EquaçõesDiferenciais - ?· emordemaumavariávelindependentedesigna-seequação diferencialordinária(EDO).…

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  • Apontamentos de

    Equaes Diferenciais

    (Complementos de Anlise Matemtica EE)

    Jorge Figueiredo, Carolina Ribeiro

    Departamento de Matemtica e Aplicaes

    Universidade do Minho

    2013

    Departamento de Matemtica e Aplicaes J. Figueiredo, C. Ribeiro 2013

    Universidade de Minho

  • Departamento de Matemtica e Aplicaes J. Figueiredo, C. Ribeiro 2013

    Universidade de Minho

  • Contedo

    I Equaes Diferenciais Ordinrias 1

    1 Introduo s equaes diferenciais 31.1 Equaes diferenciais: Algumas definies e classificaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Solues de equaes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Problemas de valores iniciais e problemas de valores de fronteira . . . . . . . . . . . . . 19

    1.3.1 Problemas de valores iniciais e problemas de valores de fronteira . . . . . . . . . 191.3.2 Existncia e unicidade de soluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.4 Solues dos exerccios do Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2 Resoluo analtica de equaes diferenciais de primeira ordem 292.1 Algumas formas de representao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Equaes diferenciais exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Equaes diferenciais exatas e fatores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Equaes diferenciais de variveis separveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5 Equaes diferenciais homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.6 Equaes diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.7 Equaes diferenciais de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.8 Aplicao determinao de trajetrias ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.9 Exerccios de reviso do Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.10 Solues dos exerccios do Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    3 Resoluo analtica de equaes diferenciais lineares de ordem n 1033.1 Introduo s equaes diferenciais lineares de ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.2 Propriedades das equaes diferenciais lineares homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3 Propriedades das equaes diferenciais lineares no homogneas . . . . . . . . . . . . . . 1173.4 A equao linear homognea com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.5 O mtodo dos coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.6 O mtodo de variao das constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.7 A equao de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.8 Exerccios de reviso do Captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.9 Solues dos exerccios do Captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

    4 A Transformada de Laplace 1694.1 Definio, existncia e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2 A transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    4.2.1 A convoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    iii

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    Universidade de Minho

  • 4.3 Aplicaes da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.3.1 Soluo de problemas de valores iniciais envolvendo equaes diferenciais lineares

    com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.3.2 Soluo de problemas de valores iniciais envolvendo sistemas de equaes difer-

    enciais lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.4 Exerccios de reviso do Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.5 Solues dos exerccios do Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

    II Equaes Diferenciais Parciais 227

    5 Introduo s equaes diferenciais parciais 2295.1 Problemas com condies de fronteira: valores prprios e funes prprias . . . . . . . . 2295.2 Classificao de equaes diferenciais parciais de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . 2435.3 O princpio da sobreposio e o princpio da subtrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485.4 Exerccios de reviso do Captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2505.5 Solues dos exerccios do Captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

    6 Separao de variveis, sries de Fourier e aplicaes 2536.1 O mtodo de separao de variveis: aplicao a EDPs lineares de primeira ordem . . . 2536.2 A equao de calor; separao de variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.3 Sries de Fourier: definio e principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

    6.3.1 Sries de Fourier de cossenos e sries de Fourier de senos . . . . . . . . . . . . . . 2786.4 Aplicao equao de calor, equao de onda e equao de Laplace . . . . . . . . . . . 2986.5 Exerccios de reviso do Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.6 Solues dos exerccios do Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

    Departamento de Matemtica e Aplicaes J. Figueiredo, C. Ribeiro 2013

    Universidade de Minho

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  • Estes apontamentos so baseados nos livros:

    Braun M., Differential Equations and Their ApplicationsSpringer-Verlag, 1992 (4 edio)

    Pinsky M.A., Partial Differential Equations and Boundary-Value Problems with ApplicationsMcGraw-Hill International Editions, 1998 (3 edio)

    Ross S.L., Differential EquationsJohn Wiley, 1989 (4 edio)

    O presente texto reflete, em boa medida, a experincia dos autores na lecionao da unidade curricular deComplementos de Anlise Matemtica (EE) quer a vrios cursos da Escola de Engenharia da Universidade doMinho, quer ao curso de Licenciatura em Estatstica Aplicada da Escola de Cincias da Universidade do Minho.

    Universidade do Minho, dezembro 2013

    Departamento de Matemtica e Aplicaes J. Figueiredo, C. Ribeiro 2013

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  • Parte I

    Equaes Diferenciais Ordinrias

    1

    Departamento de Matemtica e Aplicaes J. Figueiredo, C. Ribeiro 2013

    Universidade de Minho

  • Departamento de Matemtica e Aplicaes J. Figueiredo, C. Ribeiro 2013

    Universidade de Minho

  • Captulo 1

    Introduo s equaes diferenciais

    1.1 Equaes diferenciais: Algumas definies e classificaes

    Definio 1.1 Uma equao envolvendo derivadas de uma ou mais variveis dependentes (as incg-nitas) em ordem a uma ou mais variveis independentes designa-se equao diferencial.

    Exemplo 1.1 So equaes diferenciais

    x2d2y

    dx2 xy

    (dy

    dx

    )4= 0, (1.1)

    d3v

    dt3+ 5v

    dv

    dt= cos t, (1.2)

    2u

    x2+2u

    y2+ 2

    2u

    z2= 0, (1.3)

    v

    s+w

    t= w v. (1.4)

    Definio 1.2 Uma equao diferencial envolvendo derivadas de uma ou mais variveis dependentesem ordem a uma varivel independente designa-se equao diferencial ordinria (EDO).

    Exemplo 1.2 As equaes (1.1) e (1.2) so exemplos de equaes diferenciais ordinrias (EDOs).

    Definio 1.3 Uma equao diferencial envolvendo derivadas parciais de uma ou mais variveis de-pendentes em ordem a mais do que uma varivel independente designa-se equao diferencial par-cial (EDP).

    Exemplo 1.3 As equaes (1.3) e (1.4) so exemplos de equaes diferenciais parciais (EDPs).

    As equaes diferenciais, quer ordinrias, quer parciais, so ainda classificadas de acordo com aordem da derivada de ordem mais elevada que nelas figura.

    Definio 1.4 A ordem de uma equao diferencial a ordem mxima da(s) derivada(s) quenela figura(m).

    3

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  • 4 1. Introduo s equaes diferenciais

    Exemplo 1.4 Assim, a equao (1.1) uma equao diferencial ordinria de segunda ordem (e no dequarta ordem!). A equao (1.2) uma equao diferencial ordinria de terceira ordem. As equaes(1.3) e (1.4) so equaes diferenciais parciais de segunda e primeira ordem, respetivamente.

    Pode-se, ainda, classificar as equaes diferenciais ordinrias quanto sua linearidade (o mesmoacontece, como veremos mais adiante, com as equaes diferenciais parciais).

    Definio 1.5 Seja I um intervalo aberto da reta real. Uma equao diferencial ordinria linearde ordem n, na varivel dependente y e na varivel independente x, uma equao que (ou pode ser)expressa da seguinte forma

    a0(x)dny

    dxn+ a1(x)

    dn1y

    dxn1+ + an1(x)

    dy

    dx+ an(x)y = b(x), (1.5)

    onde as funes a0, a1, . . . , an so funes (conhecidas) contnuas no intervalo I e a funo a0 no seanula nesse intervalo.

    No caso de se tratar de uma equao diferencial de primeira ordem (n = 1), ento (1.5) assume aforma

    a0(x)dy

    dx+ a1(x)y = b(x), (1.6)

    resultando, para o caso n = 2,

    a0(x)d2y

    dx2+ a1(x)

    dy

    dx+ a2(x)y = b(x).

    Definio 1.6 Uma equao diferencial ordinria no linear uma equao diferencial or-dinria que no pode ser expressa na forma (1.5).

    Exemplo 1.5 Constituem exemplos de equaes diferencias ordinrias lineares, supondo y = y(x),

    d2y

    dx2 5dy

    dx+ 3y = 0,

    dy

    dx+ (cosx) y = 0, (1.7)

    xd3y

    dx3+ xex

    dy

    dx+ x3y = cosx,

    d3y

    dx