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Equações do 2º Equações do 2º grau grau

Equações do 2º grau Uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na forma com a, b e c IR e

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Equações do 2º grauEquações do 2º grauEquações do 2º grauEquações do 2º grau

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Uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na forma

com a, b e c IR e

02 cbxax

0a

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Dizemos que uma equação do 2º grau está na forma canónica se está escrita na forma

com a, b e c IR e

02 cbxax

0a

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Observa que:

a representa o coeficiente de  x²;b representa o coeficiente de x;c representa o termo independente.

Exemplos:

x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0.

x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.

02 cbxax

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Exemplos

352 2 xx

1223 2xxx

1223 22 xxx

É uma equação

do 2º grau

01232 22 xxx

0332 xx

0352 2 xx

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Exemplo

22

2

251

2

43x

xxxx

222

2

1051

2

43x

xxxx

222 2105243 xxxxx

02104253 222 xxxxx

026 x

1(×2) 1(×2)

É uma equação do 1º grau

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Exemplos de equações do 2º grau:

0342 2 xx

054 2 xx

0362 x

a=2, b=4 e c=3

a=4, b= -5 e c=0

a=1, b=0 e c= -36

Equação do 2º grau completa

Equações do 2º grau incompletas

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Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero.

Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)

x² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3. -2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4.

Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)

3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2. x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.

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Resolução de equações do 2º grau incompletas

(Revisões do 8º ano)

Problema 1: Determina o perímetro de um triângulo rectângulo de catetos 6 cm e 8 cm.

Resolução:1º) Desenhar o triângulo rectângulo e equacionar o problema. x

6

8

222 86 x

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1010

100100

100

6436

86

2

2

222

xx

xx

x

x

x

2º) Resolver a equação do 2º grau incompleta

3º) Verificar se a ou as soluções da equação

são ou não solução do problema.

4º) Dar resposta ao problema

R: O perímetro do triângulo é 10cm + 6cm + 8cm = 24cm

-10 não é solução do problema

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Resolução de equações do 2º grau incompletas

(Revisões do 8º ano)

Problema 2: Resolve a seguinte equação, aplicando a Lei do Anulamento do Produto:

042 xxRecorda:

Lei do Anulamento do Produto – Um produto é zero se e só se um dos seus factores for nulo, isto é,

000 baba

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Resolução:1º) Factorizar o 1º

membro;

2º) Aplicar a Lei do Anulamento do Produto;

3º) Resolver cada uma das equações do 1º grau e determinar o conjunto-solução

042 xx

04xx

040 xx

40 xx

40,.. SC

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Observação:

Para resolver equações do 2º grau

incompletas, aplicando a lei do anulamento

do produto, é necessário que o 2º membro

da equação seja 0 (zero) e que o 1º

membro da equação seja um produto.

Para isso, deves rever a factorização de

polinómios que aprendeste no 8º ano e

recordar os Casos Notáveis da Multiplicação.

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Por aplicação dos casos notáveis da multiplicação é possível resolver equações de 2.º grau completas, transformando-as num produto de equações de 1.º grau e aplicar a Lei do Anulamento do produto.

Repara no seguinte exemplo:

(x + 4)(x + 4) = 0 01682 xx

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02 cbxax

02

a

cx

a

bx

2

2

a

b

222

22 a

b

a

c

a

bx

a

bx

a

c

a

b

a

bx

a

bx

2

222

42

a

c

a

b

a

bx

2

22

42

Dividir ambos os membros da equação por a ≠ 0

Adicionar a ambos os membros da equação

Passar para o 2º membro o termoa

c

Factorizar o 1º membro da equação, usando os casos notáveis da multiplicação

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2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

a

acbbx

2

42

a

c

a

b

a

bx

2

22

42

Fórmula ResolventeFórmula Resolvente

Reduzimos o 2º membro ao mesmo denominador e escrevemos na forma de uma única fracção

2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

Retiramos o quadrado do 1º membro com a noção de raiz quadrada

Isolamos a incógnita x e calculamos a raiz do denominador

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Para resolver uma equação do 2º grau, basta aplicar a fórmula resolvente, isto é:

com a , b e c IR e a ≠ 0

02 cbxaxa

acbbx

2

42

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Vejamos um exercício prático:• Exercício 1:

020142 2 xx

22

20241414 2

x

Aplicando a F.R.

4

16019614 x

4

3614x

4

614

4

614

4

614xxx

254

8

4

20 xxxx

5,2.. SC

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Δ > O Δ = O Δ < O

O valor de √Δ é real e a

equação tem duas raízes

reais diferentes, assim

representadas:

O valor de √Δ é nulo e a

equação tem duas raízes

reais e iguais, assim

representadas:

O valor de √Δnão existe em

IR, não existindo,

portanto, raízes reais.

x’ = - b + √Δ 2a

x” = - b - √Δ 2a

x’ = x” = -b 2a

As raízes da equação não são números

reais.

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