EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E SUAS APLICAÇÕES .A Equação da Onda é um dos diversos problemas

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Departamento de Matemtica

EQUAES DIFERENCIAIS PARCIAIS E SUAS APLICAES

Aluno: Marcello Congro Dias da Silva

Orientador: Carlos Frederico Borges Palmeira

Introduo

Dentro da Matemtica Aplicada, as Equaes Diferenciais tm um papel relevante

na ligao e interao com outras Cincias, desde sua origem em problemas ligados

Fsica e recentemente como ferramenta indispensvel Biologia com todas suas

ramificaes, compartilhando amplamente com alguns ramos da Engenharia, Qumica, e

Economia.

Em geral, uma equao diferencial envolve derivadas de uma ou mais variveis

dependentes (chamadas de incgnitas), em uma ordem a uma ou mais variveis

independentes. Existem fundamentalmente dois tipos de equaes diferenciais: (i) as

equaes diferenciais ordinrias (EDOs), que envolvem derivadas de uma ou mais

variveis dependentes em ordem a uma nica varivel independente, isto , variam

somente com relao a uma varivel, e (ii) as equaes diferenciais parciais (EDPs), que

envolvem derivadas parciais de uma ou mais variveis dependentes em ordem a mais do

que uma varivel independente, isto , variando com relao a duas ou mais variveis.

As equaes diferenciais parciais (EDPs), por sua vez, constituem outra

importante ferramenta para a resoluo de uma srie de problemas nos mais amplos

ramos anteriormente exemplificados, sendo comumente utilizadas para descrever

fenmenos tais como a Equao da Onda e a Equao do Calor, desde que impostas s

condies de contorno relativas a cada um dos casos em particular. muito importante

que, para o estudo eficiente das EDPs, seja necessrio dominar os conceitos e

propriedades bsicas das EDOs, pois, na maioria das vezes, faz-se a tentativa de

transformar a equao diferencial parcial em uma ou mais equaes diferenciais

ordinrias, simplificando os clculos para chegar-se soluo do problema.

Desta forma, a motivao para este projeto surgiu na busca por compreender de

forma abrangente alguns fenmenos da natureza que so modelados pelas equaes

diferenciais parciais. Neste sentido, tornou-se necessrio o estudo mais aprofundado a

respeito das EDPs, observando suas propriedades, caractersticas e posteriores

aplicaes em alguns ramos cientficos, principalmente relacionados Engenharia.

Entretanto, em algumas reas da Engenharia, comum deparar-se com equaes

diferenciais parciais que regem o fenmeno fsico, mas cujas solues analticas

envolvem casos de contorno e geometria bastante complicadas ou at mesmo

impossveis de serem resolvidas. Nestes casos, comum recorrer s solues

aproximadas obtidas por meio da aplicao de mtodos numricos. O objetivo

encontrar uma soluo numrica bastante prxima da soluo exata do problema,

visando sempre diminuir o erro (ou seja, a diferena) entre as duas solues, de tal

forma que o mtodo possa ser considerado vlido. Inmeros so os mtodos numricos

utilizados nos dias de hoje para soluo de problemas cientficos, podendo atuar

diretamente ou indiretamente sobre a equao diferencial que modela o problema real.

Um dos mais popularmente utilizados e tambm estudado durante a realizao deste

trabalho o Mtodo das Diferenas Finitas (MDF).

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Objetivos

O objetivo central deste trabalho consiste no estudo das equaes diferenciais

parciais, visando adquirir os conhecimentos necessrios para compreender alguns

fenmenos fsicos que so regidos por esta rea. Posteriormente, foram observadas

algumas aplicaes na Engenharia a respeito do tema, tais como a Equao do Calor, a

Dinmica de Populaes e a Engenharia Estrutural. Nesta ltima, em especial, as

formulaes tornam-se complexas e necessitam da aplicao dos chamados mtodos

numricos, que visam obter resultados de aproximao das solues analticas com alta

preciso.

Metodologia

Foram realizadas reunies semanais com o orientador para discusso dos tpicos

e exerccios de aplicao a respeito das equaes diferenciais parciais, seguindo o

contedo exposto no livro EDP Um curso de Graduao, de Valria Irio.

1) Equaes Diferenciais Parciais Definies e Propriedades Fundamentais

Uma equao diferencial parcial (EDP) uma equao envolvendo duas ou mais

variveis independentes e derivadas parciais de uma funo (varivel

dependente) ( ) De maneira mais precisa, uma EDP em n variveis

independentes uma equao que apresenta o seguinte formato:

( , ...,

,

) (1)

onde ( , ..., ) sendo um subconjunto aberto de , F uma funo dada

e ( ) a funo que quer-se determinar. Uma diferena importante entre EDOs e EDPs a informao suplementar

necessria para a unicidade de soluo. Por exemplo, na soluo de uma EDO linear,

tem-se uma ou mais constantes arbitrrias: podemos determinar estas constantes

impondo condies iniciais, isto , fixando os valores da soluo e de suas derivadas at

certa ordem em um determinado ponto; podemos tambm obter unicidade no caso de

intervalos finitos, impondo condies nos extremos dos intervalores, as chamadas

condies de contorno. A situao para as EDPs fundamentalmente diferente: mesmo

no caso linear, a soluo geral (quando possvel determin-la), envolve funes

arbitrrias das variveis independentes, de modo que existe um grau de generalidade

muito maior com relao forma da soluo. O espao das variveis independentes ,

neste caso, multidimensional: procuramos solues definidas em um aberto . Outra propriedade fundamental para o estudo das equaes diferenciais parciais

o Princpio da Superposio, que baseia a aplicao do Mtodo de Separao de

Variveis de EDPs, conforme veremos adiante.

Seja L um operador diferencial parcial linear de ordem k cujos coeficientes esto

definidos em um aberto . Suponha que * + um conjunto de funes de

classe Ck

em satisfazendo a EDP linear homognea Lu = 0. Ento, se * + uma

sequncia de escalares tal que a srie

( )

( )

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convergente e k vezes diferencivel termo a termo em , ento u satisfaz Lu = 0. A teoria de EDPs lineares de primeira ordem com duas variveis independentes

mais semelhante teoria de EDOs do que a de EDPs. De fato, esta semelhana com

as equaes diferenciais ordinrias que nos permitir achar a soluo geral de tais

equaes. Vamos considerar o operador diferencial linear de primeira ordem

( )

( )

( ) (2)

isto ,

( ) ( ) ( ) , (3)

onde estudar-se- a equao:

( ) (4)

em um aberto , supondo que a, b, c, d ( ). A ideia do mtodo a resolver tal equao bem simples: para resolver a equao (4) acima descrita, procuraremos uma

mudana de varivel ( ) ( ) que a transforme em uma equao onde s aparea a derivada em relao a uma das variveis (que escolheremos s), o que nos

permitir resolver a equao como uma EDO, fixando a outra varivel (que, neste caso,

ser t).

2) O Problema de Cauchy e as Solues Caractersticas

Em Equaes Diferenciais, um problema de Cauchy (tambm chamado problema de

valor inicial ou PVI) consiste em resolver uma equao diferencial sujeita a certas

condies iniciais sobre a soluo quando uma das variveis que a definem toma um

determinado valor para modelar as condies do sistema em um determinado ponto

especfico.

Nesta seo, ser analisado o problema de Cauchy para equaes que apresentam o

seguinte formato:

( ) ( ) ( ) (5)

Note que a funo incgnita u aparece apenas na parte principal da equao acima,

simplificando notoriamente a sua resoluo. Conforme estudado, existe uma relao

entre uma curva plana inicial e a regio aberta , onde no apenas queremos provar a existncia, mas tambm a unicidade da soluo: a regio tem que ser coberta por curvas caractersticas planas que insersectam a curva em exatamente um ponto. Facilitando a operacionalidade dos clculos, preciso parametrizar tal curva por

( ) ( ( ) ( )) onde I um intervalo aberto (podendo este ser finito ou infinito). Com isto, possvel escrever o problema com o seguinte formato:

( ) ( ) ( )

( ( ) ( )) ( ) (6)

Algumas hipteses adicionais devem ser levadas em conta ao enunciarmos o

problema:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencialhttps://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencialhttps://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Condi%C3%A7%C3%A3o_inicial&action=edit&redlink=1

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(a) A curva inicial plana uma curva suave, isto , as funes , so continuamente diferenciveis em I e ( ) ( )

(b) ( ) (c) ( ) e as funes a e b no se anulam simultaneamente em , onde

um aberto contendo .

Para resolver o problema, necessrio determinar quais as curvas caractersticas

planas da equao. As curvas caractersticas so aquelas ao longo das quais a EDP pode

ser escrita como uma derivada total. Se C uma curva caracterstica plana

parametrizada por ( ( ) ( )), ento a derivada to