1.3.2

Um tanque contem inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. A partir de um dado

momento, agua pura comeca a entrar no tanque a razao de 20 litros por minuto, enquanto a

mistura bem homogeneizada sai do tanque a mesma razao. Qual a quantidade de sal no tanque

apos t minutos? O que acontece com a quantidade de sal no tanque a medida que o tempo passa?

Solucao:

V0 = 350 L, Q0 = 10 kg de sal, v = w = 2 L/min, Q1 = 0 kg (agua pura)

dQ

dt= 0− Q

350 + (2− 2)t2, Q(0) = Q0 = 10

Portanto dQ

dt+

Q

175= 0

Q(0) = Q0 = 10

e um PVI envolvendo uma equacao linear. Entao

Q(t) = 10 exp

(− t

175

), lim

t→∞Q(t) = 0

Exemplo 1.3.3

Deixa-se cair de uma altura de 30 m um corpo de 30 kg, com uma velocidade inicial de 3 m/s.

Admitindo que a resistencia do ar seja proporcional a velocidade e que a velocidade limite e de

43 m/s, determine a expressao da velocidade v(t) e da posicao do corpo y(t) em um instante t.

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Solucao

mg = kv ⇔ (30)(9.8) = k(43)⇒ k = 6.84

mv′ = mg − kv ⇔ v′ +k

mv = g ⇔ v′ +

6.84

30v = 9.8

v′ + 0.228v = 9.8⇒ v = 42.98− 39.98 e−0.23 t

y(t) =

∫v(t) dt = 175.36e−0.23t + 42.98t+ C

y(0)=0︷︸︸︷= 175.36e−0.23t + 42.98t− 175.36

1.4 Equacoes Diferenciais Exatas

Suponha que F (x, y) = C, com y dependente de x, seja a solucao geral da equacao diferencial

ordinaria de primeira ordem

M(x, y) +N(x, y)dy

dx= 0. (1.6)

Diferenciando esta solucao obtemos a seguinte diferencial:

dF

dx=∂F

∂x+∂F

∂y

dy

dx= 0. (1.7)

Comparando as equacoes (1.6) e (1.7) observamos que, se existir uma funcao F (x, y) com

derivadas parciais tais que

∂F

∂x= M(x, y) e

∂F

∂y= N(x, y),

entao o lado esquerdo da equacao (1.6) corresponde a diferencial da funcao F (x, y).

Exemplo 1.4.1

O lado esquerdo da equacao

2x+ 2ydy

dx= 0

corresponde a diferencial da funcao F (x, y) = x2 + y2.

Definicao 1.4.1 Equacao Diferencial Exata

A equacao diferencial (1.6) e uma diferencial exata em uma regiao R do plano-xy se a expressao

a esquerda corresponde a diferencial de alguma funcao F (x, y) definida em R.

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Exemplo 1.4.2

A equacao diferencial 2x+ 2ydy

dx= 0 do Exemplo 1.4.1 e uma equacao diferencial exata.

Teorema 1.4.1 Criterio para equacao diferencial exata

Sejam M(x, y) e N(x, y) funcoes contınuas e com derivadas parciais contınuas em uma regiao

R. E possıvel mostrar que a condicao necessaria e suficiente para que a equacao diferencial (1.6)

seja exata (isto e, para que exista a funcao F (x, y)), e que

∂M

∂y=∂N

∂x. (1.8)

Metodo de resolucao de uma equacao diferencial exata:

Suponhamos que, dada a equacao diferencial na forma

M(x, y) +N(x, y)dy

dx= 0,

a igualdade dada em (1.8) seja verdadeira. Entao, integrando a funcao M(x, y) em relacao a x

e mantendo y constante obtemos uma funcao F (x, y) definida por

F (x, y) =

∫M(x, y)dx+ g(y), (1.9)

onde a funcao g(y) e a constante de integracao em x (pode ser constante ou nao em y). Diferen-

ciando a equacao (1.9) em relacao a y temos:

∂F

∂y=

∂y

∫M(x, y)dx+ g ′(y) = N(x, y),

resultando a seguinte expressao para g ′(y):

g ′(y) = N(x, y)− ∂

∂y

∫M(x, y)dx. (1.10)

Integramos (1.10) em relacao a y e substituımos g(y) em (1.9) para obter a solucao implıcita

F (x, y) = C.

Exemplo 1.4.3

Resolva a equacao diferencial (3x2 + y2

)dx+ 2xydy = 0

Solucao:

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M(x, y) = 3x2 + y2 e N(x, y) = 2xy ⇒ ∂M

∂y=∂N

∂x= 2y

F (x, y) =

∫(3x2 + y2)dx+ g(y) = x3 + xy2 + g(y) ⇒ ∂F

∂y= 2xy + g ′(y)

Sendo∂F

∂y= N(x, y) = 2xy, temos

g ′(y) = 0 ⇒ g(y) = C (Constante).

Portanto a solucao da equacao diferencial e

F (x, y) = x3 + xy2 + C

Exercıcio 1.4.1

Se y0(x) e uma solucao da equacao diferencial ordinaria linear y ′ + a(x)y = b(x), verifique que

y1(x) = y0(x) + Ce−∫a(x) dx tambem e solucao, para qualquer valor da constante C.

Exercıcio 1.4.2

Verifique que as equacoes diferenciais dadas abaixo sao exatas, resolvendo-as em seguida:

a) 3x2ydx+ x3dy = 0

b)

(x+

y

x2 + y2

)dx+

(y − x

x2 + y2

)dy = 0

Exercıcio 1.4.3

Resolva o PVI dy

dx− 2xy = −1

y(0) =

√π

2,

1.5 Trajetorias Ortogonais

Consideremos no plano xy uma famılia de curvas dada por:

F (x, y, λ) = 0, (1.11)

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onde λ e um parametro real. Por exemplo, a equacao

x2 + y2 − λ = 0, λ > 0

representa uma famılia de circunferencias de centro na origem do plano xy.

Supondo que F seja uma funcao diferenciavel em alguma regiao do espaco tridimencional R3,

diferencimos a equacao (1.11) para encontrar

Fx + Fydy

dx= 0,

isto e,

dy

dx= −Fx

Fy

representa a declividade das curvas descritas por F (x, y, λ) = 0. Assim a declividade das curvas

(ou trajetorias) ortogonais e dada por

dy

dx=FyFx

de onde obtemos a seguinte equacao diferencial

Fxdy − Fydx = 0. (1.12)

A solucao geral da equacao diferencial (1.12) gera a famılia de tragetorias ortogonais as

curvas dadas por F (x, y, λ) = 0.

Exemplo 1.5.1

Considere a famılia de circunferencias descritas pela equacao

x2 + y2 = λ, λ > 0.

Mostre que as trajetorias ortogonais sao constituıdas por retas passando pela origem.

Solucao:

F = x2 + y2 − λ = 0⇒ Fx = 2x e Fy = 2y ⇒ 2xdy − 2ydy = 0 ⇔ dy

dx=y

x,

cuja solucao e y = Cx.

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Figura 1.2: Famılia de trajetorias ortogonais para a famılia de funcoes x2 + y2 − λ=0

Exemplo 1.5.2

Para a famılia de parabolas

y = λx2

as trajetorias ortogonais sao dadas pelas curvasx2

2+ y2 = C.

De fato:

F (x, y, λ) = y − λx2 = 0 ⇒ dy

dx− 2λx = 0 ⇒ dy

dx= 2λx

Resulta a equacao diferencial das tragetorias ortogonais

dy

dx= − 1

2λx⇔ dy

dx= − x

2y

e cuja solucao e dada por : y2 = −1

2x2 + C. Veja a figura 1.3.

Exercıcio 1.5.1

Encontre as trajetorias ortogonais da famılia de curvas. Faca um esboco a famılia de curvas e

das tragetorias ortogonais .

a) y = kx2

b) y = (x+ k)−1

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Figura 1.3: Famılia de trajetorias ortogonais para a famılia de curvas y = λx2

Exercıcio 1.5.2

Sabe-se que a populacao de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao numero

de pessoas presentes em qualquer instante. Se a populacao duplicou em 6 anos, quando ela

triplicara?

Exercıcio 1.5.3

O isotopo de chumbo, PB-209, decresce a uma taxa proporcional a quantidade presente em

qualquer tempo. Sua meia-vida e 3.3 horas. Se 1 grama de chumbo esta presente inicialmente,

quanto tempo levara para 90% de chumbo desaparecer?

Exercıcio 1.5.4

Inicialmente havia 100 miligramas de uma substancia radioativa. Apos seis horas a massa de-

cresceu 10%. Supondo que a taxa de decaimento e proporcional a quantidade de substancia no

instante t, escreva a equacao que descreve o problema. Determine a quantidade remanescente

apos 24 horas. Determine tambem o tempo de meia-vida da substancia.

Exercıcio 1.5.5

Resolva a equacao diferencial

dx

dt= ex − 1

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Exercıcio 1.5.6

Resolva a equacao

dy

dx+

1

xy =

1

xy2.

Sugestao: faca u = y3 para transforma-la em uma equacao linear de primeira ordem.

Exercıcio 1.5.7

Uma bateria de 10 volts e conectada a um circuito em serie no qual a indutancia e 0.25 henry e

a resistencia e 5 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0. A equacao diferencial

e dada por:

0.25di

dt+ 5i = 10

Exercıcio 1.5.8

Uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial e de 20oC e colocada em um grande

recipiente com agua fervendo. Sabendo que sua temperatura aumenta 2oC em 1 segundo, quanto

tempo levara para a barra atingir 90oC? quanto tempo levara para a barra atingir 98oC ?

Exercıcio 1.5.9

Em um modelo de variacao populacional de uma comunidade supoe-sedP

dt= k1P − k2P , onde

k1P e a taxa de natalidade e k2P e a taxa de mortalidade. Determine a funcao P (t) e analise o

comportamento do crescimento da populacao nos casos de k1 > k2, k1 = k2 e k1 < k2.

Resp.: P (t) = P0e(k1−k2)t; crescente; constante; decrescente

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Capıtulo 2

Equacoes Diferenciais de Segunda

Ordem

Sao equacoes diferenciais com derivadas de ordem 2:

a2(x)y ′′ + a1(x)y ′ + a0(x)y = f(x), (2.1)

onde as funcoes a2(x), a1(x), a0(x) sao os coeficientes, as quais iremos supor serem contınuas em

um intervalo da reta real.

2.1 Existencia e Unicidade da Solucao

E possıvel provar que existe uma unica solucao do problema de valor inicial definido pela equacao

(2.1) sujeita a duas condicoes iniciais, isto e quando se conhece o valor da funcao de da derivada

em um dado ponto.

Teorema 2.1.1 Existencia e Unicidade

Sejam a2(x), a1(x), a0(x) e f(x) funcoes contınuas em um intervalo I e seja x0 um ponto (numero

real) nesse intervalo. Entao existe uma unica solucao y(x) da equacao (2.1) definida em I tal

que y′(x0) = y1 e y(x0) = y0, sendo y0 e y1 numeros reais.

Definicao 2.1.1 Equacao homogenea

Se na equacao (2.1) a funcao f(x) for identicamente nula entao diz-se que a equacao diferencial

e homogenea:

a2(x)y ′′ + a1(x)y ′ + a0(x)y = 0 (2.2)

15

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Utilizando a propriedade de linearidade da derivada nao e difıcil provar os teoremas enunci-

ados a seguir. Esses teoremas serao fundamentais para a construcao dos metodos de resolucao

de uma equacao diferencial ordinaria de segunda ordem.

Teorema 2.1.2

Se y1 e y2 sao solucoes da equacao diferencial homogenea (2.2), entao a combinacao linear

C1y1(x) + C2y2(x)

tambem e solucao, quaisquer que sejam os valores das constantes C1 e C2 .

Teorema 2.1.3

Se yP (x) for uma solucao particular da equacao nao homogenea (2.1) e yH(x) for a solucao geral

da equacao homogenea entao a solucao geral da equacao nao homogenea (2.1) e dada por

y(x) = yH(x) + yP (x).

2.2 Equacoes Lineares Homogeneas com Coeficientes Cons-

tantes

Neste caso os coeficientes a2(x) = a2, a1(x) = a1 a0(x) = a0 da equacao (2.1) sao funcoes

constantes e a funcao f(x) e identicamente nula:

y ′′ + a1y′ + a0y = 0. (2.3)

Observe que para a equacao linear de primeira ordem a1y′ + a0y = 0 tem-se:

y′ = −a0a1y ⇒ y = e−

a0a1x,

o que nos motiva a procurar uma solucao para a equacao homogenea (2.3) da forma

y = emx. (2.4)

Substituindo a funcao y = emx sugerida em (2.4) e as suas derivadas y′ = memx e y′′ = m2emx

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em (2.3) obtem-se

emx(a2m2 + a1m+ a0) = 0 ⇔ a2m

2 + a1m+ a0 = 0 (2.5)

As solucoes y = emx serao entao obtidas como sendo as raızes da equacao caracterıstica (2.5),

a2m2 + a1m+ a0 = 0. Temos tres casos possıveis , raızes reais distintas, raızes reais iguais (raiz

dupla) ou raızes complexas.

2.2.1 Raızes reais distintas de a2m2 + a1m + a0 = 0

Se m1 e m2 forem as raızes, entao a equacao homogenea (2.3) possui as seguintes solucoes

linearmente independentes (uma nao e combinacao linear da outra):

y1(x) = em1x e y2(x) = em2x.

Neste caso a solucao geral e

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) = C1em1x + C2e

m2x (2.6)

2.2.2 Raızes reais repetidas (raiz dupla) de a2m2 + a1m + a0 = 0

Se m1 = m2 = m, entao uma solucao da equacao homogenea (2.3) sera y1(x) = emx. Mostrare-

mos que a outra solucao sera a funcao y2(x) = xemx. De fato:

y′2(x) = emx +mxemx e y′′2 (x) = 2memx +m2xemx.

Portanto

a2y′′2 (x) + a1y

′2(x) + a0y2(x) = a2(2memx +m2xemx) + a1(emx +mxemx) + a0xe

mx

= ( a2m2 + a1m+ a0︸ ︷︷ ︸

0

)xemx + ( 2a2m+ a1︸ ︷︷ ︸0

)emx = 0

O primeiro termo e igual a zero porque m e uma raiz da equacao quadratica e o segundo termo

porque e raiz dupla, isto e m = −a1/2a2.

Neste caso a solucao geral e

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) = C1em1x + C2xe

m2x (2.7)

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2.2.3 Raızes complexas (conjugadas) de a2m2 + a1m + a0 = 0

Sejam m1 = α + iβ e m2 = α − iβ as raızes complexas conjugadas. Entao as seguintes funcoes

complexas sao solucoes:

y∗1(x) = em1x = e(α+iβ)x e y∗2(x) = em2x = e(α−iβ)x

Usando as formulas (A.3) e (A.4) temos:

y∗1(x) = eαxeiβx = eαx(cosβx+ i sen βx)

e

y∗2(x) = eαxe−iβx = eαx(cosβx− i sen βx)

Como consequencia do resultado do Teorema 2.1.2 temos que

y1(x) =1

2y∗1(x) +

1

2y∗2(x) = eαx cosβx, (2.8)

y2(x) =i

2[y∗2(x)− y∗1(x)] = eαx sen βx, (2.9)

tambem sao solucoes independentes da equacao homogenea. Portanto a solucao geral real e dada

por

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) = eαx(C1 cosβx+ C2 sen βx) (2.10)

Exemplo 2.2.1

Resolver a equacao diferencial ordinaria y ′′ + 2y ′ − 3y = 0.

Solucao:

m2 + 2m − 3 = 0 possui duas raızes reais e distintas m1 = −3 e m2 = 1. Portanto a

solucao e dada por:

yh = C1e−3x + C2e

x.

Exemplo 2.2.2

Resolver a equacao diferencial y ′′ − 2y ′ + y = 0

Solucao:

m2 −ms+ 1 = 0 possui duas raızes reais e iguais m1 = m2 = 1. A solucao e :

yh = C1xex + C2e

x.

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Exemplo 2.2.3

Resolver a equacao diferencial y ′′ − 2y ′ + 2y = 0

Solucao:

m2 − 2m+ 2 = 0 possui duas raızes complexas conjugadas m1 = 1 + i e m2 = 1− i

A solucao e dada por:

yh = ex(C1 cosx+ C2 sen x).

2.3 Metodo da Variacao dos Parametros

Este metodo parte da hipotese que sejam conhecidas duas solucoes linearmente independentes

(uma nao e obtida como combinacao linear da outra) da equacao homogenea associada a equacao

(2.1), as quais podem ser obtidas pelo metodo discutido na secao anterior. Supondo que tais

solucoes sejam y1 e y2, propoe-se que uma solucao particular yP da equacao (2.1) seja da forma

yP (x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x), (2.11)

sendo u1 e u2 funcoes a serem determinadas sob algumas condicoes.

Substituindo yP dada em (2.11) e as suas derivadas y′P e y′′P na equacao (2.1), sob a condicao

u′1y1 + u′2y2 = 0 encontramos:

u1[y′′1 + a1y′1 + a0y1] + u2[y′′2 + a1y

′2 + a0y2] + u′1y

′1 + u′2y

′2 = f(x)

Como y1 e y2 sao solucoes da equacao homogenea, as expressoes entre colchetes sao iguais a zero

e a expressao anterior torna-se

u′1y′1 + u′2y

′2 = f(x) (2.12)

Reunindo as equacoes u′1y1 + u′2y2 = 0 e (2.12) obtemos um sistema linear nas variaveis u′1 e u′2:

u′1y1 + u′2y2 = 0

u′1y′1 + u′2y

′2 = f(x)

(2.13)

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cuja solucao e

u′1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 y2(x)

f(x) y′2(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣y1(x) y2(x)

y′1(x) y′2(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣e u′2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣y1(x) 0

y′1(x) f(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣y1(x) y2(x)

y′1(x) y′2(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣(2.14)

Seja

w(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣y1(x) y′1(x)

y2(x) y′2(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣ = y1(x)y′2(x)− y′1(x)y2(x). (2.15)

Portanto

u′1(x) =−y2(x)f(x)

w(x)e u′2(x) =

y1(x)f(x)

w(x). (2.16)

O metodo de Variacao dos Parametros pode ser aplicado a qualquer equacao diferencial

linear de ordem n, desde que sejam conhecidas n solucoes linearmente independentes da equacao

homogenea correspondente. Se os coeficientes nao forem constantes o metodo de resolucao da

equacao homogenea discutido na secao anterior nao e valido, sendo necessario pensar em outras

estrategias de resolucao.

Exemplo 2.3.1

Resolver a equacao y′′ − 4y′ + 4y = (x+ 1)e2x.

Solucao:

As raızes da equacao auxiliar caracterıstica m2−4m+4 = 0 sao m1 = m2 = 2. Portanto obtemos

a seguinte solucao geral da equacao homogenea correspondente

yH = C1e2x + C2xe

2x.

Assim as funcoes y1 e y2 do metodo da variacao dos parametros sao

y1(x) = e2x e y2(x) = xe2x ⇒ w(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣e2x 2e2x

xe2x 2xe2x + e2x

∣∣∣∣∣∣∣∣ = e4x

Assim,

u′1 = − (x+ 1)xe4x

e4x= −x2 − x⇒ u1 = −x

3

3− x2

2

u′2 =(x+ 1)e4x

e4x= x+ 1⇒ u2 =

x2

2+ x

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Portanto

yP =

(−x

3

3− x2

2

)e2x +

(x2

2+ x

)xe2x

e a solucao e dada por

y = yP + yH =

(−x

3

3− x2

2

)e2x +

(x2

2+ x

)xe2x + C1e

2x + C2xe2x

2.4 Reducao de Ordem

Algumas equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem podem ser resolvidas por reducao

da ordem e aplicacao dos metodos de resolucao estudados para as equacoes de primeira ordem.

Exemplo 2.4.1

Consideremos a equacao diferencial de segunda ordem:

xy′′ + y′ = x− 2, x > 0.

Fazendo a substituicao z = y′ obtemos a equacao linear de primeira ordem

xz′ + z = x− 2 ⇔ z′ +1

xz =

x− 2

x

z =C

x+x

2− 2 ⇔ y = C ln x+

x2

4− 2x+ C1

Exemplo 2.4.2

Consideremos a equacao diferencial de segunda ordem:

xy′′′ + y′′ = 0.

Fazendo a substituicao z = y′′ obtemos:

xz′ + z = 0 ⇔ z′ +1

xz = 0 ⇔ z =

C

x⇔ y′′ =

C

x

y′ = C ln x+ C1 ⇔ y = C(xln x− x) + C1x+ C2

Observacao: ∫ln x dx = xln x− x (integracao por partes)

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Exercıcio 2.4.1

Resolver a equacao diferencial ordinaria y ′′ + 2y ′ − 3y = x3 + 1.

Exercıcio 2.4.2

Resolver a equacao diferencial y ′′ − 2y ′ + y = x.

Exercıcio 2.4.3

Resolver a equacao diferencial y ′′ − 2y ′ + 2y = sen x

Exercıcio 2.4.4

Resolver o seguinte problema de valor inicial:

y ′′ + 2y ′ + y = 4ex(x+ 1),

y(0) = 0 e y ′(0) = 1

Exercıcio 2.4.5

A aceleracao de uma partıcula, como funcao do tempo e x ′′ = −3x− 5x ′. No instante t = 0, a

partıcula parte do repouso no ponto x = 1. Calcule a posicao e a velocidade da partıcula como

funcao do tempo, para t > 0.

Exercıcio 2.4.6

A aceleracao de uma partıcula em funcao do tempo e x ′′ = −3x. No instante t = 0 a partıcula

parte do repouso em x = 1. calcule a posicao e a velocidade da partıcula em funcao do tempo,

para t > 0.

Exercıcio 2.4.7

Determine a solucao geral da equacao y′′ − y = 3e2x.

Exercıcio 2.4.8

Determine a solucao geral da equacao xy′′ − 2y′ = 0. Sugestao: reduza a primeira ordem.

Exercıcio 2.4.9

Dado que y1 = x−1 e solucao de 2x2y′′ + 3xy′ − y = 0, x > 0, encontre uma segunda solucao

linearmente independente do tipo y2 = uy1 tal que y2(1) = 0 e y′2(1) = 1.

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2.5 Solucao em serie de potencias

Neste metodo supoe-se que a solucao da equacao diferencial e uma funcao contınua que pode ser

representada por sua serie de Taylor (Apendice B) em torno do ponto inicial x0 = a. O metodo

tambem se aplica no caso em que a EDO nao e linear.

Consideramos os seguintes exemplos:

Exemplo 2.5.1

Resolver o seguinte problema de valor inicial:

y ′′ + xy ′ + (2x− 1)y = 0,

y(−1) = 2 e y ′(−1) = −2

Solucao

Ponto inicial: a = −1.

Hipotese: as derivadas y(n)(−1) existem para todo n.

y ′′ = −xy ′ − (2x− 1)y ⇒ y ′′(−1) = 4

y ′′′ = −xy ′′ − 2xy ′ − 2y ⇒ y ′′′(−1) = −4

yiv = −xy ′′′ − (2x+ 1)y ′′ − 4y ′ ⇒ yiv(−1) = 8

Portanto, a solucao em serie de potencias e

y(x) = 2− 2(x+ 1) +4

2!(x+ 1)2 − 4

3!(x+ 1)3 +

8

4!(x+ 1)4 + ...

Observe que esta solucao e valida em um intervalo pequeno contendo o -1.

Exemplo 2.5.2

y ′′ +

1

xy ′ − 4

x2y = 0,

y(1) = 0 e y ′(1) = −4

Solucao

Ponto inicial: a = 1.

y ′′ = − 1

xy ′ +

4

x2y ⇒ y ′′(1) = 4

y ′′′ = − 1

xy ′′ +

5

x2y ′ − 8

x3y ⇒ y ′′′(1) = −24

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24

y iv = − 1

xy ′′′ +

6

x2y ′′ − 18

x3y ′ +

24

x4y ⇒ y iv(1) = 120

Portanto, a solucao em serie de potencias e

y(x) = −4(x− 1) +4

2!(x− 1)2 − 4!

3!(x− 1)3 +

5!

4!(x− 1)4 +

6!

5!(x− 1)5 + ...

Exercıcio 2.5.1

Calcule a solucao em serie de potencias do seguinte problema de valor inicial:

y ′′ + y ′ = 0,

y(0) = 1 e y ′(0) = 1

Exercıcio 2.5.2

Calcule a solucao em serie de potencias do seguinte problema de valor inicial:

y ′′ = x2 − y2,

y(0) = 1 e y ′(0) = 0

Exercıcio 2.5.3

Calcule a solucao em serie de potencias do seguinte problema de valor inicial:

y ′′ − 2xy ′ + 6y = 0,

y(0) = −1 e y ′(0) = 0

Exercıcio 2.5.4

Calcule a solucao em serie de potencias do seguinte problema de valor inicial:

y ′′ + y sen x = x,

y(π) = 1 e y ′(π) = 0

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Apendice A

Numeros Complexos

Um numero complexo e um numero da forma

z = a+ ib,

sendo i2 = −1 denominada unidade imaginaria e a e b numeros reais. A representacao desse

numero no plano complexo e dada na figura A.1:

Figura A.1: Representacao do numero z = a+ ib no plano complexo.

Considerando a expansao de ex, sen (x) e cos(x) em series de potencias, dadas por:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ ...

sen (x) = x− x3

3!+x5

5!− ...

cos(x) = 1− x2

2!+x4

4!− ...

25

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e possıvel mostrar as seguintes formulas para sen (x) e cos(x):

sen (x) =eix − e−ix

2i; (A.1)

cos(x) =eix + e−ix

2. (A.2)

Como consequencia das equacoes (A.1) e (A.2), temos

eix = cos(x) + i sen (x) (A.3)

e

e−ix = cos(x)− i sen (x) (A.4)

Seja o numero complexo z = a+ ib, representado pela figura A.1. Entao:

cos(α) =a

|z|e sen (α) =

b

|z|,

e

z = |z| (cosα+ i sen α) = |z|eiα. (A.5)

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Apendice B

Serie de Taylor

Se f(x) for uma funcao que possui a seguinte representacao em serie de potencias

f(x) =

∞∑k=0

ck(x− a)k, |x− a| < R,

entao os coeficientes ck podem ser obtidos da seguinte forma:

f(a) = c0 ⇒ c0 = f(a)

f ′(x) =

∞∑k=1

kck(x− a)k−1 ⇒ c1 =f ′(a)

1!

f ′′(x) =

∞∑k=2

k(k − 1)ck(x− a)k−2 ⇒ c2 =f ′′(a)

2!

f ′′′(x) =

∞∑k=3

k(k − 1)(k − 2)ck(x− a)k−3 ⇒ c3 =f ′′′(a)

3!

...

Por inducao podemos concluir que os coeficientes ck, k = 0, 1, 2, ... sao dados por: ck =fk(a)

k!

Definicao B.0.1 Serie de Taylor e Serie de Maclaurin

A serie de potencias

∞∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k (B.1)

e chamada serie de Taylor da funcao f(x) em x = a. Para o caso especial de a = 0 a serie e

chamada de serie de Maclaurin.

27