Equações Diferenciais Ordinárias - Moodle UFSC - Apoio ...· Sistema de equações diferenciais

  • View
    216

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Equações Diferenciais Ordinárias - Moodle UFSC - Apoio ...· Sistema de equações diferenciais

  • Clculo Numrico

    Prof: Reinaldo Haas

    Equaes Diferenciais Ordinrias

  • 1 - Equaes Diferenciais Ordinrias

    Equaes contendo derivadas so equaes diferenciais.

    Portanto, para compreender e investigar problemas envolvendo o

    movimento de fluidos, o fluxo de corrente eltrica em circuitos, a

    dissipao de calor em objetos slidos, a propagao e deteco

    de ondas ssmica, o aumento ou diminuio de populaes, entre

    muitos outros, necessrio saber alguma coisa sobre equaes

    diferenciais.

    Vale lembrar que todo a parte do clculo chamado de clculo de

    primitivas nada mais nada menos que a determinao de

    solues de uma equao diferencial.

  • Como Resolver uma Equao Diferencial Ordinria (EDO)

    Na soluo de uma EDO dois caminhos podem ser seguidos. Isto , o que tenta levar soluo exata do problema (mtodo analtico) ou o que encontra uma soluo

    aproximada (mtodo numrico). Do ponto de vista analtico, resolver uma EDO do tipo y = f ( x, y ) encontrar

    uma funo y = F ( x ) que satisfaa a equao dada. Por exemplo, dada a equao diferencial y = f ( x, y ) = 2 x + 3, sua soluo obtida por

    Na verdade, temos uma famlia de solues (para cada C R tem-se uma soluo particular). Na Figura 1 so mostradas algumas destas solues. No caso para C = 0, C = 2

    e C = 4.

    y = ( 2x + 3) dx = x 2 + 3x + C .

  • Representaes de solues particulares, para alguns valores de C, da funo

    y= x 2 + 3 x + C.

    Figura 1

    C = 0

    C = 2

    C = 4

    x

    y

  • Para determinarmos uma soluo especfica necessria a atribuio do valor de y em um dado x. Em outras palavras, deve ser dado um ponto ( x = a , y = s ) por onde a

    soluo particular deve obrigatoriamente passar.

    O processo para encontrar esta soluo especfica y da equao y = f ( x, y ) com y ( a ) = s, onde a e s so dados numricos, chamado de problema de

    condio inicial. Assim, podemos particularizar a soluo do problema anterior atribuindo-lhe, por

    exemplo, a seguinte condio:

    Logo, a soluo geral dada por y = x 2 + 3 + C, e a particular ser dada por

    y ( 0 ) = 0 = 0 2

    + 3 x 0 + C C = 0. Ou seja, y = x 2 + 3 x .

    0)0(

    32

    y

    xdx

    dy

  • Classificao de Equaes

    Diferenciais

    Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) -- se a funo

    desconhecida depende de uma nica varivel independente. Neste

    caso, aparecem apenas derivadas simples.

    Equaes Diferenciais Parciais (EDP) -- se a funo

    desconhecida depende de diversas variveis independentes. Neste

    caso, aparecem as derivadas parciais.

    Sistema de equaes diferenciais -- se existem duas ou mais

    funes que devem ser determinadas, precisamos de um

    sistema de equaes.

  • Ordem -- a ordem de uma EDO a ordem da mais alta derivada que

    aparece na equao.

    Exemplos:

    35 x

    dx

    dy 122

    3

    3

    4

    4

    ydt

    dy

    dt

    yd

    dt

    yd

    dt

    yd

    Geralmente a equao F(y, y, y, ..., y(n)) = 0 uma equao diferencial

    de ordem n.

    4'"2''' tyyyey t

    Uma EDO dada para a maior derivada, obtendo-se

    ),...,",',,( 1 nn yyyytfy

  • Equaes Lineares e no -lineares -- A equao diferencial

    0),...,",',( )( nyyytF

    dita linear se F uma funo linear das varveis y, y, y, ...

    Assim a equao diferencial ordinria linear geral de ordem n

    )1()()()()( )1(1)(

    0 tgytaytayta nnn

    A equao diferencial que no da forma (1) uma equao

    no-linear.

    Exemplo:

    4'"2''' tyyyey t

  • Algumas questes relevantes

    Uma equao diferencial sempre tem soluo?

    (existncia)

    Quantas solues tem uma equao diferencial dada

    que ela tem pelo menos uma? Que condies

    adicionais devem ser especificadas para se obter

    apenas uma nica soluo? (unicidade)

    Dada uma EDO, podemos determinar, de fato, uma

    soluo? E, se for o caso, como?

  • Um computador pode ser uma ferramenta extremamente til no

    estudo de equaes diferenciais. Algoritmos j esto sendo usados

    h muito tempo para solucion-las. Entre eles podemos citar: o

    mtodo de Euler e Runge-Kutta.

    Existem excelentes pacotes numricos gerais que solucionam uma

    gama de problemas matemticos com verses para PC, estaes,

    etc. Entre eles temos: o Maple, o Mathematica e o Matlab.

  • Exemplo: Considere a equao diferencial

    dy/dt + 2y = 3. Encontre sua soluo.

    Soluo:

    Temos que dy/dt = -2y + 3 ou dy/dt/(y-3/2) = -2

    ln |y - 3/2 | = -2t + c

    Logo,

    y = 3/2 + c*e - 2t

    Se g(t) = 0, ento a equao dita equao linear

    homognea e c=-3/2.

  • Definio 6.1.1: Uma equao que envolve derivadas at

    ordem n, chamada de equao diferencial ordinria (EDO)

    de ordem n e pode ser escrita na forma:

    (6.1.1)

    Definio 6.1.2: A soluo da equao (6.1.1) qualquer funo

    y = F(x) que definida em [a,b] e tem n derivadas neste

    intervalo e que satisfaz (6.1.1).

    y x f x y x y x y xn n( ) ( )( ) ( , ( ), ( ), , ( )) 1

    bxa

    Equaes Diferenciais

  • A forma mais simples de uma EDO

    (6.1.2)

    onde f contnua para a < x < b.

    A soluo geral desta equao :

    (6.1.3)

    com constante c determinada por

    )(xfy

    y x f x dx c( ) ( )

    y x y( )0 0

  • De um modo geral temos

    (6.1.4)

    como por exemplo:

    conveniente reduzi-la a um sistema de EDO de primeira

    ordem chamando :

    n

    n

    nn

    ayayay

    bxa

    yyyxfxy

    )(,,)(,)(

    ),,,,()(

    1

    21

    )1(

    1)0(,,0)0(,1)0(

    10

    1)()()( 2

    yyy

    x

    fxxyexyxxy x

    y y x1 ( )

  • 1)0(,,0)0(,1)0(

    10

    1)()()( 2

    yyy

    x

    fxxyexyxxy x

    y x y

    y x y

    y x xy x e y x x f

    y y y

    x

    1 2

    2 3

    3 2 1

    2

    1 2 3

    1

    0 1 0 0 0 1

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) , ( ) , ( )

    Para reduzir a uma EDO de primeira ordem

    assumimos:

    y y x1 ( )

    10 x

    )(2 xyy

    )(3 xyy

  • isto , se

    3

    2

    1

    ~

    y

    y

    y

    y ~

    y

    y

    y

    y

    1

    2

    3

    ~( )

    ( )

    ( )

    ( )

    y

    y

    y

    y

    0

    0

    0

    0

    1

    2

    3

    ~

    ( , , , )

    ~( , )

    y

    y

    y

    f x y y y

    F x y

    2

    3

    1 2 3

    de um modo geral (6.1.6)

    dy

    dtF x y x

    y y

    ~ ~( , ~( ))

    ~( ) ~

    0 0

  • 17

    Equaes diferenciais de 1a ordem

    Mtodos numricos so usados quando

    no possvel obter uma soluo geral,

    ou a forma dela to complicada que

    seu uso no prtico.

    Uma equao diferencial de 1a ordem

    tem a forma ,

    e em geral podemos escrev-la como:

    ),(

    0),,(

    yxfy

    yyxF

    Problema do valor inicial

    - uma equao diferencial

    - uma condio que deve

    ser satisfeita pela soluo

    00 )(

    ),(

    yxy

    yxfy

  • 18

    Os mtodos que estudaremos

    partem da idia de que o espao da

    varivel independente (x) pode ser

    discretizado, formando uma rede x0 x1= x0+h x2= x1+h.......

    h o passo .

    )(x- 22e),( yxyxf

    O valor da funo em cada

    ponto da rede calculado a

    partir de expanses em srie

    de Taylor.

  • 19

    )(!2

    )()()(

    )(

    0

    2

    000

    00

    xyh

    xyhxyhxy

    yxy

    Mtodo de Euler ou Euler-Cauchy

    O valor de y para um passo h dado

    pela expanso de taylor:

    Como em geral h pequeno, suprimimos os

    termos de ordem O(h2): h2, h3, .....

    Resultando na aproximao

    ),()(

    )()()()()()( 2

    yxhfxy

    xyhxyhOxyhxyhxy

  • 20

    O que resulta no processo iterativo

    ),(

    ),(

    ),(

    1

    1112

    0001

    nnnn yxhfyy

    yxhfyy

    yxhfyy

    A omisso dos termos de ordem

    superior a 2 causa erros de truncagem

    (que podem ocorrer junto a erros de

    arredondamento).

  • 21

    n xn yn 0,2(xn+yn) Exato erro

    0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

    1 0,200 0,000 0,040 0,021 0,021

    2 0,400 0,040 0,088 0,092 0,052

    3 0,600 0,128 0,146 0,222 0,094

    4 0,800 0,274 0,215 0,426 0,152

    5 1,000 0,488 0,718 0,230

    Exemplo:

    passo h=0,2

    O erro no (em geral) conhecido. Podemos estim-lo

    utilizando um passo h=2h

    0)0(

    y

    yxy

    )(2,01 nnnn yxyy

    n xn yn 0,4(xn+yn) yn para h=0,2erro = yn(h=0,4) - yn(h=0,2)

    0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

    1 0,400 0,000 0,160 0,040 0,040

    2 0,800 0,160 0,384 0,274 0,114

    3 1,200 0,544

  • 22

    Mtodo de Euler melhorado (2a ordem)

    Mtodo chamado de preditor-corretor.

    )],(),([2

    1

    ),(

    *

    111

    *

    1

    nnnnnn

    nnnn

    yxfyxfhyy

    yxhfyy