Equacoes simultaneas

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Text of Equacoes simultaneas

  • Equaes Simultneas

    Aula 16

    Gujarati, 2011 Captulos 18 a 20

    Wooldridge, 2011 Captulo 16

  • 2

    Durante boa parte do desenvolvimento dos contedos desta

    disciplina, ns nos preocupamos apenas com modelos de

    regresso com uma nica equao, isto , com modelos em que

    h uma nica varivel dependente e uma ou mais variveis

    explicativas.

    Nesses modelos, o destaque foi a estimao do valor mdio da

    varivel resposta (dependente), condicionado aos valores das

    variveis explicativas (regressores).

    Introduo

  • 3

    A relao de causa e efeito, nesses modelos, se existir, vai das

    variveis explicativas para a varivel resposta.

    Porm, existem casos onde essa relao unidirecional no faz

    muito sentido.

    Isso ocorre quando a varivel resposta determinada por um

    grupo de variveis explicativas e algumas dessas (endgenas),

    por sua vez, so determinadas pela varivel resposta.

    Introduo

  • 4

    Ou seja, h uma relao de mo dupla, ou simultnea entre a

    varivel resposta e alguns regressores endgenos, o que torna a

    distino entre variveis dependentes e independentes de valor

    duvidoso.

    O melhor, ento, agrupar um conjunto de variveis que possam

    ser determinadas simultaneamente pelo conjunto restante de

    variveis exatamente o que fazem os modelos de equaes

    simultneas.

    Introduo

  • 5

    Assim, nos modelos de equaes simultneas h mais de uma

    equao uma para cada varivel endgena.

    E diferentemente dos modelos de uma nica equao, nos

    modelos de equaes simultneas no podemos deixar de

    estimar os parmetros de uma equao (a identificada) sem levar

    em conta as informaes proporcionadas pelas demais equaes

    do sistema.

    Introduo

  • fato bem conhecido que o preo, P, de um bem e a

    quantidade, Q, vendida so determinados pela interseco

    das curvas de demanda e oferta desse bem.

    Para simplificar, vamos supor que as curvas de oferta e

    demanda sejam lineares e, ainda, acrescentando os choques

    aleatrios, u1 e u2, podemos escrever as equaes de oferta e

    demanda empricas como:

    MODELO DE OFERTA E DEMANDA

    Exemplo 1

  • 7

    ) (iii Qbrio: Qde equilCondio

    (ii), uP Q oferta: Funo de

    (i), uP Q demanda:Funo de

    O

    t

    d

    t

    tt

    O

    t

    tt

    d

    t

    0

    0

    2221

    2121

    MODELO DE OFERTA E DEMANDA

    Exemplo 1

  • q

    p

    Curva de oferta positivamente inclinada

    D1D2

    S

    Do slide anterior, podemos entender o seguinte:

    Se a curva de oferta tiver inclinao positiva e o choque

    u1,t, em (i), variar, em decorrncia de alteraes nas

    variveis que afetam a quantidade demandada, a curva

    da demanda se deslocar para cima, se u1,t for

    positivo, ou para baixo, se u1,t for negativo.

    Entretanto, como mostra a figura anterior, um

    deslocamento na curva de demanda provoca

    alteraes tanto em Qt quanto em Pt. Ou seja, u1,t e Pt ,

    em (i), no podem ser consideradas independentes.

    MODELO DE OFERTA E DEMANDA

    Exemplo 1

  • 9

    De (iii), vem que

    ot

    dt Q

    tt

    Q

    tt uPuP 221121

    DEMONSTRAO (Exemplo 1)

    Voltando s equaes de interesse

    ) (iii Qbrio: Qde equilCondio

    (ii), uP Q oferta: Funo de

    (i), uP Q demanda:Funo de

    O

    t

    d

    t

    tt

    O

    t

    tt

    d

    t

    0

    0

    2221

    2121

  • Isolando o preo, temos que

    Assim, podemos calcular a covarincia, por exemplo, entre Pt

    e o choque u1t :

    DEMONSTRAO (Exemplo 1)

  • Simultaneidade: uma ou mais variveis explicativas so

    determinadas conjuntamente com a varivel

    dependente. Desta maneira, existe dependncia

    entre variveis explicativas e o termo de erro

    aleatrio.

    Exemplo clssico: oferta e demanda por um produto ou fator de

    produo.

    Quando h simultaneidade, o mtodo dos mnimos quadrados

    gera estimadores viesados e inconsistentes.

    Simultaneidade

  • Wooldridge (2012), supe que salrio e consumo de bebidas

    alcolicas (alcool) sejam determinados pelo seguinte modelo de

    equaes simultneas:

    em que

    preo denota o ndice de preo local do lcool, que inclui os

    impostos locais e estaduais;

    educ tempo de escolaridade (em anos).

    1210)log( ueducalcoolsalario

    23210 )log()log( upreoeducsalarioalcool

    Exemplo 2

  • Romer (1993), discute, a partir da construo de diversos

    modelos tericos, que pases mais abertos devem ter taxas de

    inflao mais baixas. Basicamente o autor tem o seguinte sistema

    de equaes em mente:

    em que

    taxa de inflao;

    rendapc renda per capita de 1980, em dlares;

    abertura participao mdia das importaes no PIB;

    rea rea do pas (em milhas quadradas).

    1210 )log( urendapcabertura

    23210 )log( uarearendapcabertura

    Exemplo 3

  • 14

    Por problema de identificao entendemos a possibilidade de

    recuperar, ou no, os parmetros de uma equao estrutural

    (aquela que retrata a estrutura de uma economia ou o

    comportamento de um agente econmico) a partir dos

    coeficientes estimados na forma reduzida.

    Identificao de Uma Equao Estrutural

    Problema de identificao

  • 15

    Uma equao na forma reduzida aquela que expressa uma

    varivel endgena apenas em termos das variveis exgenas

    e dos termos de erros estocsticos.

    Forma Reduzida

    Identificao de Uma Equao Estrutural

  • 16

    Se a recuperao dos parmetros estruturais puder ser

    feita, com base nos parmetros da forma reduzida, ento

    dizemos que a equao estrutural em pauta identificada.

    Caso a recuperao no possa ser concretizada, ento a

    equao estrutural em pauta dita no identificada (ou

    subidentificada).

    Problema de identificao (cont.)

    Identificao de Uma Equao Estrutural

  • 17

    Quando identificada, uma equao estrutural pode ser

    exatamente identificada (quando possvel obter valores

    exatos dos parmetros estruturais) ou superidentificada

    (quando mais de uma valor numrico puder ser obtido para

    alguns dos parmetros estruturais).

    Problema de identificao (cont.)

    Identificao de Uma Equao Estrutural

  • 18

    ) (iii Qbrio: Qde equilCondio

    (ii), uP Q oferta: Funo de

    (i), uP Q demanda:Funo de

    O

    t

    d

    t

    tt

    O

    t

    tt

    d

    t

    0

    0

    2221

    2121

    Voltando ao Exemplo 1

    Considerando o seguinte modelo de equaes simultneas:

    A equao (i) est identificada? E a equao (ii)? Justifique

    adequadamente as suas respostas.

  • 19

    Via (iii), podemos obter

    (forma reduzida para o preo)

    ot

    dt Q

    tt

    Q

    tt uPuP 221121

    E isolando o preo, temos

    Soluo

  • 20

    Analogamente, podemos encontrar a forma reduzida para Qt

    da seguinte maneira:

    (a) isolando o preo em (i);

    (b) substituindo o resultado encontrado em (a) em (ii).

    Do exposto, temos que

    (forma reduzida para a quantidade)

    22

    22

    1222

    22

    1221

    ttt

    uuQ

    Soluo

  • Nos slides anteriores encontramos a forma reduzida para o

    preo, dada por:

    (R1)

    22

    111

    11 tP

    em que

    22

    121

    tt

    uue

    Note que o parmetro pode ser estimado por MQO, dada a definio de forma reduzida.

    Soluo

  • (R2)22 tQ

    22

    12212

    22

    12222

    tt

    uu

    em que

    e

    Note que o parmetro pode ser estimado por MQO, dada a definio de forma reduzida.

    Tambm, encontramos a forma reduzida para a quantidade,

    dada por:

    Soluo

  • As equaes (R1) e (R2) so equaes na forma reduzida

    para o preo e para a quantidade, respectivamente.

    Nelas, alm de ser possvel observar que existem apenas

    dois parmetros envolvidos tambm possvel notar que tais

    parmetros podem ser estimados por MQO, dada a definio

    de forma reduzida.

    Ainda, possvel observar que tais parmetros das formas

    reduzidas so combinaes dos parmetros estruturais.

    Soluo

  • Ou seja, poderamos tentar, de forma indireta, atravs da

    estimao dos parmetros da forma reduzida, por MQO,

    recuperar os parmetros estruturais.

    Tal metodologia recebe o nome de mnimos quadrados

    indiretos (MQI).

    Todavia, no caso em estudo, no difcil perceber que

    impossvel recuperar todos os parmetros estruturais, de

    forma indireta, de qualquer uma das duas equaes

    estruturais. Dessa forma, pela definio de identificao,

    ambas as equaes estruturais no sistema so ditas

    subidentificadas.

    Soluo

  • Definio. A primeira equao em um modelo de equaes

    simultneas com duas equaes ser identificada

    se, e somente se, a segunda equao contiver ao

    menos uma varivel exgena (com coeficiente

    diferente de zero) que esteja excluda da primeira

    equao.

    Nota: A identificao da segunda equao , naturalmente,

    apenas a imagem espelhada da declarao para a

    primeira equao.

    Condio de Classificao

    Mtodos de Identificao

  • ) (iii Qbrio: Qde equilCondio

    (ii), uP Q oferta: Funo de

    (i), uP Q demanda:Fun