Equacoes Trigonometricas

Prof. Marcio Nascimentomarcio@matematicauva.org

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Matematica Basica II - 2014.2

25 de marco de 2015

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Exemplo (1)

Resolver a equacao 2senx − 1 = 0

2senx − 1 = 0 ⇐⇒ 2senx = 1 ⇐⇒ senx =1

2

Isso ocorre quando x =π

6rad ou x =

5π

6rad

E tambem quando x =π

6+ 2kπ ou x =

5π

6+ 2kπ

S ={

x ∈ R ; x = (π6 + 2kπ)rad ou x = ( 5π6 + 2kπ)rad , k ∈ Z

}

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Exemplo (2)

Resolver a equacao 2senx − 3 = 0

2senx − 3 = 0 ⇐⇒ 2senx = 3 ⇐⇒ senx =3

2

Como nao existe x ∈ R tal que senx =3

2, o conjunto solucao

da equacao dada e vazio.

S = { } ou S = ∅

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Exemplo (3)

Resolver a equacao cos(x − 250) = −√2

2

Na primeira volta, x − 250 = 1350 ou x − 250 = 2250

Isso implica que x = 1600 ou x = 2500

Considerando todos os valores de x , temos:x = 1600 + k .3600 ou x = 2500 + k .3600.

S ={

x ∈ R ; x = (160 + 360k)0 ou x = (250 + 360k)0, k ∈ Z}

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Exemplo (4)

Resolver a equacao 3senx − 2 = 7senx − 1, com 00 ≤ x < 3600

3senx − 7senx = −1 + 2 ⇐⇒ 4senx = −1 ⇐⇒ senx = −1

4

arcsen

(

−1

4

)

= −0.2527rad = −14.48360 = 345, 51640

Veja que x tambem pode ser igual a 194.48360.

S ={

194.48360; 345.51640}

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Exemplo (5)

Resolver a equacao 2 cos2 x − 9 cos x = 5, com x ∈ [0, 2π)

Fazendo cos x = y , temos: 2y2 − 9y − 5 = 0O discriminante desta equacao e: ∆ = 121

Portanto, para esta equacao, podemos ter y = 5 ou y = −1

2

Ou seja, cos x = 5 ou cos x = −1

2Como nao ocorrre cos x > 1, entao cos x = 5 deve serdesconsiderado.

S =

{

2π

3,4π

3

}

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Exemplo (6)

Resolver a equacao 2 cos x − 1 = sec x, com x ∈ [0, 2π)

2 cos x − 1 = sec x ⇐⇒ 2 cos x − 1 = 1cos x ⇐⇒

2 cos2 x − cos x = 1

Fazendo cos x = y , temos 2y2 − y − 1 = 0 e ∆ = 9

Portanto, para esta equacao, podemos ter y = 1 ou y = −1

2

Ou seja, cos x = 1 ou cos x = −1

2

e, portanto, x = 0 ou x =2π

3ou x =

4π

3

S =

{

0,2π

3,4π

3

}

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Exemplo (7)

Resolver a equacao sen2x +√2 cos x = 0, com x ∈ [0, 3600)

Lembrando que sen2x = 2.senx . cos x , temos:

sen2x +√2 cos x = 0 ⇐⇒ 2.senx . cos x +

√2 cos x = 0

Ou ainda, cos x .(2senx +√2) = 0

Assim, cos x = 0 ou 2senx +√2 = 0

A primeira igualdade implica em x = 900 ou x = 2700.

Ja a segunda igualdade implica em senx = −√2

2, isto e,

x = 2250 ou x = 3150.

S ={

900, 2700, 2250, 3150}

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Exemplo (8)

Resolver a equacao cos 2x + 3senx − 2 = 0, com x ∈ [0, 3600)

Lembrando que cos 2x = cos2 x − sen2x , temos:

cos 2x + 3senx − 2 = 0 ⇐⇒ (cos2 x − sen2x) + 3senx − 2 = 0

Ou ainda, (1− sen2x)− sen2x + 3senx − 2 = 0

Que, organizando, resulta em: 2sen2x − 3senx + 1 = 0.

Fazendo senx = y , a equacao equivale a 2y2 − 3y + 1 = 0,cujo discriminante e ∆ = 1

Daı, y = 1 ou y =1

2, ou seja,

senx = 1 ou senx =1

2S =

{

300, 900, 1500}

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Exemplo (9)

Resolver a equacao senx − cos x = 1, com x ∈ [0, 2π)

senx = 1 + cos x

Daı,sen2x = (1 + cos x)2 ⇐⇒ (1− cos2 x) = 1 + 2 cos x + cos2 x

Ou seja, −2 cos2 x − 2 cos x = 0 =⇒ cos2 x + cos x = 0

Isso equivale a: cos x(cos x + 1) = 0. Isto e, cos x = 0 oucos x = −1.

Se cos x = 0, entao x = π/2 ou x = 3π/2

Se cos x = −1, entao x = π.

S = {π/2, π, 3π/2}. Sera?Checando, vemos que 3π/2 nao torna verdadeira a igualdade!Por que!?

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Exemplo (10)

Resolver a equacao cos 2x =

√3

2, com x ∈ [0, 3600)

Resposta...

S ={

150, 1650, 1950, 3450}

.

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Exemplo (11)

Resolver a equacao tg3x = 1, com x ∈ [0, π)

Resposta...

S =

{

π

12,5π

12,3π

4

}

.

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Exemplo (12)

Resolver a equacao sen2x . cos x + cos 2x .senx =

√2

2, com

x ∈ [0, 2π)

Resposta...

S =

{

π

12,π

4,3π

4,11π

2,17π

12,19π

12

}

.

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Exemplo (13)

Encontre 9 solucoes particulares e a solucao geral da equacao

2sen23x − sen3x − 1 = 0, com x ∈ R

Resposta...

S =

{

π + 4kπ

6,π + 12kπ

18,5π + 12kπ

18; k ∈ Z

}

.

Solucoes particulares (por exemplo):

k = 0 :π

6,π

18,5π

18

k = 1 :5π

6,13π

18,17π

18

k = 2 :3π

2,25π

18,29π

18

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