Equações Diferenciais Ordinárias - mat.ufpb.br .Equações Diferenciais Ordinárias ... 3 Existência

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  • Equaes Diferenciais Ordinrias

    Adriano A. Medeiros1

    e Milton de L. Oliveira2

    1Departamento de Matemtica, Universidade Federal da Paraba. E-mail:

    adriano@mat.ufpb.br2Departamento de Matemtica, Universidade Federal da Paraba. E-mail:

    milton@mat.ufpb.br

  • Contedo

    1 Equaes Diferenciais 21.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Teoria das Equaes Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Equao Homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2 Equaes Diferenciais Ordinrias de Primeira Ordem 52.1 Equaes de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Equaes Diferenciais Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . 62.3 Equaes Separveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Equaes Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.4.1 Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Equaes no lineares de primeira ordem redutveis a lineares . . . . 13

    2.5.1 Equaes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5.2 Equaes de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.6 Noes de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.7.1 Crescimento Populacional - Verhulst . . . . . . . . . . . . . . 162.7.2 Resfriamento de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.8 Famlias de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8.1 Envoltria de uma famlia de curvas . . . . . . . . . . . . . . . 212.8.2 Trajetrias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3 Existncia e Unicidade de Solues de EDO 243.1 Teoremas de Existncia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4 Equaes Diferenciais Ordinrias de Segunda Ordem 324.1 Equaes lineares de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Equaes Homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    4.2.1 Equaes lineares com coecientes constantes . . . . . . . . . 364.3 Equaes no homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    4.3.1 Mtodo de Variao dos Parmetros . . . . . . . . . . . . . . 394.3.2 Reduo de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.3 Mtodo dos coecientes a determinar . . . . . . . . . . . . . . 42

    1

  • 4.3.4 Equaes de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    4.4.1 Queda Livre de Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.2 Energia Cintica e Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.3 O Oscilador Harmnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.4 Oscilador Harmnico Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    5 Sistemas de Equaes Diferenciais 515.1 Equaes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Clculo com funes matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3 Equao diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4 O problema de calcular etA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    5.4.1 Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4.2 O mtodo de Putzer para calcular etA . . . . . . . . . . . . . . 605.4.3 Outros mtodos para calcular etA . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4.4 Casos 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5.5 Sistemas Lineares com coecientes constantes . . . . . . . . . . . . . 665.6 Sistema linear geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.7 Resoluo por sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.8 Mtodo das aproximaes sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.9 Aproximaes sucessivas para sistemas no lineares . . . . . . . . . . 75

    6 Sistemas Autnomos 786.1 Trajetrias e o Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Pontos de Equilbrio ou Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    6.2.1 O Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.2 O Sistema No Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    6.3 Retrato de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.4 Fluxo Tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    7 Estabilidade em EDO 977.1 Estabilidade para Sistemas de EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.2 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3 Estabilidade para sistemas no lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    7.3.1 Sistemas quase lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.3.2 Critrio de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    7.4 Construo de funes de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    8 O Teorema de Poincar-Bendixson 1118.1 Conjuntos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2 Os Teoremas de Poincar e Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    8.2.1 Aplicaes do Teorema de Poincar-Bendixson . . . . . . . . . 117

    2

  • A Preliminares 122A.1 Linguagem bsica da topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    A.1.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122A.1.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123A.1.3 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125A.1.4 Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    A.2 Espaos Mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.2.1 Espaos Mtricos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    A.3 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    1

  • Captulo 1

    Equaes Diferenciais

    1.1 Introduo

    Uma equao da forma

    F (t, x,dx

    dt, , d

    nx

    dtn) = 0

    onde x a incgnita e funo de uma varivel, chama-se equao diferencialordinria.

    Aplica-se tais equaes s leis gerais da Fsica, Biologia, Economia. Tambminmeras questes da prpria Matemtica so formuladas por equaes diferenciaisordinrias, como por exemplo, questes de Topologia, Geometria Diferencial eClculo Variacional.

    O estudo das equaes diferenciais ordinrias iniciou-se com os mtodos doClculo Diferencial e Integral, desenvolvidos por Newton e Leibniz no nal do sculoXVII. Esses mtodos conduziram consolidao das Equaes Diferenciais como umnovo ramo da Matemtica, que se transformou em disciplina independente no inciodo sculo XVIII.

    No m do sculo XVIII a Teoria das Equaes Diferenciais se transformounuma das disciplinas matemticas mais importantes e o mtodo mais efetivo paraa pesquisa cientca. As contribuies de Euler, Lagrange, Laplace e outrosexpandiram de maneira notvel o conhecimento dentro dos clculos das Variaes,Mecnica Celeste, Teoria das Oscilaes, Elasticidade, Dinmica dos Fludos, etc.

    No sculo XIX passou-se a considerar como questo prvia em cada problemaa existncia e unicidade de solues satisfazendo dados iniciais. Este conhecidocomo o Problema de Cauchy.

    Em 1881, Poincar publica um trabalho em que so lanadas as bases da TeoriaQualitativa das Equaes Diferenciais. Esse trabalho d a base para o estudo daEstabilidade das solues de um sistema de EDO.

    2

  • 1.2 Teoria das Equaes Diferenciais Lineares

    Uma equao diferencial linear de ordem n uma equao da forma

    P0(x)dny

    dxn+ P1(x)

    dn1y

    dxn1+ + Pn1 (x)

    dy

    dx+ Pn(x)y = G(x). (1.1)

    Podemos admitir, por simplicidade, que as funes P0, , Pn e G sejam funesreais e contnuas num intervalo I : < x < , e que P0 no tenha nenhum zeroneste intervalo. Ento podemos reescrever a equao (1.1) do seguinte modo

    dny

    dxn+ p1 (x)

    dn1y

    dxn1+ + pn1 (x)

    dy

    dx+ pn (x) y = g (x) (1.2)

    Se denimos um operador L na forma:

    L[y] : =dny

    dxn+ p1 (x)

    dn1y

    dxn1+ + pn1 (x)

    dy

    dx+ pn (x) y

    ento L dito um operador linear de ordem n e a equao (1.2) dada na seguintemaneira

    L[y] = g (x) (1.3)

    Consideremos a equao diferencial linear (1.3) com as condies iniciais

    y (x0) = y0, y (x0) = y1, ,

    (n1)y (x0) = yn1, (1.4)

    onde x0 I e y0, y1, , yn1 um conjunto de constantes dadas.

    Teorema 1 Se as funes p1, p2, . . . , pn e g forem contnuas no intervalo aberto I,ento existe somente uma soluo y = (x) da equao diferencial (1.2) que obedeces condies iniciais (1.4) . Esta soluo existe sobre todo o intervalo I.

    1.3 Equao Homognea

    Considere a equao homognea

    dny

    dxn+ p1 (x)

    dn1y

    dxn1+ + pn1 (x)

    dy

    dx+ pn (x) y = 0 (1.5)

    se y1(x), y2(x), , yn(x) forem solues da equao (1.5) temos que

    y = c1y1 (x) + c2y2 (x) + + cnyn (x) (1.6)

    tambm uma soluo da equao (1.5) , com c1, , cn constantes arbitrrias.Fazemos a seguinte questo: Toda soluo de (1.5) pode ser escrita na forma

    (1.6)?

    3

  • Isto verdade se independente das condies iniciais (1.4) for possvel escolherconstantes c1, , cn de modo que (1.6) obedea tais condies, ou seja, devemoster

    c1y1 (x0) + + cnyn (x0) = y0c1y

    1 (x0) + + cny

    n (x0) = y1

    ...

    c1(n1)y1 (x0) + + cn

    (n1)yn (x0) = yn1

    (1.7)

    As equaes (1.7) podem ser resolvidas univocamente nas constantes c1, , cn se odeterminante dos coecientes for no nulo. Desse modo, uma condio necessria esuciente para a existncia de soluo para as equaes (1.7), com valores arbitrriosy0, y1, , yn1 a de que o Wronskiano

    W (y1, , yn) =

    y1 y2 yny1 y

    2 yn

    ......

    ...(n1)y1

    (n1)y2