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Equações Integrais de Volterra em Escalas

Temporais

Iguer Luis Domini dos Santos

Symposium in Real Analysis XXXVII

Junho de 2013

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Introdução

I Cálculo em escalas temporais: introduzido por (Hilger, 1988) parauni�car o cálculo de diferença e o cálculo diferencial.

I Aplicações em modelagem matemática: (Agarwal et al., 2002);(Bohner and Peterson, 2003).

I Inclusões Dinâmicas: (Akin-Bohner and Sun, 2011); (Frigon andGilbert, 2011); (Santos and Silva, 2013).

I Cálculo das Variações: (Bohner, 2004); (Hilscher and Zeidan,2004); (Malinowska et al., 2011).

I Teoria do Controle: (Hilscher and Zeidan, 2011); (Liu et al., 2011);(Peng et al., 2011).

I Programação Dinâmica: (Hilscher and Zeidan, 2012); (Zhan et al.,2009).

I Equações Integrais de Volterra: (Adivar and Ra�oul, 2010); (Kulikand Tisdell, 2008); (Pachpatte, 2009).

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Equações delta integrais

Com base em (Burton, 2005), (Kulik and Tisdell, 2008) estudam

x(t) = f (t) +

∫[a,t)T

k(t, s, x(s))∆s (1)

x(t) = f (t) +

∫[a,t)T

k(t, s, x(σ(s))∆s (2)

onde t ∈ T.Existência de soluções supondo:

I k : [a,∞)2T × Rn → Rn contínua na primeira e terceira variável erd-contínua na segunda variável.

I‖k(t, s, p)− k(t, s, q)‖ ≤ L‖p − q‖

∀ (t, s) ∈ [a,∞)2T, (p, q) ∈ R2n.

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Preliminares

Usamos as convenções:

I se x ∈ Rn denotamos a norma euclidiana de x por ‖x‖.

I se A,T ⊂ R, tem-se AT := A ∩ T.

I Uma escala temporal T ⊂ R é um conjunto não-vazio e fechado.

I Usaremos uma escala temporal T compacta, sendo a = minT eb = maxT.

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

De�nição

De�ne-se σ : T→ T como

σ(t) = inf{s ∈ T : s > t}.

Estamos supondo que inf ∅ = supT.

Lema (Cabada and Vivero, 2006)

Existem I ⊂ N e {ti}i∈I ⊂ T tal que

RS := {t ∈ T : t < σ(t)} = {ti}i∈I .

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Integração em escalas temporais

I A σ-álgebra de subconjuntos de T será denotada por ∆.

I ∆ é constituída de conjuntos ∆-mensuráveis.

I Para funções f : T→ R a noção de integração pode ser encontradaem (Bartle, 1995), (Royden, 1968) e (Rudin, 1987).

Denotamos a integral de uma função f : T→ R sobre E ∈ ∆ por∫E

f (s)∆s.

I Chamamos essa integral de ∆-integral de Lebesgue de f sobre E .

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Integração

I Denotaremos por L1(E ,Rn) o conjunto das funções f : T→ Rn

∆-integráveis sobre E .

I Dada uma função f : T→ Rn de�na f : [a, b]→ Rn por

f (t) =

{f (t), t ∈ Tf (ti ), t ∈ (ti , σ(ti )) para algum i ∈ I ,

onde I ⊂ N e {ti}i∈I = RS .

I Seja E ⊂ T e de�na

E = E ∪⋃i∈IE

(ti , σ(ti ))

ondeIE := {i ∈ I : ti ∈ E ∩ RS} .

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Teorema (Cabada and Vivero, 2006)

Seja E ∈ ∆ tal que b 6∈ E. Então, f ∈ L1(E ,Rn) se, e somente se,

f ∈ L1(E ,Rn) . Neste caso,∫E

f (s)∆s =

∫E

f (s)ds.

Teorema

Sejam ϕ : [t0, t1]→ [0,+∞) Lebesgue integrável e ψ : [t0, t1]→ [0,+∞)contínua. Suponha que

ϕ(t) ≤ K + L

∫ t

t0

ψ(s)ϕ(s)ds

para todo t ∈ [t0, t1], com K ≥ 0 e L ≥ 0. Então

ϕ(t) ≤ K exp L

∫ t

t0

ψ(s)ds

para todo t ∈ [t0, t1].Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Existência de soluções

I g : T× T× Rn → Rn e f : T→ Rn.

Consideramos

x(t) = f (t) +

∫[a,t)T

g(t, s, x(s))∆s (3)

x(t) = f (t) +

∫[a,t)T

g(t, s, x(σ(s))∆s (4)

onde t ∈ T e x : T→ Rn é a função incógnita.

I A existência de soluções contínuas para (4) pode ser encontrada em(Kulik and Tisdell, 2008).

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Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Existência

Teorema

Sejam L e k números positivos. Suponha que

a) f é uma função contínua.

b) g é contínua em

U = {(t, s, x) : s, t ∈ T e |x − f (s)| ≤ k}

c) g satisfaz a condição de Lipschitz com relação a x

|g(t, s, x)− g(t, s, y)| ≤ L|x − y |

em {(t, s, x) : a ≤ s ≤ t ≤ b e |x − f (s)| ≤ k}.Se M = maxU |g(t, s, x)|, então existe b1 ∈ T \ {a} tal que a equaçãointegral (3) tem uma única solução contínua no intervalo [a, b1]T.

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Demonstração.

Se σ(a) > a tome b1 = σ(a). Logo a função x : [a, b1]T → Rn dada porx(a) = f (a) e x(b1) = (b1 − a)g(b1, a, f (a)) + f (b1) é uma solução paraa equação ??.Se σ(a) = a seja b1 ∈ T tal que b1 > a, (b1 − a)L < 1 e (b1 − a) ≤ k

M.

Se C ([a, b1]T,Rn) é o conjunto de todas as funções contínuas comdomínio [a, b1]T e contradomínio Rn munido da norma do máximo, sejaF dado por

F = {ψ ∈ C ([a, b1]T,Rn) : ‖ψ − f ‖∞ ≤ k}.

De�na o operador T : F → F por

T (ψ)(t) = f (t) +

∫[a,t)T

g(t, s, ψ(s))∆s.

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Continuidade de soluções

Sejam x(t) e y(t) soluções das equações

x(t) = f1(t) +

∫[a,t)T

g(t, s, x(s))∆s (5)

e

y(t) = f2(t) +

∫[a,t)T

g(t, s, y(s))∆s (6)

em T, com ‖f1 − f2‖∞ ≤ δ, então para g de Lipschitz devemos ter‖x − y‖∞ ≤ ε.

Hipóteses:

I f1, f2 : T→ Rn e g : U → Rn funções contínuas, com

U = {(t, s, x) : a ≤ s ≤ t ≤ b, x ∈ Rn}.

I Existe L > 0 tal que |g(t, s, x)− g(t, s, y)| ≤ L|x − y | em U.

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Teorema

Sejam x(t) e y(t) soluções de (5) e (6), respectivamente, em T. Seδ = ‖f1 − f2‖∞ então

‖x(t)− y(t)‖ ≤ δeL(t−a)

para todo t ∈ T.

Prova: Temos‖x(t)− y(t)‖

≤ δ + L

∫[a,t)T

‖x(s)− y(s)‖∆s.

Seja h : T→ Rn dada por h(s) = ‖x(s)− y(s)‖. Para todo t ∈ [a, b]tem-se

h(t) ≤ δ + L

∫[a,t)

h(s)ds

Do Lema de Gronwall temos

h(t) ≤ δeL(t−a)Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Sejam x(t) e y(t) soluções das equações

x(t) = f1(t) +

∫[a,t)T

g(t, s, x(σ(s)))∆s (7)

e

y(t) = f2(t) +

∫[a,t)T

g(t, s, y(σ(s)))∆s (8)

em T, com ‖f1 − f2‖∞ ≤ δ, então para g de Lipschitz devemos ter‖x − y‖∞ ≤ ε.

Teorema

Sejam x(t) e y(t) soluções de (7) e (8), respectivamente, em T. Seδ = ‖f1 − f2‖∞ e L(b − a) < 1 então

‖x(t)− y(t)‖ ≤ δ + L(b − a)δMeML(t−a)

para todo t ∈ T, onde M = 11−(b−a)L .

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Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Convergência de soluções

Hipóteses:

I {gk} uma sequência de funções contínuas,

‖gk(t, s, x)‖ ≤ C (1 + ‖x‖)

para todo (t, s, x) ∈ T× T× Rn.

I {fk} uma sequência de funções fk : T→ Rn uniformemente limitadae equicontínua tal que fk ⇒ f .

I Para cada compacto B ⊂ Rn, gk(t, s, x)→ g(t, s, x) em T× T× B.

I |gk(t, s, x)− gk(t, s, y)| ≤ L|x − y | para todo k.

I para cada ε > 0 e M > 0, existe δ > 0 tal que [k um inteiro, s ∈ T,| t − t1 |< δ, t, t1 ∈ T, ‖x‖ ≤ M] implica‖gk(t, s, x)− gk(t1, s, x)‖ ≤ ε | t − t1 | .

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Introdução

Teorema

Para cada k, ψk(t) é uma solução contínua de

ψk(t) = fk(t) +

∫[a,t)T

gk(t, s, ψk(s))∆s,

t ∈ T.Então existe uma subsequência {ψkj

} ⊂ {ψk} e uma função ψ : T→ Rn

tal que ψkj⇒ ψ, e ψ satisfaz

ψ(t) = f (t) +

∫[a,t)T

g(t, s, ψ(s))∆s

em T.

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais

Introdução

Teorema

Para cada k, ψk(t) é uma solução contínua de

ψk(t) = fk(t) +

∫[a,t)T

gk(t, s, ψk(σ(s)))∆s,

t ∈ T.Se C (b − a) < 1, então existe uma subsequência {ψkj

} ⊂ {ψk} e umafunção ψ : T→ Rn tal que ψkj

⇒ ψ, e ψ satisfaz

ψ(t) = f (t) +

∫[a,t)T

g(t, s, ψ(σ(s)))∆s

em T.

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Introdução

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Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

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Introdução

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Introdução

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Introdução

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Introdução

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