EquaçõesDiferenciaisOrdinárias: uma ...· Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem

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Text of EquaçõesDiferenciaisOrdinárias: uma ...· Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem

Juciara Alves Ferreira

Equaes Diferenciais Ordinrias: umaabordagem computacional utilizando o software

wxMaxima

Rio Grande, Rio Grande do Sul, Brasil

Dezembro, 2017

Colaboradores

Universidade Federal do Rio Grandehttp://www.furg.br

Instituto de Matemtica, Estatstica e Fsicahttp://www.imef.furg.br

http://www.furg.brhttp://www.imef.furg.br

O abandono da Matemticatraz dano a todo o conhecimento,

pois aquele que a ignora nao pode conheceras outras cincias ou as coisas do mundo.

(Roger Bacon)

ResumoNeste trabalho de concluso de curso apresentado um estudo sobre as Equaes Di-ferenciais Ordinrias de Primeira e Segunda Ordem. Onde nos primeiros captulos sorealizados uma reviso sobre a teoria das Equaes Diferenciais Ordinrias e aliada a essateoria so resolvidos dois problemas de aplicao: o problema da administrao de glicosee da absoro de remdios. Estes problemas so resolvidos analiticamente e atravs dosoftware simblico wxMaxima.

Palavras-chaves: Equaes Diferenciais Ordinrias, Administrao de glicose, Absorode remdios, wxMaxima.

AbstractIn this final paper is presented a study of first and second order ordinary differentialequations. Where in the first chapters a review is made on the theory of ordinary diffe-rential equations and combined with this theory are solved two problems of application:the problem of glucose administration and drug absorption. These problems are solvedanalytically and through the symbolic software wxMaxima.

Key-words: differential equations, glucose administration, drug absorption, wxMaxima.

Lista de ilustraes

Figura 1 Campo de direes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Figura 2 Administrao da glicose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 3 Absoro de remdios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Lista de tabelas

Tabela 1 Comandos do wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Sumrio

1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 EQUAES DIFERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1 Classificao quanto ao tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Equaes Diferenciais Ordinrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Classificao quanto ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Linearidade das Equaes Diferenciais Ordinrias . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Solues de Equaes Diferenciais Ordinrias . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Soluo Explcita de uma EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 Soluo Implcita de uma EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1 Curvas integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 PVI de Primeira e Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Campo de Direes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE PRIMEIRA ORDEM 163.1 Obteno de Solues de Equaes Diferenciais de Primeira Ordem 163.1.1 Mtodo de separao de variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.2 Equao Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.3 Equaes Diferenciais No-Exatas - Fator Integrante . . . . . . . . . . . . 183.1.4 Equaes Homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.4.1 Mtodo de soluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.5 Equaes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.5.1 Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS LINEARES DE SE-GUNDA ORDEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Equaes Homogneas e No-homogneas . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Problemas de Valor Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Teorema da Existncia de Soluo nica . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Princpio da Superposio: Equaes Homogneas . . . . . . . . . . 244.5 Dependncia Linear e Independncia Linear . . . . . . . . . . . . . . 244.6 Teorema do Critrio para Independncia Linear de Funes . . . . . 254.7 Soluo de Equaes Homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.7.1 Equao caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.8 Equaes Diferenciais de Segunda Ordem No-Homogneas . . . . 28

4.8.1 Soluo Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.8.2 Soluo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.8.3 Princpio de Superposio: equaes no-homogneas . . . . . . . . . . . . 294.8.4 Mtodo dos Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.8.4.1 Demonstrao do Mtodo dos Coeficientes Indeterminados - caso em que () uma

funo polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.8.5 Variao de Parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 APLICAES COM SOFTWARE WXMAXIMA . . . . . . . . . . . 335.1 Software wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Problema da administrao de glicose . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Problema de Absoro de remdios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 CONCLUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ANEXOS 44

ANEXO A COMANDOS DO WXMAXIMA . . . . . . . . . . . . 45

9

1 Introduo

Os conceitos iniciais acerca das equaes diferenciais comearam a ser desenvolvi-dos no final do sculo XVII com o surgimento da teoria do Clculo a partir dos estudosde Newton e Leibniz. Suas tcnicas de derivao e integrao foram utilizadas na soluodas chamadas equaes diferenciais. Segundo (ZILL, 2003), esta terminologia sugere al-gum tipo de equao que envolve derivadas. A teoria das equaes diferenciais, segundo(DIACU, 2004) foi aplicada inicialmente nas chamadas cincias fsicas, posteriormente,foi estendida a outras atividades humanas. O estudo das equaes diferenciais extrema-mente importante no estudo de crescimento populacional humano, decaimento radioativo,predador-presa, pois tais equaes modelam, matematicamente, fenmenos de diversasreas das cincias. Um modelo matemtico um conjunto de smbolos e relaes mate-mticas que representam de alguma forma o objeto estudado, podendo ser consideradocomo uma sntese da reflexo sobre alguma parte da realidade cujo objetivo explicarou entender a situao estudada para, eventualmente, poder agir sobre ela. Assim, para(BASSANEZI; JR., 1988), a partir da soluo de uma equao diferencial possvel fazerprevises, tomar decises, participar do mundo real com capacidade de influenciar emsuas mudanas.

Desde o sculo XVII at meados do sculo XIX, Newton pensava que ao solucionaruma equao diferencial, era possvel determinar tal soluo de uma forma explcita, ouseja, uma relao clara entre a varivel dependente e as variveis independentes. Entre-tanto, no decorrer do tempo, os estudiosos perceberam que apenas um pequeno nmerode equaes possua uma soluo possvel de ser escrita explicitamente, em termos defunes elementares. Ento,(FIGUEIREDO; NEVES, 2001), a partir desta constataogerou uma busca por novos mtodos de soluo, surgindo, assim, o uso de sries de fun-es na resoluo das equaes diferenciais. Alm disso, no decorrer do sculo XIX, quea Anlise Matemtica passa a ganhar rigor e formalismo em suas demonstraes, o quegera dvidas em relao a confiabilidade dos mtodos propostos por Newton para obtersolues. Ainda nessa poca, estudos permitiram a elaborao dos teoremas da existnciae unicidade da soluo, impulssionando o desenvolvimento da teoria das equaes dife-renciais. Para (FIGUEIREDO; NEVES, 2001) tais teoremas marcam o incio da fasemoderna, com o surgimento das teorias de Henri Poincar (1854 - 1912). A partir destemomento, busca-se retirar da equao diferencial informaes sobre o comportamento desuas solues, sem a preocupao de descrev-las explicitamente.

Assim o presente trabalho tem como tema o estudo das equaes diferenciais, ex-pressar suas solues analiticamente e tambm obt-las usando o software de computaosimblica wxMaxima. Este software permite estudar o comportamento das solues das

Captulo 1. Introduo 10

equaes ordinrias lineares de primeira e segunda ordem de modo qualitativo, atravsda representao grfica. Os dois problemas de aplicao apresentados sero resolvidoscom o wxMaxima. Embora tais problemas possuam solues facilmente obtidas de modoanaltico, o objetivo deste trabalho mostrar que este software pode ser consideradoum importante auxlio para a resolues das equaes diferenciais. Inmeros trabalhosde concluso de curso e monografias abordam conceitos acerca de equaes diferenciaisordinrias e suas aplicaes (NBREGA, 2016), (ARAJO, 2011), (ALITOLEF, 2011),entretanto abordam problemas clssicos, como o estudo de vibraes, sistema massa-molaou crescimento populacional e no utilizam o software wxMaxima como recurso compu-tacional para encontrar a soluo.

Para atingir o objetivo proposto, este trabalho est organizado da seguinte forma:inicialmente, no captulo 2, apresenta-se uma introduo ao estudo de equaes diferenci-ais, com definies e teoremas importantes, so tambm discutidas as condies necess-rias para a existncia e unicidade de uma soluo, os campos de direes e as solues apartir do problema de valor inicial. No captulo 3, desenvolvem-se os mtodos de resoluoe teoremas necessrios para determinar as solues dos problemas de aplicao propostos.J no captulo 4, estudam-se as equaes diferenciais ordinrias de segunda ordem ondeso demonstrados as equaes lineares com coeficientes