Equações Diferenciais Parciais 1/2

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Text of Equações Diferenciais Parciais 1/2

  • Notas de Aula

    Equacoes Diferenciais Parciais I/II

    Rodney Josue Biezuner 1

    Departamento de MatematicaInstituto de Ciencias Exatas (ICEx)

    Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

    Notas de aula dos cursos Equacoes Diferenciais Parciais I e II do Programa de Pos-Graduacao em Matematica.

    Ilustracoes por Adson Martins Meira

    6 de outubro de 2010

    1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/rodney.

  • Sumario

    0 Introducao 50.1 Leis de Conservacao e Relacoes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    0.1.1 Lei de Conservacao Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.1.2 Lei de Conservacao em Varias Dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.1.3 Relacoes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.1.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1 Equacoes de Primeira Ordem Lineares 121.1 Lei de Conservacao da Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.1.1 Equacao da Continuidade: O Caso Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 O Caso Nao-Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.2 Equacoes de Primeira Ordem Linear com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 O Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3 O Caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4 O Problema Nao-homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.3 Equacoes de Primeira Ordem Linear com Coeficientes Variaveis e o Metodo das Caractersticas 201.3.1 O Caso Unidimensional: Problema Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 O Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.3 O Caso Unidimensional: Problema Nao-homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.4 O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2 Equacoes de Primeira Ordem Nao-Lineares 372.1 Equacoes Quasilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.1.1 O Metodo das Caractersticas para Equacoes Quasilineares Bidimensionais . . . . . . 382.1.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.3 O Problema de Cauchy para Equacoes Quasilineares Bidimensionais . . . . . . . . . . 422.1.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.2 Equacoes Nao-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.1 A Abordagem da Derivada Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.2 A Abordagem Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.3 Existencia de Solucoes e Condicoes para a Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3 Solucoes Fracas e Choques 603.1 Propagacao de Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2 Condicao de Salto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.2.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3 Solucoes Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    1

  • Rodney Josue Biezuner 2

    3.4 Existencia e Unicidade de Solucoes Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.1 Condicoes para a Unicidade de Solucoes: Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.2 Unicidade de Solucoes que satisfazem a Condicao de Entropia . . . . . . . . . . . . . . 723.4.3 Solucoes de Viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4 Resolucao de Equacoes Diferenciais Parciais atraves de Series de Potencias 774.1 O Problema de Cauchy para Equacoes Diferenciais Parciais de Segunda Ordem . . . . . . . . 77

    4.1.1 Problema de Cauchy e Curvas Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.2 Classificacao das Equacoes Quasilineares de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . 79

    4.2 O Problema de Cauchy para Equacoes Diferenciais Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . 814.2.1 Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.3 O Problema de Cauchy e Superfcies Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.3 O Teorema de Cauchy-Kowalevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3.1 Funcoes Analticas Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.3 O Teorema de Cauchy-Kowalevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    4.4 O Teorema de Unicidade de Holmgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4.1 Caracterizacao de Funcoes Analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4.2 O Teorema de Unicidade de Holmgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.4.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    5 Equacao de Laplace 995.1 Funcoes Harmonicas e as Propriedades do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 Princpio do Maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3 Desigualdade de Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4 Solucao da Equacao de Laplace atraves de Funcoes de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    5.4.1 Solucao Fundamental da Equacao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.4.2 Funcao de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.4.3 Solucao da Equacao de Poisson em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.4.4 Propriedades da Funcao de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4.5 Solucao da Equacao de Laplace em Bolas Formula Integral de Poisson . . . . . . . . 1145.4.6 Mais Propriedades das Funcoes Harmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    5.5 Existencia de Solucao para o Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.6 Singularidades de Funcoes Harmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.7 Transformada de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    6 Equacoes Diferenciais Parciais Elpticas de Segunda Ordem 1356.1 Princpio do Maximo Fraco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.2 Lema de Hopf e Princpio do Maximo Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.3 Princpios do Maximo Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4 Simetria de Solucoes: Metodo dos Planos Moveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    7 Equacao do Calor 1497.1 Nucleo do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.2 Solucao do Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    7.2.1 O Caso Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.2.2 O Caso Nao-Homogeneo - Princpio de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.2.3 O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

  • Rodney Josue Biezuner 3

    7.3 O Princpio do Maximo e Unicidade de Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.3.1 O Princpio do Maximo em Domnios Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.3.2 O Princpio do Maximo em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    7.4 Regularidade de Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    8 Equacao da Onda 1598.1 Solucao atraves de Medias Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    8.1.1 Solucao para n mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.1.2 Solucao para n par Metodo da Descida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    8.2 Solucao do Problema Nao-Homogeneo Princpio de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.3 Unicidade de Solucoes atraves de Metodos de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    9 Equacao de Poisson 1679.1 O Potencial Newtoniano e Continuidade de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679.2 O Problema de Dirichlet para a Eq