Equações Diferenciais Ordinarias

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  • 2011

    Luciano Moura Cavalcante

    Equaes Diferenciais Ordinarias

  • Copyright 2011. Todos os direitos reservados desta edio SECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIA (SEAD/UECE). Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, dos autores.

    EXPEDIENTE Design instrucionalAntonio Germano Magalhes JuniorIgor Lima RodriguesPedro Luiz Furquim Jeangros

    Projeto grficoRafael Straus Timb VasconcelosMarcos Paulo Rodrigues Nobre

    Coordenador EditorialRafael Straus Timb Vasconcelos

    DiagramaoFrancisco Jos da Silva Saraiva

    IlustraoMarcos Paulo Rodrigues Nobre

    CapaEmilson Pamplona Rodrigues de Castro

  • PRESIDENTE DA REPBLICADilma Vana Rousseff

    MINISTRO DA EDUCAOFernando Haddad

    SECRETRIO DE EDUCAO A DISTNCIACarlos Eduardo Bielschowsky

    DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE POLTICAS EM EDUCAO A DISTNCIA DPEADHlio Chaves Filho

    SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILCelso Jos da Costa

    GOVERNADOR DO ESTADO DO CEARCid Ferreira Gomes

    REITOR DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARFrancisco de Assis Moura Araripe

    VICE-REITORAntnio de Oliveira Gomes Neto

    PR-REITORA DE GRADUAOJosefa Lineuda da Costa Murta

    COORDENADOR DA SECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIAAntonio Germano Magalhes Junior

    COORDENADOR GERAL UAB/UECEFrancisco Fbio Castelo Branco

    COORDENADORA ADJUNTA UAB/UECEElosa Maia Vidal

    COORDENADOR DA LICENCIATURA EM MATEMTICACleiton Batista Vasconcelos

    COORDENADOR DE TUTORIA E DOCNCIA DA LICENCIATURA EM MATEMTICAGerardo Oliveira Barbosa

  • Apresentao ....................................................................................................................... 7

    Captulo 1Equaes Diferenciais Ordinrias ......................................................................................... 9

    1 Equaes Diferenciais Ordinrias .................................................................................. 11

    Captulo 2Equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem ............................................................. 17

    1. Equaes Diferenciais Ordinrias com Variveis Separveis .......................................... 191.1 Aplicaes Geomtricas .................................................................................................221.2 Trajetrias Ortogonais ....................................................................................................251.3 Aplicaes Diversas ........................................................................................................26

    2. Equaes Diferenciais Homogneas .............................................................................. 363. Equaes Diferenciais Exatas ......................................................................................... 394. Equao Diferencial Ordinria Linear ............................................................................. 43

    Captulo 3Equaes Diferenciais Ordinrias Lineares de Segunda Ordem .............................................. 49

    1. Equaes de Segunda Ordem Incompletas ................................................................... 512. Operadores Diferenciais Lineares ................................................................................ 553. Equaes Diferenciais Lineares de 2 Ordem Homogneas a Coe cientes Constantes . 584. Equaes Diferenciais Homogneas de ordem superior ............................................... 635. Aplicaes ...................................................................................................................... 65

    5.1 Aplicaes Geomtricas .................................................................................................665.2 Aplicaes Diversas .......................................................................................................68

    Dados do Autor .................................................................................................................... 77

  • A origem do estudo das equaes diferenciais e as tcnicas de resoluo datam da poca do surgimento do Clculo Diferencial e Integral no sculo XVII, envolvendo personagens histrios e famosos como Isaac Newton, Gottfried Leibniz e muitos outros. A partir da, o campo de estudo das equaes diferenciais vem se desenvolvendo, com a formulao e resoluo de inmeros problemas nas mais diferentes reas das cincias.

    Asequaesdiferenciais,pordefinio, so equaesque envolvem funes esuas derivadas, e por isso elas so divididas em duas classes distintas. As Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) envolvem apenas derivao de funes ordinrias e as Equaes Diferenciais Parciais (EDP) trabalham com derivadas parciais de funes de vrias variveis.

    Este livro trata apenas da primeira classe de equaes, onde estudaremos as equaes diferenciais ordinrias desde a sua definio, tentando ajudar o aluno aentenderasuanaturezaeoseusignificado.Algumasvezespreferimosserocasional-mente informais nas provas e demonstraes de resultados, mas compreensveis, pois no pretendemos construir uma estrutura matemtica logicamente impecvel, com teoremas,provasedemonstraesquedesafiemacapacidadedoleitor.Onossoprinci-palobjetivoprocurarinterpretarosignificadodasequaesdiferenciaiseaplic-lasaproblemasdecinemtica,eletricidade,decaimentoradiativo,crescimentopopulacio-nal, cintica qumica, ecologia, epidemiologia e outras reas, com uma variedade de problemas resolvidos e propostos.

    O Autor.

  • Captulo

    Objetivos:

    DefinirasEquaesDiferenciaisOrdinrias IdentificarumaEquaoDiferencialOrdinria Analisar as solues de uma Equao Diferencial Ordinria

    1Equaes Diferenciais

    Ordinrias

  • 11EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    A origem do estudo das equaes diferenciais e as tcnicas de re-soluo datam da poca do surgimento do Clculo Diferencial e Integral no sculo XVII, envolvendo personagens histricos e famosos como Isaac Newton, Gottfried Leibniz e muitos outros. A partir da, o campo de estudo das equaes diferenciais vem se ampliando, com a formulao e resoluo de inmeros problemas nas mais diferentes reas do conhecimento.

    Estudaremosasequaesdiferenciaisdesdeasuadefinio,tentan-doajudaroalunoaentenderasuanaturezaesignificado.Algumasvezes,parafacilitaroentendimento,faremossimplificaesousadas,sem,noen-tanto desprezarmos a exatido dos conceitos e o rigor matemtico. O nosso principalobjetivofacilitaracompreenso,ainterpretaoeasaplicaesdas equaes diferencias ordinrias. Para isto apresentaremos exerccios resolvidos e propostos versando sobre aplicaes nas cincias fsicas biol-gicas e humanas.

    1 Equaes Diferenciais OrdinriasDefinio

    Uma Equao Diferencial Ordinria ( E.D.O.) de ordem ndefi-nida como uma relao da forma F( x , y , y , y, ... , yn ) = 0 envolvendo

    uma funo y = y( x ) e suas n primeiras derivadas y = dydx

    ; y = 2

    2

    d ydx

    ; ...... ;

    yn = n

    n

    d ydx

    , onde a funo F sempre suposta ser contnua.

    A palavra ordinriasignificaqueafunoy=y(x)dependeso-mente de uma varivel independente x. Havendo duas ou mais variveis

    independentes, a equao chamada de Equao Diferencial Parcial ( E.D.P. ). Um exemplo de tais equaes a conhecida equao de Laplace:

    0),(),( 22

    2

    2

    =

    +

    yyxf

    xyxf

    .

    O grau de uma E.D.O. o maior dos expoentes que est elevada a derivada de maior ordem contida na equao.

  • 12 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Exemplo:

    1. dydx

    = 3x + 1 uma equao diferencial de primeira ordem.

    Aqui temos

    y = dydx

    =3x+1ouy-3x+1=0.

    Portanto, F( x , y , y ) =

    y-3x+1=0

    2. 2

    2

    d ydx

    y = 0 uma equao diferencial ordinria de segunda ordem.

    Neste caso, temos que y = dydx

    , y = 2

    2

    d ydx

    e assim y + y = 0 ou ainda

    F( x , y , y ) = y + y = 0.

    3. 23 2

    3 2

    d y d yydx dx

    =

    uma E.D.O. de terceira ordem e de grau dois.

    4. 8

    2 xdy x edx

    =

    uma E.D.O. de primeira ordem e grau oito.

    Uma funo y = f( x ) com derivadas at a ordem n uma soluo de uma E.D.O. F( x , y , y , y, .... , yn ) = 0 se, e somente se, a substituio da funo y = f( x ) e de suas respectivas derivadas na equao, a tornarem umaidentidadeemx,ouseja,yesuasderivadassatisfizeremaigualdadeF( x , y , y , y , .... , yn ) = 0.

    Exemplo: A funo y = exsoluodaequaoy+4y-5ex = 0, pois y = ex ;

    y = ex ; y = ex ; y = ex ,oqueimplicadizerquey+4y-5ex = 0, acarreta que ex + 4 ex-5ex = 0 uma identidade em x.

    fcil observar no exemplo anterior que, no somente a funo y = ex soluo da equao dada, mas tambm so solues as funo da forma y = ex + k , com k constante. Nesse caso, dizemos que a funo y = ex uma soluo particular, pertencente a uma famlia de funes que so so-lues da equao diferencial.

    De um modo geral, podemos apresentar a soluo de uma equao diferencial ordinria F( x , y , y , y , .... , yn ) = 0 de duas formas:

    i) A soluo geral, que uma expresso que depende de um ou mais parmetros e engloba todas as solues da equao. Representa uma famlia de curvas chamadas curvas integrais ou primitivas.

  • 13EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Por exemplo, a soluo geral da equao diferencial dydx

    = 2x a

    famlia das funes f( x ) = x2 + C constituda de todas as parbolas com concavidade