Equações Diferenciais Parciais - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseEDP.pdf · Ordem & Linearidade Ordem: é dada pela derivada parcial de maior ordem que ocorre na EDP Linear:

Equações Diferenciais Parciais .

Margarete Oliveira Domingues

PGMET/INPE

EDP – p.1/23

Definições Básicas

EDP – p.2/23

EDP

Uma equação de derivadas parciais ou EDP é umaequação envolvendo duas ou mais variáveisindependentes ��

�� e derivadas parciais de umafunção (variável dependente) � � ��

��

�

Forma geral

� ��

� ��

� � �

� ��

��

��

em que � � � � � � � ��

,

�

é um subconjunto aberto

de

��

,

�

é uma função e � � � � é a função a ser deter-

minada.EDP – p.3/23

Ordem & Linearidade

Ordem: é dada pela derivada parcial de maior ordem queocorre na EDP

Linear: Apenas se é de primeiro grau em � e em todas assuas derivadas parciais

EDP – p.4/23

EDP linear de 1a. ordem

Forma geral de uma EDP linear de 1a. ordem

��

� � � � � � � � � � � � ��

em que alguns � � são não nulos.

Exemplo:

��

EDP – p.5/23

EDP linear de 2a. ordem

Forma geral de uma EDP linear de 2a. ordem

��

��

� � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � ��

em que alguns � �� são não nulos.

Exemplo:

��

� ��

se � é contínua e diferenciável � ��

EDP – p.6/23

No caso de EDP’s ocorrem situações muitomais gerais do que no caso de EDO’s

EDP – p.7/23

Condições de contorno: Dirichet &Newman

Condições de Dirichet

� � � � � � � � � � � �

Condição de Newman

� � ��

em que ��

são constantes e

� � � é uma função dadaem

� �

e

�� é a derivada de � na direção normal a

� �

.

EDP – p.8/23

Condições iniciais: Cauchy

Pode–se generalizar o conceito de condições iniciaisimpondo o valor da solução e suas derivadas normaisao longo de uma curva (se � �

) ou superfície (se� �

) inicial;

o problema correpondente é um problema de Cauchyou de valor inicial.

EDP – p.9/23

EDP semilineares

EDP – p.10/23

Parte principal da EDP

A parte da EDP que contém as derivadas de maiorordem denomina-se a parte principal

A parte principal está relacionada com aspropriedades das soluções

��

��

EDP – p.11/23

Equações semi–lineares

Dentre as equações não lineares, as que têm parteprincipal linear são chamadas semi–lineares

Exemplos:EDP de 1a. ordem semi–linear

��

EDP de 2a. ordem semi–linear

��

� ��

� ��

��

EDP – p.12/23

EDP de 2a. ordem semi–linear(Exemplos)

Equação de Korteweg e de Vreis (KDV)

��

EDP semilinear de 3a. ordemmodela solitons, ou ondas solitárias, é usada emdiversas aplicações como o fenômeno atmosféricomorning glory.

Equação de Burgers��

são uma EDP semilinear de 3a. ordemmodelam ondas de shock, caso linear associado éa equação de advecção.

EDP – p.13/23

Classificação EDP 2a. ordem semi-lineares

EDP – p.14/23

Analogia com as cônicas

Uma EDP semi-linear de segunda ordem com duasvariáveis independentes é da forma

��

A parte principal é o operador�

� � ��

EDP – p.15/23



��


� � ��

Supondo que ��

� ��

� �� são contínuas em um

aberto em� �

e que não se anulam simultaneamente.

EDP – p.15/23



��


� � ��

Discriminate

� �� do aberto no

�

� ��

��

EDP – p.15/23



��


� � ��

O operador

�

é a EDP são ditos

parabólico em

�� do aberto se

� ��

hiperbólico em

�� do aberto se

� ��

elíptico em

�� do aberto se

� ��

EDP – p.15/23

Equação do Calor (EDP parabólica)

��

� � ��

� � ��

�

� � ��

�� é uma constante

�

é o Laplaciano em��

.

equação de 2a. ordem linear

Exemplo em 1D

��

EDP – p.16/23

Equação da Onda (EDP hiperbólica)

��

� � ��

� � ��

�

� � ��

� �

é uma constante que representa a velocidade depropagação da onda

�

é o Laplaciano em

��

.

equação de 2a. ordem linear

Exemplo em 1D

��

EDP – p.17/23

Equação de Poisson (EDP Elíptica)

� � �� equação linear de 2a. ordem

Se h(x,y)=0 tem -se a Equação de Laplace

� � � �

EDP – p.18/23

Método de separação de variáveis

� ��

EDP – p.19/23

Separação de variáveis

Equação do calor

��

� � � � ��

� � �

cond. inicial � ��

��

cond. contorno � ��

� � ��

� � �

EDP – p.20/23


Equação do calor

��

� � � � ��

� � �


��


� � ��

� � �

Considerando � ��

��

� � ��

��

� ��

� � ��

��

� �� constante

EDP – p.20/23


Equação do calor

��

� � � � ��

� � �


��


� � ��

� � �

Então, basta solucionar

� � ��

e calcular � ��

.

EDP – p.20/23

Princípio da superposição

EDP – p.21/23

EDP lineares 1a. e 2a. ordem

Seja

�

um operador diferencial parcial linear de ordem kcujos coeficientes estão definidos em um aberto contidono

��

� � �

EDP – p.22/23


Seja

�

um operador diferencial parcial linear de ordem kcujos coeficientes estão definidos em um aberto contidono

��

� � �Exemplo: ordem 2

� � � � � �

��

��

� � � � � � � � � ��

EDP – p.22/23


Suponha que

� � ��

� � é um conjunto de funções de classe

� �

nesse aberto satisfazendo a EDP linear homogenea

� � �Então, se

� � ��

� � é uma seqüência de escalares tal quea série

� � �

��

� � � � � �

é convergente e�

vezes diferenciável termo a termo nesseaberto, u satisfaz

� � �

EDP – p.22/23

Fim do Tomo

EDP – p.23/23

Documents

Equações Diferenciais Parciais - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseEDP.pdf · Ordem & Linearidade Ordem: é dada pela derivada parcial de maior ordem que ocorre na EDP Linear: