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Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

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Page 1: Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

Equações do 1º grau a 2 incógnitas

Sistemas de equações

Page 2: Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

Será que (1,2) é solução da equação 2x + y = 4 ?

Logo o par (1,2) é solução da equação.

Um par ordenado é dito solução se verificar a equação.

Noção de solução…

2 1 2 4

2 2 4

4 4 Verdadeiro

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Solução de um sistema…

O processo é igual ao anterior porém o par tem de verificar as duas equações.

Será que (1,2) é solução do sistema ?

2 5

2 0

x y

x y

1 2 2 5 5 5

2 1 2 0 0 0Verdadeiro

Logo o par (1,2) é solução do sistema.

Page 4: Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

1º passo – Escrever o sistema na forma canónica.

Exemplo:

Resolução de sistemas - Método da substituição

23 1

21

3 2 3

y xy x

x yx

O que é que podemos fazer?

Desembaraçar de parêntesis e de seguida de denominadores. As equações são independentes pelo que se pode ir trabalhando as duas em simultâneo.

223 1

6 6 2 2 8 5 23 3 122

1 2 3 6 2 8 3 22 3 2 6

3 2 3

y xy xy x

y x y x x yy x

x y x y x x yx y xx

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E agora? Qual o processo que devo adoptar?

Não há regras estanques para resolver sistemas, no entanto, há técnicas que ajudam a manter o raciocínio alerta e orientam a resolução do problema.

1º passo – Escolher uma equação e uma incógnita e resolver essa equação em ordem a essa incógnita.

2º passo – Substituir o valor dessa incógnita na outra equação.

3º passo – Resolver essa segunda equação até encontrar o valor dessa incógnita (se possível).

4º passo – Substituir o valor obtido no passo anterior na outra equação.

5º passo – Encontrar o valor da outra incógnita e tirar as conclusões devidas.

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Método da substituição em 6 passos (1+5)

Depois de escrever o sistema na forma canónica passemos à sua resolução. Para isso aproveitemos o exemplo anteriormente abordado.

Passo 0 – Escrever o sistema na forma canónica:

223 1

6 6 2 2 8 5 23 3 122

1 2 3 6 2 8 3 22 3 2 6

3 2 3

y xy xy x

y x y x x yy x

x y x y x x yx y xx

2 38 5 2 16 24

8 5 2 _________ 5 288

8 3 2 8 2 3 2 3 _______________8

216 24 40 16 16 16 16 2

. . 1,22 3 2_______________ ___________ 1

8

yy y

x y y

x y x y yx

yy y y y

C Sxx

Page 7: Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

Possível

Impossível

(Tem pelo menos uma solução)

Determinado

Classificação de sistemas

(Não tem solução)

Indeterminado

(Tem uma só solução)

(Tem uma infinidade de soluções)

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Resolve graficamente o sistema:

Resolução de sistemas – Método Gráfico

4

2 7

y x

x y

44 4

72 7 2 7

2

y xy x y x

xx y y x y

Resolve cada uma das equações em ordem a y:

Page 9: Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

Resolução de sistemas – Método Gráfico

4

72

y x

xy

Construa-se uma tabela referente a cada uma das equações:

x y = x - 4

1 1 – 4 = -3

2 2 – 4 = -2

x

1 3

3 2

72x

y

y

x

SOLUÇÃO( 5 ; 1 )

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Resumindo…

O ponto de intersecção das rectas é a solução do sistema.

Exercício:

Propõe representações gráficas que ilustrem todas as hipóteses das classificações de sistemas.

Page 11: Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

Exemplos…

Possível

Impossível

(Tem pelo menos uma solução)

Determinado

(Não tem solução)

Indeterminado

(Tem uma só solução)

(Tem uma infinidade de soluções)

y

x

y

x

y

x

Page 12: Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

Resolução de sistemas – Método Gráfico

4 44 4 4

22 2 2 2 2 2 1

2 2

y x y xx y y x y x

x xx y y x y x y y

x y = x - 4

1 1 – 4 = -3

2 2 – 4 = -2

x

2 0

4 1

12x

y

y

x

SOLUÇÃO

( 6 ; 2 )

Page 13: Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

Resolução de sistemas – Método Gráfico

1 1 1

2 2 2

x y y x y x

y x y x y x

x y = x – 1

1 1 – 1 = 0

2 2 – 1 = 1

x y = -2x

1 -2

2 -.4

y

x

SOLUÇÃO

( ? ; ? )

Para ter a certeza da solução – Método da

Substituição

Page 14: Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações

Resolução de sistemas – Método Gráfico

2 11 2 1 3 1

2 ________ ________________

1 11 23 3 . . ;3 31 2

23 3

x xx y x x x

y x

x xC S

y y