Equações não Lineares

Equacoes nao lineares

Metodos Numericos e EstatsticosParte I-Metodos Numericos

Equacoes nao lineares

Lusa Morgado

Lic. Eng. Biomedica e Bioengenharia-2009/2010

Lusa Morgado Equacoes nao lineares

Equacoes nao lineares

Para determinarmos um valor aproximado das razes de uma equacao nao linear,convem notar inicialmente que varias situacoes diferentes podem ocorrer no querespeita a existencia e unicidade de solucao:

Nao existe solucaosin x 2 = 0;

Existe solucao e e unicax + 1 ex = 0;

Existe uma solucao multipla(x 3)2 = 0;

Existem varias solucoes, algumas delas multiplas

(x 1)(x )3 = 0;

Existe uma infinidade de solucoes

cos x = 0.8.

A maior parte dos metodos numericos para resolucao de equacoes nao lineares exige o

fornecimento de uma regiao que contenha as razes procuradas. Como tal, na

utilizacao de tais metodos, e necessario um estudo preliminar mnimo da funcao

envolvida na equacao.

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Equacoes nao lineares

Metodo Grafico

Um dos metodos mais elementares para localizar um zero de umafuncao e o metodo grafico.Imaginemos que pretendemos localizar os zeros da funcao

f (x) = ex 3x .

Notemos, em primeiro lugar que determinar os zeros de f eequivalente a determinar as razes da equacao

f (x) = 0 ex = 3x .

Assim sendo, ao utilizarmos o metodo grafico, em vez de fazermoso tracado do grafico de f e localizar os pontos onde este intersectao eixo dos xx , e mais simples se fizermos o tracado das funcoes ex

e 3x e localizar os pontos onde estes se intersectam.

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Equacoes nao lineares

-0.5 0.5 1 1.5 2x

2

4

6

y

3x

ex

Por analise dos graficos, podemos palpitar queexistem duas razes, x1 e x

2 da equacao e que

x1 [0, 1] e x2 [1, 2].

Convem sempre verificar analiticamente a existencia e a unicidade de tais razes nosrespectivos intervalos.Recordemos que

Se f e uma funcao contnua num intervalo [a, b] e se f (a) f (b) < 0, entao f tempelo menos um zero em [a, b].Se alem disso, x ]a, b[, f (x) 6= 0 entao, nesse intervalo, esse zero e unico .

Verifiquemos entao que sendo f (x) = ex 3x , existe um unico x1 [0, 1] tal quef (x1 ) = 0.

f (0) = 1 > 0, f (1) = e 3 < 0, logo f (0) f (1) < 0;f (x) = ex 3 so se anula em ln 3 ' 1.1, logo x ]0, 1[, f (x) 6= 0.

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Metodos Numericos para equacoes nao lineares

Os metodos que iremos estudar sao iterativos, i.e., fornecem-nosuma sucessao de valores x1, x2, . . ., os quais, em caso deconvergencia da sucessao, se irao aproximar da solucao x de umaequacao f (x) = 0.Esta sucessao e definida por recorrencia, necessitando de uma oumais aproximacoes iniciais, conforme o metodo.

A utilizacao de um metodo iterativo coloca-nos, a partida tresproblemas:

1 construcao do metodo;

2 estudo da convergencia da sucessao de aproximacoesx1, x2, . . . fornecida pelo metodo;

3 analise da velocidade de convergencia.

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Criterios de paragem

Como e impossvel efectuar um numero infinito de iteracoes , seranecessario parar apos a obtencao de uma aproximacao xN . Istocoloca-nos outro problema: o da escolha de um criterio deparagem, dependente da precisao pretendida.Suponhamos que pretendemos determinar uma aproximacao xn daraz x da equacao f (x) = 0, localizada num intervalo I = [a, b],tal que |xn x| < .Existem varios criterios de paragem, p.e.:

(i) Criterio do erro absoluto: |xn xn1| < ;(ii) Criterio do erro relativo: |xnxn1||xn| < ;

(iii) Numero maximo de iteracoes: n = nmax . Estecriterio costuma usar-se como factor de seguranca,para o caso do metodo divergir, e como tal e usualusa-lo juntamente com outro criterio;

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(iv) no caso de f C 1 (I ), sabemos, pelo teorema dovalor medio de Lagrange que

f (xn)f (x) = f () (xn x) , para algum I .Sendo f () 6= 0, podemos dizer

|xn x| =|f (xn) f (x)||f ()|

.

Como f (x) = 0 e e desconhecido:

|xn x| |f (xn)|

minxI |f ()|,

e desta forma obtem-se o criterio de paragem

|f (xn)|minxI |f ()|

< .

Note-se que se f tomar valores muito pequenos,mesmo nao sendo nulos, este deixa de ser um criteriorazoavel;

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(v) Criterio do valor da funcao: |f (xn)| < .Este criterio pode nao ser uma boa escolha sempreque o grafico de f esteja muito proximo do eixo dosxx , pois assim pode ser verificado o criterio deparagem e no entanto xn estar longe de x

.

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Ordem de convergencia

Chamamos ordem de convergencia de uma sucessao conver-gente (xn)nN, a maior potencia p 1 tal que

|xn+1 x| k |xn x|p ,

para algum 0 < k < 1. A k da-se o nome de factor de con-vergencia.Se p = 1, dizemos que a convergencia e linear; se p > 1, aconvergencia diz-se supra-linear.

Assim, quanto maior for a ordem de convergencia de um metodo,mais rapido ele e no fornecimento de uma boa aproximacao dasolucao; Se dois metodos tiverem a mesma ordem de convergencia,e mais rapido aquele que apresentar um factor de convergenciamenor.

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No caso de convergencia linear, sao validas as seguintes ma-joracoes:

|xn x| 1

1 k|xn xn+1|

|xn+1 x| k

1 k|xn xn+1|

No caso de convergencia supra-linear:

|xn x| |xn xn+1|

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Metodo da Bisseccao

O teorema de Bolzano sugere-nos um processo muito simples paraobter uma aproximacao do zero de uma funcao f :Supondo que

1. f e contnua em [a, b],2. f (a) f (b) < 0,3. ]a, b[, f (x) 6= 0,

i.e existe um unico zero da funcao f no interior do intervalo [a, b],o processo consiste em dividir o intervalo dado ao meio,obtendo-se assim os dois subintervalos[

a,a + b

2

]e

[a + b

2, b

]e depois testar a condicao 2. nestes dois intervalos para determinarqual deles contem a raz.O processo e repetido para o novo subintervalo contendo a raz ateque se obtenha a precisao pretendida.

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Condicao suficiente de convergencia:f contnua em [a, b]f (a)f (b) < 0

Inicializacao:a0 = a, b0 = bx0 = a ou x0 = b

Ciclo:Para m 0 fazer

xm+1 =am+bm

2Se |xm+1 xm| ou f (xm+1)

entao fazer x xm+1 e pararcaso contrario

Se f (xm+1) f (am) < 0 entao fazeram+1 = am e bm+1 = xm+1

senaoam+1 = xm+1 e bm+1 = bm

Metodo da bisseccao

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Equacoes nao lineares

Se x e o zero de f localizado no intervalo [an, bn], entao

|xn+1 x| |xn+1 xn| .

Por outro lado, prova-se facilmente que

|bn an| =1

2n(b a)

e que

|xn+1 x| bn an

2ou |xn x|

b a2n

, n 0.

No caso do metodo da bisseccao nao existe nenhuma constante k, 0 < k < 1 quesatisfaca

|xn+1 x| k |xn x| ou |xn x| kn |x0 x| , n 0.

No entanto, se considerarmos que um metodo tem convergencia linear quando

|xn x| kn(b a), n 0, podemos afirmar que o metodo da bisseccao convergelinearmente, com factor de convergencia k = 1

2.

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Exemplo

O numero de indivduos de uma populacao pode ser dado, numcurto perodo de tempo, pela funcao

N(t) = N0et +

(et 1

),

onde representa a taxa anual de imigracao, a taxa anual denatalidade e N0 o numero de indivduos no instante inicial.Sabe-se que uma dada populacao possui inicialmente um milhaode indivduos, que 281 103 imigraram para a comunidade duranteo primeiro ano e que no fim desse ano existem 1.780 106 deindivduos. Pretende-se determinar a taxa de natalidade dessapopulacao nesse ano.

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Equacoes nao lineares

Para determinarmos a taxa de natalidade, temos que resolver aequacao nao linear

1.780 106 = 106e + 281 103

(e 1

).

Vamos faze-lo determinando o zero da funcao

f () = 106e +281 103

(e 1

) 1.780 106

no intervalo [0.1, 1], pelo metodo da bisseccao com x0 = 0.1.

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Equacoes nao lineares

Com o criterio de paragem |f (xn)| < 104:x1 = 0.55 f (x1) = 327878.650632 x17 = 0.365216827393 f (x17) = 0.8283339x2 = 0.325 f (x2) = 63930.5493404 x18 = 0.365213394165 f (x18) = 4.735935x3 = 0.4375 f (x3) = 121336.159014 x19 = 0.365215110779 f (x19) = 1.9538028x4 = 0.38125 f (x4) = 26188.1277134 x20 = 0.365215969086 f (x20) = 0.5627351x5 = 0.353125 f (x5) = 19482.6488803 x21 = 0.365216398239 f (x21) = 0.1327992x6 = 0.3671875 f (x6) = 3197.7633636 x22 = 0.365216183662 f (x22) = 0.2149679x7 = 0.36015625 f (x7) = 8180.9199049 x23 = 0.365216290951 f (x23) = 0.0410844x8 = 0.363671875 f (x8) = 2501.2307709 x24 = 0.365216344595 f (x24) = 0.0458574x9 = 0.3654296875 f (x9) = 345.8490071 x25 = 0.365216317773 f (x25) = 0.0023865x10 = 0.36455078125 f (x10) = 1078.2946831 x26 = 0.365216304362 f (x26) = 0.0193489x11 = 0.364990234375 f (x11) = 366.3738534 x27 = 0.365216311067 f (x27) = 0.0084811x12 = 0.365209960938 f (x12) = 10.3001852 x28 = 0.36521631442 f (x28) = 0.0030473x13 = 0.365319824219 f (x13) = 167.7649694 x29 = 0.365216316096 f (x