Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicaçõ .Joselito Elias de Araújo Equações Diferenciais

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Text of Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicaçõ .Joselito Elias de Araújo Equações Diferenciais

Universidade Estadual da Paraba - UEPB

Centro de Cincias e Tecnologia - CCTLicenciatura Plena em Matemtica

Joselito Elias de Arajo

Equaes Diferenciais Ordinrias eAplicaes

Campina Grande, PB

Junho - 2011

Joselito Elias de Arajo

Equaes Diferenciais Ordinrias eAplicaes

Trabalho de Concluso do Curso apresentadoao Centro de Cincias e Tecnologia - CCT daUniversidade Estadual da Paraba - UEPB,como pr-requisito para a obteno do ttulode Graduado no curso de Graduao emLicenciatura em Matemtica.

Orientador: Prof. Dr. Aldo Trajano Lourdo

Campina Grande, PB

Junho - 2011

FICHA CATALOGRFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UEPB

Ar12e Arajo, Joselito Elias de.

Equaes Diferenciais Ordinrias e Aplicaes

[manuscrito] / Joselito Elias de Arajo. 2011.

45 f. : il.

Digitado.

Trabalho de Concluso de Curso (Graduao em

Matemtica) Centro de Cincias Tecnolgicas, 2011.

Orientao: Prof. Dr. Aldo Trajano Lourdo,

Departamento de Matemtica e Estatstica.

1. Equaes Diferenciais - Aplicaes. 2. Equaes Diferenciais Ordinrias. 3. Aprendizagem Matemtica.

I. Ttulo.

21. ed. CDD 515.35

Dedico este trabalho a meus pais, JosArajo Filho e Maria Elias de Arajo, aquem honro pelo esforo com o qual memantiveram na escola, permitindo-me al-canar os objetivos desejados e a minha es-posa Luzineide que tanto contribuiu paraessa realizao.

Agradecimentos

Agradeo a Deus pela vida e a fora que tem me dado todos os dias e as pessoasdo meu convvio que acreditaram e contriburam, mesmo que indiretamente, para aconcluso deste curso.

Aos meus pais Jos Arajo Filho e Maria Elias de Arajo, pelo amor e pelapacincia que tem me doado todo esse tempo. Por terem feito o possvel e o impossvelpara me oferecer a oportunidade de estudar, acreditando e respeitando minhas decisese nunca deixando que as dificuldades acabassem com os meus sonhos.

A minha esposa Luzineide do N. Silva, por ter sentido junto comigo, todas asangstias e felicidades, acompanhando cada passo de perto. Pelo amor, amizade, eapoio depositados, alm da companhia por todos esses anos.

Ao meu orientador Aldo Trajano, pelo empenho, pacincia e compromisso e to-dos os professores que muito contriburam para minha formao.

Aos amigos de turma pelo convvio dirio e pelas agradveis lembranas quesero eternamente guardadas, em especial a Jos Elias, Arthur, Samara, Leandro,Luana e Janana.

Resumo

Neste trabalho estudamos as Equaes e os Sistemas de Equaes Diferenciais Or-dinrias de Primeira Ordem. Estudamos tambm a existncia e a unicidade parasoluo das Equaes Diferencias Ordinrias de Primeira Ordem. Aliado a essa teo-ria vamos fazer trs aplicaes tais como: Infeco e Propagao do vrus HIV (nestaaplicao vamos estudar modelos matemticos e sua representao a um fenmeno realobservado), Equilbrio entre duas foras (vamos usar a teoria das Equaes Diferenci-ais e aplicar no estudo de um fenmeno fsico) e o problema da Braquistrcrona, queconsiste na busca de uma equao que esteja associada ao movimento de uma partcula(para encontrarmos a equao associada ao movimento dessa partcula vamos fazer usodo Clculo Variacional e da Equao de Euler-Lagrange).

Palavras-chave: Equaes Diferenciais, Vrus HIV, Problema da Braquistrcrona,Equilbrio.

Abstract

In this paper we study the equations and systems of Ordinary Differential EquationsFirst Order. We also study the existence and uniqueness for solution of Ordinary Dif-ferential Equations of First Order. Allied to this theory will make three applicationssuch as: Infection and propagation of the HIV virus (this study we application math-ematical models and their representation to a real phenomenon observed), Balancingtwo forces (we use the theory of differential equations and applied to the study of aphysical phenomenon) and the problem of Braquistrocrona, which consists in findingan equation that is associated with the motion of a particle (to find the equation asso-ciated the movement of this particle will make use of variational calculus and equationEuler-Lagrange).

Keywords: Differential Equations, HIV Virus, Braquistrocrona Problem, Bal-ance.

Sumrio

1. Equaes Diferenciais Odinrias 111.1. Equaes Diferenciais Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . 111.2. Sistema de Equaes Diferenciais Ordinrias de Primeira Ordem . . . . 161.3. Sistemas com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. O Problema de Cauchy para um Sistema de Equaes Diferenciais Or-

dinrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Aplicaes 262.1. Modelo SIR de epidemologia (Kermack-McKendric) . . . . . . . . . . . 262.2. Modelo de Converso (Anderson-May, 1986) . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Por que uma corda simplesmente enrolada num poste sustenta um barco? 292.4. O Problema da Braquistcrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Concluso 37

Referncias Bibliogrficas 38

A. Apndice 39A.1. Critrio de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39A.2. Clculo Variacional e Equao de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . 40A.3. Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Introduo

O estudo das Equaes Diferenciais Ordinrias comea com os prprios criadoresdo Clculo, Newton e Leibniz, no final do sculo XVII, motivados por problemas fsicos.Em fins do sculo XVIII a teoria das Equaes Diferenciais se transformou numa dasferramentas mais importante e eficaz para pesquisa cientfica e tecnolgica. As con-tribuies de Euler, Lagrange, Laplace e outros foram decisivas no desenvolvimento doClculo das Variaes, Mecnica Celeste, Teoria das Oscilaes, Elasticidade, Dinmicados Fludos e outros.

A maioria das leis da Fsica, Biologia, Qumica e Cincias Sociais encontram suasexpresses naturais nas Equaes Diferenciais. A preocupao dominante desde aquelapoca at meados do sculo XIX era a obteno de solues das equaes em formaexplcitas. Inicialmente, procurava-se expressar as solues em termos de funes ele-mentares, um dos mtodos mais usados era procurar reduzir o problema de obteno dasoluo ao clculo de primitivas. Entretanto, logo se verificou que o nmero de equaesque podiam ser resolvidas em termos de funes elementares era muito pequeno.

Essa constatao gerou a busca de novos mtodos e surgiu assim, no sculoXIX, o uso das sries de funes. Esse mtodo surge dentro do estudo das EquaesDiferenciais Parciais, em cuja resoluo aparecem Equaes Diferenciais Ordinrias.O rigor que a Anlise ganhava no decorrer do sculo XIX comeou a pr em dvidacertos mtodos onde s operaes com sries eram feitas um tanto descuidadamente.Foi nesta fase que surgiu os Teoremas de Existncia e Unicidade, a importncia dessesteoremas reside em que, sabendo-se a priori da existncia de soluo, sua busca atravsde processos informais se torna justificvel e promissor. Os teoremas de existnciae unicidade marcam, por assim dizer, o incio da fase moderna, que se define comPoincar, no final do sculo XIX.

10

Agregado ao estudo das Equaes Diferenciais Ordinrias, vamos mostrar queos modelos matemticos e computacionais tem demonstrado sua potecialidade de pre-viso ao longo de muitos anos em diversas reas. Pesquisadores da rea Biolgicadescubriram, que esses modelos somados computadores de alto desempenho podemser aliados importantes no combate doenas causadas pelo vrus da AIDS (sndromeda imunodeficincia adquirida).

O termo modelo matemtico significa que existe um sistema de equaes matemti-cas, que descrevem um determinado problema de maneira quantitativa ou qualitativamuito prximo do fenmeno real observado.

Este trabalho est organizado da seguinte maneira: No captulo 1 apresentamosos conceitos e as definies a respeito das Equaes Diferenciais Ordinrias de PrimeiraOrdem, modelamos uma aplicao com o objetivo de facilitar o entendimento da teoria,expomos tambm teoria sobre os Sistemas de Equaes Diferenciais Ordinrias dePrimeira Ordem, seguido pelo Teorema da Existncia e Unicidade para solues deEquaes Diferenciais Ordinrias ou tambm conhecido como: Problema de Cauchypara um Sistema de Equaes Diferenciais Ordinrias.

No captulo 2 apresentamos alguns resultados, ou seja, algumas aplicaes voltadaspara a teoria estudada no captulo 1. Estudamos problemas como: Epidemias (Infecoe Propagao de Vrus usando modelos matemticos), Equilbrio entre duas foras eo Problema da Braquistcrona. Neste captulo tentamos mostrar a importncia dosmodelos matemticos (conjunto de smbolos matemticos que representam de algumaforma o objeto estudado) consiste em ter uma linguagem concisa que expressa nossasidias de maneira clara e sem ambigidade.

No captulo 3 apresentamos uma teoria auxiliar para o desenvolvimento destetrabalho.

1 Equaes Diferenciais Odinrias

1.1. Equaes Diferenciais Lineares de Primeira

Ordem

As Equaes Diferenciais Ordinrias Lineares de Primeira Ordem podem serescritas da seguinte forma:

dy

dt+ p(t)y = q(t) (1.1)

onde p : (a, b) R e q : (a, b) R so funes contnuas, definidas em um intervaloaberto (a, b).

Uma funo y : (a, b) R uma soluo de (1.1), se ela for diferencivel esatisfazer a equao

y =dy

dt,

onde y a derivada de y com relao a varivel independente t.Analisando a equao (1.1) podemos observar dois problemas bsicos.

1. Determinar a soluo geral da equao (1.1)2. Determinar a soluo do problema de valor inicial (PVI)

dy

dt+ p(t)y = q(t)

y(t0) = y0(1.2)

onde, t0 (a, b) e y0 so os dados iniciais. Veremos ainda que o problema de valorinicial possui uma e somente uma soluo.

12

Quando resolvemos uma equao diferencial