ESPECIALIDADE 1: MAP5711 - Equações Diferenciais Ordinárias Conteúdo: 1. Teoremas de existência e unicidade, teoremas de continuidade e diferenciabilidade em relação às condições iniciais e parâmetros; 2. Equações diferenciais lineares; Teorema de Liouville; Sistemas lineares hiperbólicos no plano e no Rn; Atratores e Repulsores; 3. Equações autônomas; retrato de fase; conjuntos invariantes, singularidades (selas, nós, focos); 4. Estabilidade de Liapunov; Teorema de Estabilidade de Liapunov; Estabilidade por primeira aproximação; 5. Órbitas periódicas, transformação de Poincaré; ciclos estáveis no plano e fórmula de Poincaré; 6. Teorema de Poincaré-Bendixon e aplicações, equação de Lienard. Bibliografia: 1. Sotomayor, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, 1979. 2. Pontrjagin, L. - Ordinary Differential Equations. Addison Wesley, 1962. 3. Hale, J. - Ordinary Differential Equations. 2a. ed., Malabar, Robert E. Krieger, 1980. 4. Coddington, E.A. & Levinson, N. - Theory of Ordinary Differential Equations. New York, McGraw-Hill, 1955 (International Series in Pure and Applied Mathematics). 5. Lefschetz, Salomon - Differential Equations: Geometric Theory. New York, Interscience, 1962 (Pure and Applied Mathematics). MAP5805 - Estabilidade Estrutural e Bifurcações dos Sistemas Dinâmicos Objetivos: Dar continuidade as idéias básicas nos cursos de MAP 5711 e MAT 5758, desenvolvendo métodos analíticos e geométricos para estudar o fenômeno da quebra da estabilidade estrutural - bifurcação. Preparar os estudantes interessados em desenvolver estudos avançados nas áreas de equações diferenciais ordinárias e sistemas dinâmicos, visando a pesquisa teórica e aplicada. Justificativa: A atualidade e importância no contexto teórico e das aplicações dos assuntos propostos justificam esta proposta.

2

Conteúdo: 1) Teoremas de Andronov-Pontryagin-Peixoto sobre a estabilidade estrutural de campos de vetores em dimensão; 2) Bifurcações bidimensionais a um parâmetro. Teoremas de estabilidade e genericidade para bifurcações. Pontos singulares finitamente determinados: Teorema de Bendixon-Dumortier. Teorema de preparação de Weierstrass-Malgrange. Aplicações: bifurcações dos gradientes e a teoria das catástrofes; Teorema de Thom, bifurcações de Hopf generalizadas. Bifurcações dos pontos singulares nilpotentes. Bifurcações de hamiltonianos. Teorema de Bogdanov-Takens. Extensões a campos de vetores em dimensão superior e a vários parâmetros. Bibliografia: 1) Andronov, Leontovich et al. Theory of bifurcations of dynamical systems on a plane. Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations, 1971. 2) Dumortier, F. Singularities of vector fields in the plane. J. Diff. Eq., 23. New York, Academic Press, 1977. 3) Guckenheimer, J.; Holmes, J. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcation of vector fields. Berlin, Springer-Verlag, 1983. 4) Sotomayor, J. Curvas definidas por equacoes diferenciais no plano. Rio de Janeiro, IMPA, 1981. 5) Arnold, V. I. Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. Springer-Verlag, 1983. ESPECIALIDADE 2: MAP5711 - Equações Diferenciais Ordinárias Conteúdo: 1. Teoremas de existência e unicidade, teoremas de continuidade e diferenciabilidade em relação às condições iniciais e parâmetros; 2. Equações diferenciais lineares; Teorema de Liouville; Sistemas lineares hiperbólicos no plano e no Rn; Atratores e Repulsores; 3. Equações autônomas; retrato de fase; conjuntos invariantes, singularidades (selas, nós, focos); 4. Estabilidade de Liapunov; Teorema de Estabilidade de Liapunov; Estabilidade por primeira aproximação; 5. Órbitas periódicas, transformação de Poincaré; ciclos estáveis no plano e fórmula de Poincaré; 6. Teorema de Poincaré-Bendixon e aplicações, equação de Lienard. Bibliografia: 1. Sotomayor, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, 1979. 2. Pontrjagin, L. - Ordinary Differential Equations. Addison Wesley, 1962. 3. Hale, J. - Ordinary Differential Equations. 2a. ed., Malabar, Robert E. Krieger, 1980. 4. Coddington, E.A. & Levinson, N. - Theory of Ordinary Differential Equations. New York, McGraw-Hill, 1955 (International Series in Pure and Applied Mathematics). 5. Lefschetz, Salomon - Differential Equations: Geometric Theory. New York, Interscience, 1962 (Pure and Applied Mathematics).

3

MAP5806 - Análise Diferencial Aplicada: Singularidades, Bifurcações e Catástrofes Conteúdo: Problemas fundamentais das singularidades, Bifurcações e Catástrofes: Estabilidade e Quebra da Estabilidade. Simetria e Quebra da Simetria. Formas Normais das familias de funções e equações diferenciais, teoria formal e teoria C Teoremas de Morse, Whitney, Hopt-Takens, Bogdanov-Takens. 2. O Teorema de Sard e o Teorema de Transversabilidade. Singularidades e Bifurcações Genéricas. Extensões Quantitativas do Teorema de Sard: Teorema de Jomdim. 3. Teorema de Preparação de Weirestrass-Malgrange-Mather. Aplicações ao estudo da Estabilidade do Equilibrio, das Bifurcações, Catástrofes, Cáusticas, Oscilações e Movimentos Periódicos, Órbitas Homoclínicas. Bibliografia: Sotomayor, J. Singularidades das Aplicações Diferenciáveis, Curso ELAN 1976, IMPA. - Demazure, M., Geometrie des Catastrofes et Bifurcations, Hermann, 1990, - Arnold, V., et al. Dynamical system bifurcations and cathastrophes, enciclopedia Soviética de Ciencias Matemáticas, Springer Verlag. - Yondim, Y., The Geometry of critical values and near-critical values of differentiable mappings, Math. Annalen, 1983, 495-515, - Zhitomirskii, M., local theory of singularidades notas manuscritas, IMPA, 1991. - Bierstone, E., Diferentiable functions, Bol.Soc.Mat. Bras., vol.11, 1980, 139-190. ESPECIALIDADE 3: MAP5711 - Equações Diferenciais Ordinárias Conteúdo: 1. Teoremas de existência e unicidade, teoremas de continuidade e diferenciabilidade em relação às condições iniciais e parâmetros; 2. Equações diferenciais lineares; Teorema de Liouville; Sistemas lineares hiperbólicos no plano e no Rn; Atratores e Repulsores; 3. Equações autônomas; retrato de fase; conjuntos invariantes, singularidades (selas, nós, focos); 4. Estabilidade de Liapunov; Teorema de Estabilidade de Liapunov; Estabilidade por primeira aproximação; 5. Órbitas periódicas, transformação de Poincaré; ciclos estáveis no plano e fórmula de Poincaré; 6. Teorema de Poincaré-Bendixon e aplicações, equação de Lienard. Bibliografia: 1. Sotomayor, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, 1979. 2. Pontrjagin, L. - Ordinary Differential Equations. Addison Wesley, 1962. 3. Hale, J. - Ordinary Differential Equations. 2a. ed., Malabar, Robert E. Krieger, 1980. 4. Coddington, E.A. & Levinson, N. - Theory of Ordinary Differential Equations. New York, McGraw-Hill, 1955 (International Series in Pure and Applied Mathematics). 5. Lefschetz, Salomon - Differential Equations: Geometric Theory. New York, Interscience, 1962 (Pure and Applied Mathematics).

4

MAP5852 - Mecânica Geométrica Conteúdo: 1. Revisão de alguns conceitos de cálculo em variedades; 2. Álgebra Simplética: Grupo simplético. Autovalores simpléticos. Transformações infinitesimalmente simpléticas e seus autovalores. 3. Geometria Simplética: Variedades Simpléticas, Teorema de Darboux. Espaço cotangente e sua estrutura simplética canônica. Campos Hamiltonianos. Teorema de Liouville. Invariantes integrais. Superfícies de nível de energia. 4. Sistemas Lagrangianos: Equações de 2º ordem; Equação de Euler-Lagrange; Transformação de Legendre. 5. Mecânica em variedades Riemannianas: Sistemas dissipativos e conservatios. Fluxos ergódicos. 6. Princípios variacionais em Mecânica. 7. O sólido. 8. Sistemas mecânicos com vínculo não holônomos: Alguns aspectos da teoria geral e resultados globais para o caso dissipativo. Bibliografia: ABRAHAM, R. & MARSDEN, J. E. Foundations of mechanics. 2.ed. Reading, Benjamin/Cummings, 1978. 806p. - ARNOLD, V.I. Les méthodes Mathématiques de la mecanique classifique. Moscou, Mirc. c1976. 470p. - FUSCO, G. & OLIVA, W.M. Sistemas Mecânicos com vínculo não holômonos. ESPECIALIDADE 4: MAP5711 - Equações Diferenciais Ordinárias Conteúdo: 1. Teoremas de existência e unicidade, teoremas de continuidade e diferenciabilidade em relação às condições iniciais e parâmetros; 2. Equações diferenciais lineares; Teorema de Liouville; Sistemas lineares hiperbólicos no plano e no Rn; Atratores e Repulsores; 3. Equações autônomas; retrato de fase; conjuntos invariantes, singularidades (selas, nós, focos); 4. Estabilidade de Liapunov; Teorema de Estabilidade de Liapunov; Estabilidade por primeira aproximação; 5. Órbitas periódicas, transformação de Poincaré; ciclos estáveis no plano e fórmula de Poincaré; 6. Teorema de Poincaré-Bendixon e aplicações, equação de Lienard. Bibliografia: 1. Sotomayor, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, 1979. 2. Pontrjagin, L. - Ordinary Differential Equations. Addison Wesley, 1962. 3. Hale, J. - Ordinary Differential Equations. 2a. ed., Malabar, Robert E. Krieger, 1980. 4. Coddington, E.A. & Levinson, N. - Theory of Ordinary Differential Equations. New York, McGraw-Hill, 1955 (International Series in Pure and Applied Mathematics). 5. Lefschetz, Salomon - Differential Equations: Geometric Theory. New York, Interscience, 1962 (Pure and Applied Mathematics).

5

MAP5855 - Estabilidade Conteúdo: 1. Método direto de Liapunov. Teoremas de estabilidade, estabilidade assintótica e instabilidade; 2. Teorema de Cetaev; 3. Estabilidade em primeira aproximação; 4. Conjuntos limites. Teorema de La Salle; 5. Pseudo-potencial. Teorema de Dirichlet-Lagrange e Hagedorn-Taljaferro; 6. Forças centrais - redução do problema a dois graus de liberdade; 7. Estabilidade - caso em que das variáveis se separa. Caso geral; 8 Equações diferenciais lineares e coeficientes periódicos. Equações de Mathiew, de Hill, da lua; 9. Estabilidade de movimentos merostáticos. Bibliografia: CESAR, Reduced stability of dissipative steady motions. Annual Techinical Report. (4 CEMC), 1970. - MAGNUS, W. & WINKLER, S. Hill's equation. New York, Interscience, c1966. 127p. (Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 20) - ZAMPIERI, & BARONE, Attractive central forces may yield instability. Springer (Proc. VII ELAN). ESPECIALIDADE 5: MAP5711 - Equações Diferenciais Ordinárias Conteúdo: 1. Teoremas de existência e unicidade, teoremas de continuidade e diferenciabilidade em relação às condições iniciais e parâmetros; 2. Equações diferenciais lineares; Teorema de Liouville; Sistemas lineares hiperbólicos no plano e no Rn; Atratores e Repulsores; 3. Equações autônomas; retrato de fase; conjuntos invariantes, singularidades (selas, nós, focos); 4. Estabilidade de Liapunov; Teorema de Estabilidade de Liapunov; Estabilidade por primeira aproximação; 5. Órbitas periódicas, transformação de Poincaré; ciclos estáveis no plano e fórmula de Poincaré; 6. Teorema de Poincaré-Bendixon e aplicações, equação de Lienard. Bibliografia: 1. Sotomayor, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, 1979. 2. Pontrjagin, L. - Ordinary Differential Equations. Addison Wesley, 1962. 3. Hale, J. - Ordinary Differential Equations. 2a. ed., Malabar, Robert E. Krieger, 1980. 4. Coddington, E.A. & Levinson, N. - Theory of Ordinary Differential Equations. New York, McGraw-Hill, 1955 (International Series in Pure and Applied Mathematics). 5. Lefschetz, Salomon - Differential Equations: Geometric Theory. New York, Interscience, 1962 (Pure and Applied Mathematics). MAP5856 - Uma Introdução à Teoria Ergódica Objetivos: Familiarizar os alunos com conceitos fundamentais em teoria ergódica, estudo de medidas invariantes e aplicações aos sistemas dinâmicos. Justificativa: Conhecimentos básicos neste assunto são muito importantes para o entendimento de trabalhos científicos recentes na área de sistemas dinâmicos.

6

Conteúdo: Revisão de teoria da medida. Transformação que preservam medida. Definição e exemplos. Teorema de recorrência de Poincaré. Ergocidade. Definição. Caracterização equivalentes. Exemplos (incluindo automorfismos do toro e cadeias de Markov). Teorema ergódico de Bierkhoff. Exemplos de aplicação do teorema. Mixing e o espectro de Lebesque. Isomorfismo de transformação que preservam medida. Entropia. Entropia de uma participação. Entropia condicional. Entropia de uma transformação que preserva medida. Geradores e cálculo de entropia. Exemplos. Aspectos ergódicos da dinâmica topológica. Compacidade do espaço de medidas invariantes. Existência de medidas ergódicas. Entropia topológica (definição, cálculo em exemplos). A definição de Bowen para espaços métricos. A entropia topológica como máximo das entropias das medidas invariantes. Considerações finais. Bibliografia: BILLINGSLEY, P. Ergodic theory and information. New York, John Willey, 1965. 193p. - MANÉ, R. Introdução à teoria ergódica. Rio de Janeiro. IMPA, 1982. 389p/ (Projeto Euclides). - PARRY, W. Entropy and generators in ergodic theory. Neu York, Benjamin, c1969. 124p (Mathenatics Lecture Note Series). ESPECIALIDADE 6: MAP5729 - Introdução à Análise Numérica Objetivos: Dar formação básica ao aluno em análise numérica. Justificativa: Trata-se de disciplina fundamental em matemática aplicada. Conteúdo: 1. Resolução de sistemas lineares: métodos diretos e iterativos; 2. Resolução de equações não-lineares: métodos de ponto fixo, Newton; 3. Interpolação polinomial (métodos de Lagrange e de Hermite), splines polinomiais, estimativas de erro; 4. Integração numérica: métodos baseados em polinômios e splines, quadratura Gaussiana, métodos baseados em extrapolação (método Romberg); 5. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias: problemas a valores iniciais, métodos de passo simples e de passo múltiplo; 6. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias: problemas de contorno, métodos de diferenças finitas, e/ou colocação e/ou elementos finitos. Bibliografia: 1. Stoer, J. and Bulirsch, R. - Introduction to numerical analysis. Springer, Berlin, 1980. 2. Isaacson, E., Keller, H.B., - Analysis of numerical methods. Wiley, 1966. 3. Schwarz, H.R., - Numerical analysis - a comprehensive introduction. John Wiley & Sons, 1989.

7

MAP5822 - Métodos Multigrid Conteúdo: 1. Introdução ao metodo multigrid. Principios básicos; 2.Estudo do problema modelo (equacoes de Poisson no Retangulo); analise de convergencia, optimalidade computacional - Formulacao Variacional; 3. Sistemas elipticos- o conceito de suavizacao distribuída; 4. O conceito de baks hierarquicos e multigrid para elementos finitos; 5. Mutigrid e discretizacoes de ordem superior, combinacoes com metodo de correcoes de resíduos; 6.Multigrid e refinamento local.FAC e AFAC; 7. Multigrid e problemas hiperbolicos e parabolicos, estados estacionários; 8. Paralelismo de metodos multigrid; 9. Topicos livres. Bibliografia: BRANDT, A: Multigrid, Thecniques, 1984 guide with applications to fluid dynamics. GMD- Studie 85, St. Augustin, 1984. HACKBUSCH, W: Multigrid methods and applicatios . Springer- ayerlag, Berlin- Heidelberg, 1985. MC CORMICK, S. Multievel Adaptive methods: Fundamental algorithms, model problem analysis and applications In Hackburch and Trottenberg eds , Lec Notes Math. 960, Springer, Berlin, 1982. Artigos de pesquisa. ESPECIALIDADE 7: MAP5724 - Resolução Numérica de Equações Diferenciais Parciais Elípticas Objetivos: Ensinar métodos numéricos para resolução de EDP's, com ênfase nas elípticas. Justificativa: Trata-se de disciplina fundamental à formação de Matemático Aplicado na área de Análise Numérica. Conteúdo: Equações elípticas de segunda ordem, equações parabólicas e hiperbólicas e sua relação com as elípticas. Métodos de discretização; diferenças finitas e elementos finitos. Análises de Convergência e Estabilidade. Métodos clássicos de relaxação - Gauss Seidel e Sor. Método dos Gradientes conjugados, pré-condicionamento. Métodos diretos, fast-poisson-solvers. Uma introdução aos métodos multigrid. Bibliografia: 1. Hackbusch, W., Elliptic Differential Equations, theorie and numerical treatment. Springer, New York, 1992. 2. Hackbusch, W., Multigrid Methods and Applications. Springer, Berlin-Heidelberg, New York. 3. Trottenberg, U., Schuller, A. e Oosterlee, C. , Multigrid. Academic Press, 2001. 4. Stoer, J. e Bulirsch, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer, Berlin 1980. 5. Strikwerda, J., Finite Difference Schemes and partial differential equations. SIAM, 2004.

8

MAP5822 - Métodos Multigrid Conteúdo: 1. Introducao ao metodo multigrid. Principios básicos; 2. Estudo do problema modelo (equacoes de Poisson no Retangulo); analise de convergencia, optimalidade computacional - Formulacao Variacional; 3. Sistemas elipticos- o conceito de suavizacao distribuída; 4. O conceito de baks hierarquicos e multigrid para elementos finitos; 5. Mutigrid e discretizacoes de ordem superior, combinacoes com metodo de correcoes de resíduos; 6. Multigrid e refinamento local.FAC e AFAC; 7. Multigrid e problemas hiperbolicos e parabolicos, estados estacionários; 8. Paralelismo de metodos multigrid; 9. Topicos livres. Bibliografia: BRANDT, A: Multigrid, Thecniques, 1984 guide with applications to fluid dynamics. GMD- Studie 85, St. Augustin, 1984. HACKBUSCH, W: Multigrid methods and applicatios . Springer- ayerlag, Berlin- Heidelberg, 1985. MC CORMICK, S. Multievel Adaptive methods: Fundamental algorithms, model problem analysis and applications In Hackburch and Trottenberg eds , Lec Notes Math. 960, Springer, Berlin, 1982. Artigos de pesquisa. ESPECIALIDADE 8: MAP5712 - Equações Diferenciais Parciais Objetivos: Fornecer ao pós-graduando uma formação básica em equações diferenciais parciais Justificativa: Trata-se de disciplina fundamental à formação de matemática aplicada Conteúdo: 1.Introdução: exemplos de equações da física matemática e princípio da superposição para equações lineares; 2. Equações de primeira ordem: características; equações quasilineares e semilineares; equações não lineares; o problema de Cauchy; 3. Equações de segunda ordem semilineares: forma normal; formulação de Hadamard; características; propagação de singularidades; 4. O problema de Cauchy para equações de ordem mais alta; superfícies características; teorema de Cauchy-Kowalewski (enunciado); o exemplo de H. Lewy (enunciado); 5. Introdução à teoria das distribuições e transformada de Fourier; convolução; 6. Equações elípticas: problemas de Dirichlet e de Neumann; princípio do máximo; solução fundamental; funções de Green; funções harmônicas; fórmula de Poisson; resolução do problema de Dirichlet para a bola e para o semi-espaço; teorema da média; teorema de Liouville; princípio da reflexão; desigualdade de Harnack; 7. Equações hiperbólicas: equação da onda na reta e num intervalo; equação da onda em dimensão mais alta; método de Fourier e das ondas esféricas; fórmula de Kirchhoff; princípio de Huygens; domínios de influência e de dependência; abaixamento de ordem; princípio de Duhamel; 8. Equações parabólicas: equação do calor; solução fundamental e regularidade; princípio de

9

Duhamel; solução da equação do calor na reta e na semi-reta; equação do calor em regiões limitadas; princípio do máximo; irreversibilidade; unicidade para trás (Evans). Bibliografia: 1. Fritz John. Partial Differential Equations. 4th edition. Springer-Verlag: New York, 1981. 2. Djairo Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: SBM/IMPA, 1977. 3. Gerald B. Folland. Introduction to Partial Differential Equations. 2th edition. Princeton University Press: New Jersey, 1995. 4. Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. 2th edition. American Mathematical Society: Rhode Island, 2010. MAP5812 - Teoria Geométrica das Equações de Evolução Conteúdo: Operadores lineares fechados. Teorema de Hille-Yosida. Equações de evolução lineares (teoria de T. Kato). Equações de evolução semi-lineares: existência; unicidade e diferenciabilidade de soluções. Estabilidade e instabilidade pela aproximação linear. Variedades integrais. Bifurcação. Aplicações às equações parciais não lineares parabólicas, hiperbólicas e outras. Bibliografia: 1. Henry, D., Theory of semilinear parabolic equations, to appear. 2. Kato, T., The Cauch problem for quasi-linear symetric hipperbolic systems, Archive for ational Mechanics an Analysis, 58(3), 181-205, 1975. 3. Kato, T., Quasi-linear equations of evolution, with applications to partial differential equations. In: Everitt, W.N. Spectral theory and differential equations: proceedings, Berlin, Springer, 1975, p.25-70 (Lecture Notes in Mathematics, 448). 4. Krein, S.G., Linear differential equations in Banach space, Providence, AMS, 1971, 390p. (Translations of Mathematical Monographs, 29). 5. Pazy, A., Semi-groups of linear operators and applications to partial differential equations, Maryland, University of Maryland, 1974, 171p. (lecture Notes). ESPECIALIDADE 9: MAP5712 - Equações Diferenciais Parciais Objetivos: Fornecer ao pós-graduando uma formação básica em equações diferenciais parciais Justificativa: Trata-se de disciplina fundamental à formação de matemática aplicada Conteúdo: 1. Introdução: exemplos de equações da física matemática e princípio da superposição para equações lineares; 2. Equações de primeira ordem: características; equações quasilineares e semilineares; equações não lineares; o problema de Cauchy; 3. Equações de segunda ordem semilineares: forma normal; formulação de Hadamard; características; propagação de singularidades; 4. O problema de Cauchy para equações de ordem mais alta; superfícies características; teorema

10

de Cauchy-Kowalewski (enunciado); o exemplo de H. Lewy (enunciado); 5. Introdução à teoria das distribuições e transformada de Fourier; convolução; 6. Equações elípticas: problemas de Dirichlet e de Neumann; princípio do máximo; solução fundamental; funções de Green; funções harmônicas; fórmula de Poisson; resolução do problema de Dirichlet para a bola e para o semi-espaço; teorema da média; teorema de Liouville; princípio da reflexão; desigualdade de Harnack; 7. Equações hiperbólicas: equação da onda na reta e num intervalo; equação da onda em dimensão mais alta; método de Fourier e das ondas esféricas; fórmula de Kirchhoff; princípio de Huygens; domínios de influência e de dependência; abaixamento de ordem; princípio de Duhamel; 8. Equações parabólicas: equação do calor; solução fundamental e regularidade; princípio de Duhamel; solução da equação do calor na reta e na semi-reta; equação do calor em regiões limitadas; princípio do máximo; irreversibilidade; unicidade para trás (Evans). Bibliografia: 1. Fritz John. Partial Differential Equations. 4th edition. Springer-Verlag: New York, 1981. 2. Djairo Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: SBM/IMPA, 1977. 3. Gerald B. Folland. Introduction to Partial Differential Equations. 2th edition. Princeton University Press: New Jersey, 1995. 4. Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. 2th edition. American Mathematical Society: Rhode Island, 2010. MAP5813 - Teoria das Equações Parciais Elípticas Conteúdo: Funções harmônicas e superharmônicas; princípio do máximo. Estimativas de Schauder em espaços de Hölder. Estimativas a priori em espaços Lp. Métodos variacionais e soluções fracas. Equação adjunta e alternativa de Fredholm; teoria espectral de operadores elípticos. Alguns tópicos especiais, tais como: o teorema de Krein-Rutman, aplicações à teoria de semigrupos lineares e à mecânica quântica, métodos variacionais para problemas não lineares. Bibliografia: [1] AGMON, S.; DOUGLIS, A. & NIRENBERG, L. Estimates near the boundary. Communications on Pure and applied Mathematics.12:623-727, 1959. [2] BROWDER, F. Spectral theory for elliptic equations. Mathematical Ann. 142:20-130, 1961. [3] GILBARG, D. & TRUDINGER, N.S. Elliptic partial differential equations of second order. Berlin, Springer, 1977. 401p (Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224) [4] LIONS, J.& MAGENES, E. Nonhomogeneous boundary value problems. v.l. Springer, 1972. ESPECIALIDADE 10: MAP5712 - Equações Diferenciais Parciais Objetivos: Fornecer ao pós-graduando uma formação básica em equações diferenciais parciais Justificativa: Trata-se de disciplina fundamental à formação de matemática aplicada

11

Conteúdo: 1. Introdução: exemplos de equações da física matemática e princípio da superposição para equações lineares.; 2. Equações de primeira ordem: características; equações quasilineares e semilineares; equações não lineares; o problema de Cauchy; 3. Equações de segunda ordem semilineares: forma normal; formulação de Hadamard; características; propagação de singularidades; 4. O problema de Cauchy para equações de ordem mais alta; superfícies características; teorema de Cauchy-Kowalewski (enunciado); o exemplo de H. Lewy (enunciado); 5. Introdução à teoria das distribuições e transformada de Fourier; convolução; 6. Equações elípticas: problemas de Dirichlet e de Neumann; princípio do máximo; solução fundamental; funções de Green; funções harmônicas; fórmula de Poisson; resolução do problema de Dirichlet para a bola e para o semi-espaço; teorema da média; teorema de Liouville; princípio da reflexão; desigualdade de Harnack; 7. Equações hiperbólicas: equação da onda na reta e num intervalo; equação da onda em dimensão mais alta; método de Fourier e das ondas esféricas; fórmula de Kirchhoff; princípio de Huygens; domínios de influência e de dependência; abaixamento de ordem; princípio de Duhamel; 8. Equações parabólicas: equação do calor; solução fundamental e regularidade; princípio de Duhamel; solução da equação do calor na reta e na semi-reta; equação do calor em regiões limitadas; princípio do máximo; irreversibilidade; unicidade para trás (Evans). Bibliografia: 1. Fritz John. Partial Differential Equations. 4th edition. Springer-Verlag: New York, 1981. 2. Djairo Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: SBM/IMPA, 1977. 3. Gerald B. Folland. Introduction to Partial Differential Equations. 2th edition. Princeton University Press: New Jersey, 1995. 4. Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. 2th edition. American Mathematical Society: Rhode Island, 2010. MAP5816 - Tópicos Avançados em EDP’s Lineares Objetivos: Apresentar um estudo sobre o problema de Cauchy para EDP's lineares. Justificativa: A proposta serve como um complemento natural à disciplina "MAP5827 - Tópicos Especiais em Equações Diferenciais Parciais Lineares". Conteúdo: 1. O problema de Cauchy. Definição e observações gerais; 2. O problema de Cauchy global para a equação das ondas. Existência, unicidade, domínio de influência, propagação de singularidades, conservação de energia; 3. Sistemas hiperbólicos de 1ª ordem com coeficientes constantes; 4. Sistemas de 1ª ordem fortemente hiperbólicos; 5. Os teoremas de Cauchy-Kavalwska e Holmgren. Demonstração via métodos abstratos (escalas de espaços de Banach); 6. Unicidade no problema de Cauchy. Considerações gerais.

12

Bibliografia: 1. F. Treves, "Basic linear partial differential equations". Academic Press - 1975. 2. L. Hörmander, "The analysis of linear partial differential equations" (4 volumes) Springer-Verlag, 1983/85. 3. F. Treves, "Hypo-analytic structures - local theory". Princeton University Press, 1992. ESPECIALIDADE 11: MAP5712 - Equações Diferenciais Parciais Objetivos: Fornecer ao pós-graduando uma formação básica em equações diferenciais parciais Justificativa: Trata-se de disciplina fundamental à formação de matemática aplicada Conteúdo: 1. Introdução: exemplos de equações da física matemática e princípio da superposição para equações lineares; 2. Equações de primeira ordem: características; equações quasilineares e semilineares; equações não lineares; o problema de Cauchy; 3. Equações de segunda ordem semilineares: forma normal; formulação de Hadamard; características; propagação de singularidades; 4. O problema de Cauchy para equações de ordem mais alta; superfícies características; teorema de Cauchy-Kowalewski (enunciado); o exemplo de H. Lewy (enunciado); 5. Introdução à teoria das distribuições e transformada de Fourier; convolução; 6. Equações elípticas: problemas de Dirichlet e de Neumann; princípio do máximo; solução fundamental; funções de Green; funções harmônicas; fórmula de Poisson; resolução do problema de Dirichlet para a bola e para o semi-espaço; teorema da média; teorema de Liouville; princípio da reflexão; desigualdade de Harnack; 7. Equações hiperbólicas: equação da onda na reta e num intervalo; equação da onda em dimensão mais alta; método de Fourier e das ondas esféricas; fórmula de Kirchhoff; princípio de Huygens; domínios de influência e de dependência; abaixamento de ordem; princípio de Duhamel; 8. Equações parabólicas: equação do calor; solução fundamental e regularidade; princípio de Duhamel; solução da equação do calor na reta e na semi-reta; equação do calor em regiões limitadas; princípio do máximo; irreversibilidade; unicidade para trás (Evans). Bibliografia: 1. Fritz John. Partial Differential Equations. 4th edition. Springer-Verlag: New York, 1981. 2. Djairo Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: SBM/IMPA, 1977. 3. Gerald B. Folland. Introduction to Partial Differential Equations. 2th edition. Princeton University Press: New Jersey, 1995. 4. Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. 2th edition. American Mathematical Society: Rhode Island, 2010.

13

MAP5820 - Perturbação da Fronteira para Equações Diferenciais Parciais Conteúdo: Problemas da fronteira bem postos EDP. Geometria da perturbação da fronteira. Perturbação de operadores diferenciais. Perturbação regular: teorema da função implícita. Bifurcação de soluções. Teorema de transversalidade. Propriedades genéricas - I. Operadores na fronteira com dados oscilantes. Propriedades genéricas - II. Bibliografia: GILBARG, D. & TRUDINGER, N. S. Elliptic partial differential equations of secondorder. Berlin, Springer, 1977. 40lp. (Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224). HENRY, D. Topics in nonlinear analysis. Brasilia, Universidade, 1982. 145p. (Trabalho de Matematica, 192). ESPECIALIDADE 12: MAP5712 - Equações Diferenciais Parciais Objetivos: Fornecer ao pós-graduando uma formação básica em equações diferenciais parciais. Justificativa: Trata-se de disciplina fundamental à formação de matemática aplicada Conteúdo: 1. Introdução: exemplos de equações da física matemática e princípio da superposição para equações lineares; 2. Equações de primeira ordem: características; equações quasilineares e semilineares; equações não lineares; o problema de Cauchy; 3. Equações de segunda ordem semilineares: forma normal; formulação de Hadamard; características; propagação de singularidades; 4. O problema de Cauchy para equações de ordem mais alta; superfícies características; teorema de Cauchy-Kowalewski (enunciado); o exemplo de H. Lewy (enunciado); 5. Introdução à teoria das distribuições e transformada de Fourier; convolução; 6. Equações elípticas: problemas de Dirichlet e de Neumann; princípio do máximo; solução fundamental; funções de Green; funções harmônicas; fórmula de Poisson; resolução do problema de Dirichlet para a bola e para o semi-espaço; teorema da média; teorema de Liouville; princípio da reflexão; desigualdade de Harnack; 7. Equações hiperbólicas: equação da onda na reta e num intervalo; equação da onda em dimensão mais alta; método de Fourier e das ondas esféricas; fórmula de Kirchhoff; princípio de Huygens; domínios de influência e de dependência; abaixamento de ordem; princípio de Duhamel; 8. Equações parabólicas: equação do calor; solução fundamental e regularidade; princípio de Duhamel; solução da equação do calor na reta e na semi-reta; equação do calor em regiões limitadas; princípio do máximo; irreversibilidade; unicidade para trás (Evans);

14

Bibliografia: 1. Fritz John. Partial Differential Equations. 4th edition. Springer-Verlag: New York, 1981. 2. Djairo Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: SBM/IMPA, 1977. 3. Gerald B. Folland. Introduction to Partial Differential Equations. 2th edition. Princeton University Press: New Jersey, 1995. 4. Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. 2th edition. American Mathematical Society: Rhode Island, 2010. MAP5828 - Estruturas Hipo-Analíticas Objetivos: Fornecer ao estudante um panorama sobre o desenvolvimento atual da pesquisa sobre sistemas localmente integráveis. Conteúdo: 1) Sistemas formalmente e localmente integráveis. Propriedades gerais. Integrabilidade das estruturas complexas, elíticas, de Cauch-Riemann e outras. Estruturas de Mizohata; 2) A fórmula de aproximação para as soluções dos sistemas homogêneos e suas diversas aplicações: unicidade no problema de Cauch, extensão de funções CR, etc.; 3) Princípio da continuação única para soluções; 4) Complexos diferenciais associados a estruturas localmente integráveis. O lema de Poincaré aproximado. Condições necessárias para o anulamento do cohomologia. Bibliografia: 1) Baouendi, M.S. e Treves, F., A property of the functions and distributions annihilated by a locally integrable system of vector fields, Ann of Math., 113 (1981), 387-421. 2) Baouendi, M.S. e Treves, F., Unique continuation in CR manifolds and in hypo-analytic structures, Arkiv för mat., 26 (1988), 21-40. 3) Cordaro, P. e Treves, F., Homology and cohomology in hypo-analytic structures of the hypersurface type, J. Geometric Analysis 1 (1991), 39-70. 4) Treves, F., Hypo-analytic structures - local theory, Princeton University Press, 1992. ESPECIALIDADE 13: MAP5712 - Equações Diferenciais Parciais Objetivos: Fornecer ao pós-graduando uma formação básica em equações diferenciais parciais. Justificativa: Trata-se de disciplina fundamental à formação de matemática aplicada. Conteúdo: 1. Introdução: exemplos de equações da física matemática e princípio da superposição para equações lineares;

15

2. Equações de primeira ordem: características; equações quasilineares e semilineares; equações não lineares; o problema de Cauchy; 3. Equações de segunda ordem semilineares: forma normal; formulação de Hadamard; características; propagação de singularidades; 4. O problema de Cauchy para equações de ordem mais alta; superfícies características; teorema de Cauchy-Kowalewski (enunciado); o exemplo de H. Lewy (enunciado); 5. Introdução à teoria das distribuições e transformada de Fourier; convolução; 6. Equações elípticas: problemas de Dirichlet e de Neumann; princípio do máximo; solução fundamental; funções de Green; funções harmônicas; fórmula de Poisson; resolução do problema de Dirichlet para a bola e para o semi-espaço; teorema da média; teorema de Liouville; princípio da reflexão; desigualdade de Harnack; 7. Equações hiperbólicas: equação da onda na reta e num intervalo; equação da onda em dimensão mais alta; método de Fourier e das ondas esféricas; fórmula de Kirchhoff; princípio de Huygens; domínios de influência e de dependência; abaixamento de ordem; princípio de Duhamel; 8. Equações parabólicas: equação do calor; solução fundamental e regularidade; princípio de Duhamel; solução da equação do calor na reta e na semi-reta; equação do calor em regiões limitadas; princípio do máximo; irreversibilidade; unicidade para trás (Evans). Bibliografia: 1. Fritz John. Partial Differential Equations. 4th edition. Springer-Verlag: New York, 1981. 2. Djairo Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: SBM/IMPA, 1977. 3. Gerald B. Folland. Introduction to Partial Differential Equations. 2th edition. Princeton University Press: New Jersey, 1995. 4. Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. 2th edition. American Mathematical Society: Rhode Island, 2010. MAP5829 - Equações Diferenciais Parciais Hiperbólicas Objetivos: Consiste em abordar a teoria de equações diferenciais hiperbólicas sob um aspecto moderno, destacando as relações de dependência entre a análise dos operadores e a geometria diferencial sujacente ao problema. Particularmente enfatizados, serão técnicas modernas oriundas da análise harmônica e de exemplos importantes da teoria de campos relativisticos e relatividade geral.

16

Conteúdo: 1. Exemplos. Características. Descontinuidades. Soluções clássicas e soluções fracas. Problemas bem-postos. Hiperbolicidade. Teorema de Garding-Petrovskii; 2. Equações hiperbólicas de 1ª ordem. Método das características. Teorema de Deinik; 3. Sistemas hiperbólicos simétricos. Exemplos. Método de Energia. Existência de soluções clássicas. Sistemas não-lineares. Existência local de soluções clássicas. Soluções fracas; 4. Equações hiperbólicas de 2ª ordem. Existência e regularidade de soluções clássicas; Estimativas Lp-Lq para o operador de onda. Equações não-lineares: existência local e global; 5. Geometria Lorentziana do espaço de Minyowski. Invariância de Lorentz do operador de onda. Transformação de Peurose. Invariância conforme do operador de onda. Desigualdades de Sobolev globais. A condição nula e a existência de soluções globais; 6. Análise harmônica e equações hiperbólicas. Solução fundamental e parametrix. Transformada de Riesz. Estimativas de Strichartz. Propagação de singularidades: Teorema de Hörmander, Análise microlocal e equações hiperbólicas semi-lineares; 7. Equações hiperbólicas em variedades Lorentzianas. Representação de Riesz-Hadamard. Variedades globalmente hiperbólicas - Solução Fundamental. Existência de soluções. Aplicações à teoria relativista dos campos. Bibliografia: 1) Courant-Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. II, New York, 1964. 2) F. John, Partial Differential Equations, New York. 3) L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, vols. I-IV, Springer. 4) L. Hörmander, Lectures on Hyperbolic Equations, Lund, 1984. 5) R. Rache, Lectures on Nonlinear Evolution Equations, Vieweg, 1992. 6) W. Strauss, Nonlinear ware Equations, AMS, Providence, 1989. ESPECIALIDADE 14: MAP5712 - Equações Diferenciais Parciais Objetivos: Fornecer ao pós-graduando uma formação básica em equações diferenciais parciais. Justificativa: Trata-se de disciplina fundamental à formação de matemática aplicada.

17

Conteúdo: 1. Introdução: exemplos de equações da física matemática e princípio da superposição para equações lineares; 2. Equações de primeira ordem: características; equações quasilineares e semilineares; equações não lineares; o problema de Cauchy; 3. Equações de segunda ordem semilineares: forma normal; formulação de Hadamard; características; propagação de singularidades; 4. O problema de Cauchy para equações de ordem mais alta; superfícies características; teorema de Cauchy-Kowalewski (enunciado); o exemplo de H. Lewy (enunciado); 5. Introdução à teoria das distribuições e transformada de Fourier; convolução; 6. Equações elípticas: problemas de Dirichlet e de Neumann; princípio do máximo; solução fundamental; funções de Green; funções harmônicas; fórmula de Poisson; resolução do problema de Dirichlet para a bola e para o semi-espaço; teorema da média; teorema de Liouville; princípio da reflexão; desigualdade de Harnack. 7. Equações hiperbólicas: equação da onda na reta e num intervalo; equação da onda em dimensão mais alta; método de Fourier e das ondas esféricas; fórmula de Kirchhoff; princípio de Huygens; domínios de influência e de dependência; abaixamento de ordem; princípio de Duhamel; 8. Equações parabólicas: equação do calor; solução fundamental e regularidade; princípio de Duhamel; solução da equação do calor na reta e na semi-reta; equação do calor em regiões limitadas; princípio do máximo; irreversibilidade; unicidade para trás (Evans). Bibliografia: 1. Fritz John. Partial Differential Equations. 4th edition. Springer-Verlag: New York, 1981. 2. Djairo Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: SBM/IMPA, 1977. 3. Gerald B. Folland. Introduction to Partial Differential Equations. 2th edition. Princeton University Press: New Jersey, 1995. 4. Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. 2th edition. American Mathematical Society: Rhode Island, 2010.

18

MAP5830 - Teoria Local das Funções Holomorfas de Várias Variáveis ESPECIALIDADE 15: MAP5749 - Teoria Geométrica de Controle Objetivos: Apresentar resultados geométricos da teoria de sistemas de controle não linear. Enfâse será dada nos resultados de controlabilidade. Ao final do curso veremos alguns tópicos de pesquisa em curso para motivação p/o trabalho de mestrado eventuais. Conteúdo: 1. Exemplos e Problemas da teoria do controle. a) Acessibilidade e Controlabilidade b) Observabilidade c) Otimização e) O caso linear (Teoremas de Kalman s/acessibilidade); 2. Revisão de Geometria. a) Campos vetoriais e distribuições em variedades; b) Derivação de Lie; c) Teorema de Frobenius; d) Sistemas não lineares e Polisistemas dinâmicos; 3. Integração de distribuições com singularidades. a) Teorema de Nagamo-Sussmam-Stephan; 4. Acessibilidade e Controlabilidade de Sistemas não-lineares. a) Teorema de Chow; b) Controlabilidade e Estabilização; c) Sistemas invariantes em grupos de lie; 5. Otimização. a) Exemplos, com síntese; b) Principio do máximo de Pontrioguim e Formolismo Hamiltoniano; c) Tempo Ótimo; 6. Tópicos Especiais. a) Controle em espaços homogeneos; b) Control. sets. c) Sistemas de controle como sistemas dinâmicos; d) Teoria de semi-grupos. Bibliografia: [1] Alberto Isidori - Nonlinear Control Systems - An introduction. [2] Notes sur la theory de controle - B. Bonnarel. [3] R. Brochett, R. Millmonn & Sussmam (ed). Differential Geometric. Control Theory. MAP5852 - Mecânica Geométrica Conteúdo: 1. Revisão de alguns conceitos de cálculo em variedades; 2. Álgebra Simplética: Grupo simplético. Autovalores simpléticos. Transformações infinitesimalmente simpléticas e seus autovalores. 3. Geometria Simplética: Variedades Simpléticas, Teorema de Darboux. Espaço cotangente e sua estrutura simplética canônica. Campos Hamiltonianos. Teorema de Liouville. Invariantes integrais. Superfícies de nível de energia. 4. Sistemas Lagrangianos: Equações de 2º ordem; Equação de Euler-Lagrange; Transformação de Legendre. 5. Mecânica em variedades Riemannianas: Sistemas dissipativos e conservatios. Fluxos ergódicos. 6. Princípios variacionais em Mecânica. 7. O sólido. 8. Sistemas mecânicos com vínculo não holônomos: Alguns aspectos da teoria geral e resultados globais para o caso dissipativo. Bibliografia: ABRAHAM, R. & MARSDEN, J. E. Foundations of mechanics. 2.ed. Reading, Benjamin/Cummings, 1978. 806p. - ARNOLD, V.I. Les méthodes Mathématiques de la

19

mecanique classifique. Moscou, Mirc. c1976. 470p. - FUSCO, G. & OLIVA, W.M. Sistemas Mecânicos com vínculo não holômonos. ESPECIALIDADE 16: MAP5881 - Introdução à Teoria Geométrica dos Campos I Objetivos: Tema: Desenvolver o formalismo geral da teoria clássica dos campos (relativística), ainda no âmbito pré-geométrico do espaço-tempo plano de Minkowski. Conteúdo: 1.Resumo de relatividade restrita: princípio da relatividade, transformações de Lorentz, geometria do espaço-tempo de Minkowski, cinemática e dinâmica do ponto material relativístico, formalismo covariante, formulação covariante da eletrodinâmica e da hidrodinâmica relativística, tensor de energia-momento; 2. Formalismo geral: princípio variacional, equações de Euler-Lagrange, exemplos I (campos escalares, eletrodinâmica), formulação hamiltoniana (não covariante); 3. Simetrias e teorema de Noether: correntes e tensores de energia-momento (“canônicos” e “melhorados”), exemplos II (simetrias espaço-temporais e simetrias internas), quebra de simetria espontânea I (teorema de Goldstone); 4. Campos de spinores: álgebras de Clifford, equação de Dirac. [5] Teorias de Yang-Mills: o princípio de invariância de calibre (simetrias globais e locais), campos de calibre e acoplamento mínimo, quebra de simetria espontânea II (mecanismo de Higgs); 6. O modelo padrão da física das partículas. Bibliografia: M. Forger & H. Römer: An introduction to geometric field theory, in preparation (notas de aula em LaTeX disponíveis na página do docente responsável). L.D. Landau & E.M. Lifshitz: The classical theory of fields (course of theoretical physics, Vol. 2), 4th edition, Butterworth-Heinemann, Oxford 1980. W. Thirring: Classical mathematical physics: dynamical systems and field theories, 3rd edition, Springer-Verlag, New York 2003. D.E. Soper: Classical field theory, Dover, 2008. MAP5882 - Introdução à Teoria Geométrica dos Campos II Objetivos: Apresentar a teoria da relatividade geral. Conteúdo: 1.Resumo de pré-requisitos da geometria diferencial I (cálculo em variedades): variedades, fibrados vetoriais, fibrado tangente, campos vetoriais e tensoriais, formas diferenciais, cálculo de Cartan, integração, teorema de Stokes, cohomologia de de Rham, elementos da geo-metria riemanniana e pseudo-riemanniana, elementos da teoria de grupos e álgebras de Lie; 2. Fundamentos da relatividade geral: o princípio de equivalência, movimento geodésico, primeiros testes experimentais, o espaço-tempo como variedade lorentziana; 3. Matéria em campos gravitacionais: o tensor de energia-momento; 4. Equações de Einstein e o princípio variacional de Einstein-Hilbert; 5. Campos gravitacionais fracos: o limite (pós-)newtoniano, radiação gravitacional; 6. Simetrias e campos de Killing; 7. Soluções exatas: Schwarzschild, Reissner-Nordström Kerr, Kerr-Newman;

20

8. Singularidades e buracos negros; 9. Cosmologia: composição e distribuição da matéria no universo, soluções de Friedmann e Robertson-Walker, a evolução do universo, problemas em aberto (matéria escura, energia escura, o papel da constante cosmológica, o cenário da inflação, a singularidade inicial, ...) Bibliografia: M. Forger & H. Römer: An introduction to geometric field theory, in preparation (notas de aula em LaTeX disponíveis na página do docente responsável). R. Abraham & J.E. Marsden: Foundations of mechanics, 2nd edition, Benjamin-Cummings, New York 1978. F. Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Scott, Foresman & Co, 1971. C.W. Misner, K.S. Thorne & J.A. Wheeler: Gravitation, Freeman & Co., San Francisco 1973. S.W. Hawking & G.F.R. Ellis: The large scale structure of space-time, Cambridge University Press, Cambridge 1973. R.M. Wald: General relativity, Chicago University Press, Chicago 1984. R.K. Sachs & H.-H. Wu: General relativity for mathematicians, Springer-Verlag, Berlin 1983. B. O’Neill: Semi-riemannian geometry with applications to relativity, Academic Press, New York 1983. J.K. Beem, P.E. Ehrlich & K.L. Easley: Global lorentzian geometry, 2nd edition, Marcel Dekker, New York 1996.

21

ESPECIALIDADE 17: MAP5883 - Introdução à Teoria Geométrica dos Campos III Objetivos: Desenvolver o formalismo geral da teoria clássica dos campos (relativística) em variedades e fibrados, usando métodos da geometria diferencial moderna. Conteúdo: 1.Resumo de pré-requisitos da geometria diferencial II (fibrados e conexões): fibrados gerais, fibrados principais, fibrados associados, fibrados de referenciais, conexões gerais, conexões principais, conexões associadas, curvatura e torção, holonomia, fibrados de jatos e cojatos, classes características, elementos da teoria de grupoides e algebroides de Lie; 2. Formulação lagrangiana e formulação hamiltoniana covariante: princípio variacional, equações de Euler-Lagrange e de de Donder-Weyl, formalismo multissimplético, espaço de fase covariante; 3. Simetrias e teorema de Noether no âmbito geométrico: correntes e tensores de energia-momento, aplicação momento; 4. Campos escalares não-lineares: os modelos sigma; 5. Campos de spinores em espaços-tempos curvos; 6. Teorias de calibre no âmbito geométrico: o princípio de invariância de calibre (simetrias globais e locais), campos de calibre como conexões, teorias de Yang-Mills, teorias de Chern-Simons, cohomologia BRST, anomalias e o teorema do índice de Atiyah-Singer; 7. Soluções topologicamente não-triviais: monopolos e instantons. [8] Desdobramentos matemáticos: invariantes de Donaldson, cohomologia de Floer. Bibliografia: M. Forger & H. Römer: An introduction to geometric field theory, in preparation (notas de aula em LaTeX disponíveis na página do docente responsável). S. Kobayashi & K. Nomizu: Foundations of differential geometry, Vols I,II, Interscience, New York, 1963,1969. W, Greub, S. Halperin & R. Vanstone: Connections, curvature and cohomology, Vols I,II,III, Academic Press, New York, 1972,1973,1974. K.C.H. Mackenzie: General theory of Lie groupoids and Lie algebroids, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge 2005. D. Bleecker: Gauge theory and variational principles, Dover, 2005. M. Göckeler & T. Schücker: Differential geometry, gauge theories and gravity, Cambridge University Press, Cambridge 1987. G.L. Naber: Topology, geometry and gauge fields, Springer-Verlag, New York 2000. MAP5884 - Geometria e Análise das Teorias Clássicas de Yang Mills Objetivos: Neste curso pretendemos discutir certos aspectos matemáticos do sistema de equações de Yang-Mills, com ênfase em teoremas de existência, unicidade e comportamento assintótico de suas soluções. O curso é dividido em duas partes distintas: na primeira delas estudamos as soluções do tipo vértices, monopolos e instantons, isto é, as soluções estacionárias em Rn, com n=2, 3 e 4, respectivamente. Na segunda parte consideramos os aspectos dinâmicos e discutimos o problema de Cauchy em Rn+1.

22

Justificativa: As equações de Yang-Mills oferecem um meio onde se pode discutir simultaneamente aspectos geométricos, analíticos e topológicos. Do ponto de vista das não-linearidades, é do tipo semi-linear. Isto significa que pode servir de modelo para implementação de técnicas analíticas que em um outro contexto, por exemplo, relatividade geral, seriam extremamente dif;iceis de serem aplicadas. Além disto, este curso é um complemento natural de cursos já existentes, como por exemplo, Teoria dos Campos I, II e III. Conteúdo: Parte I - Vórtices, Monopolos, Instantons - Variedades e tensores. 2. Grupos de álgebras de Lie. 3. Fibrados, Fibrados vetoriais e principais. 4. Conexões em Fibrados principais. 5. Funcional de Yang-Mills, equipartição da energia. 6. Mecanismo de Higgs; Cargas Magnéticas. 7. Estimativa de Bogomol nyi; vórtices. 8. Monopolos do tipo BPS; existência de soluções via fluxo gradiente. 9. Construção de Taubes para Multipolos. 10. Teoremas de Chlenbeck: gauges de Colomb exais e remoção de singularidades. Parte II - O Problema de Gauchy - 1. Formulação do problema de Cauchy. 2. Os teoremas clássicos de existência local. 3. Estimativas L infinitas e existência global. 4. Inavariância conforme e existência global. 5. Estimativas no espaço de energia. Bibliografia: Parte I - 1. Vortices and Monopoles, A. Jaffe/C. Taubes, Birkhäuser Boston, 1980. 2. Instantons and 4-Manifolds, D. Freed, K. Chlenbeck, Springer-Verlag, 1984. 3. The theory of Gauge Fields in 4-dimensions, H. Blaine Lawson Jr, CBMS vol.58, Providence, 1983. Parte II - 4. The Global Existence of YM fields on R3+1, D. Eardley, V. Moncief, Comm. Math. Phys. 83 (1982) p.171-212. 5. Finite energy solutions of the Yang-Mills eqs. on R3+1, S. Klainerman, M. Machedon, Duke J. Math., (1996). ESPECIALIDADE 18: MAP5729 - Introdução à Análise Numérica Objetivos: Dar formação básica ao aluno em análise numérica Justificativa: Trata-se de disciplina fundamental em matemática aplicada. Conteúdo: 1. Resolução de sistemas lineares: métodos diretos e iterativos; 2. Resolução de equações não-lineares: métodos de ponto fixo, Newton; 3. Interpolação polinomial (métodos de Lagrange e de Hermite), splines polinomiais, estimativas de erro; 4. Integração numérica: métodos baseados em polinômios e splines, quadratura Gaussiana, métodos baseados em extrapolação (método Romberg); 5. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias: problemas a valores iniciais, métodos de passo simples e de passo múltiplo; 6. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias: problemas de contorno, métodos de diferenças finitas, e/ou colocação e/ou elementos finitos.

23

Bibliografia: 1. Stoer, J. and Bulirsch, R. - Introduction to numerical analysis. Springer, Berlin, 1980. 2. Isaacson, E., Keller, H.B., - Analysis of numerical methods. Wiley, 1966. 3. Schwarz, H.R., - Numerical analysis - a comprehensive introduction. John Wiley & Sons, 1989. MAP5776 - Modelagem de Curvas e Superfícies Objetivos: Estudos das técnicas de modelagem de curvas e superfícies do ponto de vista das diversas aplicações em matemática computacional. Conteúdo: 1.Curvas de Bézier; o algoritmo de Casteljau; polinômios de Bernstein; propriedades das curvas de Bézier; 2. Curvas Splines na forma de Bézier; parametrizações; 3. Continuidade geométrica G2; curvas de Bézier G2 e Splines cúbicos G2; 4. Cônicas: formas explicítas e implícitas; classificação e algoritmo de Casteljau; 5. Superfícies: interpolação bilinear e produto tensorial; superfícies B-Splines bicúbicas; superfícies racionais de Bézier; deformações de volumes; 6. Triangularização de superfícies; triângulos de Bézier; consições de diferenciabilidade; superfícies de coons; grade de controle das superfícies de coons por trechos e triangularização. Bibliografia: 1) Curves and Surfaces for Computer aided Geometric Design, Gerald Farin, Second Edition, 1990, Academic Press, Inc. 2) Computational Geometry for Design and Manufacture, I. D. Faux and M. J. Pratt, 1987, John Wiley & Sons Limited. 3) J. D. Boissonat & M. Yvinec, Géométrie Algorithmique, Ediscience, Paris, 1995. 4) J. M. Chassery and A. Montanvert, Géométrie Discrète, Hermes, Paris, 1991. ESPECIALIDADE 19: MAP5726 - Introdução à Mecânica dos Fluídos Computacionais I: Fluídos Incompressíveis Objetivos: Introduzir noções fundamentais e os métodos numéricos mais populares dentro do campo de fluidos, gradualmente preparando o aluno para desenvolver trabalho de pesquisa nesta áres. Justificativa: A disciplina oferece conhecimento essencial aos alunos de pós-graduação em matemática aplicada na área de resolução numérica de problemas em fluidodinâmica. Conteúdo: 1. Noções de álgebra e de análise tensoriais. 2. Equações do movimento. 3. Integração das equações em alguns casos particulares. 4. Conceitos de análise numérica para equações a derivadas parciais. 5. Adimensionalização, similaridade e equações de Prandtl da camada limite. 6. Representação das equações não cartesianas. 7. Formulações equivalentes para as equações de Navier-Stokes (e.g. Forma conservativa, vorticidade-função corrente).

24

8.Seleção de métodos numéricos dentre: Métodos de projeção, de vortices, de elementos finitos, espectrais e outros. Bibliografia: [1] Chorin, A.J.; Marsden, J.E.: "A mathematical introduction to fluid dynamics", New York, Springer-Verlag, 1990. [2] Gurtin, M.E.: An introduction to continuum mechanics". New York, Academic Press, 1981. [3] Lamb, H.; "Hydrodynamics", New York. Dove 1932 - [4] Serrin, J.: "Mathematical principles of classical fluid mechanics", Handbuch der Physik, VIII/1, Springer-Verlag, 1959. [5] Strikwerda, J.C.: "Finite difference schemes and partial differential equations", Belmont, C.C., Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. [6] Peyret, R.: Taylor, D.: "Computational Methods for fluid flow", New York, Springer-verlag, 1983 [7] Artigos de períodicos a critério do professor. MAP5727 - Introdução à Mecânica dos Fluídos Computacionais II: Fluídos Compressíveis Objetivos: Familiarizar os alunos com os conceitos teóricos e implementações práticas das técnicas de solução de problemas em escoamentos compressíveis através da Mecânica dos Fluídos Computacional. Justificativa: A disciplina é parte integrante de um elenco de disciplinas na área de Mecânica dos Fluídos do Grupo de Análise Numérica. Este bloco visa transmitir aos alunos os conhecimentos básicos para iniciar pesquisa na área. Conteúdo: Leis de Conservação: Derivação. Leis Escalares, Problemas Não-Lineares. Sistemas Lineares Hiperbólicos. O problema de Riemann. Ondas de Choque e Rarefação. Métodos Numéricos para Equações Lineares. Soluções Descontínuas. Métodos Não-Lineares. Método de Godunov. Resolução Aproximada de Riemann. Métodos de Alta-Resolução. Bibliografia: 1 - Le Veque, R.J., Numerical Methods for Conservation Laws, 2a. edição, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992. 2 - Ferziger, J.H. e Peric, M., Computational Methods for Fluid Dynamics, 2a. edição, Springer-Verlag, Berlin, 1996. 3 - Peyret, R. e Taylor, T.D., Computational Methods for Fluid Flow, 3a. edição, 1983. ESPECIALIDADE 20: MAP5711 - Equações Diferenciais Ordinárias Conteúdo: 1. Teoremas de existência e unicidade, teoremas de continuidade e diferenciabilidade em relação às condições iniciais e parâmetros; 2. Equações diferenciais lineares; Teorema de Liouville; Sistemas lineares hiperbólicos no plano e no Rn; Atratores e Repulsores; 3. Equações autônomas; retrato de fase; conjuntos invariantes, singularidades (selas, nós, focos); 4. Estabilidade de Liapunov; Teorema de Estabilidade de Liapunov; Estabilidade por primeira proximação; 5. Órbitas periódicas, transformação de Poincaré; ciclos estáveis no plano e fórmula de Poincaré; 6. Teorema de Poincaré-Bendixon e aplicações, equação de Lienard.

25

Bibliografia: 1. Sotomayor, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, 1979. 2. Pontrjagin, L. - Ordinary Differential Equations. Addison Wesley, 1962. 3. Hale, J. - Ordinary Differential Equations. 2a. ed., Malabar, Robert E. Krieger, 1980. 4. Coddington, E.A. & Levinson, N. - Theory of Ordinary Differential Equations. New York, McGraw-Hill, 1955 (International Series in Pure and Applied Mathematics). 5. Lefschetz, Salomon - Differential Equations: Geometric Theory. New York, Interscience, 1962 (Pure and Applied Mathematics). MAP5857 - A Dinâmica de Homeomorfismos de Superfícies Objetivos: Neste curso serão apresentadas ferramentas básicas para o estudo de dinâmica de homeomorfismos de superfícies. As técnicas apresentadas são principalmente topológicas e os resultados obtidos são, portanto, válidos para homeomorfismos em geral, sem serem necessárias hipóteses de diferenciabilidade. Tópicos incluem a teoria de Nielsen para pontos fixos, tipos de tranca de órbitas periódicas e implicação entre tipos de trança, e a teoria de Thurston para homeomorfismos de superfícies, incluindo a compactificação do espaço de Teichmüller. Justificativa: O estudo da dinâmica de homeomorfismos e difeomorfismos de superfícies é uma área ativa de pesquisa, com muitos problemas centrais ainda em aberto. Há técnicas topológicas poderosas a serem aplicadas a este estudo e o curso visa expor estas técnicas e problemas em aberto onde elas podem ser utilizadas, além de alguns resultados importantes já obtidos. Conteúdo: 1. Conceitos básicos - Conjunto não-errante, conjunto recorrente por cadeias - Atratores e funções de Lyapunov - Teorema de Recorrência de Poincaré 2. Teoria de Nielsen - Introdução: o número de Nielsen para transformações do círculo - Classes de pontos fixos - Índice de um ponto fixo e o número de Nielsen - Invariância do número de Nielsen sob homotopias - Órbitas periódicas não-removíveis e o teorema de Asimov-Franks-Hall 3. Interlúdio: conceitos básicos de dinâmica em dimensão 1 e a ferradura de Smale - Transformações unimodais e itinerários - Teorema de Sharkovskii (enunciado) - Permutações e implicação entre permutações - A ferradura 4. Tipos de trança - Definição geométrica de tranças e o grupo de Artin - Tipos de trança e implicação entre tipos de trança - Números de enlaçamento (linking number) e de rotação e sua invariância sob isotopias 5. Implicações entre tipos de trança - Cálculo do intervalo de rotação de órbitas da ferradura - Implicação entre tipos de trança da ferradura

26

6. Compactificação de Thurston - Introdução: o caso do toro - Conceitos básicos de geometria hiperbólica e espaços de Teichmüller - Folheações com medidas transversas e sua classificação - Compactificação do espaço de Teichmüller 7. Classificação de Thurston - Teorema de classificação de homeomorfismos de superfícies a menos de isotopia - Demonstração usando a compactificação de Thurston - Demonstração algorítmica de Bestvina-Handel Bibliografia: a. Bestvina, M., Handel, M. Train-tracks for surface homeomorphisms, Topology 34 (1995), no. 1, 109-140. b. de Carvalho, A., Hall, T. The forcing relation for horseshoe braid types, Experimet. Math. 11 (2002) 2, 271-288. c. Devaney, R. An introduction to chaotic dynamical systems, 2nd edition, Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City CA, 1989. d. Fathi, A., Laudenbach, F., and Poénaru, V. Travaux de Thurston sur les surfaces, Ast_erisque 66-67 (1979). e. Hall, T. Lecture Notes on Surface Dynamics f. Hall, T. Periodicity in chaos: the dynamics of surface automorphisms, Thesis, Cambridge, 1991. g. Thurston, W. P. On the geometry and dynamics of di_eomorphisms of surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 19 (1988), no. 2, 417-431 ESPECIALIDADE 21: MAP5711 - Equações Diferenciais Ordinárias Conteúdo: 1. Teoremas de existência e unicidade, teoremas de continuidade e diferenciabilidade em relação às condições iniciais e parâmetros; 2. Equações diferenciais lineares; Teorema de Liouville; Sistemas lineares hiperbólicos no plano e no Rn; Atratores e Repulsores; 3. Equações autônomas; retrato de fase; conjuntos invariantes, singularidades (selas, nós, focos); 4. Estabilidade de Liapunov; Teorema de Estabilidade de Liapunov; Estabilidade por primeira aproximação; 5. Órbitas periódicas, transformação de Poincaré; ciclos estáveis no plano e fórmula de Poincaré; 6. Teorema de Poincaré-Bendixon e aplicações, equação de Lienard. Bibliografia: 1. Sotomayor, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, 1979. 2. Pontrjagin, L. - Ordinary Differential Equations. Addison Wesley, 1962. 3. Hale, J. - Ordinary Differential Equations. 2a. ed., Malabar, Robert E. Krieger, 1980. 4. Coddington, E.A. & Levinson, N. - Theory of Ordinary Differential Equations. New York, McGraw-Hill, 1955 (International Series in Pure and Applied Mathematics). 5. Lefschetz, Salomon - Differential Equations: Geometric Theory. New York, Interscience, 1962 (Pure and Applied Mathematics).

27

MAP5732 - Uma Introdução à Dinâmica Topológica Objetivos: Familiarizar o aluno com as técnicas e resultados mais fundamentais referentes ao estudo da dinâmica de homeomorfismos e difeomorfismos de superfícies. Serão analisados com detalhes os casos do plano, anel aberto e fechado e do toro. Justificativa: A intensa atividade de pesquisa na área de sistemas dinâmicos em superfícies justifica plenamente o curso. Num primeiro momento, o objetivo é introduzir aos alunos os problemas mais fundamentais e clássicos na área, desenvolvendo as técnicas e idéias importantes para o seu entendimento. Para isto será feita uma revisão de todos os conceitos e resultados utilizados, que não forem amplamente conhecidos: numa segunda etapa, visamos o estudo de alguns problemas mais complexos, possivelmente tornando os alunos capazes de ler artigos recentes dentro da área. Assim, o curso se direciona a dois públicos possíveis: aqueles que desejam se iniciar no assunto e aos que pretendem desenvolver pesquisa na área. Conteúdo: 1. Introdução: Motivar o estudo de aplicações em superfícies a partir do estudo dos fluxos em dimensão maior; 2) Estudo das aplicações do tipo "twist": Teorema de Poincaré-Birkhoff, teoria Aubry-Mother (topológica), conseqüências da ruptura dos círculos rotacionais invariantes, etc; 3) Teoria de Bronver para homeomorfismos do plano, aplicações à dinâmica em superfícies (homeomorfismos do anel e do toro, teorema de Conley-Zehnder em dimensão 2, etc). Bibliografia: 1) Anatole Katok and Boris Hasselblatt: An Introduction to modern theory of dynamical systems. Cambridge University Press; 2) Pratice Le Calvez: Dynamical Properties of Diffeormorphisms of the torus ad annulus. SMF/AMS Texts and Monographs, vol 4; 3) Diversos artigos de autoria de John Franks; 4) Artigos sobre a Teoria de Bronwer para homeomorfismos do plano. ESPECIALIDADE 22: MAP5779 - Testes de Significância para Hipóteses Precisas: Considerações Metodológicas e Epistêmicas Objetivos: Expor e comparar as principais metodologias para teste de hipóteses precisas com especial atenção aos métodos Bayesianos. A exposição cobrirá aspectos teóricos, implementação computacional, comparação de desempenho, e implicações epistemológicas. Justificativa: Este curso trata de aspectos metodológicos e epistemológicos referentes à testes de significância para hipóteses precisas. Este tópico é de grande interesse para pesquisadores nas áreas de Estatística, Matemática Aplicada e Pesquisa Operacional, bem como para pesquisadores de outras áreas de Ciência Aplicada que se utilizam de métodos quantitativos no seu trabalho de pesquisa.

28

Conteúdo: 1. Cognitive Constructivism; 2. Eigen-Solutions an Sharp Statistical Hypotheses; 3. Language and the Self-Reference Paradox; 4. Decoupling, Randomization, Sparsity, and Objective Inference; 5. Metaphor and Metaphysics: The Subjective Side of Science; 6. Complex Structures, Modularity, and Stochastic Evolution. Bibliografia: J.M.Stern (2008) Cognitive Constructivism and the Epistemic Significance of Sharp Statistical Hypotheses. Tutorial book, MaxEnt 2008, Boracéia, São Paulo, Brazil. MAP5747 - Algoritmos de Otimização Não Linear e sua Implementação Objetivos: A disciplina apresenta os fundamentos de Programação Não Linear com ênfase em aspectos qualitativos (condições de otimalidade, dualidade) introduzindo também rudimentos de análise convexa e embasamento para métodos numéricos. O programa inclui também uma discussão geral da implementação numérica destes algoritmos de otimização, incluindo métodos de decomposição, e o uso de rotinas de álgebra linear computacional para matrizes densas, estruturadas e esparsas. Justificativa: O curso segue o manancial clássico de teoria de dualidade e condições de otimalidade, enfatizando rudimentos de análise convexa. Como aplicação geral é apresentado o embasamento de métodos tipo direções viáveis e métodos de penalidades. O curso prossegue mostrando algumas formas eficientes de implementar estes algoritmos de otimização, inclusive para problemas esparsos e estruturados. Conteúdo: 1. Programação convexa: conjuntos convexos, lema de separação, teoremas de alternativa funções convexas, condições de ponto de sela, condições de qualificação; 2. Programação diferenciável; 3. Aplicações: métodos numéricos; 4. Métodos de restrições ativas; 5. Métodos de Penalidades; 6. Métodos de decomposição; 7. Implementação de algoritmos de otimização e uso de rotinas de álgebra linear computacional; 8. Matrizes esparsas e estruturadas. Bibliografia: 1. D.G. Luenberger, Introduction to Linear and Nonlinear Programming, Addison-Wesley, 1973. 2. M.Minoux, S.Vajda, Mathematical Programming. John Wiley, 1986. 3. J.M.Ster. Esparsidade, Estrutura, Estabilidade e Escalonamento em Álgebra Linear Computacional. Recife: UFPE, IX Escola de Computação, 1994. 4. A.M.Geoffrion. Perspectives on Optimization: A Collection of

29

Expository Articles.} NY: Addison-Wesley, 1972. 5. A.George, J.R.Gilbert, J.W.H.Liu. Graph Theory and Sparse Matrix Computation. NY: Springer. 1993. ESPECIALIDADE 23: MAP5736 - Teoria Matemática de Apreçamento de Ativos Objetivos: Resolver problemas fundamentais relativos à precificação de instrumentos financeiros de um mercado de capitais em equuilíbrio econômico através do uso sistemático de ferramentas matemáticas da área de equações diferenciais parciais. Justificativa: 1. Os problemas abordados nestaq disciplina são de relevância atual; 2. Existe uma carência de disciplinas no Instituto que contemplem os problemas e as técnicas matemáticas utilizadas; 3. Uma tal disciplina serve como apoio e como elemento agregador de interesses para a construção de um núcleo de pesquisa n área de finanças matemáticas. Conteúdo: Parte I. O Equilíbrio Econômico Geral 1. Noções de Micro-economia; 2. O Equilíbrio Econômico Competitivo (Walrasiano): existência e propriedades; 3. Optimalidade de Pareto e os Teoremas do bem-estar social; 4. Investimento sob incerteza: noção de risco segundo Stiglitz; 5. Teoria da Utilidade de Von Neumann-Morgenstern; 6. O problema da formação de carteiras e a teoria de Tobin-Markowitz; 7. O modelo CAPM de Sharpe-Lintner-Mossin. Parte II. O Equilíbrio Econômico Inter-temporal 1. Decisões de Consumo e Investimento; 2. Alocação inter-temporal de ativos financeiros em carteiras; 3. O equilíbrio inter-temporal: optimalidade e existência; 4. O modelo ICAPM de Merton; 5. Formação da taxa de juros em uma economia com produção; 6. Modelos de Equilíbrio de renda fixa. Bibliografia: 1. J. Cochrane, Assent Piang, Princeeton Univ. Press 2000; 2. M. Dothan, Prices on Financial Manets, Oxford Univ. Press 1990; 3. D. Duffie, Dynamic Asset Piang, Princeton Univ. Press 1992; 4. R. Huang, R. Litzenbeger, Foundation for Financial Economics, Prentice-Hall 1998; 5. J. Ingersoll, Theory of Financial Decision-Making, Rowman & Littegield 1987; 6. R. Merton, Continuous Time Finance, Blackwell, 1990.

30

MAP5892 - Tópicos em Modelagem Matemática em Ciências Biológicas e Sociais Objetivos: Descrever modelos de evolução biológica e cultural, aprendizado, criação de instituições econômicas, e temas correlatos Justificativa: Esta é uma área na qual aplicações matemáticas tem tomado um papel cada vez mais importante e central. O curso permitirá aos alunos interagirem futuramente com cientistas em várias áreas aplicadas. Conteúdo: Modelagem matemática dos processos biológicos de evolução por seleção natural, incluindo jogos evolutivos; modelos de evolução cultural e criação de instituições econômicas; modelos de aprendizado; convergência a pontos focais; comparação entre modelos de campo médio e modelos com estrutura espacial; evolução da cooperação. Bibliografia: (1) S. Bowles: Microeconomics: Behavior, Institutions and Evolution. Princeton University Press (2004). (2) R. McElreath, R. Boyd: Mathematical Models of Social Evolution. University of Chicago Press (2007). (3) M. Nowak: Evolutionary Dynamics. Harvard University Press (2006). (4) H. P. Yong: Individual Strategy and Social Structure: An Evolutionary Theory of Institutions. Princeton University Press (1198). ESPECIALIDADE 24: MAP5856 - Uma Introdução à Teoria Ergódica Objetivos: Familiarizar os alunos com conceitos fundamentais em teoria ergódica, estudo de medidas invariantes e aplicações aos sistemas dinâmicos. Justificativa: Conhecimentos básicos neste assunto são muito importantes para o entendimento de trabalhos científicos recentes na área de sistemas dinâmicos. Conteúdo: Revisão de teoria da medida. Transformação que preservam medida. Definição e exemplos. Teorema de recorrência de Poincaré. Ergocidade. Definição. Caracterização equivalentes. Exemplos (incluindo automorfismos do toro e cadeias de Markov). Teorema ergódico de Bierkhoff. Exemplos de aplicação do teorema. Mixing e o espectro de Lebesque. Isomorfismo de transformação que preservam medida. Entropia. Entropia de uma participação. Entropia condicional. Entropia de uma transformação que preserva medida. Geradores e cálculo de entropia. Exemplos. Aspectos ergódicos da dinâmica topológica. Compacidade do espaço de medidas invariantes. Existência de medidas ergódicas. Entropia topológica (definição, cálculo em exemplos). A definição de Bowen para espaços métricos. A entropia topológica como máximo das entropias das medidas invariantes. Considerações finais.

31

Bibliografia: BILLINGSLEY, P. Ergodic theory and information. New York, John Willey, 1965. 193p. - MANÉ, R. Introdução à teoria ergódica. Rio de Janeiro. IMPA, 1982. 389p/ (Projeto Euclides). - PARRY, W. Entropy and generators in ergodic theory. Neu York, Benjamin, c1969. 124p (Mathenatics Lecture Note Series). MAP5893 - Introdução à Teoria das Medidas de Gibbs Objetivos: Apresentar os princípios básicos da teoria das medidas de Gibbs e estudar com detalhes o conjunto de medidas Gibbsianas de alguns modelos clássicos de Mecânica Estatística Justificativa: A teoria das medidas de Gibbs é um tema situado na fronteira de diversas linhas de pesquisa em matemática, a saber: Combinatória, Análise Funcional, Teoria Ergódica, Sistemas Dinâmicos, Probabilidade e, em geral, é vista como sendo uma parte importante da Mecânica Estatística Rigorosa principalmente em relação ao estudo de fenômenos tais como Transições de Fase. A idéia é apresentar este tema da Física-Matemática aos alunos de pós-graduação em Matemática Aplicada. Conteúdo: 1.Breve revisão sobre Fundamentos e resultados de Teoria da Medida e Probabilidade tais como: Extensão de medidas e Teoremas básicos de integração. Teorema de Radon-Nikodym. Esperança Condicional e Convergência Fraca de medidas; 2. Especificações de Campos Aleatórios: Probabilidades Condicionais, Núcleos de Probabilidade; 3. Especificações Gibbsianas: Potenciais, Quase-localidade. Representações Gibbsianas de pré-modificações. Equivalência de Potenciais; 4. Existência de Medidas de Gibbs: Convergência local de campos aleatórios. Existência de pontos de Acumulação. Resultados de Continuidade. Existência e propriedades topológicas das medidas de Gibbs; 5. Especificações com simetrias: Transformações de Especificações. Medidas de Gibbs com simetrias. Exemplo de quebra de simetria no modelo de Ising bi-dimensional; 6. Unicidade: A condição de dependência fraca de Dobrushin. Unicidade em uma dimensão Bibliografia: 1. H.O. Georgii: Gibbs Measures and Phase Transitions. de Gruyter, Berlin, (1988). 2. R. Fernández: Gibbsianness and non-Gibbsiannes in Lattice Random Fields, Les Houches Summer School Proceedings Volume 83, Pages 731-799, (2006). 3. R. Bartle: The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley, (1994). 4. Robert B. Ash: Probability and Measure Theory. Second Edition, Academic Press, (1999). 5. Paul Halmos: Measure Theory. Springer, GTM 18, (1974). 6. W. Rudin: Real and Complex Analysis. Third Edition, McGraw-Hill, (1987). 7. Arnaud Le Ny. Introduction to (generalized) Gibbs measures. Ensáios Matemáticos. Volume 15.(2008). 8. R.S. Ellis, Entropy, Large Deviations, and Statistical Mechanics. Springer-Verlag (1985).

32