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Equações Diferenciais Ordinárias
Prof. Guilherme Jahnecke Weymar
AULA 02Equações diferenciais de primeira ordem
Fonte:Boyce, Bronson, Zill, diversos internet,
Material Profª. Dr. Daniela Buske
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ED 1ª ordemAs equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem são equações que podem ser escritas como
Vamos estudar equações de primeira ordem que podem ser escritas na forma
(1.1)
Uma solução (particular) de uma ED (1.1) em um intervalo I é uma função y(t) definida no intervalo I tal que a sua derivada y’(t) está definida no intervalo I e satisfaz a eq. (1.1) neste intervalo.
0)',,( yytF
),( ytfdtdy
3
ED 1ª ordem
O problema
(1.2)
é chamado problema de valor inicial (PVI). Uma solução do PVI (1.2) em um intervalo I é uma função y(t) que está definida neste intervalo, tal que a sua derivada também está definida neste intervalo e satisfaz (1.2)
00 )(
),(
yty
ytfdtdy
4
ED 1ª ordem
Quando resolvemos uma EDO de 1ª ordem normalmente obtemos uma família de soluções que dependem de uma constante arbitrária.
Se toda solução particular puder ser obtida da família de soluções que encontramos por uma escolha apropriada da constante dizemos que a família de soluções é a solução geral da equação.
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A equação
pode ser resolvida por integração direta obtendo
que é a solução geral da equação diferencial dada.
ED 1ª ordemExemplo: xe
dxdy 3
,3
)(3
3 Ce
dxexyx
x
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ED 1ª ordemEquações lineares de primeira ordem:
1º Caso: Equações em que p(t)=0:
As equações lineares de 1ª ordem são equações que podem ser escritas como
)()( tqytpdtdy
Se a função p(t)=0 a equação anterior torna-se
(1.3)
e é fácil de resolver integrando-se os dois lados. Assim a solução geral desta equação é dada por:
)(tqdtdy
Cdttqty )()(
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A equação
pode ser resolvida por integração direta obtendo
que é a solução geral da equação diferencial dada.
ED 1ª ordemExemplo: )2( tsen
dtdy
,)2cos(21)2()( Ctdttsenty
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ED 1ª ordem
Equações lineares: (caso geral)
A seguir veremos várias técnicas de se encontrar soluções de equações de 1ª ordem que se baseiam em transformar a eq. inicial em uma eq. do tipo (1.3).
)()( tqytpdtdy
Vamos considerar equações da forma
(1.4)
Vamos definir uma função auxiliar de forma que ao multiplicarmos a eq. por esta função a eq. resultante é do tipo (1.3) que já resolvemos anteriormente. Considere a função:
Esta função é chamada fator integrante da equação linear.
OBS.:Mostraremos adiante porque esta função deve ter esta forma.
dttp
et)(
)(
)(t
9
ED 1ª ordemObserve que
(1.5)
Multiplicando-se (1.4) por , obtemos
(1.6)
)(t
)()()()()()(
tpttpedttpdtde
dtd dttpdttp
)()()()()( tqtytptdtdyt
)()()( tqtydtd
dtdyt
)()()()( tqttytdtd
que pode ser reescrita usando (1.5) como:
mas o lado esquerdo desta equação é a derivada de um produto, assim:
(1.7)
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ED 1ª ordemA equação (1.7) é uma equação do tipo (1.3), i.e.,
em que e . . Assim a solução geral de (1.7) é:
Como , dividindo-se a eq. anterior por obtemos que a solução geral de (1.4) é dada por
)(tfdtdY
)()()( tyttY )()()( tqttf
Cdttqttyt )()()()(
Cdttqtt
ty )()()(1)(
0)( t )(t
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ED 1ª ordemExemplo: Considere a equação
O fator integrante é:
Multiplicando-se a equação acima por obtemos:
O lado esquerdo é igual a derivada do produto . Logo a equação acima é equivalente a:
Integrando-se obtemos:
Explicitando y(t) temos que a solução geral da ED é:
tytdt
dy
2
2lnln22
2)( teeet ttdt
t
)(t 32 2 ttydtdyt
)(2 tyt
32 )( ttytdtd
Cttyt 4
)(4
2
2
2
4)(
tCtty (1.8
)
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ED 1ª ordemExemplo: Determinar o intervalo de validade da solução do PVI
3)2(
2
y
tytdt
dy
Observe que a equação é a mesma do exemplo anterior.Substituindo-se t = 2 e y = 3 em (1.8) obtemos
E assim a solução do PVI é
844
43 CC
2
2 84
)(t
tty
Observe que a solução deste PVI é válida no intervalo (0,∞). Se no lugar de y(2)=3 fosse y(-2)=3 a solução seria a mesma, mas o intervalo de validade da solução seria (-∞,0).
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ED 1ª ordemEsboço do gráfico dos 2 exemplos anteriores:
14
ED 1ª ordemO gráfico dos 2 exemplos anteriores:
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ED 1ª ordemPor que o fator integrante deve ser ?
dttpet
)()(
Vamos mostrar como podemos chegar ao fator integrante .
O fator integrante deve ser uma função que satisfaz a equação diferencial
Supondo-se , vamos multiplicar esta equação por obtendo:
que pode ser escrita como
que, pela regra da cadeia, é equivalente a
dttp
et)(
)(
)(t
)()( ttpdtd
0)( t )(/1 t
)()(1
tpdtd
t
)(|))(|(ln tpdtdt
dd
)(|))(|(ln tptdtd
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ED 1ª ordem
que é uma equação do tipo (1.3) que pode ser resolvida simplesmente integrando-se ambos os membros obtendo:
Aplicando-se a exponencial a ambos os membros obtemos:
Como estamos interessados em apenas um fator integrante podemos tomar C=1 e assim:
1)(|)(|ln Cdttpt
dttpCet )()(
dttpet )()(
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Exercícios:
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Exercícios:04) Mostre que a equação linear é equivalente a uma equação separável se:a) e , para R: A equação é equivalente a
R: A equação é equivalente a c) R: A equação é equivalente a
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Exercícios:01) Resolva as equações.a)b)c) , para d) , para e) , para f) , para