Equações Diferenciais Ordinárias em cursos de Licenciatura de

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  • Equaes Diferenciais Ordinrias em cursos de Licenciatura de

    Matemtica - Formulao, Resoluo de Problemas e Introduo

    Modelagem Matemtica.

    Murilo Barros Alves

    BELO HORIZONTE

    2008

    PPOONNTTIIFFCCIIAA UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE CCAATTLLIICCAA DDEE MMIINNAASS GGEERRAAIISS Programa de Ps-graduao em Ensino de Cincias e Matemtica

    Mestrado Profissional

  • Murilo Barros Alves

    Equaes Diferenciais Ordinrias em cursos de Licenciatura de

    Matemtica - Formulao, Resoluo de Problemas e Introduo

    Modelagem Matemtica.

    Dissertao apresentada ao Mestrado

    em Ensino de Cincias e Matemtica

    da Pontifcia Universidade Catlica

    de Minas Gerais como requisito parcial

    para obteno do ttulo de Mestre em Ensino de

    Cincia e Matemtica.

    Orientador: Prof. Dr. Joo Bosco Laudares

    BELO HORIZONTE 2008

  • DEDICATRIA

    Ao Professor Ari Ribeiro e Silva, que com toda

    a sua competncia e sabedoria me iniciou no universo

    da Matemtica.

  • AGRADECIMENTOS

    A Deus, pois sem a sua misericrdia nem aqui estaria.

    Aos meus pais Sebastio Alves Quirino e Aldin Barros Alves que me conduziram

    no caminho da virtude e sempre me incentivaram a continuar a busca pelo do

    conhecimento.

    Ao Grande amor da minha vida minha esposa Patrcia Vilela Alves, que com seu

    Amor tem preenchido a minha vida me dando foras para transpor todos os

    obstculos.

    Aos meus filhos Gustavo e Guilherme Vilela Alves, pela felicidade de

    compartilhar os meus dias ao seu lado.

    Aos meus sogros Franklin Luiz Vilela e Catarina Maria Paulo Vilela, que foram

    verdadeiros pais nos dias mais difceis da minha vida.

    Aos meus amigos Osmair Ferreira de Arajo e Maristia Neves Noleto que me

    apoiaram tanto com palavras amigas como financeiramente.

    Ao meu grande amigo o professor Jos Renato, que nesse tempo de estudos foi

    verdadeiramente um irmo para mim.

    Ao Prof. Dr. Joo Bosco Laudares, pela orientao correta e segura.

    Aos professores Dimas Felipe de Miranda e Frederico da Silva Reis pela sua

    participao na banca de defesa.

    Profa. Dra. Agnela da Silva Giusta, por sempre estar disponvel para

    incentivar os mestrandos do curso.

    Aos professores do Mestrado pelas suas orientaes e ensinamentos.

    .

  • RESUMO

    O objetivo da pesquisa apresentada nesta dissertao foi de construir uma

    proposta metodolgica para o estudo das Equaes Diferenciais, proporcionando

    um maior entendimento dos conceitos de derivada e taxa de variao. A pesquisa

    abordou atividades em curso de licenciatura em matemtica. Essa abordagem

    proporcionou uma reflexo sobre a prtica pedaggica de sala de aula, no contexto

    da formao do professor de matemtica. As atividades constaram de estudo de

    fenmenos das Cincias a serem modelados nas etapas: elaborao do modelo

    matemtico, formulao e resoluo de uma situao problema, enfatizando-se a

    interpretao grfica da funo matemtica representativa do fenmeno. A ltima

    atividade foi realizada com auxlio do software MAPLE analisando-se a evoluo de

    uma populao. As atividades foram desenvolvidas por estudantes do curso de

    Licenciatura em Matemtica da Universidade Estadual do Maranho na cidade de

    Imperatriz. Os resultados apontam para o fato de que a metodologia proposta

    contribuiu para uma aprendizagem significativa da Equaes Diferenciais.

    PALAVRAS-CHAVE: Equaes Diferenciais, Modelagem, Resoluo e Formulao de Problema, Licenciatura em Matemtica.

  • ABSTRACT

    The objective of this presented research was to build a methodological

    propose for the study of Differential Equations, providing a greater understanding of

    the derivate concepts and variation rate. The research approached activities in the

    Mathematical graduation course. This approach proposed a reflection about the

    pedagogic practice inside the classroom at the context of mathematical teacher

    formation. The activities consisted of the Sciences phenomenon to be elaborated at

    the followed stages: mathematical model elaboration, formulation and resolution of a

    problem situation, emphasizing graphical interpretation of the mathematical function

    representative of the phenomenon. The last activity was realized with support of the

    software MAPLE analyzing an evolution of a population. The activities were

    developed by the students of the Mathematical graduation course in the Maranho

    State University at the Imperatriz city, Brazil. The research has had good results

    according with the methodological propose.

    KEYWORDS: Differential Equations, Mathematical graduation, Modelling introduction.

  • LISTA DE FIGURAS FIGURA 01 Definio de Derivada com decrscimos dy/dx de Leibniz.........14

    FIGURA 02 Resoluo Geomtrica de uma Equao Diferencial...................20

    FIGURA 03 Campo de Direes..........................................................................26

    FIGURA 04 Condies Iniciais e de Contorno...................................................26 FIGURA 05 Processo de Modelagem Matemtica (Bassanezi 2002)...............37 FIGURA 06 Obteno do Campo de Direes utilizando a ferramenta Maple...................................................................................................70 FIGURA 07 Obteno de uma soluo particular utilizando a ferramenta

    Maple....................................................................................................71

  • LISTA DE GRFICOS

    Grfico 01 - Avaliao dos estudantes sobre a atividade...................................61

    Grfico 02 - Principal dificuldade na atividade.....................................................61

    Grfico 03- Atrativo da atividade............................................................................62

    Grfico 04 -Avaliao sobre a segunda atividade................................................64

    Grfico 05- Dificuldades apresentadas na atividade............................................65

    Grfico 06- Importncia das atividades na formulao do

    conceito de taxa de Variao...........................................................66

    Grfico 07 Avaliao dos estudantes sobre a atividade.................................73

    Grfico 08 - Principal dificuldade na atividade.....................................................73

    Grfico 09- Atrativo da atividade............................................................................74

    Grfico 10 Avaliao sobre a segunda atividade.............................................75

    Grfico 11 - Dificuldades apresentadas na atividade..........................................75

    Grfico 12 - Importncia das atividades na formulao

    do conceito de taxa de variao......................................................76

  • LISTA DE QUADROS

    QUADRO I - MTODOS DE RESOLUO DE EQUAES

    DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM................................18

    QUADRO II - MTODOS DE RESOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 2 ORDEM...............................19

  • SUMRIO 1 INTRODUO ...

    11

    2 O ESTUDO DE EQUAES DIFERENCIAIS............................................... 132.1 Consideraes Histricas.......................................................................... 2.2 As Equaes Diferenciais Definio e Resoluo................................

    1317

    2.3 Tipos de soluo de uma Equao Diferencial Ordinria....................... 202.4 Resoluo de Equaes Diferenciais e aplicaes com campo de direes..............................................................................................................

    23

    3 INTRODUO MODELAGEM, FORMULAO E RESOLUO DE PROBLEMAS COM EQUAES DIFERENCIAIS........................................

    28

    4 A ABORDAGEM DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS EM CURSOS DE LICENCIATURA EM MATEMTICA E EM LIVROS-TEXTO............................................................................................................

    40

    5 PRODUO ACADMICA DO ENSINO DE CLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL E EQUAES DIFERENCIAIS...........................................................

    48

    6 UMA SEQNCIA DIDTICA PARA O PROCESSO DE ENSINO/APREDIZAGEM DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS.

    53

    6.1 Metodologia................................................................................................... 546.2 Elaborao de Atividades Investigativas................................................... 556.3 Aplicao das Atividades Investigativas................................................... 566.4 Resultados da Pesquisa.............................................................................. 576.4.1 Primeira Etapa............................................................................................. 576.4.2 Segunda Etapa............................................................................................

    71

    7 CONSIDERAES FINAIS..............................................................................

    78

    REFERNCIAS....................................................................................................

    80

    APNDICE........................................................................................................... 83

  • 11

    1 INTRODUO