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Equações Lineares e Quadráticas: resolução com o auxílio de material concreto Carlos Eduardo Nunes 1 GD n° 2Educação Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental. Ensinar equações no ensino fundamental é um desafio que muitos professores identificam e relatam as dificuldades em suas experiências de sala de aula. A abstração do aluno e a compreensão de determinados conceitos algébricos são fundamentais para sua progressão no estudo das equações. Trabalharemos com materiais concretos como suporte ao cálculo algébrico e à resolução de equações, o que permitirá tratar em paralelo a manipulação e o processo algébrico e, posteriormente, chegar ao processo abstrato. A coleta de dados acontecerá numa escola particular de Extrema MG e contará com vinte participantes do nono ano do Ensino Fundamental e primeiro ano do Ensino Médio. A metodologia utilizada será o Design Experiment de Cobb et al (2003). Para análise qualitativa dos dados coletados teremos o olhar da Teoria dos Três Mundos da Matemática de David Tall (2004), que nos permitirá analisar a passagem de atividades características do Mundo Corporificado para as do Mundo Simbólico. No contexto apresentado, este presente artigo é parte integrante de uma pesquisa de mestrado em andamento no Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo. Palavras-chave: equações; material concreto; ensino; álgebra. Introdução No início de minha carreira no Magistério tive a oportunidade de conhecer diversos materiais manipulativos direcionados Educação Básica. Sempre tive interesse neste assunto, pois acredito que o material concreto pode contribuir para melhor compreensão de determinados conteúdos matemáticos. Assim, direcionarei minha pesquisa para o uso dos materiais concretos para trabalhar com os processos algébricos nas Séries Finais do Ensino Fundamental e inicio do Ensino Médio. Moyer (2001), em sua pesquisa, fez uma avaliação da utilização de materiais concretos e um retrospecto de como os materiais concretos se tornaram populares no ensino em Matemática. Assim como ela, outros pesquisadores (Glover, Ronning e Bruning, 1990; Resnick, 1983; Simon, 1995; von Glasersfeld, 1990, 1995 apud MOYER, 2001) 1 Universidade Anhanguera de São Paulo, [email protected]. Orientador: Dra. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão

Equações Lineares e Quadráticas: resolução com o … · Resnick, 1983; Simon, 1995; von Glasersfeld, 1990, 1995 – apud MOYER, 2001) 1 Universidade Anhanguera de São Paulo,

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Equações Lineares e Quadráticas: resolução com o auxílio de material

concreto

Carlos Eduardo Nunes1

GD n° 2– Educação Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental.

Ensinar equações no ensino fundamental é um desafio que muitos professores identificam e relatam as

dificuldades em suas experiências de sala de aula. A abstração do aluno e a compreensão de determinados

conceitos algébricos são fundamentais para sua progressão no estudo das equações.

Trabalharemos com materiais concretos como suporte ao cálculo algébrico e à resolução de equações, o que

permitirá tratar em paralelo a manipulação e o processo algébrico e, posteriormente, chegar ao processo

abstrato. A coleta de dados acontecerá numa escola particular de Extrema – MG e contará com vinte

participantes do nono ano do Ensino Fundamental e primeiro ano do Ensino Médio. A metodologia utilizada

será o Design Experiment de Cobb et al (2003). Para análise qualitativa dos dados coletados teremos o olhar

da Teoria dos Três Mundos da Matemática de David Tall (2004), que nos permitirá analisar a passagem de

atividades características do Mundo Corporificado para as do Mundo Simbólico. No contexto apresentado,

este presente artigo é parte integrante de uma pesquisa de mestrado em andamento no Programa de Pós-

Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo.

Palavras-chave: equações; material concreto; ensino; álgebra.

Introdução

No início de minha carreira no Magistério tive a oportunidade de conhecer diversos

materiais manipulativos direcionados Educação Básica. Sempre tive interesse neste

assunto, pois acredito que o material concreto pode contribuir para melhor compreensão de

determinados conteúdos matemáticos. Assim, direcionarei minha pesquisa para o uso dos

materiais concretos para trabalhar com os processos algébricos nas Séries Finais do Ensino

Fundamental e inicio do Ensino Médio.

Moyer (2001), em sua pesquisa, fez uma avaliação da utilização de materiais concretos e

um retrospecto de como os materiais concretos se tornaram populares no ensino em

Matemática. Assim como ela, outros pesquisadores (Glover, Ronning e Bruning, 1990;

Resnick, 1983; Simon, 1995; von Glasersfeld, 1990, 1995 – apud MOYER, 2001)

1 Universidade Anhanguera de São Paulo, [email protected]. Orientador: Dra. Maria Elisa Esteves

Lopes Galvão

defendem que o estudante que possui participação ativa em sua aprendizagem, teria maior

aproximação com o que se pretende que ele aprenda. Em concordância com as ideias de

Moyer (2001), propomos que algo comumente abstrato para o ensino de Matemática, como

as equações, seja introduzido de maneira manipulativa e teremos como objetivo analisar se

o processo manipulativo favorece a compreensão das estratégias de resolução de equações

e investigar a contribuição do uso do material concreto para o processo de abstração e a

superação das defasagens e dificuldades relacionadas a este conteúdo. Como questões de

pesquisa, consideraremos:

A utilização do material concreto, como recurso pedagógico, pode auxiliar na sofisticação

do pensamento matemático, à luz dos Três Mundos da Matemática, na resolução de

equações lineares e quadráticas?

Buscando fontes precisas e norteadoras da Educação no Brasil para encaminhar o

desenvolvimento do nosso trabalho, encontramos nos PCN de Matemática (BRASIL,

1997, p. 57) a utilização do recurso didático - material concreto como um ponto

considerado favorável para o processo de ensino e aprendizagem em Matemática, sempre

empregado num contexto problematizado.

Os recursos didáticos como livros, vídeos, televisão, rádio,

calculadora, computadores, jogos e outros materiais têm um

papel importante no processo de ensino e aprendizagem.

Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao

exercício da análise e da reflexão. (PCN’s, 1997, p. 57)

Segundo os PCN (BRASIL, 1997, p. 57), o ensino de Matemática com materiais

manipulativos – jogos e materiais concretos – pode propiciar ao aluno situações que

estabeleçam semelhanças e diferenças, regularidades e singularidades e relacionem outras

áreas de conhecimento com a Matemática.

Considerando que esta pesquisa acontecerá no estado de Minas Gerais, buscamos também

referências norteadoras que a Secretaria de Estado da Educação reconhece como

importantes no tratamento de equações. De acordo com o Material de Referência para o

professor (MINAIS GERAIS, 1997) o ensino em Matemática deve levar em consideração

fatores sociais evidentes, como modernização e informatização. Utiliza o termo “ensino

vivo”, contemplando o ensino com desafios, transposição de barreiras e aplicações

práticas, facilitando, assim, a construção do conhecimento. Ao tratar de equações, o

material exemplifica com situações de exercícios práticos e situações-problemas, não

apresentando nenhum exemplo com a utilização do material concreto.

Entre as recomendações do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD 2014-2016),

analisamos dois livros no tratamento e abordagem de equações lineares e quadráticas,

No livro “Vontade de Saber Matemática” de Joamir Souza e Patricia Moreno Pataro, o

tratamento de equação se faz associado ao estudo de funções. O método da balança

também é apresentado, como uma alternativa de apoio, porém pouco explorado. O livro

apresenta listas de exercícios a serem resolvidos com papel e lápis. O autor aborda

equações também por meio de resolução de problemas.

No livro “Matemática e Realidade” Iezzi, Dolce e Machado apresentam equações lineares

num contexto de brincadeiras de adivinhar. Também apresentam balanças para

exemplificar a resolução de equações e também exploram as relações com a geometria

para concretizar as manipulações algébricas.

Buscamos referências nas pesquisas em Educação Matemática para situarmos o trabalho

proposto no âmbito de pesquisas relevantes para o ensino da Álgebra. Veremos na Revisão

de Literatura, o posicionamento de alguns pesquisadores.

Revisão de Literatura

Apresentaremos pesquisas que investigaram a utilização de materiais concretos no

processo de aprendizagem como facilitador para assimilação de conceitos matemáticos, em

especial, no processo de resolução as equações lineares e quadráticas.

Kieran (1979) em sua dissertação – “Construção de significado para o conceito de

equação”2 – tradução nossa – apresenta uma discussão sobre um esquema para o ensino e

aprendizagem de equações de primeiro grau e uma incógnita. A pesquisadora buscou

examinar a maneira de pensar dos estudantes e o entendimento dos conceitos envolvidos

no processo no tratamento de equações de primeiro grau. Baseia-se nas teorias de

aprendizagem de Piaget, Steff, Hersconics e Bruner, tentando guiar os estudantes na

construção de significado para as equações com base no conhecimento aritmético. A

pesquisadora tem como base inicial a construção de três conceitos: a noção de igualdade, o

significado de equações e o significado para as regras. Segundo a pesquisadora o

tratamento de equações por meio de manipulações, inicialmente efetivadas no campo

2 “Constructing meaning for the concept of equation”

aritmético, faz com que o estudante se torne capaz de construir o significado das equações

no contexto algébrico. Ao questionar os professores sobre o que é uma equação –

compreensão do conceito – a pesquisadora percebeu que muitos optavam por uma

definição formal, apresentando dificuldades para explicar o não formal, uma das razões

pelas quais nem sempre a abordagem ao se tratar de equações é adequada. Ao tratar de

equações, a pesquisadora aponta, após atribuir o significado da igualdade – levando em

conta a natureza operacional do pensamento, que ambos os lados têm o mesmo valor - uma

abordagem aritmética sobre as equações que possibilita introduzir o conceito de incógnita

como um número escondido, representado por uma caixa. O conceito de equações depois

de compreendido de maneira intuitiva poderá ser aprofundado, segundo a pesquisadora,

pela substituição da caixa por uma letra. Assim estabelece-se uma equivalência entre os

vários aspectos relacionados ao conceito de equações. Para Kieran (1979) resolver

equações envolve a reversibilidade das operações aritméticas, fazer a mesma coisa em

ambos os lados da igualdade e induzir as regras utilizadas na resolução das operações,

balanceamento. Os resultados obtidos levaram a uma nova perspectiva para a natureza

operacional do pensamento dos estudantes. Tais abordagens discutidas por Kieran (1979)

(1995) nos fazem refletir sobre quais concepções os estudantes tem sobre equações: seu

significado, suas regras e sua utilidade. O conceito discutido por ela, ao tratar da

representação para a incógnita com uma “caixa” está ligada com o propósito da pesquisa.

Neste caso, o tratamento aritmético sugerido pela pesquisadora ocorrerá tanto a

representação da incógnita, mas também do número.

Filloy e Rojano (1989) fizeram observações ao tratar das equações lineares, sobre a

passagem do pensamento aritmético para o algébrico, ou seja, como Kieran, tratou da

inserção de uma incógnita numa sentença matemática. Os pesquisadores denominam

equações aritméticas as equações do tipo 𝑎. 𝑥 + 𝑏 = 𝑐, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ≠ 0, em cuja solução

operamos somente com os números e a incógnita fica sem nenhuma movimentação

algébrica. As equações chamadas não-aritméticas são do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑, nas quais a

incógnita aparece nos dois membros, daí a necessidade de uma manipulação algébrica com

a incógnita em sua solução. Ao analisar a transição entre equações aritméticas e não-

aritméticas, os autores perceberam que isso não ocorre imediatamente, requerendo dos

alunos aquisição de conceitos e técnicas operatórias com as incógnitas. Filloy e Rojano

(1989) são favoráveis à utilização de uma representação concreta, e optaram pelo método

da balança ou modelos geométricos para o ensino de equações lineares, considerando que

estes favorecem a aproximação dos alunos aos processos algébricos formais de resolução

de equações lineares. Observaram que a utilização do método da balança para as equações

lineares do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 foge da ideia de equivalência, pois os pratos iriam ficar

desiquilibrados pelo fato de não existir um peso que possa representar o zero, e destacaram

a impossibilidade de se trabalhar com números negativos que poderão ocorrer em muitas

situações. A passagem que o aluno realiza ao compreender o processo de transição das

operações com equações aritméticas as equações não-aritméticas, os pesquisadores

denominaram de corte didático. Esta passagem, segundo os pesquisadores, ocorre

naturalmente e não imediatamente, requerendo dos alunos a aquisição de conceitos e de

técnicas operatórias algébricas.

Em Vlassis (2002) encontramos, na proposta da utilização do método da balança, uma

ligação com a pesquisa de Filloy e Rojano (1989). O objetivo do experimento foi destacar

a necessidade de operar com incógnitas e o método formal de resolução de equações. O

experimento foi realizado com 40 alunos da oitava série, em 16 sessões dividas em duas

fases de 8 sessões cada, a primeira com equações do tipo aritmético e a segunda do tipo

não-aritmético. Concluiu que todos os alunos, apesar de assimilarem os princípios

relacionados aos métodos, apresentaram dificuldades no decorrer da atividade de coleta de

dados e que tais erros podem ter sido gerados pelo uso do modelo da balança, no qual os

alunos utilizam a subtração para cancelar os pesos da balança. Vlassis (2002) discorda em

alguns pontos da classificação apresentada por Filloy e Rojano (1989) ao tratar das

equações aritméticas e algébricas. A pesquisadora classifica as equações como Equações

Aritméticas Concretas, compostas por uma incógnita e com números naturais e Equações

Aritméticas Abstratas, cuja incógnita ou equações com números negativos exigem algum

tipo de manipulação. Trata ainda de Equações Pré-Algébricas, que são aquelas baseadas

em um modelo em que há incógnitas em ambos os membros, e será necessária a

manipulação de incógnitas e de Equações Algébricas, que são abstraídas de um modelo

concretos, podendo somente serem solucionadas no domínio algébrico. Filloy e Rojano

(1989) e Vlassis (2002) concordam e apontam como plausível a utilização dos modelos

concretos para o ensino de equações em alguns aspectos, explicitando as falhas do método

da balança ou outros métodos na representação de números, inteiros e fracionários e

fixação de modelos.

Ao se tratar das equações de segundo grau, Vaiyavutjamai e Clementes (2006) em seu

artigo “Effects of Classroom Instruction on Students Understanding of Quadratic

Equations” os autores buscaram investigar o impacto do ensino tradicional em um grupo

de alunos do 9º grau, equivalente ao primeiro ano do ensino médio no Brasil. Tiveram

como objetivo investigar se as lições tradicionais, baseadas na fórmula de resolução de

equações de segundo grau e suas resoluções por “fatoração”, “completando quadrados”,

poderiam influenciar no desenvolvimento dos participantes, nos quesitos, habilidades,

conceitos e compreensão das equações quadráticas. Em primeiro momento, foram

consideradas dezoito equações quadráticas e selecionados dezoito participantes que

tiveram maior índice de acerto. Os resultados das entrevistas com os dezoito participantes

mostraram que quatro participantes não responderam nenhuma pergunta corretamente na

entrevista, não sabendo fatorar e nem verificar se a solução encontrada era realmente da

equação abordada. Os outros doze participantes responderam corretamente pelo menos

duas perguntas realizadas pelos pesquisadores, porém não apresentaram um significado e

compreensão relacional das equações. Os pesquisadores concluíram que após a abordagem

tradicional, existiu uma melhora na compreensão instrumental de equações quadráticas,

mas a compreensão relacional ainda ficou defasada.

Lima (2007) norteou sua pesquisa com o seguinte questionamento: “Quais são os

significados que os alunos atribuem a equações e aos métodos de resolução que usam, e

de quais experiências esses significados surgem?”. Em sua tese “Equações algébricas no

Ensino Médio: uma jornada por diferentes Mundos da Matemática” abordou tanto

equações lineares e quadráticas, e enfatizamos especialmente sua contribuição para o

estudo das equações quadráticas. Aplicou seus instrumentos de coleta de dados em duas

escolas do Estado de São Paulo, uma particular e outra na periferia, totalizando 77 alunos.

Lima (2007) construiu inicialmente um mapa conceitual com os alunos, para compreender

o conceito de equação para o grupo, proveniente do conhecimento prévio desses alunos.

Reflexões sobre o mapa conceitual merecem ser destacadas. Alguns alunos tentam explicar

e definir equações como outra operação qualquer, sem identificar componentes

importantes como igualdade ou incógnita. O segundo instrumento de coleta de dados e

tratou da resolução de equações e de situações-problemas que necessitam das equações

para encontrar a solução.

As análises de Lima (2007) apontam que os alunos buscaram outros métodos de resolução,

diferentes da fórmula de Bhaskara, porém não agiram de forma bem sucedida. A conclusão

da autora é que os erros apresentados pelos alunos nas resoluções de equações são

provenientes da falta de relacionamento do método de resolução que usam com conceitos

matemáticos, tendo somente uma visão como “entidade física e não como símbolos

algébricos que devem ser manipulados de acordo com princípios algébricos” (Lima, 2007,

p. 298).

É possível verificar que as pesquisas de Filloy e Rojano (1989), Vlassis (2002),

Vaiyavutjamai e Clementes (2006) e Lima (2007), apontam na mesma direção, quando se

referem a erros cometidos pelos estudantes quando estes resolvem equações. O

apontamento de Filloy e Rojano (1989), sobre a utilização de materiais concretos para

resolução de equações faz esperar que o proposto na nossa investigação possa vir a

contribuir para uma etapa de sua pesquisa ainda pouco explorada. Frente a estes resultados,

percebemos a necessidade de apresentarmos uma pesquisa diferenciada, abrangendo as

equações lineares e quadráticas utilizando como recurso os materiais concretos e

manipulativos. Consideramos os resultados destes trabalhos de pesquisa informações que

podem contribuir positivamente para a concretização do nosso trabalho.

Referencial teórico

Para analisarmos, organizarmos e compreendermos os resultados obtidos da pesquisa nos

fundamentaremos na teoria dos Três Mundos da Matemática, desenvolvida por David Tall

a partir das pesquisas e experiências vivenciadas no decorrer de sua carreira profissional.

Tall (2013) considera as experiências matemáticas relacionadas ao que chamou três

diferentes Mundos da Matemática: o Mundo Conceitual Corporificado, ou mundo

corporificado; o Mundo Proceitual Simbólico, ou mundo simbólico; e o Mundo Formal

Axiomático, ou mundo formal. Estes mundos possuem características distintas e bem

definidas e se relacionam entre si, articulando as várias formas de pensar em Matemática.

Nas atividades pertinentes ao mundo corporificado são consideradas as imagens mentais

provenientes, por exemplo, da utilização dos sentidos visuais ou das relações com os

objetos do mundo físico; no mundo simbólico as atividades se caracterizam pela utilização

de símbolos matemáticos, conceitos e processos; no mundo formal as atividades se

caracterizam pela utilização do rigor matemático, dos axiomas e demonstrações.

Para Tall (2013) não existem hierarquia ou limites entre esses mundos quando

consideramos as atividades matemáticas; não existem estágios a serem superados e sim

sofisticações nas formas de pensamento e ação no decorrer do trabalho em Matemática.

a) O Mundo Conceitual Corporificado provém do nosso contato com o mundo,

consistindo não somente do mundo físico, mas também do nosso mundo de

significados mentais. Os conceitos de Imagem e Espaço auxiliam na construção

deste mundo.

b) No Mundo Operacional Simbólico, Tall considera a simbologia matemática para

desenvolvimento de operações, técnicas operatórias e cálculos. O domínio das

operações matemáticas se faz necessário, além do domínio das manipulações

algébricas.

c) O Mundo Formal Axiomático trata do domínio das definições formais matemáticas

baseadas em axiomas e postulados. Dentro deste sistema, novos conceitos surgem e

podem ser definidos e propriedades podem ser demonstradas.

Lima e Tall (2008) ao perceberem que alguns alunos dão significado corporificado a

manipulação simbólica denotaram esta situação como de Corporificação Procedimental, ou

seja, a situação em que o aluno atribui um significado corporificado para um procedimento

que está sendo usado. Os pesquisadores exemplificam considerando, no caso das equações

quadráticas, o fato de um aluno pegar o expoente dois de uma incógnita e o passar para o

segundo membro da equação, em forma de raiz quadrada, sem atribuir um real significado

e sim como “uma mágica”.

As corporificações procedimentais estão ligadas às técnicas operatórias para resolução das

equações. O aluno compreende que deve usar tais técnicas em muitos casos, porém não

compreende o porquê dessas mudanças e passagens, tornando algo mecânico e sem

significado matemático. A prática, as corporificações podem trazer as raízes corretas das

equações, porém o significado matemático se perde nas passagens e mudanças simbólicas

no decorrer da equação. Em equações lineares, ao “pegar um termo” e “colocar no outro

lado”, “se está positivo no primeiro membro” e “passará negativo para o segundo membro”

os alunos desconectam o principio algébrico ali empregado, essencial para a resolução das

equações. Tal princípio se perde em tantas passagens e mudanças de sinais.

Com base em tais concepções discutidas, esta pesquisa tratará de experiências que

identificamos situadas na transição entre os Mundos Corporificado e Simbólico. O

caminho do desenvolvimento cognitivo de cada participante poderá percorrer vários

trajetos, da prática à compreensão dos processos, considerando também a experiência já

vivenciada de cada participante. Dessa maneira, o aprendizado, segundo Tall, poderá

tornar-se enriquecedor das experiências anteriores de cada indivíduo.

Metodologia e Procedimentos Metodológicos

A proposta de atividades contidas neste trabalho será organizada e executada de acordo

com os princípios do Design Experiment, de Coob et.al (2003), que considera as

possibilidades de avaliação contínua e remodelagem, quando necessário, isto é, o

redesenho das atividades no decorrer da intervenção, mediante análise dos procedimentos

realizados em cada uma das etapas. Esta metodologia é composta de testes com os

participantes, que podem gerar novos testes, baseados no teste anterior, resultante do

experimento, podendo existir uma adequação quando necessário e tem, portanto, caráter

cíclico e iterativo. A análise dos dados coletados se torna base para o próximo ciclo de

atividades. Nesta metodologia, professores, participantes e pesquisadores são vistos como

colaboradores do processo. Em suma, o Design Experiment possui caráter intervencionista,

podendo propiciar melhorias no processo escolar, conduzindo a novas formas de

aprendizagem, a fim de compreendê-las e estuda-las.

A pesquisa acontecerá numa escola particular de Extrema MG. O grupo será composto por

20 alunos, entre alunos nono ano da série final do Ensino Fundamental e primeiro ano do

Ensino Médio. Os encontros acontecerão em oito etapas, com duração aproximada de uma

hora cada, de forma a evitar que as atividades sejam cansativas para os participantes. O

convite foi estendido a todos.

Utilizaremos fichas de EVA, com cores distintas para a representação das unidades

positivas e negativas, incógnitas de primeiro e segundo graus, positivas e negativas. Com

este material podemos realizar operações polinomiais, produto e equações lineares e

quadráticas, como exemplificamos a seguir.

1. O material concreto

2. Representando o produto e seus fatores

3. Representação de um produto e seus fatores – multiplicação ou fatoração de um polinômio de segundo

grau

Alguns artigos apresentam sugestões de atividades a serem aplicadas em sala de aula,

porém não apresentam resultados de pesquisa sobre o trabalho em sala de aula com o

material. (BIDWELL, 1972; GIBB, 1972; HIRSCH, 1982, KINACH, 1985,

HELLMEISTER, GALVÃO, 1998). O que propomos reúne as propostas sugeridas nas

atividades e vamos além, numa situação de aprendizagem, baseada no uso do material.

Tomaremos o cuidado em preparar atividades nas quais os tipos de equações lineares e

quadráticas, sejam adequados à utilização do material, ou seja, para manipulação com o

material concreto proposto os coeficientes e as raízes das equações devem pertencer ao

conjunto dos Números Inteiros.

As atividades elaboradas para aplicação do projeto consideram os tipos de equações

apontados na classificação de Filloy e Rojano (1989), ou seja, as equações lineares

aritméticas e algébricas e de Lima (2007) que classifica as equações quadráticas em

equações de avaliação ou equações de manipulação. As atividades irão abranger a

familiarização com o material, representações de expressões polinomiais do primeiro e

segundo graus, operações polinomiais, fatorações e resolução de equações lineares e

quadráticas. Foram preparadas a luz dos Três Mundos da Matemática, partindo de

situações consideradas no mundo corporificado para situações no mundo simbólico. Estas

atividades também podem evidenciar características da Corporificação Procedimental que

Lima e Tall (2008) evidenciam: significados corporificados para a manipulação simbólica,

onde o participante realiza passagens algébricas sem correspondência com o real sentido de

mudança de sinal do termo algébrico.

Considerações Finais

Esperamos que esta pesquisa apresente resultados positivos referentes à resolução

de equações lineares e quadráticas com auxílio do material concreto proposto, em

consonância com as pesquisas sobre equações lineares e quadráticas já realizadas com a

utilização de materiais alternativos, que apontam para o favorecimento da utilização deste

recurso para o processo de ensino e aprendizagem, possibilitando aos estudantes melhor

compreensão dos conceitos de equação, seu tratamento e sua solução.

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