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Instituto Superior de Economia e GestoUniversidade Tcnica de Lisboa
Equaes Diferenciais&
Equaes s Diferenas
Joo Nicolau
Preparado para a cadeira de Equaes Diferenciais (20 ano) da Licenciatura de
Matemtica Aplicada Economia e Gesto
(verso 2)2003
Contedo
I Equaes Diferenciais 6
1 Definies e Resoluo de Equaes Diferenciais 9
1.1 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Algumas Equaes Diferenciais Univariadas de Primeira Ordem com Soluo
Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Equao Linear (Primeira Ordem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Equao Com Variveis Separveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Equao Homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.4 Equao Total Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.5 Equao Redutvel a Total Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Equaes Diferenciais Redutveis a Equaes Diferenciais de Primeira Ordem . . 31
1.3.1 Equaes do Tipo x00 = f (t, x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.2 Equaes do Tipo x00 = f (x, x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4 Aplicao (Modelos Populacionais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.2 Estimao dos Parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.3 Comentrios Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Existncia, Unicidade e Prolongamento das Solues 43
2.1 Existncia e Unicidade das Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.2 Teorema de Existncia e Unicidade das Solues . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Prolongamento das Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Caso Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Aproximaes Numricas 65
3.1 Mtodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Outras Aproximaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Sistemas de Equaes Lineares 76
4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Sistema de Equaes Diferenciais Homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Primeiras Noes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.2 Matriz Fundamental de Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.3 Resoluo do Sistema x0 = Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Sistema de Equaes Diferenciais No Homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Estabilidade 111
5.1 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3 Estabilidade de Sistemas No Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.1 Linearizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.2 Mtodo Directo de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4 Mtodos Grficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4.1 Equaes Univariadas de Primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4.2 Sistemas de Duas ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
II Equaes s Diferenas 161
6 Equaes Lineares 166
6.1 Equao Linear Primeira Ordem No homognea com Coeficientes Variveis . . . 166
6.2 Equao Linear de ordem n No homognea Com Coeficientes Constantes . . . . 168
6.2.1 Equao Homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2.2 Equao No Homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3 Equaes Linearizveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7 Sistemas de Equaes Lineares No Homogneas Com Coeficientes Con-
stante 185
7.1 Caso Homogneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.1.1 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.1.2 Sistema de Duas Equaes (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2 Caso No Homogneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8 Estabilidade 202
8.1 Pontos Fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.1.1 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.1.2 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.1.3 Estabilidade de Sistemas No Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.1.4 Bacia do Escoadouro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2 Pontos Peridicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.2.1 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.2.2 Estabilidade dos Pontos Peridicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.3 Aplicao I (Problema de Afectao de Turmas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.4 Aplicao II (Mtodo Newton-Raphson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Nota IntrodutriaApresentamos neste documento um conjunto de apontamentos que servem de base cadeira
Equaes Diferenciais do 2o ano da licenciatura de MAEG (Matemtica Aplicada Economia e
Gesto/ISEG). Na exposio dos temas procurou-se um equilbrio entre a abordagem quantita-
tiva, baseada na resoluo de equaes diferenciais (e s diferenas) e a abordagem qualitativa
das solues, mais avanada, mas mais importante. O mundo intrinsecamente no linear
e complexo. Da que, quando se analisa um fenmeno real atravs de equaes diferenciais
(ou equaes s diferenas) no geralmente possvel obter expresses em "forma fechada"das
solues, i.e., expresses analticas envolvendo funes simples e transcendentais que represen-
tem a soluo de uma equao diferencial (ou de uma equao s diferenas). Nestes casos a
abordagem quantitativa completamente intil. Outros casos existem onde a soluo, embora
conhecida, demasiadamente complicada para ser analisada. Mais uma vez, o estudo qual-
itativo das solues prefervel. A abordagem quantitativa tem, no entanto, a vantagem de
ser mais pedaggica, sobretudo para quem inicia o estudo das equaes diferenciais. Assim,
apresentam-se alguns mtodos de resoluo de equaes diferenciais mais importantes ou mais
conhecidas, mas sempre que possvel, simplifica-se ou abrevia-se a anlise quantitativa. Por
exemplo, no se apresenta a teoria das equaes diferenciais lineares de ordem n de coeficientes
constantes, dado que estas podem ser tratadas no mbito dos sistemas lineares. Apenas a
resoluo de sistemas lineares tratado com algum desenvolvimento, no s porque a teoria
suficientemente geral mas sobretudo porque vrios resultados de sistemas lineares so usados
no estudo (qualitativo) dos sistemas no lineares.
Parte I
Equaes Diferenciais
Suponha-se que se pretende estudar um fenmeno (econmico, fsico, biolgico, etc.) ao
longo do tempo. Designamos o fenmeno pela letra x e, como x depende de t (tempo), usare-
mos tambm a notao x (t). Na maioria dos casos, possvel estabelecer uma relao entre
x0, t e x. Por exemplo, seja x (t) uma populao de uma certa espcie (humana, de bactrias,
de predadores, etc.) no instante t e suponhamos, numa situao ideal, que x (t) varia continua-
mente. Seja r a diferena entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade por unidade de
tempo. A variao da populao num certo intervalo de tempo > 0 pode ser traduzida pela
igualdade (x (t+) x (t)) /x (t) = r ou seja (x (t+) x (t)) / = rx (t) . Com 0tem-se a equao diferencia (ED) x0 = rx. A partir desta relao fcil (como veremos) obter
a frmula matemtica que estabelece o nvel da populao em cada instante t, x (t) = x (0) ert,
onde x (0) o valor da populao no momento ou instante zero. Quer dizer, se a dinmica
infinitesimal de x bem traduzida pela ED x0 = rx ento a populao evolui de acordo com a
frmula x (t) = x (0) ert. Iremos designar esta frmula por soluo. Na maioria dos problemas
mais complicados (leia-se no lineares) no possvel obter a frmula x (t) . Felizmente, a
teoria das ED est suficientemente desenvolvida para que todas as questes relevantes possam
ser respondidas sem se recorrer expresso analtica da soluo da ED. Questes relevantes
podem ser, por exemplo, qual o comportamento de longo prazo das solues? Sero peridi-
cas? Tendero para algum valor? Como reagem a pequenas perturbaes? O estudo destas
questes constitui a abordagem qualitativa das equaes diferenciais, em oposio abordagem
quantitativa baseada na resoluo das equaes diferenciais.
Ao contrrio do que sucede na rea das cincias exactas, no geralmente possvel traduzir-
se um fenmeno econmico ou financeiro ao longo do tempo atravs de uma relao exacta
(por exemplo, no h nenhuma ED que ajuste de forma perfeita o PIB, um ndice da bolsa,
etc.). Embora se admita que as variveis econmic
