Equações não Lineares

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  • Equacoes nao lineares

    Metodos Numericos e EstatsticosParte I-Metodos Numericos

    Equacoes nao lineares

    Lusa Morgado

    Lic. Eng. Biomedica e Bioengenharia-2009/2010

    Lusa Morgado Equacoes nao lineares

  • Equacoes nao lineares

    Para determinarmos um valor aproximado das razes de uma equacao nao linear,convem notar inicialmente que varias situacoes diferentes podem ocorrer no querespeita a existencia e unicidade de solucao:

    Nao existe solucaosin x 2 = 0;

    Existe solucao e e unicax + 1 ex = 0;

    Existe uma solucao multipla(x 3)2 = 0;

    Existem varias solucoes, algumas delas multiplas

    (x 1)(x )3 = 0;

    Existe uma infinidade de solucoes

    cos x = 0.8.

    A maior parte dos metodos numericos para resolucao de equacoes nao lineares exige o

    fornecimento de uma regiao que contenha as razes procuradas. Como tal, na

    utilizacao de tais metodos, e necessario um estudo preliminar mnimo da funcao

    envolvida na equacao.

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    Metodo Grafico

    Um dos metodos mais elementares para localizar um zero de umafuncao e o metodo grafico.Imaginemos que pretendemos localizar os zeros da funcao

    f (x) = ex 3x .

    Notemos, em primeiro lugar que determinar os zeros de f eequivalente a determinar as razes da equacao

    f (x) = 0 ex = 3x .

    Assim sendo, ao utilizarmos o metodo grafico, em vez de fazermoso tracado do grafico de f e localizar os pontos onde este intersectao eixo dos xx , e mais simples se fizermos o tracado das funcoes ex

    e 3x e localizar os pontos onde estes se intersectam.

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    -0.5 0.5 1 1.5 2x

    2

    4

    6

    y

    3x

    ex

    Por analise dos graficos, podemos palpitar queexistem duas razes, x1 e x

    2 da equacao e que

    x1 [0, 1] e x2 [1, 2].

    Convem sempre verificar analiticamente a existencia e a unicidade de tais razes nosrespectivos intervalos.Recordemos que

    Se f e uma funcao contnua num intervalo [a, b] e se f (a) f (b) < 0, entao f tempelo menos um zero em [a, b].Se alem disso, x ]a, b[, f (x) 6= 0 entao, nesse intervalo, esse zero e unico .

    Verifiquemos entao que sendo f (x) = ex 3x , existe um unico x1 [0, 1] tal quef (x1 ) = 0.

    f (0) = 1 > 0, f (1) = e 3 < 0, logo f (0) f (1) < 0;f (x) = ex 3 so se anula em ln 3 ' 1.1, logo x ]0, 1[, f (x) 6= 0.

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    Metodos Numericos para equacoes nao lineares

    Os metodos que iremos estudar sao iterativos, i.e., fornecem-nosuma sucessao de valores x1, x2, . . ., os quais, em caso deconvergencia da sucessao, se irao aproximar da solucao x de umaequacao f (x) = 0.Esta sucessao e definida por recorrencia, necessitando de uma oumais aproximacoes iniciais, conforme o metodo.

    A utilizacao de um metodo iterativo coloca-nos, a partida tresproblemas:

    1 construcao do metodo;

    2 estudo da convergencia da sucessao de aproximacoesx1, x2, . . . fornecida pelo metodo;

    3 analise da velocidade de convergencia.

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    Criterios de paragem

    Como e impossvel efectuar um numero infinito de iteracoes , seranecessario parar apos a obtencao de uma aproximacao xN . Istocoloca-nos outro problema: o da escolha de um criterio deparagem, dependente da precisao pretendida.Suponhamos que pretendemos determinar uma aproximacao xn daraz x da equacao f (x) = 0, localizada num intervalo I = [a, b],tal que |xn x| < .Existem varios criterios de paragem, p.e.:

    (i) Criterio do erro absoluto: |xn xn1| < ;(ii) Criterio do erro relativo: |xnxn1||xn| < ;

    (iii) Numero maximo de iteracoes: n = nmax . Estecriterio costuma usar-se como factor de seguranca,para o caso do metodo divergir, e como tal e usualusa-lo juntamente com outro criterio;

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    (iv) no caso de f C 1 (I ), sabemos, pelo teorema dovalor medio de Lagrange que

    f (xn)f (x) = f () (xn x) , para algum I .Sendo f () 6= 0, podemos dizer

    |xn x| =|f (xn) f (x)||f ()|

    .

    Como f (x) = 0 e e desconhecido:

    |xn x| |f (xn)|

    minxI |f ()|,

    e desta forma obtem-se o criterio de paragem

    |f (xn)|minxI |f ()|

    < .

    Note-se que se f tomar valores muito pequenos,mesmo nao sendo nulos, este deixa de ser um criteriorazoavel;

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    (v) Criterio do valor da funcao: |f (xn)| < .Este criterio pode nao ser uma boa escolha sempreque o grafico de f esteja muito proximo do eixo dosxx , pois assim pode ser verificado o criterio deparagem e no entanto xn estar longe de x

    .

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    Ordem de convergencia

    Chamamos ordem de convergencia de uma sucessao conver-gente (xn)nN, a maior potencia p 1 tal que

    |xn+1 x| k |xn x|p ,

    para algum 0 < k < 1. A k da-se o nome de factor de con-vergencia.Se p = 1, dizemos que a convergencia e linear; se p > 1, aconvergencia diz-se supra-linear.

    Assim, quanto maior for a ordem de convergencia de um metodo,mais rapido ele e no fornecimento de uma boa aproximacao dasolucao; Se dois metodos tiverem a mesma ordem de convergencia,e mais rapido aquele que apresentar um factor de convergenciamenor.

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    No caso de convergencia linear, sao validas as seguintes ma-joracoes:

    |xn x| 1

    1 k|xn xn+1|

    |xn+1 x| k

    1 k|xn xn+1|

    No caso de convergencia supra-linear:

    |xn x| |xn xn+1|

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    Metodo da Bisseccao

    O teorema de Bolzano sugere-nos um processo muito simples paraobter uma aproximacao do zero de uma funcao f :Supondo que

    1. f e contnua em [a, b],2. f (a) f (b) < 0,3. ]a, b[, f (x) 6= 0,

    i.e existe um unico zero da funcao f no interior do intervalo [a, b],o processo consiste em dividir o intervalo dado ao meio,obtendo-se assim os dois subintervalos[

    a,a + b

    2

    ]e

    [a + b

    2, b

    ]e depois testar a condicao 2. nestes dois intervalos para determinarqual deles contem a raz.O processo e repetido para o novo subintervalo contendo a raz ateque se obtenha a precisao pretendida.

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    Condicao suficiente de convergencia:f contnua em [a, b]f (a)f (b) < 0

    Inicializacao:a0 = a, b0 = bx0 = a ou x0 = b

    Ciclo:Para m 0 fazer

    xm+1 =am+bm

    2Se |xm+1 xm| ou f (xm+1)

    entao fazer x xm+1 e pararcaso contrario

    Se f (xm+1) f (am) < 0 entao fazeram+1 = am e bm+1 = xm+1

    senaoam+1 = xm+1 e bm+1 = bm

    Metodo da bisseccao

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    Se x e o zero de f localizado no intervalo [an, bn], entao

    |xn+1 x| |xn+1 xn| .

    Por outro lado, prova-se facilmente que

    |bn an| =1

    2n(b a)

    e que

    |xn+1 x| bn an

    2ou |xn x|

    b a2n

    , n 0.

    No caso do metodo da bisseccao nao existe nenhuma constante k, 0 < k < 1 quesatisfaca

    |xn+1 x| k |xn x| ou |xn x| kn |x0 x| , n 0.

    No entanto, se considerarmos que um metodo tem convergencia linear quando

    |xn x| kn(b a), n 0, podemos afirmar que o metodo da bisseccao convergelinearmente, com factor de convergencia k = 1

    2.

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    Exemplo

    O numero de indivduos de uma populacao pode ser dado, numcurto perodo de tempo, pela funcao

    N(t) = N0et +

    (et 1

    ),

    onde representa a taxa anual de imigracao, a taxa anual denatalidade e N0 o numero de indivduos no instante inicial.Sabe-se que uma dada populacao possui inicialmente um milhaode indivduos, que 281 103 imigraram para a comunidade duranteo primeiro ano e que no fim desse ano existem 1.780 106 deindivduos. Pretende-se determinar a taxa de natalidade dessapopulacao nesse ano.

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    Para determinarmos a taxa de natalidade, temos que resolver aequacao nao linear

    1.780 106 = 106e + 281 103

    (e 1

    ).

    Vamos faze-lo determinando o zero da funcao

    f () = 106e +281 103

    (e 1

    ) 1.780 106

    no intervalo [0.1, 1], pelo metodo da bisseccao com x0 = 0.1.

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    Com o criterio de paragem |f (xn)| < 104:x1 = 0.55 f (x1) = 327878.650632 x17 = 0.365216827393 f (x17) = 0.8283339x2 = 0.325 f (x2) = 63930.5493404 x18 = 0.365213394165 f (x18) = 4.735935x3 = 0.4375 f (x3) = 121336.159014 x19 = 0.365215110779 f (x19) = 1.9538028x4 = 0.38125 f (x4) = 26188.1277134 x20 = 0.365215969086 f (x20) = 0.5627351x5 = 0.353125 f (x5) = 19482.6488803 x21 = 0.365216398239 f (x21) = 0.1327992x6 = 0.3671875 f (x6) = 3197.7633636 x22 = 0.365216183662 f (x22) = 0.2149679x7 = 0.36015625 f (x7) = 8180.9199049 x23 = 0.365216290951 f (x23) = 0.0410844x8 = 0.363671875 f (x8) = 2501.2307709 x24 = 0.365216344595 f (x24) = 0.0458574x9 = 0.3654296875 f (x9) = 345.8490071 x25 = 0.365216317773 f (x25) = 0.0023865x10 = 0.36455078125 f (x10) = 1078.2946831 x26 = 0.365216304362 f (x26) = 0.0193489x11 = 0.364990234375 f (x11) = 366.3738534 x27 = 0.365216311067 f (x27) = 0.0084811x12 = 0.365209960938 f (x12) = 10.3001852 x28 = 0.36521631442 f (x28) = 0.0030473x13 = 0.365319824219 f (x13) = 167.7649694 x29 = 0.365216316096 f (x