Equações Diferenciais Ordinárias Prof. Guilherme Jahnecke Weymar AULA 02 Equações diferenciais de primeira ordem Fonte: Boyce, Bronson, Zill, diversos

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Equaes Diferenciais OrdinriasProf. Guilherme Jahnecke Weymar

AULA 02Equaes diferenciais de primeira ordem

Fonte:Boyce, Bronson, Zill, diversos internet, Material Prof. Dr. Daniela Buske

1ED 1 ordemAs equaes diferenciais ordinrias de 1 ordem so equaes que podem ser escritas como

Vamos estudar equaes de primeira ordem que podem ser escritas na forma (1.1)

Uma soluo (particular) de uma ED (1.1) em um intervalo I uma funo y(t) definida no intervalo I tal que a sua derivada y(t) est definida no intervalo I e satisfaz a eq. (1.1) neste intervalo.

2ED 1 ordemO problema

(1.2)

chamado problema de valor inicial (PVI). Uma soluo do PVI (1.2) em um intervalo I uma funo y(t) que est definida neste intervalo, tal que a sua derivada tambm est definida neste intervalo e satisfaz (1.2)

3ED 1 ordemQuando resolvemos uma EDO de 1 ordem normalmente obtemos uma famlia de solues que dependem de uma constante arbitrria.

Se toda soluo particular puder ser obtida da famlia de solues que encontramos por uma escolha apropriada da constante dizemos que a famlia de solues a soluo geral da equao.4A equao

pode ser resolvida por integrao direta obtendo

que a soluo geral da equao diferencial dada.ED 1 ordemExemplo:

5ED 1 ordemEquaes lineares de primeira ordem:1 Caso: Equaes em que p(t)=0:As equaes lineares de 1 ordem so equaes que podem ser escritas como

Se a funo p(t)=0 a equao anterior torna-se

(1.3)

e fcil de resolver integrando-se os dois lados. Assim a soluo geral desta equao dada por:

6A equao

pode ser resolvida por integrao direta obtendo

que a soluo geral da equao diferencial dada.ED 1 ordemExemplo:

7ED 1 ordemEquaes lineares: (caso geral)A seguir veremos vrias tcnicas de se encontrar solues de equaes de 1 ordem que se baseiam em transformar a eq. inicial em uma eq. do tipo (1.3).

Vamos considerar equaes da forma

(1.4)Vamos definir uma funo auxiliar de forma que ao multiplicarmos a eq. por esta funo a eq. resultante do tipo (1.3) que j resolvemos anteriormente. Considere a funo:

Esta funo chamada fator integrante da equao linear.

OBS.:Mostraremos adiante porque esta funo deve ter esta forma.

8ED 1 ordemObserve que

(1.5)

Multiplicando-se (1.4) por , obtemos

(1.6)

9que pode ser reescrita usando (1.5) como:

mas o lado esquerdo desta equao a derivada de um produto, assim:

(1.7)

ED 1 ordem

A equao (1.7) uma equao do tipo (1.3), i.e.,

em que e . . Assim a soluo geral de (1.7) :

Como , dividindo-se a eq. anterior por obtemos que a soluo geral de (1.4) dada por

10ED 1 ordemExemplo: Considere a equao

O fator integrante :

Multiplicando-se a equao acima por obtemos:

O lado esquerdo igual a derivada do produto . Logo a equao acima equivalente a:

Integrando-se obtemos:

Explicitando y(t) temos que a soluo geral da ED :

11(1.8)ED 1 ordemExemplo: Determinar o intervalo de validade da soluo do PVI

Observe que a equao a mesma do exemplo anterior.Substituindo-se t = 2 e y = 3 em (1.8) obtemos

E assim a soluo do PVI

Observe que a soluo deste PVI vlida no intervalo (0,). Se no lugar de y(2)=3 fosse y(-2)=3 a soluo seria a mesma, mas o intervalo de validade da soluo seria (-,0).12ED 1 ordem

Esboo do grfico dos 2 exemplos anteriores:13ED 1 ordem

O grfico dos 2 exemplos anteriores:14ED 1 ordemPor que o fator integrante deve ser ?

Vamos mostrar como podemos chegar ao fator integrante .

O fator integrante deve ser uma funo que satisfaz a equao diferencial

Supondo-se , vamos multiplicar esta equao por obtendo:

que pode ser escrita como

que, pela regra da cadeia, equivalente a

15ED 1 ordemque uma equao do tipo (1.3) que pode ser resolvida simplesmente integrando-se ambos os membros obtendo:

Aplicando-se a exponencial a ambos os membros obtemos:

Como estamos interessados em apenas um fator integrante podemos tomar C=1 e assim:

16Exerccios:17

Exerccios:18Exerccios:19