Equações diferenciais ordinárias

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modelo matemáticoequações de primeira e segunda ordem

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  • ANLISE DO COMPORTAMENTO DAS SOLUES DO

    MODELO LOGSTICO COM LIMIAR E RESOLUO POR MEIO

    DE UMA MAPLET PROGRAMADA VIA MAPLE

    Adilandri Mrcio Lobeiro alobeiro@utfpr.edu.br UTFPR-CM, Universidade Tecnolgica Federal do Paran, COINF

    Campo Mouro PR Eloy Kaviski eloy.dhs@ufpr.br UFPR, Universidade Federal do Paran, Departamento de Hidrulica e Saneamento

    Curitiba PR Liliana Madalena Gramani gramani@mat.ufpr.br UFPR, Universidade Federal do Paran, Departamento de Matemtica

    Curitiba PR Oilson Alberto Gonzatto Junior oilson.agjr@gmail.com Bolsista UTFPR-CM, Universidade Tecnolgica Federal do Paran, Eng. Ambiental

    Campo Mouro PR

    Resumo: Uma variao observada na natureza pode, muitas vezes, ser estudada por

    meio de modelos matemticos, a teoria das Equaes Diferenciais permite que este

    estudo se torne uma anlise precisa acerca do comportamento de tal variao.

    Apoiando-se nesta teoria e, com o intuito de facilitar o entendimento e a interpretao

    geomtrica de um modelo matemtico que envolve Equaes Diferenciais, apresenta-se

    o conceito de uma Equao Diferencial, seguida da conceituao de uma Equao

    Diferencial Ordinria do tipo Quadratura e seus mtodos de soluo. Em seguida

    apresentado um exemplo da modelagem matemtica de um fenmeno biolgico para

    agregar a teoria prtica, o Modelo Logstico com Limiar e, por meio de uma Maplet

    programada via software Maple 16 encontram-se as Solues Geral e Singulares da

    equao.

    Palavras-chave: Equao Logstica com Limiar, Equao Diferencial, Maplet, Maple.

    1 INTRODUO

    Uma das inmeras vantagens oferecidas pelo clculo de Newton e Leibnitz a

    incorporao das noes de derivada e integral, tais noes possibilitam a descrio

    matemtica de vrias propriedades dos fenmenos fsicos. Grande parte das teorias que

    descrevem os fenmenos naturais contm o que so conhecidas como Equaes

    Diferenciais, essas equaes esto presentes no apenas na Fsica, mas tambm na

  • Biologia, Sociologia e todas as disciplinas cientficas que se interessam em entender o

    mundo que nos cerca (ROBINSON, 2004, p. 1).

    O advento da computao na sociedade proporcionou inmeras vantagens que

    foram desenvolvidas por sua versatilidade, hoje em dia o auxlio oferecido ao ensino-

    aprendizagem pelas tcnicas computacionais de importncia fundamental. Tem-se a

    possibilidade de manipular, armazenar e visualizar um conjunto de dados como jamais

    foi possvel no passado. Tais dados passam a fazer parte de um contexto maior,

    quebrando e/ou remodelando a ideia da formao particionada e necessariamente

    isolada dos contedos. Isto favorece o entendimento e assimilao do conhecimento

    disponibilizado nos meios acadmicos, pois foca o contexto do resultado, no o valor

    isolado (TANEJA, 1997).

    O passar dos anos e consequente avano da informtica, nos presenteou com

    softwares muito mais especficos e aprimorados para clculos matemticos, um dos

    grandes representantes nesta rea o software Maple (atualmente em sua 16 edio),

    pois alm de ter sua prpria interface e ferramentas para resoluo de diversos

    problemas matemticos j conhecidos, possui grande flexibilidade para

    desenvolvimento computacional, um campo destacado pela construo de Maplets.

    Maplets so interfaces produzidas para providenciar um acesso amistoso e

    interativo s ferramentas do Maple, tal acesso possvel devido ao uso de botes, reas

    de plotagem, caixas de texto entre outros. Ao desenvolver uma Maplet possvel para o

    programador, personalizar e contextualizar os comandos a fim de torn-los intuitivos ao

    usurio final, alm de ter em mos a possibilidade de moldar representaes grficas a

    fim de facilitar o entendimento de certos contedos. Neste contexto, programa-se uma

    Maplet capaz de solucionar uma conhecida equao diferencial ordinria da biologia, a

    Equao Logstica com Limiar, que modela o crescimento ou decrescimento de

    espcies.

    2 CONCEITOS BSICOS

    2.1 Equaes Diferenciais

    Este trabalho ser direcionado para equaes que contm derivadas ou diferenciais

    de uma ou mais variveis dependentes em relao a uma nica varivel independente, as

    quais so chamadas de Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO). Limitando ainda a

    ateno, s Equaes Diferenciais Ordinrias de Primeira Ordem, ou seja, as que

    contm a primeira derivada como a derivada de maior ordem da equao, que podem

    ser escritas da seguinte forma

    (

    ) (1)

    ou ainda, na forma explcita

    ( ) (2)

    Uma EDO simples na forma (2) aquela onde independente da varivel , isto , ( ) ( ), ou ento,

    ( ) (3)

  • Resolver esta equao consiste em encontrar uma funo cuja derivada seja h(x),

    isto , encontrar a primitiva de ( ). Integrando ambos os lados de (3), ou ainda, usando o segundo Teorema Fundamental do Clculo, obtm-se

    ( ) ( ) (4) onde ( ) ( ).

    A funo dada desta forma a soluo geral da Equao (3). Geometricamente, a Equao (4) uma famlia de curvas e uma Soluo Particular a equao de uma dessas curvas. Estas curvas so denominadas curvas integrais da equao diferencial.

    Da mesma forma, se independente da varivel , isto , ( ) ( ), tem-se

    ( ) (5)

    que para resolver divide-se o processo em dois casos.

    1. ( ) Para ( ) tem-se da Equao (5) que

    ( ) (6)

    logo a Soluo Geral da equao, desde que a funo seja integrvel, dada por

    ( ) (7)

    2. ( ) Se ( ) tem-se que existe tal que, ( ) . Neste caso, a soluo onde constante. De fato,

    ( )

    ( ) ( ) (8)

    Tem-se que , onde constante, Soluo Singular da EDO.

    2.2 Definio (Equao Quadratura)

    Uma equao diferencial ordinria de primeira ordem da forma

    ( ) (9)

    ou

    ( ) (10)

    chamada de quadratura (MURPHY, 1960, p. 9).

  • 2.3 Equaes Autnomas e Dinmica Populacional

    Uma importante classe de Equaes Diferenciais de Primeira Ordem so aquelas

    cuja varivel independente no aparece explicitamente. Tais equaes so chamadas

    Equaes Autnomas (BOYCE e DIPRIMA, 2001, p. 75) e se do na forma

    ( ) (11)

    Estas equaes sero discutidas no contexto de crescimento ou decaimento populacional

    de uma dada espcie.

    Crescimento Exponencial

    Seja ( ) a populao de uma dada espcie no tempo . A mais simples hiptese referente variao da populao que a taxa de variao de proporcional ao valor corrente desta mesma funo, ou seja,

    (12)

    onde a constante de proporcionalidade chamada de taxa de crescimento ou declnio, dependendo de seu sinal, positivo ou negativo. Aqui, assume-se , desta forma, a populao estar crescendo.

    Resolvendo a Equao (12) sujeita condio inicial

    ( ) (13)

    obtm-se

    (14)

    O modelo matemtico constitudo pelas Equaes (12) e (13), conhecido como Problema de Valor Inicial (PVI) que tem a Equao (14) como sua soluo. Como o modelo prediz que a populao crescer exponencialmente por todo o tempo.

    Sob condies ideais, a Equao (14) pode ser observada e experimentada para muitas populaes, pelo menos por perodos limitados de tempo. Contudo, ululante

    que algumas condies ideais no continuam indefinidamente; eventualmente,

    limitaes no espao, comida, suprimentos, ou outros recursos reduziro a taxa de

    crescimento e daro fim ao crescimento exponencial.

    Crescimento Logstico

    Levando em conta o fato de que a taxa de crescimento depende da populao atual,

    pode-se substituir a constante da Equao (12) por uma funo ( ) e ento, obtm-se uma equao modificada

    ( ) (15)

    Deseja-se agora, escolher ( ) tal que ( ) quando o valor de pequeno, ( ) decresce com o crescimento de , e ( ) a medida que suficientemente grande. A mais simples funo tendo estas propriedades ( ) , onde uma constante positiva. Usando esta funo na Equao (15), obtm-se

  • ( ) (16)

    A Equao (16) conhecida como Equao de Verhulst ou Equao Logstica. conveniente escrever a equao logstica em sua forma equivalente

    (

    ) (17)

    onde . A constante chamada de taxa de crescimento intrnseca, isto , a taxa de crescimento na ausncia de qualquer fator limitante.

    Busca-se inicialmente, as solues da Equao (17) da mais simples maneira, ou seja, as funes constantes. Se constante, tem-se para todo , ento, soluo constante da Equao (17) pode satisfazer a equao algbrica

    (

    ) (18)

    onde as solues constantes so ( ) e ( ) . Estas solues so chamadas Solues de Equilbrio da Equao (17), pois, elas no correspondem a qualquer mudana ou variao em com o aumento de . No caso da Equao (17), ( ) ( ) , ento, plotando o grfico de , tem-se uma parbola, conforme pode ser visto na Figura 1. Os zeros de so tambm chamados de Pontos Crticos.

    Figura 1. ( ) por para ( ) .

    Os interceptos ( ) e ( ) correspondem aos pontos crticos da Equao (18), e o vrtice da parbola ( ). Observe que para , ou seja, uma funo crescente neste intervalo; isto indicado pelas setas que apontam para a direita, prximas ao na Figura 1 ou pelas que apontam para cima na Figura 2. Similarmente, se , ento , o que indica um decrscimo da funo , indicado pelas setas que apontam para a esquerda na Figura 1, ou para baixo na Figura 2

    Figura 2. Crescimento Logstico: por para ( ) .

    Alm disso, da Figura 1, note que se est prx