Upload
duongliem
View
231
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Equações Integrais de Volterra em Escalas
Temporais
Iguer Luis Domini dos Santos
Symposium in Real Analysis XXXVII
Junho de 2013
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Introdução
I Cálculo em escalas temporais: introduzido por (Hilger, 1988) parauni�car o cálculo de diferença e o cálculo diferencial.
I Aplicações em modelagem matemática: (Agarwal et al., 2002);(Bohner and Peterson, 2003).
I Inclusões Dinâmicas: (Akin-Bohner and Sun, 2011); (Frigon andGilbert, 2011); (Santos and Silva, 2013).
I Cálculo das Variações: (Bohner, 2004); (Hilscher and Zeidan,2004); (Malinowska et al., 2011).
I Teoria do Controle: (Hilscher and Zeidan, 2011); (Liu et al., 2011);(Peng et al., 2011).
I Programação Dinâmica: (Hilscher and Zeidan, 2012); (Zhan et al.,2009).
I Equações Integrais de Volterra: (Adivar and Ra�oul, 2010); (Kulikand Tisdell, 2008); (Pachpatte, 2009).
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Equações delta integrais
Com base em (Burton, 2005), (Kulik and Tisdell, 2008) estudam
x(t) = f (t) +
∫[a,t)T
k(t, s, x(s))∆s (1)
x(t) = f (t) +
∫[a,t)T
k(t, s, x(σ(s))∆s (2)
onde t ∈ T.Existência de soluções supondo:
I k : [a,∞)2T × Rn → Rn contínua na primeira e terceira variável erd-contínua na segunda variável.
I‖k(t, s, p)− k(t, s, q)‖ ≤ L‖p − q‖
∀ (t, s) ∈ [a,∞)2T, (p, q) ∈ R2n.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Preliminares
Usamos as convenções:
I se x ∈ Rn denotamos a norma euclidiana de x por ‖x‖.
I se A,T ⊂ R, tem-se AT := A ∩ T.
I Uma escala temporal T ⊂ R é um conjunto não-vazio e fechado.
I Usaremos uma escala temporal T compacta, sendo a = minT eb = maxT.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
De�nição
De�ne-se σ : T→ T como
σ(t) = inf{s ∈ T : s > t}.
Estamos supondo que inf ∅ = supT.
Lema (Cabada and Vivero, 2006)
Existem I ⊂ N e {ti}i∈I ⊂ T tal que
RS := {t ∈ T : t < σ(t)} = {ti}i∈I .
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Integração em escalas temporais
I A σ-álgebra de subconjuntos de T será denotada por ∆.
I ∆ é constituída de conjuntos ∆-mensuráveis.
I Para funções f : T→ R a noção de integração pode ser encontradaem (Bartle, 1995), (Royden, 1968) e (Rudin, 1987).
Denotamos a integral de uma função f : T→ R sobre E ∈ ∆ por∫E
f (s)∆s.
I Chamamos essa integral de ∆-integral de Lebesgue de f sobre E .
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Integração
I Denotaremos por L1(E ,Rn) o conjunto das funções f : T→ Rn
∆-integráveis sobre E .
I Dada uma função f : T→ Rn de�na f : [a, b]→ Rn por
f (t) =
{f (t), t ∈ Tf (ti ), t ∈ (ti , σ(ti )) para algum i ∈ I ,
onde I ⊂ N e {ti}i∈I = RS .
I Seja E ⊂ T e de�na
E = E ∪⋃i∈IE
(ti , σ(ti ))
ondeIE := {i ∈ I : ti ∈ E ∩ RS} .
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Teorema (Cabada and Vivero, 2006)
Seja E ∈ ∆ tal que b 6∈ E. Então, f ∈ L1(E ,Rn) se, e somente se,
f ∈ L1(E ,Rn) . Neste caso,∫E
f (s)∆s =
∫E
f (s)ds.
Teorema
Sejam ϕ : [t0, t1]→ [0,+∞) Lebesgue integrável e ψ : [t0, t1]→ [0,+∞)contínua. Suponha que
ϕ(t) ≤ K + L
∫ t
t0
ψ(s)ϕ(s)ds
para todo t ∈ [t0, t1], com K ≥ 0 e L ≥ 0. Então
ϕ(t) ≤ K exp L
∫ t
t0
ψ(s)ds
para todo t ∈ [t0, t1].Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Existência de soluções
I g : T× T× Rn → Rn e f : T→ Rn.
Consideramos
x(t) = f (t) +
∫[a,t)T
g(t, s, x(s))∆s (3)
x(t) = f (t) +
∫[a,t)T
g(t, s, x(σ(s))∆s (4)
onde t ∈ T e x : T→ Rn é a função incógnita.
I A existência de soluções contínuas para (4) pode ser encontrada em(Kulik and Tisdell, 2008).
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Existência
Teorema
Sejam L e k números positivos. Suponha que
a) f é uma função contínua.
b) g é contínua em
U = {(t, s, x) : s, t ∈ T e |x − f (s)| ≤ k}
c) g satisfaz a condição de Lipschitz com relação a x
|g(t, s, x)− g(t, s, y)| ≤ L|x − y |
em {(t, s, x) : a ≤ s ≤ t ≤ b e |x − f (s)| ≤ k}.Se M = maxU |g(t, s, x)|, então existe b1 ∈ T \ {a} tal que a equaçãointegral (3) tem uma única solução contínua no intervalo [a, b1]T.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Demonstração.
Se σ(a) > a tome b1 = σ(a). Logo a função x : [a, b1]T → Rn dada porx(a) = f (a) e x(b1) = (b1 − a)g(b1, a, f (a)) + f (b1) é uma solução paraa equação ??.Se σ(a) = a seja b1 ∈ T tal que b1 > a, (b1 − a)L < 1 e (b1 − a) ≤ k
M.
Se C ([a, b1]T,Rn) é o conjunto de todas as funções contínuas comdomínio [a, b1]T e contradomínio Rn munido da norma do máximo, sejaF dado por
F = {ψ ∈ C ([a, b1]T,Rn) : ‖ψ − f ‖∞ ≤ k}.
De�na o operador T : F → F por
T (ψ)(t) = f (t) +
∫[a,t)T
g(t, s, ψ(s))∆s.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Continuidade de soluções
Sejam x(t) e y(t) soluções das equações
x(t) = f1(t) +
∫[a,t)T
g(t, s, x(s))∆s (5)
e
y(t) = f2(t) +
∫[a,t)T
g(t, s, y(s))∆s (6)
em T, com ‖f1 − f2‖∞ ≤ δ, então para g de Lipschitz devemos ter‖x − y‖∞ ≤ ε.
Hipóteses:
I f1, f2 : T→ Rn e g : U → Rn funções contínuas, com
U = {(t, s, x) : a ≤ s ≤ t ≤ b, x ∈ Rn}.
I Existe L > 0 tal que |g(t, s, x)− g(t, s, y)| ≤ L|x − y | em U.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Teorema
Sejam x(t) e y(t) soluções de (5) e (6), respectivamente, em T. Seδ = ‖f1 − f2‖∞ então
‖x(t)− y(t)‖ ≤ δeL(t−a)
para todo t ∈ T.
Prova: Temos‖x(t)− y(t)‖
≤ δ + L
∫[a,t)T
‖x(s)− y(s)‖∆s.
Seja h : T→ Rn dada por h(s) = ‖x(s)− y(s)‖. Para todo t ∈ [a, b]tem-se
h(t) ≤ δ + L
∫[a,t)
h(s)ds
Do Lema de Gronwall temos
h(t) ≤ δeL(t−a)Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Sejam x(t) e y(t) soluções das equações
x(t) = f1(t) +
∫[a,t)T
g(t, s, x(σ(s)))∆s (7)
e
y(t) = f2(t) +
∫[a,t)T
g(t, s, y(σ(s)))∆s (8)
em T, com ‖f1 − f2‖∞ ≤ δ, então para g de Lipschitz devemos ter‖x − y‖∞ ≤ ε.
Teorema
Sejam x(t) e y(t) soluções de (7) e (8), respectivamente, em T. Seδ = ‖f1 − f2‖∞ e L(b − a) < 1 então
‖x(t)− y(t)‖ ≤ δ + L(b − a)δMeML(t−a)
para todo t ∈ T, onde M = 11−(b−a)L .
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Convergência de soluções
Hipóteses:
I {gk} uma sequência de funções contínuas,
‖gk(t, s, x)‖ ≤ C (1 + ‖x‖)
para todo (t, s, x) ∈ T× T× Rn.
I {fk} uma sequência de funções fk : T→ Rn uniformemente limitadae equicontínua tal que fk ⇒ f .
I Para cada compacto B ⊂ Rn, gk(t, s, x)→ g(t, s, x) em T× T× B.
I |gk(t, s, x)− gk(t, s, y)| ≤ L|x − y | para todo k.
I para cada ε > 0 e M > 0, existe δ > 0 tal que [k um inteiro, s ∈ T,| t − t1 |< δ, t, t1 ∈ T, ‖x‖ ≤ M] implica‖gk(t, s, x)− gk(t1, s, x)‖ ≤ ε | t − t1 | .
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Teorema
Para cada k, ψk(t) é uma solução contínua de
ψk(t) = fk(t) +
∫[a,t)T
gk(t, s, ψk(s))∆s,
t ∈ T.Então existe uma subsequência {ψkj
} ⊂ {ψk} e uma função ψ : T→ Rn
tal que ψkj⇒ ψ, e ψ satisfaz
ψ(t) = f (t) +
∫[a,t)T
g(t, s, ψ(s))∆s
em T.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Teorema
Para cada k, ψk(t) é uma solução contínua de
ψk(t) = fk(t) +
∫[a,t)T
gk(t, s, ψk(σ(s)))∆s,
t ∈ T.Se C (b − a) < 1, então existe uma subsequência {ψkj
} ⊂ {ψk} e umafunção ψ : T→ Rn tal que ψkj
⇒ ψ, e ψ satisfaz
ψ(t) = f (t) +
∫[a,t)T
g(t, s, ψ(σ(s)))∆s
em T.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
R. Agarwal, M. Bohner, D. O'Regan, A. Peterson, Dynamicequations on time scales: a survey, J. Comput. Appl. Math., 141(2002) 1-26.
Akin-Bohner, E., Sun, S., Existence of solutions for second-orderdynamic inclusions, Int. J. Dynamical Systems and Di�erentialEquations, Vol. 3, No.1-2, pp. 24-37, 2011.
Atici, F.M., Biles, D.C., First order dynamic inclusions on timescales, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 292,No.1, pp. 222-237, 2004.
Bartle, R.G., The Elements of Integration and Lebesgue Measure,John Wiley and Sons, New York, 1995.
Belarbi, A., Benchohra, M., Ouahab, A., Existence results forimpulsive dynamic inclusions on time scales, Electronic Journal ofQualitative Theory of Di�erential Equations, No. 12, 22 pp., 2005.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Bohner, M., Calculus of variations on time scales, Dynamic Systemsand Applications, Vol. 13, No.3-4, pp. 339-349, 2004.
Bohner, M., Peterson, A., Dynamic Equations on Time Scales,Birkhauser, Boston, 2001.
Bohner, M., Tisdell, C.C., Second order dynamic inclusions, Journalof Nonlinear Mathematical Physics, Vol. 12, No.2, pp. 36-45, 2005.
Cabada, A., Vivero, D.R., Criterions for absolute continuity on timescales, Journal of Di�erence Equations and Applications, Vol. 11,No. 11, pp. 1013-1028, 2005.
Cabada, A., Vivero, D.R., Expression of the Lebesgue ∆-integral ontime scales as a usual Lebesgue integral; application to the calculusof ∆-antiderivatives, Mathematical and Computer Modelling, Vol.43, No.1-2, pp. 194-207, 2006.
Castaing, C., Valadier, M., Convex Analysis and MeasurableMultifunctions, Vol. 580, Springer Lecture Notes in Mathematics,Berlin, 1977.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Chang, Y.K., Li, W.T., Existence results for dynamic inclusions ontime scales with nonlocal initial conditions, Computers andMathematics with Applications, Vol. 53, No. 1, pp. 12-20, 2007.
Filippov, A. F., On certain questions in the theory of OptimalControl, SIAM J. Control Optimization, Vol. 1, pp. 76-84, 1962.
Frigon, M., Gilbert, H., Systems of �rst order inclusions on timescales, Journal of the Juliusz Schauder Center, vol.37, pp.147-163,2011.
Guseinov, G.S., Integration on time scales, Journal of MathematicalAnalysis and Applications, Vol. 285, No.1, pp. 107-127, 2003.
Hilger, S.: Ein Maÿkettenkalkül mit Anwendung aufZentrumsmannigfaltigkeiten. Doktorthesis, Universität Würzburg,1988.
Hilger, S., Analysis on measure chains- a uni�ed approach tocontinuous and discrete calculus, Results in Mathematics, Vol. 18,No.1-2, pp. 18-56, 1990.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Hilscher, R., Zeidan, V., Calculus of variations on time scales: weaklocal piecewise C 1
rdsolutions with variable endpoints, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, Vol. 289, No.1, pp.143-166, 2004.
Hilscher, R., Zeidan, V., First order conditions for generalizedvariational problems over time scales, Computers & Mathematicswith Applications, Issue 9, vol. 62, pp. 3490-3503, 2011.
Hilscher, R., Zeidan, V., Hamilton-Jacobi theory over time scalesand applications to linear-quadratic problems, Nonlinear Analysis:Theory, Methods & Applications, Vol.75, No. 2, pp. 932-950, 2012.
R. Hilscher, V. Zeidan, Weak maximum principle and accessoryproblem for control problems on time scales, Nonlinear Analysis, Vol.70, No.9, pp. 3209-3226, 2009.
Lakshmikantham, V., Sivasundaram, S., Kaymakçalan, B., DynamicSystems on Measure Chains, Kluwer Academic Pub, Vol.370, 1996.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
P.D. Loewen, Optimal Control via Nonsmooth Analysis, CRMProceedings Lecture Notes, Vol.2, American Mathematical Society,Providence, RI, 1993.
Malinowska, A.B., Martins, N., Torres, D.F.M., Transversalityconditions for in�nite horizon variational problems on time scales,Optimization Letters, No 1, vol. 5, pp. 41-53, 2011.
Pawluszewicz, E., Torres,D.F.M., Avoidance control on time scales,Journal of Optimization Theory and Applications, 145 (2010)527-542.
Peng, Y., A Class of Optimal Control Problems on Time Scales,Energy Procedia, Vol. 16, pp. 1760-1767, 2012.
Peng, Y., Xiang, X., Gong, Y., Liu, G., Necessary conditions ofoptimality for a class of optimal control problems on time scales,Computers & Mathematics with Applications, Vol. 58, pp.2035-2045, 2009.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Peng, Y., Xiang, X., Jiang, Y., Nonlinear dynamic systems andoptimal control problems on time scales, ESAIM: Control,Optimisation and Calculus of Variations, Vol.17, pp. 654-681, 2011.
Royden, H.L., Real Analysis, Collier-Macmillan Limited, London,1968.
Rudin, W., Real and Complex Analysis, third edition, McGraw-HillBook Company, New York, 1987.
Santos,I.L.D., Silva,G.N., Absolute continuity and existence ofsolutions to vector dynamic inclusions in time scales, Submitted.
Smirnov, G.V., Introduction to the Theory of Di�erential Inclusions,American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.
R.B. Vinter, Optimal Control, Birkhauser, Boston, 2000.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais
Introdução
Zhan, Z., Chen, S., Wei, W., A uni�ed theory of maximum principlefor continuous and discrete time optimal control problems,Mathematical Control and Related Fields, Vol. 2, No.2, pp. 195-215,2012.
Zhan, Z., Wei, W., Li, Y., Xu, H., Existence for calculus of variationsand optimal control problems on time scales, International Journal ofInnovative Computing, Information and Control, Vol. 8, 2012.
Zhan, Z., Wei, W., Xu, H., Hamilton-Jacobi-Bellman equations ontime scales, Mathematical and Computer Modelling, Vol. 49,No.9-10, pp. 2019-2028, 2009.
Zhan, Z., Wei, W., Necessary conditions for a class of optimalcontrol problems on time scales, Abstract and Applied Analysis, Vol.2009, 14 pp., 2009.
Zhan, Z., Wei, W., On existence of optimal control governed by aclass of the �rst-order linear dynamic systems on time scales, AppliedMathematics and Computation, Vol. 215, No. 6, pp. 2070-2081,2009.
Santos, I. L. D. FEIS/UNESP
Equações Integrais de Volterra em Escalas Temporais