Equação Diferencial Ordinária portaleletronica.com

1

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Equação Diferencial Ordinária (EDO)

Equação Algébrica

Solução da Equação Diferencial

Solução da Equação Algébrica

𝓛−𝟏

𝓛

𝑰𝒔𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑭(𝒔)

2

Expansão em Fração Parcial

Expansão em Fração Parcial portaleletronica.com.br

Para obter a transformada de Laplace inversa de uma função complicada, podemos converter a função em soma de

termos mais simples para cada um dos quais se conhece a transformada de Laplace.

O resultado é chamado de expansão em frações parciais. Se 𝐹1(𝑠) = Τ𝑁(𝑠) 𝐷(𝑠), onde a ordem de 𝑁(𝑠) é inferior à

ordem de 𝐷(𝑠), então é possível fazer uma expansão em frações parciais. Se a ordem de 𝑁(𝑠) for superior ou igual à

ordem de 𝐷(𝑠), deve-se então dividir 𝑁(𝑠) por 𝐷(𝑠), sucessivamente, até que o resultado apresente um resto cujo

numerador seja de ordem inferior ao denominador.

Exemplo:

13

2

213

1 66 +

1

2⇒ ⇒

3


Exemplo A:

𝒔𝟐 + 𝒔 + 𝟓𝑠3 + 2𝑥2 + 6𝑠 + 7

−𝑠3 − 𝑠2 − 5s 𝒔 + 𝟏

𝐹1(𝑠) =𝑠3 + 2𝑠2 + 6𝑠 + 7

𝑠2 + 𝑠 + 5

𝑠2 + s + 7

−𝑠2 − 𝑠 − 5

𝟐

𝐹1 𝑠 = 𝑠 + 1 +2

𝑠2 + 𝑠 + 5

Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 30) portaleletronica.com.br

4


Exemplo A:

𝐹1 𝑠 = 𝑠 + 1 +2

𝑠2 + 𝑠 + 5


ℒ−1 𝐹1 𝑠 = ℒ−1 𝑠 + ℒ−1 1 + ℒ−12

𝑠2 + 𝑠 + 5

𝑓1 𝑡 = ℒ−1 𝑠 + ℒ−1 1 + ℒ−12

𝑠2 + 𝑠 + 5

5


Exemplo B:

𝐹(𝑠) =2

𝑠 + 1 (𝑠 + 2)

𝐹 𝑠 =2

𝑠 + 1 𝑠 + 2=

𝐴

𝑠 + 1+

𝐵

𝑠 + 2

𝐹 𝑠 =2

𝑠 + 1 𝑠 + 2=

𝐴 𝑠 + 2

𝑠 + 1 𝑠 + 2+

𝐵 𝑠 + 1

𝑠 + 1 𝑠 + 2

2

𝑠 + 1 𝑠 + 2=

𝐴 𝑠 + 2

𝑠 + 1 𝑠 + 2+

𝐵 𝑠 + 1

𝑠 + 1 𝑠 + 2

𝟐 = 𝑨 𝒔 + 𝟐 + 𝑩 𝒔 + 𝟏

➢ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = −2➢ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = −1

2 = 𝐴 −2 + 2 + 𝐵 −2 + 1

𝐵 = −2

2 = 𝐴 −1 + 2 + 𝐵 −1 + 1

𝐴 = 2

𝑠 = −1 𝑠 = −2

CASO 1 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Distintas.

6

𝐹 𝑠 =2

𝑠 + 1−

2

𝑠 + 2

𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 ⇒ 𝐹 𝑠 =𝐴

𝑠 + 1+

𝐵

𝑠 + 2

ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−12

𝑠 + 1− ℒ−1

2

𝑠 + 2

ℒ−1 𝐹 𝑠 = 2ℒ−11

𝑠 + 1− 2ℒ−1

1

𝑠 + 2

𝑓(𝑡) = 2 𝑒−𝑡𝑢(𝑡) − 2 𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) 𝑓(𝑡) = 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡) − 2𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) 𝑓(𝑡) = 2𝑒−𝑡 − 2𝑒−2𝑡 𝑢(𝑡)⇒ ⇒



Exemplo B:

7

Exemplo 2.3:


𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 12

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 32𝑦 = 32𝑢(𝑡)

Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y(t) se todas as condições iniciais forem zero. Usar a transformada

de Laplace.


8

Exemplo 2.3:


𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 12

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 32𝑦 = 32𝑢(𝑡)

ℒ𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ ℒ 12

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ ℒ 32𝑦 = ℒ 32𝑢(𝑡)

ℒ𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 12ℒ

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 32ℒ 𝑦 = 32ℒ 𝑢(𝑡)

𝑠2𝑌(𝑠) + 12𝑠𝑌(𝑠) + 32𝑌(𝑠) = 321

𝑠

𝑌(𝑠) 𝑠2 + 12𝑠 + 32 =32

𝑠

𝑌 𝑠 =32

𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32


9


𝑌 𝑠 =32

𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32

𝑥′ =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

➢ 1° 𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜: 𝑠2 + 12𝑠 + 32

𝑥′′ =−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥′ =−12 + 12 2 − 4.1.32

2.1

𝑥′ = −4

𝑥′′ =−12 − 12 2 − 4.1.32

2.1

𝑥′′ = −8

𝑎. 𝑠 − 𝑟1 . (𝑠 − 𝑟2)

➢ 2° 𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜: 𝑠2 + 12𝑠 + 32

“𝑟1” e “𝑟2” são as raízes da função que queremos fatorar

𝑟1⇒ 𝑟2⇒

1. 𝑠 − −4 . (𝑠 − −8 )

𝑠 + 4 . (𝑠 + 8)

Exemplo 2.3:


10


𝑌 𝑠 =32

𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32

𝑌 𝑠 =32

𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32=

32

𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)

𝑌 𝑠 =32

𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)=𝐴

𝑠+

𝐵

𝑠 + 4+

𝐶

(𝑠 + 8)

➢ 𝐹𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠

𝑠 = −4 𝑠 = −8𝑠 = 0

Exemplo 2.3:


11


𝑌 𝑠 =32

𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)=𝐴 𝑠 + 4 𝑠 + 8 + 𝐵𝑠 𝑠 + 8 + 𝐶𝑠 𝑠 + 4

𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)

32 = 𝐴 𝑠 + 4 𝑠 + 8 + 𝐵𝑠 𝑠 + 8 + 𝐶𝑠 𝑠 + 4

➢ 𝑠 = −4 ➢ 𝑠 = −8➢ 𝑠 = 0

32 = 𝐴 4 8

𝐴 = 1

32 = 𝐵(−4) −4 + 8

𝐵 = −2

32 = 𝐶(−8) −4

𝐶 = 1

Exemplo 2.3:


12


𝑌 𝑠 =32

𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)=𝐴

𝑠+

𝐵

𝑠 + 4+

𝐶

(𝑠 + 8)

𝑌 𝑠 =32

𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)=1

𝑠−

2

𝑠 + 4+

1

(𝑠 + 8)

𝑌 𝑠 =1

𝑠−

2

𝑠 + 4+

1

(𝑠 + 8)

ℒ−1 𝑌 𝑠 = ℒ−11

𝑠− ℒ−1

2

𝑠 + 4+ ℒ−1

1

(𝑠 + 8)

𝑦 𝑡 = 𝑢(𝑡) − 2𝑒−4𝑡𝑢(𝑡) + 𝑒−8𝑡𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 1 − 2𝑒−4𝑡 + 𝑒−8𝑡 𝑢(𝑡)⇒

Exemplo 2.3:


𝑦 𝑡 = 1 − 2𝑒−4𝑡 + 𝑒−8𝑡

13


CASO 2 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Repetidas.

𝐹 𝑠 =2

𝑠 + 1 𝑠 + 2 2

𝑠 = −2𝑠 = −1 𝑠 = −2

𝐹 𝑠 =2

𝑠 + 1 𝑠 + 2 2=

𝐴

𝑠 + 1+

𝐵

𝑠 + 2+

𝐶

𝑠 + 2 2

𝐹 𝑠 =2

𝑠 + 1 𝑠 + 2 2=𝐴 𝑠 + 2 2 + 𝐵 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 𝐶 𝑠 + 1

𝑠 + 1 𝑠 + 2 2

2 = 𝐴 𝑠 + 2 2 + 𝐵 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 𝐶 𝑠 + 1

Exemplo 2.4:

14



Exemplo 2.4:

➢ 𝑠 = −2

➢ 𝑠 = −1

𝐴 = 2

𝐶 = −2

2 = 𝐴 𝑠 + 2 2 + 𝐵 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 𝐶 𝑠 + 1

2 = 𝐴 −1 + 2 2 + 𝐵 −1 + 1 −1 + 2 + 𝐶 −1 + 1

2 = 𝐴 −2 + 2 2 + 𝐵 −2 + 1 −2 + 2 + 𝐶 −2 + 1

2 = 0 + 0 + 𝐶 −1

➢ 𝑠 = 0

𝐴 = 2

𝐶 = −2

2 = 2 0 + 2 2 + 𝐵 0 + 1 0 + 2 − 2 0 + 1

2 = 8 + 𝐵2 − 2

𝐵 = −2

15



Exemplo 2.4:

𝐹 𝑠 =2

𝑠 + 1 𝑠 + 2 2 =𝐴

𝑠 + 1+

𝐵

𝑠 + 2+

𝐶

𝑠 + 2 2

𝐹 𝑠 =2

𝑠 + 1−

2

𝑠 + 2−

2

𝑠 + 2 2

ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−12

𝑠 + 1− ℒ−1

2

𝑠 + 2+ ℒ−1

2

𝑠 + 2 2

𝑦 𝑡 = 2𝑒−𝑡𝑢 𝑡 − 2𝑒−2𝑡𝑢 𝑡 − 2𝑡𝑒−2𝑡𝑢(𝑡)

𝑦 𝑡 = 2𝑒−𝑡 − 2𝑒−2𝑡 − 2𝑡𝑒−2𝑡

16


CASO 3 – Raízes do Denominador de F(s) Complexas e Imaginárias.

Exemplo 2.4:

𝐹 𝑠 =3

𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5

3

𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5=𝐾1𝑠+

𝐾2𝑠 + 𝐾3𝑠2 + 2𝑠 + 5

𝑛° 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜𝑠 = 0

3

𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5=𝐾1 𝑠2 + 2𝑠 + 5

𝑠+

𝐾2𝑠 + 𝐾3 𝑠

𝑠2 + 2𝑠 + 5

3 = 𝐾1 𝑠2 + 2𝑠 + 5 + 𝐾2𝑠 + 𝐾3 𝑠

3 = 𝐾1𝑠2 + 2𝐾1𝑠 + 5𝐾1 + 𝐾2𝑠

2 + 𝐾3𝑠

3 = 0 + 0 + 5𝐾1 + 0 + 0

𝑲𝟏 =𝟑

𝟓

⇒ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = 0

17



Exemplo 2.4:

⇒ 𝑲𝟏 =𝟑

𝟓

3 = 𝐾1𝑠2 + 2𝐾1𝑠 + 5𝐾1 + 𝐾2𝑠

2 + 𝐾3𝑠

3 =3

5𝑠2 + 2

3

5𝑠 + 5

3

5+ 𝐾2𝑠

2 + 𝐾3𝑠

3 =3

5𝑠2 +

6

5𝑠 + 3 + 𝐾2𝑠

2 + 𝐾3𝑠

3 = 𝑠23

5+ 𝐾2 + 𝑠

6

5+ 𝐾3 + 3

3 = 𝑠23

5+ 𝐾2 + 𝑠

6

5+ 𝐾3 + 3

𝑲𝟐 = −𝟑

𝟓𝑲𝟑 = −

𝟔

𝟓

18



Exemplo 2.4:

𝐹(𝑠) =3

𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5=𝐾1𝑠+

𝐾2𝑠 + 𝐾3𝑠2 + 2𝑠 + 5

⇒ 𝐾1 =3

5 ⇒ 𝐾2 = −3

5⇒ 𝐾3 = −

6

5

𝐹(𝑠) =3

𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5=

35𝑠+

−35𝑠 −

65

𝑠2 + 2𝑠 + 5

𝐹(𝑠) =3

𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5=

3

5𝑠+−35

𝑠 + 2

𝑠2 + 2𝑠 + 5

𝐹 𝑠 =3

𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5=

3

5𝑠−3

5.

𝑠 + 2

𝑠2 + 2𝑠 + 5

19


20

TABELA: Relações tensão-corrente, Tensão-carga e Impedância para capacitores, resistores e indutor

𝑣 𝑡 = 𝑅 . 𝑖(𝑡) 𝑖 𝑡 =1

𝑅. 𝑣(𝑡) 𝑣 𝑡 = 𝑅 .

𝑑𝑞(𝑡)

𝑑𝑡𝑅

𝑣 𝑡 = 𝐿 .𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡𝑖 𝑡 =

1

𝐿න0

𝑡

𝑣 𝜏 . 𝑑𝜏 𝑣 𝑡 = 𝐿𝑑2𝑞(𝑡)

𝑑𝑡𝐿𝑠

𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑣 𝑡 = 𝑉 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 , 𝑖 𝑡 = 𝐴 𝑎𝑚𝑝è𝑟𝑒𝑠 , 𝑞 𝑡 = 𝑄 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑠 , 𝐶 = 𝐹 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠 , 𝑅 = Ω 𝑜ℎ𝑚𝑠 , 𝐿 = 𝐻 (ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑒𝑠)

𝑣 𝑡 =1

𝐶න0

𝑡

𝑖 𝜏 . 𝑑𝜏 𝑖 𝑡 = 𝐶 .𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡𝑣 𝑡 =

1

𝐶. 𝑞(𝑡)

1

𝐶𝑠

Tensão - Corrente Corrente - Tensão Tensão - CargaImpedância

𝑍 𝑠 = Τ𝑉(𝑠) 𝐼(𝑠)

Função de Transferência de Circuitos Elétricos (pag. 38) portaleletronica.com.br

21

Exemplo 2.6:

Obter a função de transferência relacionado a tensão, 𝑉𝑐(𝑠), no capacitor à tensão de entrada, 𝑉 𝑠 .

−𝑣 𝑡 + 𝐿 .𝑑𝑖 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑅 . 𝑖 𝑡 +

1

𝐶න0

𝑡

𝑖 𝜏 . 𝑑𝜏 = 0

𝑖(𝑡) =𝑑𝑞(𝑡)

𝑑𝑡

−𝑣 𝑡 + 𝐿 .𝑑𝑑𝑞 𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡

+ 𝑅 .𝑑𝑞 𝑡

𝑑𝑡+

1

𝐶න0

𝑡 𝑑𝑞(𝑡)

𝑑𝑡. 𝑑𝜏 = 0

−𝑣 𝑡 + 𝐿 .𝑑2𝑞 𝑡

𝑑𝑡2+ 𝑅 .

𝑑𝑞 𝑡

𝑑𝑡+

1

𝐶𝑞(𝑡) = 0

𝑉𝑐(𝑠)

𝑉(𝑠)= ?


𝐿 𝑅

𝑣𝑐 𝑡

𝑣 𝑡

𝑖 𝑡

𝐶

22

−𝑣 𝑡 + 𝐿 .𝑑2𝑞 𝑡

𝑑𝑡2+ 𝑅 .

𝑑𝑞 𝑡

𝑑𝑡+

1

𝐶𝑞(𝑡) = 0

𝑣 𝑡 = 𝐿 .𝑑2𝑞 𝑡

𝑑𝑡2+ 𝑅 .

𝑑𝑞 𝑡

𝑑𝑡+

1

𝐶𝑞(𝑡)

Tensão – carga no capacitor: 𝑣𝑐 𝑡 =1

𝐶. 𝑞(𝑡)

𝑞 𝑡 = 𝐶. 𝑣𝑐 𝑡

𝑣 𝑡 = 𝐿 .𝐶. 𝑑2𝑣𝑐 𝑡

𝑑𝑡2+ 𝑅 .

𝐶. 𝑑𝑣𝑐 𝑡

𝑑𝑡+

1

𝐶. 𝐶. 𝑣𝑐 𝑡

Obter a função de transferência

relacionado a tensão, 𝑉𝑐 𝑠 .

Exemplo 2.6:


23

𝑣 𝑡 = 𝐿 .𝐶. 𝑑2𝑣𝑐 𝑡

𝑑𝑡2+ 𝑅 .

𝐶. 𝑑𝑣𝑐 𝑡

𝑑𝑡+

1

𝐶. 𝐶. 𝑣𝑐 𝑡

𝑣 𝑡 = 𝐿 . 𝐶.𝑑2𝑣𝑐 𝑡

𝑑𝑡2+ 𝑅. 𝐶 .

𝑑𝑣𝑐 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑣𝑐 𝑡

Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas:

ℒ 𝑣(𝑡) = 𝐿 . 𝐶. ℒ𝑑2𝑣𝑐 𝑡

𝑑𝑡2+ 𝑅. 𝐶. ℒ

𝑑𝑣𝑐 𝑡

𝑑𝑡+ ℒ 𝑣𝑐 𝑡

Exemplo 2.6:


24

x

ℒ 𝑣(𝑡) = 𝐿 . 𝐶. ℒ𝑑2𝑣𝑐 𝑡

𝑑𝑡2+ 𝑅. 𝐶. ℒ

𝑑𝑣𝑐 𝑡

𝑑𝑡+ ℒ 𝑣𝑐 𝑡

𝑉 𝑠 = 𝐿 . 𝐶. 𝑠2. 𝑉𝐶 𝑠 + 𝑅. 𝐶. 𝑠. 𝑉𝐶(𝑠) + 𝑉𝐶(𝑠)

𝑉 𝑠 = (𝐿 . 𝐶. 𝑠2 + 𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1). 𝑉𝐶 (𝑠)

𝑉𝑐(𝑠)

𝑉(𝑠)= ?

𝑉𝐶(𝑠)

𝑉 𝑠=

1

(𝐿 . 𝐶. 𝑠2 + 𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1)

1

(𝐿 . 𝐶. 𝑠2 + 𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1)

𝑉𝐶(𝑠)𝑉(𝑠)

𝑉 𝑠 = 𝑉𝐶 𝑠 . (𝐿 . 𝐶. 𝑠2 + 𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1)

Diagrama de blocos de um circuito elétrico RLC série

Exemplo 2.6:


25

Resolução 2 – Resolvendo o circuito na Modelagem no Domínio de Frequência. Com os valores das

impedâncias

Domínio da frequência, (s)

𝑉𝑐 𝑠 = 𝐼 𝑠1

𝑠𝐶⇒ 𝑉𝑐 𝑠 =

𝑉(𝑠)

𝐿𝑠 + 𝑅 +1𝑠𝐶

.1

𝑠𝐶

𝑉𝑐 𝑠

𝑉(𝑠)=

1

𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1

Exemplo 2.6:

𝐿𝑠 𝑅

𝑉𝑐 𝑠

𝑉 𝑠𝐼 𝑠 1

𝑠𝐶


26

Dado o circuito obter a função de transferência, 𝐼2 𝑠 , 𝑉(𝑠)

Exemplo 2.9:


27

➢ 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒊𝟏 𝒕 :

− 𝑉 𝑠 + 𝑅1 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 − 𝐼2 𝑠 = 0

𝑅1 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠𝐼1 𝑠 − 𝐿𝑠𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠

[𝑅1 +𝐿𝑠] 𝐼1 𝑠 − 𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠

➢ 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒊𝟐 𝒕 :

𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 − 𝐼1 𝑠 + 𝑅2 𝐼2 𝑠 + 𝑉𝐶(𝑡) = 0

𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 − 𝐿𝑠𝐼1 𝑠 + 𝑅2 𝐼2 𝑠 +1

𝐶𝑠𝐼2 𝑠 = 0

−𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 + 𝑅2 𝐼2 𝑠 +1


−𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 + 𝑅2 +1


Exemplo 2.9:

Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br

28

[𝑅1 +𝐿𝑠] 𝐼1 𝑠 − 𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠

−𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 + 𝑅2 +1


Pela de regra de Cramer temos:

∆ =

𝑅1 + 𝐿𝑠 −𝐿𝑠

−𝐿𝑠 𝐿𝑠 + 𝑅2 +1

𝐶𝑠

∆ 𝐼1(𝑠) =

𝑉(𝑠) −𝐿𝑠

0 𝐿𝑠 + 𝑅2 +1

𝐶𝑠

∆ 𝐼2(𝑠) =𝑅1 + 𝐿𝑠 𝑉(𝑠)−𝐿𝑠 0

Exemplo 2.9:


29

[𝑅1 +𝐿𝑠] 𝐼1 𝑠 − 𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠

−𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 + 𝑅2 +1


𝐼2 𝑠 =∆ 𝐼2(𝑠)

∆

∆ 𝐼2(𝑠) =𝑅1 + 𝐿𝑠 𝑉(𝑠)−𝐿𝑠 0

∆ =


−𝐿𝑠 𝐿𝑠 + 𝑅2 +1

𝐶𝑠

Exemplo 2.9:


30

∆ = (𝑅1 +𝐿𝑠) . 𝐿𝑠 + 𝑅2 +1

𝐶𝑠− [ −𝐿𝑠 . (−𝐿𝑠)]

∆ = (𝑅1 +𝐿𝑠) . 𝐿𝑠 + 𝑅2 +1

𝐶𝑠− [ −𝐿𝑠 . (−𝐿𝑠)]

∆ 𝐼2(𝑠) =𝑅1 + 𝐿𝑠 𝑉(𝑠)−𝐿𝑠 0

∆ =


−𝐿𝑠 𝐿𝑠 + 𝑅2 +1

𝐶𝑠

∆ 𝐼2(𝑠) = (𝑅1 +𝐿𝑠) . 0 − [𝑉 𝑠 . −𝐿𝑠 ]

∆ 𝐼2(𝑠) = 𝑉 𝑠 . 𝐿𝑠

∆ = 𝑅1𝐿𝑠 + 𝑅1𝑅2 +𝑅1𝐶𝑠

+ 𝐿2𝑠2 + 𝐿𝑠𝑅2 +𝐿𝑠

𝐶𝑠− 𝐿2𝑠2

∆ = 𝑅1𝐿𝑠 + 𝑅1𝑅2 +𝑅1𝐶𝑠

+ 𝐿𝑠𝑅2 +𝐿𝑠

𝐶𝑠

Exemplo 2.9:


31

∆ = 𝑅1𝐿𝑠 + 𝑅1𝑅2 +𝑅1𝐶𝑠

+ 𝐿𝑠𝑅2 +𝐿𝑠

𝐶𝑠

∆ =𝑅1𝐿𝑠𝐶𝑠 + 𝑅1𝑅2𝐶𝑠 + 𝑅1 + 𝐿𝑠𝑅2𝐶𝑠 + 𝐿𝑠

𝐶𝑠

∆ =(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠

2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1𝐶𝑠

∆ =𝑅1𝐿𝐶𝑠

2 + 𝑅1𝑅2𝐶𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2𝐿𝐶𝑠2 + 𝐿𝑠

𝐶𝑠

Exemplo 2.9:


32

∆ 𝐼2(𝑠) = 𝑉 𝑠 . 𝐿𝑠

∆ =(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠

2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1𝐶𝑠

𝐼2 𝑠 =det 𝐼2(𝑡)

∆

𝐼2 𝑠 =𝑉 𝑠 . 𝐿𝑠

(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1

𝐶𝑠

𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠 . 𝐿𝑠𝐶𝑠

(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1

𝐼2 𝑠 =𝑉 𝑠 . 𝐿𝐶𝑠2

(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1

𝐺 𝑠 =𝐼2 𝑠

𝑉 𝑠=

𝐿𝐶𝑠2

(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1

Exemplo 2.9:


33

𝐼2(𝑠)𝑉(𝑠)

Diagrama de blocos de um circuito elétrico

𝐿𝐶𝑠2

(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1

Exemplo 2.9:


34

Um amplificador operacional, esboço na figura, é um amplificador eletrônico usado como bloco construtivo

básico para implementar funções de transferência. Possui as seguintes características:

1) Entrada diferencial, 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡

2) Elevada impedância de entrada, 𝑍𝑖 = ∞ 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙

3) Baixa impedância de saída, 𝑍𝑜 = 0 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙

4) Elevado ganho de amplificação, 𝐴 = ∞ 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙


+ 𝑣2 𝑡

+ 𝑣1 𝑡

+

-

𝐴𝑣𝑜 𝑡

+𝑉

−𝑉

A saída, 𝑣𝑜 𝑡 é da por:

𝑣𝑜 𝑡 = 𝐴(𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡 )

Amplificador Operacional

35

Amplificador Operacional Inversor


+ 𝑣2 𝑡

+ 𝑣1 𝑡

+

-𝐴

𝑣𝑜 𝑡

+𝑉

−𝑉

Se for aterrada, como mostrado na figura, o amplificador é chamado amplificador operacional inversor. Para

o amplificador operacional inversor, temos:

𝑣𝑜 𝑡 = 𝐴(𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡 )

+ 𝑣2 𝑡

+ 𝑣1 𝑡

+

-𝐴

𝑣𝑜 𝑡

Amplificador operacional Amplificador operacional inversor

⇒ 𝑣2 𝑡 = 0 ⇒ 𝑣𝑜 𝑡 = −𝐴𝑣1 𝑡

36

Amplificador Operacional Inversor


Se duas impedâncias forem conectadas ao amplificador operacional inversor, como mostra a figura,

podemos deduzir um resultado interessante se o amplificador possuir as características 1, 2, 3 e 4. Se a

impedância de entrada for elevada, então pela lei de Kirchhoff das correntes, temos:

Amplificador operacional inversor configurado para a

realização de uma função de transferência. Comumente

o ganho, A, do amplificador é omitido.

𝑉𝑖 𝑠

+

-𝑉𝑜 𝑠

𝑍2 𝑠

𝑍1 𝑠 𝑉1 𝑠

𝐼1 𝑠 𝐼𝑎 𝑠

𝐼2 𝑠 𝐼𝑎 = 0

𝐼𝑎 𝑠 = 𝐼1 𝑠 + 𝐼2(𝑠)

𝐼1 𝑠 = −𝐼2(𝑠)

𝐼1 𝑠 =𝑉1 𝑠

𝑍1 𝑠

𝐼2 𝑠 =𝑉𝑜 𝑠

𝑍2 𝑠

𝑉1 𝑠

𝑍1 𝑠= −

𝑉𝑜 𝑠

𝑍2 𝑠

𝑉𝑜 𝑠

𝑉1 𝑠= −

𝑍2 𝑠

𝑍1 𝑠

37


Função de transferência – circuito com amplificador operacional

Obter a função de transferência, Τ𝑉𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠) , para o circuito dado.

𝑣𝑖 𝑡

+

-𝑣𝑜 𝑡

𝑅1= 360 𝑘Ω

𝑣1 𝑡𝑖2 𝑡

𝐶1= 5,6 𝜇𝐹

𝑅2= 220 𝑘Ω 𝐶2= 0,1 𝜇𝐹

𝑖1 𝑡 𝑖𝑎 𝑡𝑉𝑖 𝑠

+

- 𝑉𝑜 𝑠

𝑅1

𝑉1 𝑠𝐼2 𝑠

1

𝐶1𝑠

𝑅2

1

𝐶2𝑠


Exemplo 2.14:

38


𝑉𝑖 𝑠

+

- 𝑉𝑜 𝑠

𝑅1


1

𝐶1𝑠

𝑅2

1

𝐶2𝑠


Exemplo 2.14:𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =

1𝐶1𝑠

. 𝑅1

1𝐶1𝑠

+ 𝑅1

𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =

𝑅1𝐶1𝑠

1 + 𝐶1𝑠𝑅1𝐶1𝑠

𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =𝑅1𝐶1𝑠

𝐶1𝑠

1 + 𝐶1𝑠𝑅1

𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =𝑅1

1 + 𝐶1𝑠𝑅1

𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =360𝑥103

1 + 5,6𝑥10−6 𝑠 360𝑥103𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =

360𝑥103

2,061𝑠 + 1

39


𝑉𝑖 𝑠

+

- 𝑉𝑜 𝑠

𝑅1


1

𝐶1𝑠

𝑅2

1

𝐶2𝑠


Exemplo 2.14:

𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 = 𝑅2+1

𝐶2𝑠

𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 = 220𝑥103 +1

0,1𝑥10−6𝑠

𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 = 220𝑥103 +107

𝑠

40


Exemplo 2.14:

𝑉𝑖 𝑠

+

-𝑉𝑜 𝑠

𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠

𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 𝑉1 𝑠


𝐼2 𝑠

𝑉𝑜 𝑠

𝑉1 𝑠= −

𝑍2 𝑠

𝑍1 𝑠

𝑉𝑜 𝑠

𝑉1 𝑠= −

220𝑥103 +107

𝑠360𝑥103

2,061𝑠 + 1

𝑉𝑜 𝑠

𝑉1 𝑠= −

220𝑥103𝑠 + 107

𝑠360𝑥103

2,061𝑠 + 1

𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 = 220𝑥103 +107

𝑠

𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =360𝑥103

2,061𝑠 + 1𝑉𝑜 𝑠

𝑉1 𝑠= −

(220𝑥103𝑠 + 107) (2,061𝑠 + 1)

360𝑥103𝑠

𝑉𝑜 𝑠

𝑉1 𝑠= −

453420𝑠2 + 220𝑥103𝑠 + 2,061𝑥107𝑠 + 107

360𝑥103𝑠

41


Exemplo 2.14:

𝑉𝑖 𝑠

+

-𝑉𝑜 𝑠


𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 𝑉1 𝑠


𝐼2 𝑠

⇒𝑉𝑜 𝑠

𝑉1 𝑠= −

453420𝑠2 + 20,83𝑥106𝑠 + 107

360𝑥103𝑠

𝑉𝑜 𝑠

𝑉1 𝑠= −1,25𝑠2 − 57,86𝑠 − 27,77

O circuito resultante é chamado controlador PID e pode ser usado para melhorar o desempenho de um sistema de

controle, e será explorado no Cap. 9.

42


Amplificador Operacional Não-inversor

Vamos agora deduzir a função de transferência do amplificador operacional não-inversor:

𝑍1 𝑠 e 𝑍2 𝑠 formam um divisor de tensão

𝑉𝑜 𝑠 = 𝐴(𝑉𝑖 𝑠 − 𝑉1 𝑠 )

𝑉𝑖 𝑠+

-𝑉𝑜 𝑠

𝑍2 𝑠

𝑍1 𝑠

𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠

𝐼𝑎 𝑠

𝐼1 𝑠

𝑉𝑖 𝑠+

-𝑉𝑜 𝑠

𝑍2 𝑠

𝑍1 𝑠


𝐼𝑎 𝑠

𝐼1 𝑠

43



𝐼𝑎 𝑠 = 0 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝐼2 𝑠 = 𝐼1 𝑠 + 𝐼𝑎 𝑠

𝐼2 𝑠 = 𝐼1 𝑠 = 𝐼 𝑠

𝑉𝑖 𝑠+

-𝑉𝑜 𝑠

𝑍2 𝑠

𝑍1 𝑠


𝐼𝑎 𝑠

𝐼1 𝑠

𝑉𝑜 𝑠 = 𝐼 𝑠 . (𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠))

𝐼 𝑠 =𝑉𝑜 𝑠

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝑉1 𝑠 = 𝐼 𝑠 . 𝑍1

𝑉1 𝑠 =𝑉𝑜 𝑠

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠). 𝑍1(𝑠)

𝑍1 𝑠 e 𝑍2 𝑠 formam um divisor de tensão

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟

44



𝑉𝑖 𝑠+

-𝑉𝑜 𝑠

𝑍2 𝑠

𝑍1 𝑠


𝐼𝑎 𝑠

𝐼1 𝑠

𝑉𝑜 𝑠 = 𝐴(𝑉𝑖 𝑠 − 𝑉1 𝑠 )

𝑉𝑜 𝑠 = 𝐴 𝑉𝑖 𝑠 −𝑉𝑜 𝑠

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠). 𝑍1(𝑠)

𝑉𝑜 𝑠 = 𝐴. 𝑉𝑖 𝑠 − 𝐴.𝑉𝑜 𝑠 . 𝑍1(𝑠)

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝑉𝑜 𝑠 + 𝐴.𝑉𝑜 𝑠 . 𝑍1(𝑠)

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)= 𝐴. 𝑉𝑖 𝑠

𝑉𝑜 𝑠 . 1 +𝐴. 𝑍1(𝑠)

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)= 𝐴. 𝑉𝑖 𝑠

𝐼 𝑠 =𝑉𝑜 𝑠

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝑉1 𝑠 =𝑉𝑜 𝑠

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠). 𝑍1(𝑠)

45



𝑉𝑖 𝑠+

-𝑉𝑜 𝑠

𝑍2 𝑠

𝑍1 𝑠


𝐼𝑎 𝑠

𝐼1 𝑠

𝑉𝑜 𝑠

𝑉𝑖 𝑠=

𝐴

1 +𝐴. 𝑍1(𝑠)

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝑉𝑜 𝑠

𝑉𝑖 𝑠=

𝐴

𝐴. 𝑍1(𝑠)𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐴 ≫ 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑧𝑎𝑟 1

𝑉𝑜 𝑠

𝑉𝑖 𝑠= 𝐴 .

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝐴. 𝑍1(𝑠)

𝑉𝑜 𝑠

𝑉𝑖 𝑠=

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝑍1(𝑠)

46


Exemplo 2.15:

Função de transferência – circuito com amplificador operacional não-inversor.

Obter a função de transferência, Τ𝑉𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠) , para o circuito dado.

𝑣𝑖 𝑡+

- 𝑣𝑜 𝑡

𝑅2

𝑅1

𝑣1 𝑡 𝑖2 𝑡

𝑖𝑎 𝑡

𝑖1 𝑡

𝐶2

𝐶1

𝑉𝑖 𝑠+

-𝑉𝑜 𝑠




𝐼𝑎 𝑠

𝐼1 𝑠

⇒

47


Exemplo 2.15:

𝑉𝑖 𝑠+

-𝑉𝑜 𝑠




𝐼𝑎 𝑠

𝐼1 𝑠


𝐶1𝑠

𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =

1𝐶2𝑠

. 𝑅2

1𝐶2𝑠

+ 𝑅2

𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =𝑅2𝐶2𝑠

.𝐶2𝑠

1 + 𝐶2𝑠𝑅2


1 + 𝐶2𝑠𝑅2

48


Exemplo 2.15:

𝑉𝑖 𝑠+

-𝑉𝑜 𝑠




𝐼𝑎 𝑠

𝐼1 𝑠


𝐶1𝑠


1 + 𝐶2𝑠𝑅2

𝑉𝑜 𝑠

𝑉𝑖 𝑠=

𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)

𝑍1(𝑠)

𝑉𝑜 𝑠

𝑉𝑖 𝑠=

𝑅1+1𝐶1𝑠

+𝑅2

1 + 𝐶2𝑠𝑅2

𝑅1+1𝐶1𝑠

Sabendo que a função de transferência do amplificador operacional

não-inversor é:

Portanto temos:

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